相対ホモロジーと長完全列

1. $X$ の特異 $n$ 単体の全体は、像が $A$ に入るものと入らないものに分かれる。前者は $C_n(A)$ の基底なので、後者が生成する部分群を $F_n$ とすると $C_n(X)=C_n(A)\oplus F_n$ であり、商写像は $F_n$ から $C_n(X,A)$ への同型を与える。
2. $\alpha$ の類を $[\alpha]$ と書くと、$\partial[\alpha]=[\partial\alpha]$ である。これが $C_{n-1}(X,A)$ で $0$ であることは $\partial\alpha\in C_{n-1}(A)$ と同じである。
3. $[\alpha]$ が境界であるとは、ある $\beta\in C_{n+1}(X)$ で $[\alpha]=\partial[\beta]=[\partial\beta]$、すなわち $\alpha-\partial\beta\in C_n(A)$ となることである。$\gamma:=\alpha-\partial\beta$ とおけばよい。

$C_{-1}=0$ なので、$0$ 鎖はすべて相対輪体であり、prop-relative-homology-cycles により
$$ H_0(X,A)=C_0(X)/\bigl(\partial C_1(X)+C_0(A)\bigr) $$
である。点 $x\in X$ にその弧状連結成分 $[x]\in\pi_0(X)$ を対応させる準同型 $\Phi\colon C_0(X)\to\bigoplus_{\pi_0(X)}\mathbb{Z}$ を考える。$\Phi$ は全射である。特異 $1$ 単体 $\tau$ は道なので $\tau(e_0)$ と $\tau(e_1)$ は同じ成分に入り、$\Phi(\partial\tau)=\Phi(\tau(e_1))-\Phi(\tau(e_0))=0$ である。逆に $c=\sum_in_ix_i\in\ker\Phi$ とする。$c$ に現れる点 $x_i$ の成分（有限個）のそれぞれに代表点 $x_P$ を 1 つ選び、$x_i$ から $x_{[x_i]}$ への道 $\tau_i$ をとると、$x_i=x_{[x_i]}-\partial\tau_i$ である。したがって
$$ c=\sum_in_ix_{[x_i]}-\partial\Bigl(\sum_in_i\tau_i\Bigr) $$
であり、第 1 項は成分ごとに係数の和が $\Phi(c)$ の成分に等しいので $0$ である。よって $\ker\Phi=\partial C_1(X)$ となり、$H_0(X)\cong\bigoplus_{\pi_0(X)}\mathbb{Z}$ を得る。この同型のもとで $C_0(A)$ の像は、$A$ と交わる成分の生成元が生成する部分群である。これで割ると、$\Pi$ の成分の生成元だけが残る。

各次数の列
$$ 0\to C_n(A)\xrightarrow{i_\sharp}C_n(X)\xrightarrow{j_\sharp}C_n(X,A)\to0 $$
は、$i_\sharp$ が包含、$j_\sharp$ が商写像なので短完全列であり、$i_\sharp,j_\sharp$ は境界作用素と可換である。よって鎖複体の短完全列 $0\to C_\bullet(A)\to C_\bullet(X)\to C_\bullet(X,A)\to0$ が得られる。鎖複体の短完全列はホモロジーの長完全列を誘導する（長完全列 の記事の定理（複体の短完全列の長完全列）。その記事は次数の上がる複体で書かれているので、$C^m:=C_{-m}$ と添字を付け替えて適用する。あるいは下の lem-relative-homology-snake）。
接続準同型の式を確かめる。長完全列の接続準同型は、$C_\bullet(X,A)$ の輪体 $c$ を $C_n(X)$ の元 $b$ に持ち上げ、$\partial b$ を $C_{n-1}(A)$ の元 $a$ として読み直し、$[a]$ を対応させる写像である。相対輪体 $\alpha$ の類 $c=[\alpha]$ の持ち上げとして $b=\alpha$ 自身がとれ、$\partial b=\partial\alpha$ はすでに $C_{n-1}(A)$ に入っているので $a=\partial\alpha$ である。よって $\partial[\alpha]=[\partial\alpha]$。右端は $H_{-1}(A)=0$ なので $H_0(X)\to H_0(X,A)\to0$ で終わる。
自然性。$f_\sharp$ は 3 つの鎖複体の間の鎖写像を与え、短完全列の正方形は可換なので、$i_*,j_*$ の正方形は関手性から可換である。接続準同型については、相対輪体 $\alpha$ に対し $f_\sharp\alpha$ も $(Y,B)$ の相対輪体であり
$$ \partial f_*[\alpha]=[\partial f_\sharp\alpha]=[f_\sharp\partial\alpha]=(f|_A)_*[\partial\alpha]=(f|_A)_*\partial[\alpha] $$
である。

要点：まず蛇の補題を「次数 $n$ の行から次数 $n-1$ の行への境界作用素」に使い、輪体の列 $0\to Z_n(A)\to Z_n(B)\to Z_n(C)$ が左完全、境界を法とした鎖の列 $A_n/\partial A_{n+1}\to B_n/\partial B_{n+1}\to C_n/\partial C_{n+1}\to0$ が右完全であることを得る。境界作用素が誘導する $\bar\partial\colon A_n/\partial A_{n+1}\to Z_{n-1}(A)$ の核は $H_n(A)$、余核は $H_{n-1}(A)$ なので、次の可換図式にもう一度蛇の補題を使えば主張の 6 項の列が得られる。
$$ \xymatrix{ & A_n/\partial A_{n+1} \ar[r] \ar[d]_{\bar\partial} & B_n/\partial B_{n+1} \ar[r] \ar[d]_{\bar\partial} & C_n/\partial C_{n+1} \ar[r] \ar[d]^{\bar\partial} & 0\\ 0 \ar[r] & Z_{n-1}(A) \ar[r] & Z_{n-1}(B) \ar[r] & Z_{n-1}(C) & } $$

添加された鎖複体 $\tilde C_\bullet(A),\tilde C_\bullet(X)$ を使い、相対鎖複体は次数 $-1$ でも $0$ とする。次数 $n\ge0$ では列 $0\to C_n(A)\to C_n(X)\to C_n(X,A)\to0$ は thm-relative-homology-les の証明と同じく短完全であり、次数 $-1$ では $0\to\mathbb{Z}\xrightarrow{\mathrm{id}}\mathbb{Z}\to0\to0$ である。包含 $i_\sharp$ は添加写像と両立する（$\varepsilon_X\circ i_\sharp=\varepsilon_A$）ので、これは鎖複体の短完全列である。そのホモロジーの長完全列が主張の列であり、$\tilde H_{-1}(A)=0$ なので右端は $H_0(X,A)\to0$ で終わる。

prop-relative-homology-reduced-les を対 $(X,\{x_0\})$ に使う。一点の被約ホモロジーはすべての次数で $0$ なので、$j_*$ の両側の項 $\tilde H_n(\{x_0\})$ と $\tilde H_{n-1}(\{x_0\})$ が $0$ になり、完全性から $j_*$ は同型である。

各次数で $C_n(B)\subset C_n(A)\subset C_n(X)$ なので、
$$ 0\to C_n(A)/C_n(B)\to C_n(X)/C_n(B)\to C_n(X)/C_n(A)\to0 $$
は短完全列である（第 1 の写像は包含から来る単射、第 2 の写像は自然な全射で、その核は $C_n(A)/C_n(B)$）。どの写像も境界作用素と可換なので鎖複体の短完全列であり、ホモロジーの長完全列が得られる。接続準同型は thm-relative-homology-les の証明と同じく、$C_n(X)/C_n(A)$ の輪体の代表 $\alpha$ をそのまま $C_n(X)/C_n(B)$ への持ち上げに使えるので、$[\partial\alpha]\in H_{n-1}(A,B)$ である。

$F$ の角柱作用素 $P\colon C_n(X)\to C_{n+1}(Y)$ は、特異単体 $\sigma$ を $\sum_i(-1)^iF\circ(\sigma\times\mathrm{id})\circ\lambda_i$（$\lambda_i$ は $\Delta^{n+1}$ から $\Delta^n\times[0,1]$ へのアフィン写像）に送り、$\partial P+P\partial=g_\sharp-f_\sharp$ を満たす（特異ホモロジーのホモトピー不変性 の記事の定理（特異ホモロジーのホモトピー不変性））。$\sigma$ の像が $A$ に入れば、各項の像は $F(A\times[0,1])\subset B$ に入るので $P(C_n(A))\subset C_{n+1}(B)$ である。したがって $P$ は商 $\bar P\colon C_n(X,A)\to C_{n+1}(Y,B)$ を誘導し、商の上でも $\partial\bar P+\bar P\partial=g_\sharp-f_\sharp$ が成り立つ。鎖ホモトピックな鎖写像はホモロジーに同じ写像を誘導する（ホモロジー の記事の命題（鎖ホモトピックな鎖写像はホモロジー上等しい射を誘導する））。

レトラクション $r\colon X\to A$ と、$\mathrm{id}_X$ から $i\circ r$ への強変位レトラクション $H$ をとる。$H$ はすべての時刻で $A$ の点を止めるので、$\mathrm{id}$ と $i\circ r$ は対 $(X,A)\to(X,A)$ の写像として対としてホモトピックである。prop-relative-homology-homotopy により $H_n(X,A)$ の恒等写像は $(i\circ r)_*$ に等しい。$i\circ r$ は対の写像 $r\colon(X,A)\to(A,A)$ と包含 $(A,A)\to(X,A)$ の合成であり、$C_\bullet(A,A)=0$ だから $H_n(A,A)=0$ である。よって恒等写像は $0$ を経由し、$H_n(X,A)=0$ となる。

長完全列の部分 $H_{n+1}(X,A)\xrightarrow{\partial}H_n(A)\xrightarrow{i_*}H_n(X)\xrightarrow{j_*}H_n(X,A)$ を見る。すべての $H_m(X,A)$ が $0$ なら、$\ker i_*=\operatorname{im}\partial=0$、$\operatorname{im}i_*=\ker j_*=H_n(X)$ なので $i_*$ は同型である。逆に、すべての $i_*$ が同型とする。$H_n(X)\xrightarrow{j_*}H_n(X,A)\xrightarrow{\partial}H_{n-1}(A)\xrightarrow{i_*}H_{n-1}(X)$ において、$\ker j_*=\operatorname{im}i_*=H_n(X)$ なので $j_*=0$、よって $\ker\partial=\operatorname{im}j_*=0$ である。また $\operatorname{im}\partial=\ker i_*=0$ なので $\partial=0$ である。$\partial$ は単射かつ零写像なので $H_n(X,A)=0$ である。