因子類群

同義語：Weil因子類群divisor class group

概要

前提知識: スキーム, Weil因子, 有理関数, Picard群

余次元1の図形を数える群

複素代数曲線上の点や、代数曲面上の曲線は、それぞれ周囲の空間の余次元1の部分図形である。こうした部分図形に整数の重みを付けて足すと Weil因子になる。一方、有理関数の零点と極も、重複度を付ければ一つの Weil 因子を与える。因子類群は、後者を自明なものとして扱い、残る余次元1の情報を記録する群である（Sta0BE0）。
この記事では、定義を明瞭にするため $X$ を Noether・整・正規なスキームとする。$X$ の有理関数体を $K(X)$ と書く。この仮定のもとで、余次元1の点の局所環は離散付値環となり、有理関数の零点や極の次数を整数として測れる。一般の整スキームにも因子類群の定義はあるが、正規性を仮定すると、係数と局所的な割り算の意味が見やすい。
因子類群は Picard群と近いが、同じ定義ではない。Picard 群は可逆層、すなわち直線束を分類する。因子類群は Weil 因子を主因子で割って作る。滑らかな多様体では両者は一致するが、特異点をもつ正規多様体では Weil 因子が可逆層から来ないことがあり、差が現れる。この違いまでを、例と正確な仮定を付けて説明する。

Weil 因子からの定義

$X$ の余次元1の整な閉部分スキーム $Z$ を素因子という。曲線上では閉点、曲面上では既約曲線が典型例である。$X$ が Noether なので、素因子の有限個の形式和を使える。

Weil 因子類群

$X$ 上の Weil 因子群を
$$ \operatorname{Div}(X)=\bigoplus_{Z\text{ 素因子}}\mathbb Z[Z] $$
とする。非零有理関数 $f\in K(X)^\times$ の主因子を
$$ \operatorname{div}(f)=\sum_Z \operatorname{ord}_Z(f)[Z] $$
と書く。ここで $\operatorname{ord}_Z(f)$ は $Z$ の一般点における離散付値であり、零点では正、極では負である。因子類群またはWeil 因子類群は
$$ \operatorname{Cl}(X)=\operatorname{Div}(X)/\{\operatorname{div}(f):f\in K(X)^\times\} $$
である。二つの Weil 因子の差が主因子なら、両者は線形同値であるという。

記号 $[Z]$ は素因子を自由アーベル群の生成元として見る記号である。たとえば $2[Z_1]-3[Z_2]$ は Weil 因子であり、係数に負の整数も許す。正係数だけの因子は有効因子と呼ぶが、群を作るには負の係数も必要である。主因子を割るときに「零点と極を打ち消す」のであり、素因子そのものをすべて零とするわけではない。
主因子の和が有限になる理由も仮定に含まれる。Noether な $X$ 上で非零有理関数は、ある稠密な開集合では単元となる。零点または極の候補はその補集合の余次元1成分に限られ、その成分は有限個である（Sta0BE0）。局所 Noether だが非準コンパクトな場合は無限でも局所有限な和を許す定義が必要であり、ここでは扱わない。

主因子は部分群を作る

非零有理関数 $f,g$ について
$$ \operatorname{div}(fg)=\operatorname{div}(f)+\operatorname{div}(g),\qquad \operatorname{div}(1)=0 $$
である。したがって主因子の集合は $\operatorname{Div}(X)$ の部分群であり、def-divisor-class-group の商群が定まる。

付値の加法性からの証明

各素因子 $Z$ の一般点での離散付値について、$\operatorname{ord}_Z(fg)=\operatorname{ord}_Z(f)+\operatorname{ord}_Z(g)$ が成り立つ。Weil 因子の $[Z]$ の係数ごとにこの等式を適用して和を取れば最初の式を得る。また $\operatorname{ord}_Z(1)=0$ はすべての $Z$ で成り立つ。$f^{-1}$ に対しては $\operatorname{div}(f^{-1})=-\operatorname{div}(f)$ だから、主因子は加法について逆元も持つ。$\square$

たとえば複素アフィン直線 $\mathbb A^1_{\mathbb C}$ の座標を $t$ とすると、$t-a$ は点 $a$ で一位の零点を持ち、アフィン直線内に極はない。したがってアフィン直線上で $\operatorname{div}(t-a)=[a]$ である。同じ有理関数を射影直線へ延ばすと、無限遠点 $\infty$ に一位の極が現れ、$\operatorname{div}_{\mathbb P^1}(t-a)=[a]-[\infty]$ になる。どの空間上の因子を取るかで、極を数える場所が変わる。

最初の計算：アフィン空間と射影直線

アフィン空間の座標環 $\mathbb C[x_1,\ldots,x_n]$ は一意分解整域である。余次元1の既約閉集合は一つの既約多項式 $p$ の零点として現れ、その素因子は有理関数 $p$ の主因子である。従って因子類群は零になる。この計算は「素因子が存在しない」という意味ではない。素因子は豊富にあるが、すべての類が主因子として消える。

複素アフィン空間の因子類群

$n\ge1$ について $\operatorname{Cl}(\mathbb A^n_{\mathbb C})=0$ である。

一意分解による証明

$A=\mathbb C[x_1,\ldots,x_n]$ は一意分解整域であり、余次元1の素イデアルは既約元 $p$ で生成される。対応する素因子 $Z=V(p)$ は $\operatorname{div}(p)=[Z]$ である。任意の Weil 因子はこのような $[Z]$ の有限な整数線形結合だから、各項が主因子であり、全体も主因子である。商群 $\operatorname{Cl}$ は零群となる。$\square$

射影直線では事情が変わる。アフィン座標 $t$ の零点 $a$ は、主因子の中で無限遠点の極と組になり、$[a]$ 単独は消えない。複素射影直線 $\mathbb P^1_{\mathbb C}$ 上の Weil 因子 $D=\sum n_p[p]$ の次数を $\deg D=\sum n_p$ とする。

射影直線の因子類群

次数写像は同型
$$ \deg:\operatorname{Cl}(\mathbb P^1_{\mathbb C})\xrightarrow{\ \sim\ }\mathbb Z $$
を与える。$[\infty]$ の類が $1$ に対応する。

零点と無限遠点を比べる証明

有限点 $a\in\mathbb C$ ごとに $\operatorname{div}(t-a)=[a]-[\infty]$ だから、任意の因子 $D$ は $\deg(D)[\infty]$ と線形同値である。よって次数写像が同型であるには、主因子の次数が $0$ であることを確認すればよい。非零有理関数を $f(t)=P(t)/Q(t)$ と互いに素な多項式の比で書く。有限点での零点の重複度の和は $\deg P$、極の重複度の和は $\deg Q$ である。無限遠での次数は $\deg Q-\deg P$ なので、全点の次数を足すと $0$ になる。したがって線形同値な因子の次数は等しく、$m[\infty]$ が主因子となるのは $m=0$ のときだけである。$\square$

この二例の対比から、$\operatorname{Cl}(X)$ は多様体の次元だけで決まらないと分かる。$\mathbb A^1$ と $\mathbb P^1$ はともに一次元で滑らかだが、前者の類群は $0$、後者の類群は $\mathbb Z$ である。無限遠に加えた点が、主因子の零点と極の釣り合い方を変えている。

余次元2以上を除いても変わらない

因子類群は、主に余次元1の位置で空間を見る。正規性の下では、余次元2以上の閉集合を取り除いても、素因子の一般点とその局所環、有理関数体は残る。これが特異点を含む空間で特に役立つ（Sta0EBM）。

余次元2の除去

$Z\subset X$ を閉集合とし、そのすべての既約成分の余次元が $2$ 以上であるとする。$U=X\setminus Z$ とすると、制限は同型
$$ \operatorname{Cl}(X)\xrightarrow{\ \sim\ }\operatorname{Cl}(U) $$
を与える。

余次元1の一般点を比較する証明

$Z$ に余次元1の成分がないため、$X$ の素因子の一般点はすべて $U$ にある。素因子を $U$ に制限する対応は、逆向きには $U$ の素因子の $X$ 内の閉包を取ることで戻せる。両方向は互いに逆で、Weil 因子群の同型 $\operatorname{Div}(X)\cong\operatorname{Div}(U)$ を得る。$U$ は $X$ の稠密な開集合だから $K(U)=K(X)$ であり、各素因子の一般点の局所環も変わらない。従ってどの有理関数の付値も同じで、主因子部分群はこの同型の下で一致する。商を取れば主張の同型になる。$\square$

例として $\mathbb A^2_{\mathbb C}$ から原点だけを除いた $U=\mathbb A^2_{\mathbb C}\setminus\{0\}$ を取る。原点の余次元は $2$ だから、上の命題と prop-divisor-class-affine により $\operatorname{Cl}(U)=0$ である。原点を除いたことは空間の位相を変えるが、因子類群の計算には現れない。因子類群が空間のすべての情報を分類するわけではないことも、この例から分かる。
余次元1の閉集合を除く場合は同じ結論にならない。たとえば $\mathbb P^1$ から $\infty$ を除くと $\mathbb A^1$ になり、類群は $\mathbb Z$ から $0$ に変わる。取り除いた素因子の類が消えるためである。開部分集合への制限を使うときは、消した集合の余次元を確認する必要がある。

開部分集合への制限の核

$U\subset X$ を空でない開部分集合とする。制限写像 $\operatorname{Cl}(X)\to\operatorname{Cl}(U)$ は全射であり、その核は $X\setminus U$ に含まれる素因子の類で生成される。

閉包と主因子の制限

$U$ の素因子を $X$ の中で閉包にすると、$X$ の素因子になる。従って Weil 因子の制限 $\operatorname{Div}(X)\to\operatorname{Div}(U)$ は全射で、制限すると消える生成元は $X\setminus U$ に含まれる素因子だけである。また $K(U)=K(X)$ であり、$\operatorname{div}_X(f)$ を制限したものは $\operatorname{div}_U(f)$ である。よって因子類群への写像も全射となる。もし $D$ の類が $U$ で零なら、ある $f\in K(X)^\times$ について $D|_U=\operatorname{div}_U(f)$ である。$D-\operatorname{div}_X(f)$ は $U$ に制限すると零なので、補集合内の素因子の整数線形結合である。これが核の生成元を与える。$\square$

この命題は、空間を開いたときに「どの因子類が失われるか」を具体的に示す。$X=\mathbb P^1_{\mathbb C}$、$U=\mathbb A^1_{\mathbb C}$ なら、補集合は一つの素因子 $[\infty]$ で、その類が $\operatorname{Cl}(X)\cong\mathbb Z$ を生成する。これを零にすると $\operatorname{Cl}(U)=0$ になる。補集合が余次元2以上なら生成元となる素因子がなく、前の命題の同型が得られる。

Picard 群との関係

Picard群 $\operatorname{Pic}(X)$ の元は可逆 $\mathcal O_X$ 加群の同型類で、演算はテンソル積である。可逆層 $\mathcal L$ の非零有理切断 $s$ を選ぶと、その零点と極から Weil 因子 $\operatorname{div}_{\mathcal L}(s)$ を作れる。別の非零有理切断は $fs$（$f\in K(X)^\times$）の形なので、因子の差は $\operatorname{div}(f)$ である。したがって類は切断の選び方に依存せず、自然な準同型
$$ \operatorname{Pic}(X)\longrightarrow\operatorname{Cl}(X) $$
が得られる（Sta02SE）。

有理切断の選び方は類を変えない

可逆層 $\mathcal L$ の二つの非零有理切断 $s,s'$ は同じ $\operatorname{Cl}(X)$ の元を与える。

切断の比を取る証明

整スキームの一般点で $\mathcal L$ は一次元の $K(X)$ ベクトル空間になる。よって $s'=fs$ を満たす $f\in K(X)^\times$ が一意にある。各素因子 $Z$ の一般点で局所生成元を一つ選ぶと、$s$ と $s'$ の係数は $f$ 倍だけ異なる。その付値の差は $\operatorname{ord}_Z(f)$ であるから、$\operatorname{div}_{\mathcal L}(s')-\operatorname{div}_{\mathcal L}(s)=\operatorname{div}(f)$。右辺は主因子なので商群では零である。$\square$

正規な $X$ ではこの写像は単射である。さらに $X$ のすべての局所環が一意分解整域なら全射でもあり、$\operatorname{Pic}(X)\cong\operatorname{Cl}(X)$ となる（Sta02SE）。特に滑らかな複素代数多様体では局所環が正則局所環であり、一意分解整域なので両群は一致する。ただしこれは条件付きの一致である。正規な特異多様体では、Weil 因子が局所的に一つの方程式で切り出せず、Picard 群の像に入らないことがある。
この差は二種類の因子の差として読める。Weil 因子は余次元1の既約部分図形を形式的に足したもの、Cartier因子は局所的な有理関数の方程式で与えるものである。局所的に一意分解できるなら、すべての Weil 因子を Cartier 的に扱える。特異点ではその局所的な方程式が存在しない場合があり、因子類群には Picard 群では見えない類が残る。
一方、正規な $X$ 上では、因子類群は階数1の反射的層の同型類とも対応する（Sta0EBM）。可逆層はその特別な場合である。この見方は特異点を持つ複素代数多様体で便利だが、反射的層がすべて可逆とは限らないので、$\operatorname{Pic}(X)$ と $\operatorname{Cl}(X)$ を無条件に同一視してはいけない。

使うときの注意

因子類群の定義では $X$ を整スキームとした。成分が複数ある空間では有理関数体が一つとは限らず、因子や主因子の定義を成分ごとに整理する必要がある。正規性も、余次元1の局所環を離散付値環として説明するための仮定である。一般の局所 Noether 整スキームにも Weil 因子類群はあるが、その局所的な次数は正規な場合ほど単純でない。
また、任意の射 $Y\to X$ に沿って Weil 因子をそのまま引き戻せるわけではない。逆像が期待した余次元を持たない場合や、局所的な方程式がない場合がある。Cartier 因子や可逆層の引き戻しとは条件が異なる。$\operatorname{Cl}(X)$ を計算するとき、開部分集合への制限と一般の射の引き戻しを混同しない。
類群が $0$ という結論も、$X$ に因子や曲線がないという意味ではない。すべての Weil 因子が主因子と線形同値になるという意味である。逆に類群が非零でも、個々の因子の係数はそれだけでは分からない。計算には、素因子の候補、有理関数の零点・極、そして取り除いた集合の余次元を具体的に調べる。

反例：仮定を外すと崩れること

この記事の命題は「余次元 $2$ 以上」「射影直線（完備）」「局所環が一意分解整域」「正規」「整」といった仮定の上に立つ。仮定を一つ外すと結論が崩れる反例を並べる。

外す条件	反例	成り立たなくなること
除く集合の余次元が $2$ 以上（prop-divisor-class-codim-two）	$\mathbb P^1_{\mathbb C}$ から $\infty$ を除く	$\operatorname{Cl}(X)\cong\operatorname{Cl}(U)$
射影的（prop-divisor-class-p1）	$\mathbb A^1_{\mathbb C}$ の因子 $[a]$	主因子の次数は $0$、次数が $\operatorname{Cl}$ 上で定まる
局所環が一意分解整域（$\operatorname{Pic}\cong\operatorname{Cl}$）	二次錐 $X=\operatorname{Spec}\mathbb C[x,y,z]/(xy-z^2)$	$\operatorname{Pic}(X)\to\operatorname{Cl}(X)$ が全射
正規	尖点曲線 $y^2=x^3$ の原点	余次元 $1$ の点の局所環が離散付値環
整	$X=V(xy)\subset\mathbb A^2_{\mathbb C}$	有理関数が一つの体 $K(X)$ をなす

各行の確認は次のとおりである。

余次元 $1$ の集合を除く：prop-divisor-class-p1 により $\operatorname{Cl}(\mathbb P^1_{\mathbb C})\cong\mathbb Z$、prop-divisor-class-affine により $\operatorname{Cl}(\mathbb A^1_{\mathbb C})=0$ で、同型でない。除いた $\{\infty\}$ は余次元 $1$ の素因子で、prop-divisor-class-open の核の生成元になっている。
射影的を外す：$\mathbb A^1_{\mathbb C}$ では $\operatorname{div}(t-a)=[a]$ が主因子で、その次数は $1\ne0$ である。極を置く無限遠点がないため、prf-divisor-class-p1 の「零点の個数と極の個数が釣り合う」計算が成り立たない。次数 $1$ の因子 $[a]$ と次数 $0$ の因子 $0$ が線形同値になり、次数は $\operatorname{Cl}(\mathbb A^1_{\mathbb C})$ 上の写像として定まらない。
局所環の一意分解性を外す：$A=\mathbb C[x,y,z]/(xy-z^2)$ は正規整域で、原点 $P$ の局所環は一意分解整域でない。直線 $Y=V(y,z)$（素イデアル $\mathfrak p=(y,z)$）を考える。$Y$ の一般点では $x$ が単元で $y=z^2x^{-1}$ だから $z$ が一意化元で、$\operatorname{ord}_Y(y)=2$ である。$V(y)=V(y,z^2)$ の台は $Y$ だけなので $\operatorname{div}(y)=2[Y]$。他方、$A$ は $x,y,z$ を一次とする次数付き環で、関係式は二次だから $A_1=\mathbb Cx\oplus\mathbb Cy\oplus\mathbb Cz$ である。$\mathfrak m=(x,y,z)$ とすると $\mathfrak m\mathfrak p$ は二次以上の部分に入るので、$\mathfrak p/\mathfrak m\mathfrak p$ は $y,z$ の類で二次元になる。Nakayama の補題により $\mathfrak pA_{\mathfrak m}$ は一元で生成されず、$Y$ は $P$ の近くで一つの方程式で切り出せない。もし $[Y]$ の類が $\operatorname{Pic}(X)$ の像に入れば、有理切断を取り替えて $[Y]=\operatorname{div}_{\mathcal L}(s)$ とでき、$P$ の近くの局所枠で書くと $[Y]=\operatorname{div}(g)$（$g\in K(X)^\times$）となる。$A_{\mathfrak m}$ は正規 Noether 整域なので高さ $1$ の素イデアルでの局所化の共通部分に等しい。$\operatorname{div}(g)\ge0$ から $g\in A_{\mathfrak m}$、$\operatorname{ord}_Y(g)=1$ から $g\in\mathfrak pA_{\mathfrak m}$ であり、$h\in\mathfrak pA_{\mathfrak m}$ なら $\operatorname{div}(h/g)\ge0$ から $h\in gA_{\mathfrak m}$ となる。よって $\mathfrak pA_{\mathfrak m}=gA_{\mathfrak m}$ が一元で生成され、上に反する。したがって $[Y]$ の類は $\operatorname{Pic}(X)$ の像に入らない。特に $[Y]$ は $\operatorname{Cl}(X)$ で零でなく、$2[Y]=0$ である。
正規性を外す：尖点曲線 $C=V(y^2-x^3)$ の原点は余次元 $1$ の点（曲線の閉点）だが、その局所環の余接空間 $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ は $x,y$ の類で二次元である（$y^2-x^3\in(x,y)^2$）。離散付値環の極大イデアルは一元で生成され余接空間は一次元なので、この局所環は離散付値環でなく、def-divisor-class-group の $\operatorname{ord}_Z$ がそのままでは定義できない。
整を外す：$V(xy)$ の座標環 $\mathbb C[x,y]/(xy)$ では $x\ne0$、$y\ne0$ だが $xy=0$ である。全商環は $\mathbb C(x)\times\mathbb C(y)$ で体でなく、$x$ は零因子なので逆元をもたない。一つの有理関数体の乗法群 $K(X)^\times$ で主因子を定める定義はこのままでは使えない。