超関数のテンソル積

$x\notin K$ なら $H(x,\cdot)=0$ なので $h(x)=0$ であり、$\operatorname{supp}h\subset K$ である。

連続性：$G\in\mathcal{D}(X\times Y)$ で $\operatorname{supp}G\subset K\times L$ のものについて、$g(x):=\langle S,G(x,\cdot)\rangle$ は連続である。実際 $G(x',\cdot)-G(x,\cdot)\in\mathcal{D}_L(Y)$ なので $|g(x')-g(x)|\le C_L\max_{|\beta|\le N_L}\sup_y|\partial_y^\beta G(x',y)-\partial_y^\beta G(x,y)|$ であり、$\partial_y^\beta G$ は台がコンパクトな連続関数なので一様連続で、右辺は $x'\to x$ で $0$ に近づく。

偏微分：$e_i$ を第 $i$ 単位ベクトル、$t\ne0$ とし、$q_t:=\bigl(H(x+te_i,\cdot)-H(x,\cdot)\bigr)/t-\partial_{x_i}H(x,\cdot)\in\mathcal{D}_L(Y)$ とおく。微分積分学の基本定理により、各 $y$ と $\beta$ について $\partial_y^\beta q_t(y)=\int_0^1\bigl(\partial_{x_i}\partial_y^\beta H(x+ste_i,y)-\partial_{x_i}\partial_y^\beta H(x,y)\bigr)\,ds$ と書ける。$\partial_{x_i}\partial_y^\beta H$ の一様連続性から $\sup_y|\partial_y^\beta q_t(y)|\to0$（$t\to0$）であり、$|\langle S,q_t\rangle|\le C_L\max_{|\beta|\le N_L}\sup|\partial_y^\beta q_t|\to0$ である。よって $\partial_ih(x)$ が存在して $\langle S,\partial_{x_i}H(x,\cdot)\rangle$ に等しい。$\partial_{x_i}H$ も台が $K\times L$ に入るテスト関数なので、同じ議論を繰り返せば、すべての $\alpha$ について $\partial^\alpha h$ が存在して連続であり、1 の式が成り立つ。

段 1（平滑化）：$\rho$、$\sigma$ を $\mathbb{R}^m$、$\mathbb{R}^n$ 上の軟化子（軟化子 の記事の定義「軟化子」）とし、$0<\varepsilon\le r$ について $\kappa_\varepsilon(x,y):=\rho_\varepsilon(x)\sigma_\varepsilon(y)$、$H_\varepsilon:=H*\kappa_\varepsilon$ とおく。$\kappa_\varepsilon\ge0$、$\int\kappa_\varepsilon=1$ で、台は $|w|\le\sqrt2\,\varepsilon$ に入る。$H_\varepsilon(z)=\int H(z-w)\kappa_\varepsilon(w)\,dw$ を積分記号の下で微分して $\partial^\gamma H_\varepsilon=(\partial^\gamma H)*\kappa_\varepsilon$ であり、$|\partial^\gamma H_\varepsilon(z)-\partial^\gamma H(z)|\le\sup_{|w|\le\sqrt2\varepsilon}|\partial^\gamma H(z-w)-\partial^\gamma H(z)|$ は $\partial^\gamma H$ の一様連続性から $z$ について一様に $0$ に近づく。

段 2（Riemann 和）：$\varepsilon$ を固定する。$H_\varepsilon(x,y)=\iint H(a,b)\rho_\varepsilon(x-a)\sigma_\varepsilon(y-b)\,da\,db$ である。$j\ge1$ について $\mathbb{R}^{m+n}$ を一辺 $1/j$ の半開立方体 $Q$ に分け、その中心を $c_Q=(a_Q,b_Q)$ とし、$R_j(x,y):=\sum_QH(c_Q)\rho_\varepsilon(x-a_Q)\sigma_\varepsilon(y-b_Q)j^{-(m+n)}$ とおく。和は $c_Q\in K\times L$ の有限個だけで、各項は $\mathcal{D}_{K_\varepsilon}(X)$ と $\mathcal{D}_{L_\varepsilon}(Y)$ の元のテンソル積である。$G(x,y,a,b):=H(a,b)(\partial^\alpha\rho_\varepsilon)(x-a)(\partial^\beta\sigma_\varepsilon)(y-b)$ は台がコンパクトな連続関数なので一様連続であり、その $(a,b)$ についての連続度を $\omega$ とする。$\partial_x^\alpha\partial_y^\beta R_j(x,y)$ は $(a,b)\mapsto G(x,y,a,b)$ の Riemann 和、$\partial_x^\alpha\partial_y^\beta H_\varepsilon(x,y)$ はその積分であり、差は $K\times L$ の $\sqrt{m+n}$ 近傍と交わる立方体の上の和で $\omega(\sqrt{m+n}/j)$ と体積の積で押さえられる。よって $(x,y)$ について一様に、$j\to\infty$ で $0$ に近づく。

段 3：$k$ ごとに、段 1 で $|\gamma|\le k$ の誤差が $1/(2k)$ 未満になる $\varepsilon$ を選び、次に段 2 で $|\gamma|\le k$ の誤差が $1/(2k)$ 未満になる $j$ を選んで $H_k:=R_j$ とすればよい。台は $K_r\times L_r$ に入る。

2．両辺は超関数で、$\varphi\otimes\psi$ での値はともに $\langle T,a\varphi\rangle\langle S,b\psi\rangle$ である。thm-tpd-fubini の 3 の一意性を、$aT$ と $bS$ について使う。

3．$\langle T_j\otimes S,H\rangle=\langle T_j,h\rangle\to\langle T,h\rangle=\langle T\otimes S,H\rangle$ である。$S_j\to S$ の場合は thm-tpd-fubini の 2 で $S_j$ を外側にして同じことをする。

4．$\varphi\in\mathcal{D}(X)$ を固定すると、$\Psi\mapsto\langle(T\otimes S)\otimes R,\varphi\otimes\Psi\rangle$ は $\mathcal{D}(Y\times Z)$ 上の超関数で（評価は $\varphi$ を固定した thm-tpd-fubini の 1 から従う）、$\psi\otimes\omega$ での値は $\langle T,\varphi\rangle\langle S,\psi\rangle\langle R,\omega\rangle$ である。一意性からこれは $\langle T,\varphi\rangle\langle S\otimes R,\Psi\rangle$ に等しい。よって $(T\otimes S)\otimes R$ は $\varphi\otimes\Psi$ で $T\otimes(S\otimes R)$ と同じ値をとり、$X$ と $Y\times Z$ についての一意性から両者は等しい。