可除群

可除群なら $n=p$ として $pD=D$ である。逆に、すべての素数 $p$ で $pD=D$ とする。整数 $m,n\ge1$ について $(mn)D=m(nD)$ であるから、$mD=nD=D$ なら $(mn)D=D$ である。$1\cdot D=D$ であり、$2$ 以上の整数は素数の積なので、素因数分解の因数の個数についての帰納法により、すべての $n\ge1$ で $nD=D$ である。$\square$

1 は アーベル群 の記事の命題「可除群の像と可除群からの準同型」の 1 である（$f(a)=f(nb)=nf(b)$）。
2：$n\ge1$ とし、$(a_\lambda)_\lambda$ を直積の元とする。各 $\lambda$ について $nb_\lambda=a_\lambda$ となる $b_\lambda\in D_\lambda$ をとり（$a_\lambda=0$ なら $b_\lambda=0$ とする）、$b:=(b_\lambda)_\lambda$ とおくと、演算は成分ごとなので $nb=(a_\lambda)_\lambda$ である。$(a_\lambda)_\lambda$ が直和の元、すなわち有限個の $\lambda$ を除いて $a_\lambda=0$ なら、$b$ も同じ $\lambda$ を除いて $0$ なので直和の元である。
3：$A$ は可換なので、$\sum_\lambda D_\lambda$ の元は有限和 $a=a_1+\cdots+a_k$（$a_j\in D_{\lambda_j}$）の形に書ける。$n\ge1$ について $nb_j=a_j$ となる $b_j\in D_{\lambda_j}$ をとれば、$b:=b_1+\cdots+b_k\in\sum_\lambda D_\lambda$ は $nb=a$ を満たす。$\square$

$a\in D$、$n\ge1$ について $nb=a$ を満たす $b\in D$ は一意である。実際 $nb=nb'$ なら $n(b-b')=0$ であり、$D$ は捩れがないので $b=b'$ である。この $b$ を $a/n$ と書き、$m\in\mathbb{Z}$、$n\ge1$ について
$$ \frac mn\cdot a:=m\,(a/n) $$
と定める。これは分数の表し方によらない。実際 $m/n=m'/n'$ とすると $mn'=m'n$ であり、$nn'\bigl(m(a/n)\bigr)=mn'a$、$nn'\bigl(m'(a/n')\bigr)=m'na$ は等しいので、捩れがないことから $m(a/n)=m'(a/n')$ である。
ベクトル空間の公理 $(q+q')a=qa+q'a$、$q(a+a')=qa+qa'$、$(qq')a=q(q'a)$、$1a=a$ は、両辺に $q,q'$ の分母の積 $N\ge1$ を掛けると整数倍についての等式になって成り立ち、$N$ 倍写像が単射であることから元の等式が従う。たとえば $q=m/n$、$q'=m'/n'$、$N=nn'$ とすると、$N\bigl((q+q')a\bigr)=(mn'+m'n)a=N(qa)+N(q'a)=N(qa+q'a)$ である。$m\in\mathbb{Z}$ については $\frac m1\cdot a=m(a/1)=ma$ なので、整数倍を延長している。一意性：$\mathbb{Q}$ 上の構造が整数倍を延長するなら、$n\bigl(\tfrac1n a\bigr)=\bigl(n\cdot\tfrac1n\bigr)a=a$ なので $\tfrac1na$ は $a/n$ に等しく、$\tfrac mna=m\bigl(\tfrac1na\bigr)$ も決まる。
逆に、$\mathbb{Q}$ 上のベクトル空間 $V$ では $na=0$（$n\ge1$）なら $a=\tfrac1n(na)=0$ なので捩れがなく、ex-divisible-group-numbers により可除である。最後に、$\mathbb{Q}$ 上のベクトル空間は基底 $(v_i)_{i\in I}$ をもち（Zornの補題による）、$(q_i)_i\mapsto\sum_iq_iv_i$ が $\mathbb{Q}^{(I)}$ から $D$ への同型を与える。$\square$

thm-divisible-group-injective の 1 により $D$ は入射的なので、恒等写像 $\mathrm{id}_D\colon D\to D$ は群準同型 $r\colon G\to D$ で $r|_D=\mathrm{id}_D$ を満たすものに延びる。$K:=\ker r$ とおく。$g\in G$ について $r(g)\in D$ なので $r(r(g))=r(g)$ であり、$g=r(g)+\bigl(g-r(g)\bigr)$ で $r\bigl(g-r(g)\bigr)=0$ である。よって $G=D+K$ である。$d\in D\cap K$ なら $d=r(d)=0$ なので $D\cap K=\{0\}$ である。したがって $G=D\oplus K$ である。$\square$

1：prop-divisible-group-operations の 3 により $d(G)$ は可除群であり、定義から可除な部分群をすべて含む。
2：prop-divisible-group-summand により $G=d(G)\oplus R$ となる $R$ がある。そのような $R$ について、$R$ の可除な部分群 $E$ をとると、$d(G)+E$ は可除群であり（prop-divisible-group-operations の 3）、1 により $d(G)+E\subset d(G)$、よって $E\subset d(G)\cap R=\{0\}$ である。したがって $R$ は被約群である。射影 $G=d(G)\oplus R\to R$ は全射で核が $d(G)$ なので、群準同型 の記事の定理「群の第1同型定理」により $R\cong G/d(G)$ である。$\square$

段階 1（捩れ部分の分離）。$T:=T(D)$ は可除である。実際、$a\in T$、$ma=0$（$m\ge1$）、$n\ge1$ とし、$nb=a$ となる $b\in D$ をとると $(mn)b=ma=0$ なので $b\in T$ である。prop-divisible-group-summand により $D=T\oplus E$ となる $E$ があり、$E\cong D/T$ は可除群の剰余群なので可除であり（prop-divisible-group-operations の 1）、捩れがない（アーベル群 の記事の命題「捩れ元の全体は部分群」の 2）。prop-divisible-group-torsion-free により $E\cong\mathbb{Q}^{(I)}$、$I$ の濃度は $D/T$ の次元である。
段階 2（素数ごとの分解）。素数 $p$ について $T_p:=\{a\in T\mid \text{ある }k\ge0\text{ で }p^ka=0\}$ とおくと、$T_p$ は部分群であり（$a,b\in T_p$、$p^ka=p^lb=0$ なら $p^{\max(k,l)}(a-b)=0$）、$T=\bigoplus_pT_p$ である。実際、$a\in T$、$ma=0$、$m=p_1^{k_1}\cdots p_s^{k_s}$（相異なる素数）とし、$m_j:=m/p_j^{k_j}$ とおくと、$m_1,\dots,m_s$ の最大公約数は $1$ なので $\sum_ju_jm_j=1$ となる整数 $u_j$ があり（Bézoutの等式）、$a=\sum_ju_jm_ja$ で $p_j^{k_j}(m_ja)=ma=0$ だから $m_ja\in T_{p_j}$ である。和が直和であることを示す。有限個の $a_p\in T_p$ について $\sum_pa_p=0$ とし、素数 $q$ を 1 つ固定すると $a_q=-\sum_{p\neq q}a_p$ である。$p^{k_p}a_p=0$ とすると、$q$ と互いに素な整数 $M:=\prod_{p\neq q}p^{k_p}$ が右辺を $0$ にするので $Ma_q=0$ であり、$q^ka_q=0$ となる $k$ もある。$uM+vq^k=1$ となる整数 $u,v$ をとれば $a_q=uMa_q+vq^ka_q=0$ である。各 $T_p$ は直和因子なので射影 $T\to T_p$ の像であり、可除である（prop-divisible-group-operations の 1）。また $D[p]=T_p[p]$ である。
段階 3（可除な $p$ 群）。$P:=T_p$ とし、$P[p]$ を $\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 上のベクトル空間とみて基底 $(b_j)_{j\in J}$ をとる。$C:=\mathbb{Z}(p^\infty)^{(J)}$ とし、$c_j\in C$ を $j$ 成分が $1/p+\mathbb{Z}$ で他が $0$ の元とする。$\mathbb{Z}(p^\infty)[p]=\{0,1/p,\dots,(p-1)/p\}+\mathbb{Z}$ なので、$C[p]$ は $(c_j)_j$ を基底とする $\mathbb{F}_p$ 上のベクトル空間であり、$c_j\mapsto b_j$ は同型 $\varphi_0\colon C[p]\to P[p]$ を定める。$P$ は可除なので入射的であり（thm-divisible-group-injective の 1）、$\varphi_0$ は群準同型 $\varphi\colon C\to P$ に延びる。
$\varphi$ は単射である。$x\in C$、$x\neq0$ とすると $C$ の元の位数は $p$ の冪なので、$x$ の位数を $p^k$（$k\ge1$）として $y:=p^{k-1}x$ は $C[p]$ の $0$ でない元であり、$p^{k-1}\varphi(x)=\varphi(y)=\varphi_0(y)\neq0$ なので $\varphi(x)\neq0$ である。$\varphi(C)\cong C$ は可除なので、prop-divisible-group-summand により $P=\varphi(C)\oplus K$ となる $K$ がある。$K$ の元の位数も $p$ の冪であり、$K[p]\subset P[p]=\varphi_0(C[p])\subset\varphi(C)$ と $K\cap\varphi(C)=\{0\}$ から $K[p]=\{0\}$ である。$K$ に $0$ でない元 $z$（位数 $p^k$、$k\ge1$）があれば $p^{k-1}z$ は $K[p]$ の $0$ でない元になるので、$K=\{0\}$、すなわち $P=\varphi(C)\cong\mathbb{Z}(p^\infty)^{(J)}$ である。$J$ の濃度は $P[p]=D[p]$ の次元である。
段階 1〜3 を合わせて主張の分解を得る。濃度が同型類だけで決まることは、同型 $D\cong D'$ が $D/T(D)\cong D'/T(D')$（$\mathbb{Q}$ 線形同型）と $D[p]\cong D'[p]$（$\mathbb{F}_p$ 線形同型）を誘導し、ベクトル空間の次元が同型で保たれることによる。逆に $D\cong\mathbb{Q}^{(I)}\oplus\bigoplus_p\mathbb{Z}(p^\infty)^{(I_p)}$ と書けているときは、右辺の捩れ部分は $\bigoplus_p\mathbb{Z}(p^\infty)^{(I_p)}$（$\mathbb{Q}^{(I)}$ は捩れがなく $\mathbb{Z}(p^\infty)^{(I_p)}$ は捩れ群）、その商は $\mathbb{Q}^{(I)}$、$[p]$ 部分は $D[p]\cong(\mathbb{Z}(p^\infty)[p])^{(I_p)}\cong\mathbb{F}_p^{(I_p)}$ になるので、$I$ の濃度は $D/T(D)$ の次元、$I_p$ の濃度は $D[p]$ の次元として、分解の取り方によらずに読み取れる。$\square$