形式的冪級数

同義語：形式級数formal power series

概要

定義

以下、$R$ は単位元 $1$ をもつ可換環とし、自然数 $\mathbb{N}$ は $0$ を含むものとする。

形式的冪級数

$R$ 係数の 形式的冪級数（formal power series）とは、係数列 $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$、すなわち写像 $a\colon\mathbb{N}\to R$ のことである。これを
$$ f(X)=\sum_{n\ge 0}a_nX^n $$
と表し、全体を $R[\![X]\!]$ と書く。$X$ は値を代入する数ではなく、係数の位置を記録する形式的な記号である。$f$ の $X^n$ の係数を $[X^n]f:=a_n$ と書く。
二つの級数 $f=\sum_{n\ge0}a_nX^n$、$g=\sum_{n\ge0}b_nX^n$ の和と積を
$$ [X^n](f+g):=a_n+b_n,\qquad [X^n](fg):=\sum_{i=0}^{n}a_i b_{n-i} $$
で定める。積の右辺は各 $n$ について有限和なので、$R$ に位相や収束の概念がなくても意味をもつ。この積を Cauchy積 という。

二つの形式的冪級数が等しいとは、すべての次数の係数が等しいことである。したがって形式的冪級数の等式は、係数ごとに検証できる。

直感――無限に続く係数表

形式的冪級数は「無限次数の多項式」とよく説明されるが、本質は無限和の収束ではなく、係数を次数ごとに並べた表にある。ある固定した次数 $n$ の係数を計算するとき、加法では一つの係数、積では $n+1$ 個の積しか現れない。この局所有限性が、多項式と同じ代数計算を無限列に拡張できる理由である。

形式的冪級数環

上の加法とCauchy積により $R[\![X]\!]$ は単位元をもつ可換環になる。零元はすべての係数が $0$ の級数、単位元は定数級数 $1$ である。また、各多項式を高い次数の係数がすべて $0$ の級数とみなすことで、$R[X]$ は $R[\![X]\!]$ の部分環になる。

証明

加法に関する可換群の公理は係数ごとの加法から従う。積の結合則を確かめる。$h=\sum_{n\ge0}c_nX^n$ とすると、任意の $n$ について
$$ \begin{aligned} [X^n]((fg)h) &=\sum_{k=0}^{n}\left(\sum_{i=0}^{k}a_i b_{k-i}\right)c_{n-k}\\ &=\sum_{\substack{i,j,\ell\ge0\\i+j+\ell=n}}a_i b_j c_\ell\\ &=\sum_{i=0}^{n}a_i\left(\sum_{j=0}^{n-i}b_jc_{n-i-j}\right) =[X^n](f(gh)). \end{aligned} $$
途中の和は添字 $i+j+\ell=n$ を満たす有限個の三つ組にわたるので、並べ替えてよい。分配則も
$$ [X^n](f(g+h))=\sum_{i=0}^{n}a_i(b_{n-i}+c_{n-i}) =[X^n](fg+fh) $$
から従う。$R$ の乗法が可換なのでCauchy積も可換であり、$[X^n](1f)=a_n$ だから $1$ が積の単位元である。最後に、有限個しか非零係数をもたない級数どうしの演算は通常の多項式の演算と一致する。よって主張が従う。

例と反例

多項式と幾何級数

$R[X]$ の元はすべて $R[\![X]\!]$ の元である。$R$ が零環でなければ
$$ 1+X+X^2+X^3+\cdots $$
は非零係数を無限個もつので多項式ではないが、形式的冪級数ではある。Cauchy積を係数ごとに計算すると
$$ (1-X)(1+X+X^2+\cdots)=1 $$
となる。これは解析的な極限を取った等式ではなく、左辺の正次数の係数がそれぞれ $1-1=0$ になるという代数的等式である。

収束しない級数も扱える

$$ \sum_{n\ge0}n!X^n\in\mathbb{R}[\![X]\!] $$
は正当な形式的冪級数である。これを実変数の冪級数とみなすと収束半径は $0$ だが、形式的冪級数としての存在や加減乗算には影響しない。したがって「形式的冪級数である」ことから、$X$ に非零の数を代入できるとは限らない。

係数環の零因子は残る

$R=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ とする。定数級数 $2$ と $3$ はどちらも非零だが、$R[\![X]\!]$ で $2\cdot3=0$ である。これは $R[\![X]\!]$ が係数環 $R$ の零因子を消さないことを示す反例であり、「任意の環 $R$ に対して $R[\![X]\!]$ は整域である」という主張を破る。

基本的な性質

単元の判定

定数項による単元判定

$f=\sum_{n\ge0}a_nX^n\in R[\![X]\!]$ が単元であるための必要十分条件は、定数項 $a_0$ が $R$ の単元であることである。

証明

$fg=1$ となる $g=\sum_{n\ge0}b_nX^n$ が存在すれば、定数項を比較して $a_0b_0=1$ となるので $a_0$ は単元である。
逆に $a_0$ が単元であるとする。$fg=1$ となる係数 $b_n$ を帰納的に構成する。まず $b_0:=a_0^{-1}$ とおく。$n\ge1$ に対し、$b_0,\dots,b_{n-1}$ が定まったなら
$$ b_n:=-a_0^{-1}\sum_{i=1}^{n}a_i b_{n-i} $$
と定める。このとき
$$ [X^n](fg)=a_0b_n+\sum_{i=1}^{n}a_i b_{n-i}=0 $$
であり、定数項は $a_0b_0=1$ である。したがって全次数の係数を比較して $fg=1$ である。よって $f$ は単元である。

この命題から、$1-X$ の逆元が $\sum_{n\ge0}X^n$ であることが改めて分かる。一方、$\mathbb{Z}[\![X]\!]$ では $X$ も $2+X$ も単元ではない。前者の定数項は $0$、後者の定数項は $\mathbb{Z}$ の非単元 $2$ だからである。

整域性

非零級数 $f=\sum a_nX^n$ に対し、$a_n\ne0$ となる最小の $n$ を $X$ に関する位数といい、$\operatorname{ord}_X(f)$ と書く。

整域性の保存と反映

$R[\![X]\!]$ が整域であるための必要十分条件は、$R$ が整域であることである。さらに $R$ が整域で非零級数 $f,g$ を取ると
$$ \operatorname{ord}_X(fg)=\operatorname{ord}_X(f)+\operatorname{ord}_X(g) $$
が成り立つ。

証明

$R[\![X]\!]$ が整域なら、その部分環である定数級数の環 $R$ も整域である。
逆に $R$ を整域とし、$r:=\operatorname{ord}_X(f)$、$s:=\operatorname{ord}_X(g)$ とおく。$n< r+s$ なら、$i+(n-i)=n$ なので各 $i$ について $i< r$ または $n-i< s$ であり、$a_i b_{n-i}=0$ である。ゆえに $[X^n](fg)=0$ である。一方、次数 $r+s$ では、$i< r$ または $r+s-i< s$ となる項は消え、唯一残る項は
$$ [X^{r+s}](fg)=a_r b_s $$
である。$R$ は整域で $a_r,b_s\ne0$ だから、この積は非零である。したがって位数の等式が成り立ち、特に非零級数の積は非零である。よって $R[\![X]\!]$ は整域である。

形式的代入

形式的冪級数には、数値を無条件に代入できるわけではない。しかし、定数項が $0$ の級数への代入は常に係数ごとに定義できる。

定数項が零の級数への代入

$g(X)\in XR[\![X]\!]$、すなわち $[X^0]g=0$ とする。このとき、任意の $f(T)=\sum_{k\ge0}a_kT^k\in R[\![T]\!]$ に対し
$$ f(g(X)):=\sum_{k\ge0}a_k g(X)^k $$
は $R[\![X]\!]$ の元として一意に定まる。さらに写像
$$ \Phi_g\colon R[\![T]\!]\to R[\![X]\!],\qquad f\mapsto f(g) $$
は $R$-代数準同型である。

証明

$g\in XR[\![X]\!]$ だから $g^k\in X^kR[\![X]\!]$ である。従って $X^n$ の係数には $k\le n$ の項しか寄与せず、
$$ [X^n]f(g)=\sum_{k=0}^{n}a_k[X^n]g^k $$
という有限和で各係数が一意に定まる。これで $f(g)$ はwell-definedである。
加法の保存は係数ごとの有限和から直ちに従う。$h(T)=\sum_{\ell\ge0}b_\ell T^\ell$ とすると、固定した $X^n$ の係数に寄与する $(k,\ell)$ は $k+\ell\le n$ を満たす有限個だけなので、有限和を並べ替えて
$$ f(g)h(g)=\sum_{k,\ell\ge0}a_kb_\ell g^{k+\ell} =\sum_{m\ge0}\left(\sum_{k=0}^{m}a_kb_{m-k}\right)g^m =(fh)(g) $$
を得る。また定数級数はそのまま保たれ、$T$ は $g$ に移る。よって $\Phi_g$ は $R$-代数準同型である。

代入条件を落とせない理由

たとえば $f(T)=1+T+T^2+\cdots$ に $T=1$ を形式的に代入しようとすると、定数項が $1+1+1+\cdots$ となり、一般の環では意味をもたない。したがって「任意の $g\in R[\![X]\!]$ に形式的代入できる」という主張は誤りである。係数環に追加の位相がある場合や $g$ の定数項が冪零である場合には代入を拡張できることがあるが、それは別の仮定を必要とする。

形式的な無限和

旧来の「部分的に無限和を取れる」という言い方は、係数ごとの有限性で正確に表せる。

係数ごとに有限な和

形式的冪級数の族 $(f_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ が係数ごとに有限であるとは、各 $n\in\mathbb{N}$ に対して $[X^n]f_\lambda\ne0$ となる $\lambda$ が有限個しかないことをいう。このとき
$$ [X^n]\left(\sum_{\lambda\in\Lambda}f_\lambda\right) :=\sum_{\lambda\in\Lambda}[X^n]f_\lambda $$
により無限和を定める。右辺は実際には有限和である。

たとえば $\sum_{k\ge0}X^k$ は、次数 $n$ に寄与する項が $X^n$ の一つだけなので定義できる。より一般に $h_k\in X^kR[\![X]\!]$ なら $\sum_{k\ge0}h_k$ は定義できる。形式的代入の証明も、この係数ごとの有限性を使っている。

完備化としての見方

切り詰め多項式による復元

各 $N\ge0$ に対し $f=\sum_{n\ge0}a_nX^n$ を $N$ 次まで切り詰める写像を考えると、自然な環同型
$$ R[\![X]\!]\cong\varprojlim_{N}R[X]/(X^{N+1}) $$
が得られる。

証明

$f$ から剰余類 $\sum_{n=0}^{N}a_nX^n\bmod X^{N+1}$ の族を作ると、$N+1$ 次での切り詰めをさらに $N$ 次で切り詰めたものは最初から $N$ 次で切り詰めたものに一致する。従って逆極限の元を与える。
逆に、互いに整合する剰余類の族 $(p_N)$ が与えられたとする。$p_N$ の $N$ 次以下の一意な代表を選ぶ。整合性により、$n\le N$ のとき $p_N$ の $X^n$ の係数は $N$ によらないので、これを $a_n$ とおける。こうして得た $\sum_{n\ge0}a_nX^n$ の切り詰めは各 $p_N$ に一致する。二つの構成は互いに逆であり、和と積も各切り詰めで保たれるので環同型である。

この表示は、$R[\![X]\!]$ が $X$ の高次項を順に無視する近似のすべてを同時に記録する環であることを表す。さらに $R$ がNoether環なら $R[\![X]\!]$ もNoether環であるが、この証明には上の初等的性質以上の議論が必要である Stacks00FM。

使われ方

組合せ論: 数列を母関数として符号化し、Cauchy積を畳み込みに対応させる。収束を要求しないため、数え上げの恒等式を係数比較で扱える Wil06。
可換環論・代数幾何学: 上の逆極限表示により、$R[\![X]\!]$ は $R[X]$ の $X$ 進完備化とみなせる。形式的近傍を記述する基本例である。
漸化式: 数列の漸化式を母関数の代数方程式へ移し、係数を復元する。
形式群・変形理論: 形式的代入と合成により、収束を前提としない座標計算を行う。