形式的冪級数

加法に関する可換群の公理は係数ごとの加法から従う。積の結合則を確かめる。$h=\sum_{n\ge0}c_nX^n$ とすると、任意の $n$ について
$$ \begin{aligned} [X^n]((fg)h) &=\sum_{k=0}^{n}\left(\sum_{i=0}^{k}a_i b_{k-i}\right)c_{n-k}\\ &=\sum_{\substack{i,j,\ell\ge0\\i+j+\ell=n}}a_i b_j c_\ell\\ &=\sum_{i=0}^{n}a_i\left(\sum_{j=0}^{n-i}b_jc_{n-i-j}\right) =[X^n](f(gh)). \end{aligned} $$
途中の和は添字 $i+j+\ell=n$ を満たす有限個の三つ組にわたるので、並べ替えてよい。分配則も
$$ [X^n](f(g+h))=\sum_{i=0}^{n}a_i(b_{n-i}+c_{n-i}) =[X^n](fg+fh) $$
から従う。$R$ の乗法が可換なのでCauchy積も可換であり、$[X^n](1f)=a_n$ だから $1$ が積の単位元である。最後に、有限個しか非零係数をもたない級数どうしの演算は通常の多項式の演算と一致する。よって主張が従う。

$fg=1$ となる $g=\sum_{n\ge0}b_nX^n$ が存在すれば、定数項を比較して $a_0b_0=1$ となるので $a_0$ は単元である。
逆に $a_0$ が単元であるとする。$fg=1$ となる係数 $b_n$ を帰納的に構成する。まず $b_0:=a_0^{-1}$ とおく。$n\ge1$ に対し、$b_0,\dots,b_{n-1}$ が定まったなら
$$ b_n:=-a_0^{-1}\sum_{i=1}^{n}a_i b_{n-i} $$
と定める。このとき
$$ [X^n](fg)=a_0b_n+\sum_{i=1}^{n}a_i b_{n-i}=0 $$
であり、定数項は $a_0b_0=1$ である。したがって全次数の係数を比較して $fg=1$ である。よって $f$ は単元である。

$R[\![X]\!]$ が整域なら、その部分環である定数級数の環 $R$ も整域である。
逆に $R$ を整域とし、$r:=\operatorname{ord}_X(f)$、$s:=\operatorname{ord}_X(g)$ とおく。$n< r+s$ なら、$i+(n-i)=n$ なので各 $i$ について $i< r$ または $n-i< s$ であり、$a_i b_{n-i}=0$ である。ゆえに $[X^n](fg)=0$ である。一方、次数 $r+s$ では、$i< r$ または $r+s-i< s$ となる項は消え、唯一残る項は
$$ [X^{r+s}](fg)=a_r b_s $$
である。$R$ は整域で $a_r,b_s\ne0$ だから、この積は非零である。したがって位数の等式が成り立ち、特に非零級数の積は非零である。よって $R[\![X]\!]$ は整域である。

$g\in XR[\![X]\!]$ だから $g^k\in X^kR[\![X]\!]$ である。従って $X^n$ の係数には $k\le n$ の項しか寄与せず、
$$ [X^n]f(g)=\sum_{k=0}^{n}a_k[X^n]g^k $$
という有限和で各係数が一意に定まる。これで $f(g)$ はwell-definedである。
加法の保存は係数ごとの有限和から直ちに従う。$h(T)=\sum_{\ell\ge0}b_\ell T^\ell$ とすると、固定した $X^n$ の係数に寄与する $(k,\ell)$ は $k+\ell\le n$ を満たす有限個だけなので、有限和を並べ替えて
$$ f(g)h(g)=\sum_{k,\ell\ge0}a_kb_\ell g^{k+\ell} =\sum_{m\ge0}\left(\sum_{k=0}^{m}a_kb_{m-k}\right)g^m =(fh)(g) $$
を得る。また定数級数はそのまま保たれ、$T$ は $g$ に移る。よって $\Phi_g$ は $R$-代数準同型である。

要点：$k(X)$ 係数の関係式は、分母を払うと $k[X]$ 係数の $0$ でない多項式 $F$ になる。$w_j$ を十分先で切った多項式 $W_j$ に置き換えると、指数が急速に増えるので $F(W_0,\dots,W_{r-1})$ の各項の次数が相異なり、これは $0$ でない低い次数の多項式になる。一方 $w_j-W_j$ は高い冪 $X^N$ で割り切れるので、$F(w_0,\dots,w_{r-1})$ と $F(W_0,\dots,W_{r-1})$ は $X^N$ を法として等しく、$F(w_0,\dots,w_{r-1})\neq0$ が従う。

$f$ から剰余類 $\sum_{n=0}^{N}a_nX^n\bmod X^{N+1}$ の族を作ると、$N+1$ 次での切り詰めをさらに $N$ 次で切り詰めたものは最初から $N$ 次で切り詰めたものに一致する。従って逆極限の元を与える。
逆に、互いに整合する剰余類の族 $(p_N)$ が与えられたとする。$p_N$ の $N$ 次以下の一意な代表を選ぶ。整合性により、$n\le N$ のとき $p_N$ の $X^n$ の係数は $N$ によらないので、これを $a_n$ とおける。こうして得た $\sum_{n\ge0}a_nX^n$ の切り詰めは各 $p_N$ に一致する。二つの構成は互いに逆であり、和と積も各切り詰めで保たれるので環同型である。

$R$ を Noether 環とし、$B=R[\![X]\!]$ の任意のイデアル $J$ を取る。各 $n\ge0$ に対し
$$ J_n=\{[X^n]f\mid f\in J\cap X^nB\}\subset R $$
と定める。和と $R$ の定数倍で閉じるから $J_n$ は $R$ のイデアルである。また $f$ に $X$ を掛けると $J_{n+1}$ に同じ係数を与えるので $J_n\subset J_{n+1}$ となる。この昇鎖は、ある $N$ 以後一定となる。
$0\le n\le N$ ごとに $J_n$ の有限生成元 $a_{n,1},\dots,a_{n,t_n}$ を選び、それぞれを $X^n$ 係数に持つ $f_{n,j}\in J\cap X^nB$ を選ぶ。$J_n=0$ なら空族を取る。この有限個の級数で $J$ が生成されることを示す。
$f\in J$ に対し、次数零から順に係数を消去する。段 $n$ の残差 $r_n$ が $J\cap X^nB$ にあるとする。$n\le N$ なら、その次数 $n$ の係数は $J_n$ に入るから $a_{n,j}$ の $R$ 線型結合であり、同じ定数係数で $f_{n,j}$ を引けば残差は $J\cap X^{n+1}B$ に入る。$n>N$ なら $J_n=J_N$ なので、$a_{N,j}$ の線型結合を使い、$X^{n-N}f_{N,j}$ を引けばよい。この操作を全次数で繰り返す。
各 $f_{n,j}$、$n< N$ の係数はその段でだけ選ばれる。$f_{N,j}$ の係数は、段 $n\ge N$ で選んだ定数を $X^{n-N}$ 倍して加えた一つの形式的冪級数 $q_{N,j}\in B$ になる。各次数には一つの段しか寄与しないので、この和は係数ごとに定義できる。従って有限個の生成元に対する係数 $q_{n,j}\in B$ を得る。消去後の差 $f-\sum q_{n,j}f_{n,j}$ は任意の $X^mB$ に属し、全係数が零だから零である。よって $J$ は有限生成であり、$B$ は Noether 環である。
この証明では $J$ が閉イデアルであることを仮定していない。無限回引いた結果を $J$ の極限として回収したのではなく、初めに固定した有限個の $f_{n,j}$ の係数を級数へまとめ、最後に係数ごとに等式を検証した。
逆に $B$ が Noether なら、定数項写像による商 $B/(X)\cong R$ も Noether である。商環のイデアルは逆像を取って有限生成元の像で生成できるからである。
有限変数では $R[\![X_1,\dots,X_r]\!]\cong(R[\![X_1,\dots,X_{r-1}]\!])[\![X_r]\!]$ である。左辺の多重添字係数を $X_r$ の次数ごとにまとめれば右辺となり、積の各多重次数の有限和も一致する。変数数の帰納で主張を得る。$\square$

$f=\sum_{j=1}^r b_jh_j$ と書ければ、各係数は $J=(b_1,\dots,b_r)$ に属する。逆にすべての $a_n$ が $J=(b_1,\dots,b_r)\subset I$ に入れば、各 $n$ で $a_n=\sum_j b_jc_{jn}$ と表し、$h_j:=\sum_{n\ge0}c_{jn}X^n$ とおく。係数比較により $f=\sum_jb_jh_j$ となる。$I$ が有限生成なら $J=I$ とすればよい。$\square$

$R$ が局所環なら、定数項が $\mathfrak m$ の外にある級数は単元判定により単元である。定数項が $\mathfrak m$ に入る級数は、定数項を引けば $X$ の倍数なので、ちょうど $\mathfrak m+XB$ に属する。従って非単元全体がこのイデアルとなり、商は $R/\mathfrak m$ だから唯一の最大イデアルである。この議論は $\mathfrak m$ の有限生成性を用いない。
逆に $B=R[\![X]\!]$ が局所環なら $B/(X)=R$ は非零な局所環の商なので局所環である。商の最大イデアルの逆像は元の最大イデアルでなければならず、唯一性が従う。$\square$

まず一変数の場合を示す。$B=R[\![X]\!]$ は上の定理により Noether、上の命題により局所環で、最大イデアルは $\mathfrak n=\mathfrak mB+(X)$ である。$\mathfrak m$ は有限生成なので、$\mathfrak m^aB$ は全係数が $\mathfrak m^a$ に入る級数と一致する。実際、そのイデアルの有限生成元で各係数を表し、生成元ごとに係数を級数へまとめればよい。
$\mathfrak n^{N+1}=\sum_{i=0}^{N+1}X^i\mathfrak m^{N+1-i}B$ なので、その商の元は次数 $N$ 以下の多項式で代表でき、次数 $i$ の係数は $R/\mathfrak m^{N+1-i}$ で決まる。従って $R$ 加群として
$$ B/\mathfrak n^{N+1}\cong \bigoplus_{i=0}^{N} R/\mathfrak m^{N+1-i}. $$
係数条件の逆包含も、有限生成の各 $\mathfrak m^a$ を使って級数をまとめる同じ計算から得られる。
この有限長 $B$ 加群の $B$ 長さと $R$ 長さは等しい。$B$ 上の単純因子は共通の剰余体 $R/\mathfrak m$ であり、その組成列を $R$ に制限しても単純因子の列となるからである。よって
$$ \ell_B(B/\mathfrak n^{N+1}) =\sum_{j=0}^{N}\ell_R(R/\mathfrak m^{j+1}). $$
右辺の和は、$R$ の Hilbert–Samuel 累積長関数をさらに累積したものである。
上の 2（Hilbert–Samuel関数 の定理「Hilbert–Samuel 次元定理」）を Noether 局所環 $R$ と $B$ 自身に適用する。$d=\dim R$ とすると、右辺の各項は十分大きい $j$ で次数 $d$、正先頭係数の多項式である。多項式を二項多項式の基底で書けば、$\sum_{j=0}^N\binom{j}{a}=\binom{N+1}{a+1}$ から、累積の次数は $d+1$ である。有限個の初期の差は定数しか変えない。従って $\dim B=d+1$ となる。
有限変数には一変数の場合を反復適用する。体の場合、最大イデアルは変数で生成され、その二乗で割ると変数の一次項は $k$ 線型独立である。従って最小生成元数は $r$ で、今得た次元と等しい。これは正則局所環の定義を満たす。$r=0$ では体自身であり、次元零・最大イデアル零として同じ結論である。$\square$

$T^NR[\![T]\!]$ の元に代入すると、$g^N\in X^NR[\![X]\!]$ により結果は $X^NR[\![X]\!]$ に入る。従って $\Phi_g$ は連続である。別の連続準同型 $\Psi$ があれば、多項式 $p_N=\sum_{i=0}^{N}a_iT^i$ 上では $\Psi(p_N)=p_N(g)$ である。$f-p_N$ は $T^{N+1}$ の倍数で、$p_N$ は $f$ に近づく。連続性により $\Psi(p_N)$ は $\Psi(f)$ に近づく。一方、$p_N(g)$ は係数ごとに $f(g)$ に近づく。$X$ 進位相は分離的である。実際、全ての $X^N$ で割り切れる級数は全係数が零である。従って極限は一意で、$\Psi(f)=f(g)$ となる。

$g=\sum_{n\ge1}b_nX^n$ と書く。一次係数の式は $a_1b_1=1$ なので $b_1=a_1^{-1}$ である。$n\ge2$ で $b_1,\ldots,b_{n-1}$ が決まったとする。$[X^n]f(g)$ のうち $a_1g$ から来る部分は $a_1b_n$ であり、$a_jg^j$（$j\ge2$）から来る部分は $b_1,\ldots,b_{n-1}$ だけに依存する。各因子の次数が正なので、一つの因子の次数が $n$ になる項は他の因子を伴えないからである。その既知の部分を $c_n$ とおけば、$b_n=-a_1^{-1}c_n$ と一意に定められる。全次数についてこれを繰り返すと $f(g)=X$ が成立する。
残る向きも確かめる。合成は、どの有限次数でも有限個の項だけを計算すればよいため結合的である。従って $f(g(f))=f$ となる。$u,v\in XR[\![X]\!]$ が異なり、最初に異なる次数を $n$ とすると、$f(u)-f(v)$ の $n$ 次係数は $a_1([X^n]u-[X^n]v)$ である。二次以上の項には $u-v$ と正次数の因子が現れるので、その次数には寄与しない。$a_1$ は単元だからこの係数は非零である。よって $f(u)=f(v)$ なら $u=v$。これを $u=g(f)$、$v=X$ に適用し、$g(f)=X$ を得る。