逆元
概要
逆元（inverse element）とは、単位元 $e$ を持つマグマの元 $a$ に対し、$x\cdot a=a\cdot x=e$ を満たす元 $x$ のことである。片側の式だけを満たすものを左逆元・右逆元といい、逆元を持つ元を可逆元（単元）という。整数の加法では $n$ の逆元は $-n$、有理数の乗法では $0$ でない $a$ の逆元は $1/a$ であり、写像の合成では可逆元は全単射にほかならない。結合律を持つモノイドでは、左逆元と右逆元がともに存在すれば一致し、逆元は存在すれば一意で $a^{-1}$ と書く。さらに $(a^{-1})^{-1}=a$、$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ が成り立ち、可逆元全体は群をなす。結合律のない単位的マグマでは左右の逆元の一致も逆元の一意性も成り立たない。群とは、すべての元が可逆元であるモノイドのことである。
定義
集合 $M$ と二項演算 $\cdot$ の組で単位元 $e$（任意の $x\in M$ に対して $e\cdot x=x\cdot e=x$ を満たす元）を持つもの（単位的マグマ）を $\langle M,\cdot,e\rangle$ と書く。結合律は仮定しない。結合律を満たす単位的マグマをモノイドという。
単位的マグマ $\langle M,\cdot,e\rangle$ の元 $a$ に対し、元 $x\in M$ が
$$
x\cdot a=e
$$
を満たすとき、$x$ を $a$ の左逆元（left inverse）という。元 $x$ が
$$
a\cdot x=e
$$
を満たすとき、$x$ を $a$ の右逆元（right inverse）という。
$x$ が $a$ の左逆元かつ右逆元であるとき、すなわち $x\cdot a=a\cdot x=e$ のとき、$x$ を $a$ の逆元（inverse element）という。逆元を持つ元を可逆元（invertible element）または単元（unit）という。モノイドの単元については Lang02 Chapter I §1–2 が同じ定義を用いている。
表記。 モノイドでは元 $a$ の逆元は存在すれば一意なので（cor-inverse-element-unique）、それを $a^{-1}$ と書く。演算を加法的に $+$ と書き単位元を $0$ と書く場合は、$a$ の逆元を $-a$ と書き、$b+(-a)$ を $b-a$ と略記する。
直感
逆元は、操作 $a$ を打ち消して「何もしない操作」（単位元）に戻す操作である。整数の加法で $n$ を打ち消すのは $-n$、正の実数の乗法で $a$ を打ち消すのは $1/a$ である。定義自体は結合律なしで意味を持つが、左逆元と右逆元が一致することや逆元が一意であることは結合律があって初めて成り立つ。結合律のない単位的マグマでは、同じ元が異なる左逆元と右逆元を持つことがある。
例と反例
モノイド $\langle\mathbb{Z},+,0\rangle$ では、任意の整数 $n$ が可逆元で、逆元は $-n$ である（$(-n)+n=n+(-n)=0$）。モノイド $\langle\mathbb{Q},\times,1\rangle$ では、$0$ でない有理数 $a$ が可逆元で、逆元は $1/a$ である。$0$ は可逆元でない（任意の $x$ で $0\times x=0\neq1$）。
集合 $X$ 上の写像全体 $X^X$ は合成についてモノイド $\langle X^X,\circ,\mathrm{id}_X\rangle$ をなす。写像 $f\colon X\to X$ が可逆元であることと、$f$ が全単射であることは同値である。実際、$g\circ f=\mathrm{id}_X$ なら $f(x)=f(y)\Rightarrow x=g(f(x))=g(f(y))=y$ で $f$ は単射、$f\circ g=\mathrm{id}_X$ なら任意の $y$ が $y=f(g(y))$ の形で $f$ は全射である。逆に $f$ が全単射なら、各 $y$ を $f(x)=y$ なる唯一の $x$ に送る写像 $f^{-1}$ が $f^{-1}\circ f=f\circ f^{-1}=\mathrm{id}_X$ を満たす。
モノイド $\langle\mathbb{Z},\times,1\rangle$ の可逆元は $1$ と $-1$ だけである。実際 $ab=1$ なら $|a|\,|b|=1$ で $|a|,|b|$ は正の整数だから $|a|=1$、すなわち $a=\pm1$ である。逆に $1\times1=(-1)\times(-1)=1$ なので $\pm1$ は可逆元である。
次の例は、それぞれ「単位的マグマで左逆元と右逆元があれば一致する」「モノイドで左逆元があれば逆元がある」「単位的マグマで逆元は存在すれば一意である」が成り立たないことを示す。
- 四元集合 $M=\{e,a,b,c\}$ に、$e$ を単位元とし（$e\cdot x=x\cdot e=x$）、$b\cdot a=e$、$a\cdot c=e$ とし、残りの積 $a\cdot a$、$a\cdot b$、$b\cdot b$、$b\cdot c$、$c\cdot a$、$c\cdot b$、$c\cdot c$ をすべて $a$ と定める。$b$ は $a$ の左逆元だが右逆元ではなく（$a\cdot b=a\neq e$）、$c$ は $a$ の右逆元だが左逆元ではない（$c\cdot a=a\neq e$）。$a$ は左逆元 $b$ と右逆元 $c$ をともに持つが $b\neq c$ である。この演算は結合的でない：$(b\cdot a)\cdot c=e\cdot c=c$ だが $b\cdot(a\cdot c)=b\cdot e=b$ である。
- 自然数 $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}$ 上の写像のモノイド $\langle\mathbb{N}^{\mathbb{N}},\circ,\mathrm{id}\rangle$ で、$f(n)=n+1$ とする。$g(0)=0$、$g(n)=n-1$（$n\ge1$）とすると $g\circ f=\mathrm{id}$ なので $g$ は $f$ の左逆元である。しかし $f$ は $0$ を値に取らないので全射でなく、ex-inverse-element-map により右逆元を持たない。よって $f$ は可逆元でない。さらに $g'(0)=5$、$g'(n)=n-1$（$n\ge1$）も左逆元であり、左逆元は一意でない。
- 四元集合 $M'=\{e,a,b,c\}$ に、$e$ を単位元とし、$b\cdot a=a\cdot b=e$、$c\cdot a=a\cdot c=e$ とし、残りの積 $a\cdot a$、$b\cdot b$、$b\cdot c$、$c\cdot b$、$c\cdot c$ をすべて $a$ と定める。$b$ と $c$ はどちらも $a$ の逆元であり、$b\neq c$ である。したがって結合律のない単位的マグマでは逆元は一意でない。この演算も結合的でない：$(b\cdot a)\cdot c=e\cdot c=c$ だが $b\cdot(a\cdot c)=b\cdot e=b$ である。
性質
モノイド $\langle M,\cdot,e\rangle$ の元 $a$ が左逆元 $x_L$ と右逆元 $x_R$ をともに持つならば、$x_L=x_R$ である。
結合律により
$$
(x_L\cdot a)\cdot x_R=e\cdot x_R=x_R,\qquad x_L\cdot(a\cdot x_R)=x_L\cdot e=x_L
$$
であり、左辺同士は結合律で等しいから $x_L=x_R$ である。$\square$
モノイドの各元は高々一つの逆元しか持たない。
$x_1,x_2$ を $a$ の逆元とする。$x_1$ は特に左逆元、$x_2$ は特に右逆元であるから、prop-inverse-element-left-right により $x_1=x_2$ である。$\square$
モノイドの可逆元 $a$ について、$a^{-1}$ も可逆元であり $(a^{-1})^{-1}=a$ である。
逆元の定義から $a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e$ である。この二つの等式は、$a$ が $a^{-1}$ の右逆元かつ左逆元であることを意味するから、$a$ は $a^{-1}$ の逆元である。cor-inverse-element-unique により $(a^{-1})^{-1}=a$ である。$\square$
モノイドの可逆元 $a,b$ について、$a\cdot b$ も可逆元であり $(a\cdot b)^{-1}=b^{-1}\cdot a^{-1}$ である。
結合律により $(a\cdot b)\cdot(b^{-1}\cdot a^{-1})=a\cdot(b\cdot b^{-1})\cdot a^{-1}=a\cdot e\cdot a^{-1}=a\cdot a^{-1}=e$ であり、同様に $(b^{-1}\cdot a^{-1})\cdot(a\cdot b)=b^{-1}\cdot(a^{-1}\cdot a)\cdot b=b^{-1}\cdot b=e$ である。よって $b^{-1}\cdot a^{-1}$ は $a\cdot b$ の逆元であり、一意性から等式が従う。$\square$
モノイド $M$ の可逆元全体 $M^\times$ は、$M$ の演算について群をなす。
$e\cdot e=e$ なので $e\in M^\times$。prop-inverse-element-product により $M^\times$ は演算で閉じている。結合律は $M$ から遺伝する。$e$ は $M^\times$ の単位元である。prop-inverse-element-double により各 $a\in M^\times$ の逆元 $a^{-1}$ は $M^\times$ に属し、$a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e$ を満たす。よって $M^\times$ は群である。$\square$
補足：結合律の役割
逆元に関する基本的な事実のうち、どこまでが結合律なしで成り立つかを整理する。
| 主張 | 単位的マグマ | モノイド |
|---|---|---|
| 左逆元と右逆元があれば一致する | 成り立たない（rem-inverse-element-counterexample 第1項） | 成り立つ（prop-inverse-element-left-right） |
| 逆元は存在すれば一意 | 成り立たない（rem-inverse-element-counterexample 第3項） | 成り立つ（cor-inverse-element-unique） |
| 左逆元があれば逆元がある | 成り立たない | 成り立たない（rem-inverse-element-counterexample 第2項） |
| 可逆元全体は群 | — | 成り立つ（prop-inverse-element-unit-group） |
群とは、すべての元が可逆元であるモノイドにほかならない。したがって群では左逆元・右逆元・逆元の区別は消え、各元にただ一つの逆元が対応する。
関連項目
参考文献
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