Alexandroff立方体

$\mathbb S=\{0,1\}$ は有限集合なので、その開被覆から各点を覆う開集合を1つずつ選べば有限部分被覆が得られ、$\mathbb S$ はコンパクトである。Tychonoffの定理により、コンパクト空間の族の直積はコンパクトであるから、コンパクト空間 $\mathbb S$ を $\kappa$ 個直積した $\mathbb S^\kappa$ もコンパクトである。

$T_0$であること。 $x\neq y\in\mathbb S^\kappa$ とする。$x\neq y$ よりある $\alpha\in\Lambda$ で $x_\alpha\neq y_\alpha$、すなわち $\{x_\alpha,y_\alpha\}=\{0,1\}$ である。$x_\alpha=1,y_\alpha=0$ としてよい（そうでなければ $x,y$ の役割を入れ替える）。このとき開集合 $\pi_\alpha^{-1}(\{1\})$ は $x$ を含み $y$ を含まない。よって $x,y$ の少なくとも一方を含み他方を含まない開集合が存在し、$\mathbb S^\kappa$ は $T_0$ である。
$T_1$でないこと。 $\kappa\geq1$ なので $\Lambda\neq\emptyset$ であり、$\alpha_0\in\Lambda$ を1つ固定できる。点 $a,b\in\mathbb S^\kappa$ を、$a_{\alpha_0}=1,\ b_{\alpha_0}=0$、他の座標はすべて共通の値（例えば1）とする点として取る。$a\neq b$ である。$\mathbb S^\kappa$ の開集合はすべて部分基の元 $\pi_\alpha^{-1}(\{1\})$ の合併と有限交叉で作られるから、$b$（$b_{\alpha_0}=0$）を含む開集合 $V$ が存在すれば、$V$ はある基本開集合 $U_F=\bigcap_{\alpha\in F}\pi_\alpha^{-1}(\{1\})$（$F\subset\Lambda$ 有限）を含み $b\in U_F$ を満たす。$b\in U_F$ ならば全ての $\alpha\in F$ で $b_\alpha=1$ となるはずだが、$\alpha_0$ については $b_{\alpha_0}=0$ だから $\alpha_0\notin F$ である。ところが $a$ も $\alpha\in F$（$\alpha\neq\alpha_0$）では $a_\alpha=b_\alpha=1$ を満たし、かつ $\alpha_0\notin F$ だから $a$ の $\alpha_0$ 座標の値は $U_F$ の条件に無関係であり、$a\in U_F\subset V$ となる。したがって $b$ を含むどの開集合も $a$ を含んでしまい、$a$ を含み $b$ を含まない開集合は存在するが（前段の $T_0$ 性の議論と同様に $\pi_{\alpha_0}^{-1}(\{1\})$ がそれである）、$b$ を含み $a$ を含まない開集合は存在しない。ゆえに $\mathbb S^\kappa$ は $T_1$ でない。
$T_1$でない空間はHausdorff空間（$T_2$）でもなく、Hausdorffでない空間は距離空間になり得ない（距離空間は常にHausdorffである）から、$\mathbb S^\kappa$ は距離化可能でもない。

重さ $\leq\kappa$。 定義で述べた基本開集合の全体 $\{U_F\mid F\in[\Lambda]^{<\omega}\}$（$[\Lambda]^{<\omega}$ は $\Lambda$ の有限部分集合全体）は $\mathbb S^\kappa$ の開基である。$\Lambda$ は無限集合なので、その有限部分集合全体の濃度は
$$ |[\Lambda]^{<\omega}|=\sum_{n<\omega}|\Lambda|^n=\kappa\cdot\aleph_0=\kappa $$
（無限濃度 $\kappa$ に対し $\kappa^n=\kappa$（$n\geq1$）であることと $\kappa\cdot\aleph_0=\kappa$ であることによる、標準的な濃度演算）である。したがって重さは $\kappa$ 以下である。
重さ $\geq\kappa$。 全ての座標が $1$ である点 $\boldsymbol 1\in\mathbb S^\kappa$ を固定する。$\boldsymbol 1$ の近傍基として $\{U_F\mid F\in[\Lambda]^{<\omega}\}$ が取れることは上と同様である。この点における局所指標（近傍基の最小濃度）が $\kappa$ であることを示せば、重さは局所指標以上であるから重さ $\geq\kappa$ が従う。
$\{V_i\}_{i<\lambda}$ を $\boldsymbol 1$ の近傍基とし、$\lambda<\kappa$ と仮定して矛盾を導く。各 $i<\lambda$ に対し、$\{U_F\}$ も $\boldsymbol 1$ の近傍基だから、$V_i$ に含まれる基本近傍 $U_{F_i}\subset V_i$（$F_i\in[\Lambda]^{<\omega}$）が取れる。$A:=\bigcup_{i<\lambda}F_i$ とおくと、$\kappa$ は非可算濃度で $\lambda<\kappa$ だから（$\lambda$ が無限なら $\lambda\cdot\aleph_0=\lambda<\kappa$、$\lambda$ が有限なら $\lambda\cdot\aleph_0=\aleph_0<\kappa$、いずれにせよ）$|A|\leq\lambda\cdot\aleph_0<\kappa=|\Lambda|$ であり、$A\subsetneq\Lambda$ である。そこで $\beta\in\Lambda\setminus A$ を取る。
$U_{\{\beta\}}=\pi_\beta^{-1}(\{1\})$ は $\boldsymbol 1$ の近傍だから、近傍基の性質によりある $i<\lambda$ で $V_i\subset U_{\{\beta\}}$ となる。このとき
$$ U_{F_i}\subset V_i\subset U_{\{\beta\}} $$
であるが、$\beta\notin A\supset F_i$ なので $\beta\notin F_i$ であり、$U_{F_i}$ の定義は座標 $\beta$ に何の制約も課さない。よって $F_i$ の各座標を $1$ とし座標 $\beta$ だけ $0$ とする点 $y$（他の座標は任意、例えば全て $1$）を取れば $y\in U_{F_i}$ だが $y_\beta=0$ より $y\notin U_{\{\beta\}}$ となり、$U_{F_i}\subset U_{\{\beta\}}$ に矛盾する。
ゆえに濃度 $\lambda<\kappa$ の近傍基は存在せず、$\boldsymbol 1$ における局所指標は $\kappa$ である。したがって重さも $\kappa$ 以上であり、上の評価と合わせて重さはちょうど $\kappa$ である。$\kappa$ が非可算だから重さは可算でなく、$\mathbb S^\kappa$ は第2可算でない。

$\mathbb S^\kappa$ の空でない開集合 $V$ を任意にとる。基本開集合の全体 $\{U_F\mid F\in[\Lambda]^{<\omega}\}$ が開基だから、$V$ に含まれる基本開集合 $U_F\subset V$（$F\subset\Lambda$ 有限、$U_F\neq\emptyset$）が存在する。$U_F=\{x\in\mathbb S^\kappa\mid x_\alpha=1\ (\alpha\in F)\}$ であり、全座標が $1$ である点 $\boldsymbol 1$ は明らかに $F$ の各座標で $1$ をとるから $\boldsymbol 1\in U_F\subset V$ である。よって $\{\boldsymbol 1\}$ はすべての空でない開集合と交わり、稠密である。一点集合 $\{\boldsymbol 1\}$ は高々可算（実際は有限）だから、$\mathbb S^\kappa$ は可算な稠密部分集合を持ち、可分である。$\square$

Sierpinski空間の記事にある「位相空間 $X$ が $T_0$ であることと、写像 $e\colon X\to S^{\mathcal O(X)},\ e(x)=(\chi_U(x))_{U\in\mathcal O(X)}$（$\chi_U$ は開集合 $U$ の指示関数、$S=\mathbb S$）が埋め込みであることは同値である」という命題により、同記事の証明はこの埋め込みを実際に与えている。$X$ の重さが $\kappa$ であることから、$|\mathcal B|=\kappa$ なる開基 $\mathcal B\subset\mathcal O(X)$ が取れる。添字集合を $\mathcal O(X)$ から $\mathcal B$ に制限した写像 $e_{\mathcal B}\colon X\to S^{\mathcal B}=\mathbb S^\kappa,\ e_{\mathcal B}(x)=(\chi_U(x))_{U\in\mathcal B}$ を考える。Sierpinski空間の記事の証明で用いられる「$x\neq y$ を分ける開集合の存在」と「$e(U)=e(X)\cap\pi_U^{-1}(\{1\})$ という形の相対開性」は、$\mathcal B$ が開基であることから常に $\mathcal B$ の元だけを使って実行できる：$x\neq y$ を分ける開集合 $U$ が存在すれば、開基の定義により $x\in B\subset U$ なる $B\in\mathcal B$ が取れ、$y\notin U\supset B$ より $B$ もまた $x,y$ を分ける。同様に $X$ の任意の開集合 $U$ は $\mathcal B$ の元の合併で書けるから、$e_{\mathcal B}(U)$ は $e_{\mathcal B}(X)$ の開集合 $\bigcup_{B\subset U,\,B\in\mathcal B}\bigl(e_{\mathcal B}(X)\cap\pi_B^{-1}(\{1\})\bigr)$ に一致する。したがって添字集合を $\mathcal O(X)$ から濃度 $\kappa$ の開基 $\mathcal B$ に制限してもSierpinski空間の記事と同じ議論がそのまま通り、$e_{\mathcal B}$ は $X$ から $\mathbb S^\kappa$ への埋め込みを与える。出典：Eng89 §2.3。