Weil因子

$\varphi\colon k[x,y,z]\to k[s,t]$ を $x\mapsto s^2$、$y\mapsto t^2$、$z\mapsto st$ で定める。像は単項式 $s^at^b$（$a+b$ 偶数）で張られる部分環 $A'$ である（$a,b$ がともに偶数なら $(s^2)^{a/2}(t^2)^{b/2}$、ともに奇数なら $st\,(s^2)^{(a-1)/2}(t^2)^{(b-1)/2}$）。$s^2,t^2\in A'$ だから $s,t$ は $A'$ 上の整元で $k[s,t]$ は $A'$ の整拡大であり、Krull次元は整拡大で変わらない（Cohen–Seidenberg の定理、AM69 Chapter 5）から $\dim A'=\dim k[s,t]=2$ である。$\ker\varphi$ は $xy-z^2$ を含む素イデアルで、$k[x,y,z]/\ker\varphi\cong A'$ は $2$ 次元だから、体上有限生成な整域では素イデアルの高さと剰余環の次元の和が全体の次元に等しい（Har77 I.1.8A）ことにより $\operatorname{ht}\ker\varphi=3-2=1$ である。$(xy-z^2)$ は $0$ でない素イデアル（$xy-z^2$ は既約。ex-weil-divisor-cone）だから、$\ker\varphi\supsetneq(xy-z^2)$ なら $0\subsetneq(xy-z^2)\subsetneq\ker\varphi$ により $\operatorname{ht}\ker\varphi\ge2$ となって矛盾する。よって $\ker\varphi=(xy-z^2)$、$A\cong A'$ であり、とくに $\dim A=2$ である。
$A'$ が正規であること。$K':=\operatorname{Frac}(A')\subset k(s,t)$ とおく。まず $s\notin K'$ である：$s=g/h$（$g,h\in A'$、$h\ne0$）なら $sh=g$ だが、$sh$ の斉次成分は奇数次、$g$ の斉次成分は偶数次だから $g=sh=0$ となり矛盾する。次に $k[s,t]\cap K'=A'$ である：$f\in k[s,t]\cap K'$ を偶数次の部分 $f_e$ と奇数次の部分 $f_o$ に分けると $f_o=f-f_e\in K'$、$f_o/s=(f_os)/s^2\in K'$ だから、$f_o\ne0$ なら $s=f_o/(f_o/s)\in K'$ となり矛盾するので $f=f_e\in A'$ である。最後に $u\in K'$ が $A'$ 上整なら $u$ は $k[s,t]$ 上も整で、一意分解整域 $k[s,t]$ は整閉（AM69 Chapter 5）だから $u\in k[s,t]\cap K'=A'$ である。$\square$

$f\in K=\mathcal{O}_{X,\eta}$ だから、空でないアフィン開集合 $U=\operatorname{Spec}A\subset X$ で $f\in A$ となるものがある。$Z:=X\setminus U$ は真の閉部分集合である。素因子 $Y$ が $U$ と交わらなければ $Y\subset Z$ であり、$Z$ の既約成分 $Z_i$ で $Y\subset Z_i\subsetneq X$ なるものがあるから、余次元 $1$ により $Y=Z_i$ である。$X$ は Noether なので $Z$ の既約成分は有限個であり（Har77 I.1.5）、$U$ と交わらない素因子は有限個である。
$U$ と交わる素因子 $Y$ については $f\in A\subset\mathcal{O}_{X,Y}$ だから $\operatorname{ord}_Y(f)\ge0$ であり、$\operatorname{ord}_Y(f)>0$ となるのは $f$ が $\mathcal{O}_{X,Y}$ の極大イデアルに属するとき、すなわち $\eta_Y\in V(f)$ のときに限る。このとき $Y\cap U=\overline{\{\eta_Y\}}\cap U\subset V(f)$ で、$A$ は整域で $f\ne0$ だから $V(f)\subsetneq U$ であり、余次元 $1$ の既約閉集合 $Y\cap U$ は上と同じ理由で $V(f)$ の既約成分である。Noether空間 $U$ の閉集合 $V(f)$ の既約成分は有限個だから、$\operatorname{ord}_Y(f)>0$ となる $Y$ も有限個である。$\square$

1：各素因子 $Y$ について $\operatorname{ord}_Y$ は離散付値だから $\operatorname{ord}_Y(fg)=\operatorname{ord}_Y(f)+\operatorname{ord}_Y(g)$ であり、すべての $Y$ について並べれば $\operatorname{div}(fg)=\operatorname{div}(f)+\operatorname{div}(g)$ である。$\operatorname{div}(1)=0$ から $\operatorname{div}(f^{-1})=-\operatorname{div}(f)$ が従う。
2：$f\in\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ ならば $f$ はすべての $\mathcal{O}_{X,Y}$ に属するので $\operatorname{div}(f)\ge0$ である。逆に $\operatorname{div}(f)\ge0$ とし、アフィン開集合 $U=\operatorname{Spec}A\subset X$ をとる。$A$ は Noether 正規整域で、その高さ $1$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ は $U$ と交わる素因子 $Y=\overline{V(\mathfrak{p})}$ に対応し $A_\mathfrak{p}=\mathcal{O}_{X,Y}$ である。$\operatorname{ord}_Y(f)\ge0$ から $f\in A_\mathfrak{p}$ であり、Hartogs の定理により $f\in\bigcap_\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}=A=\Gamma(U,\mathcal{O}_X)$ である。アフィン開集合は $X$ を覆い $\mathcal{O}_X$ は層だから $f\in\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ である。後半は、$\operatorname{div}(f)=0$ が $\operatorname{div}(f)\ge0$ かつ $\operatorname{div}(f^{-1})\ge0$ と同値であることから前半と 1 により従う。$\square$

1：定義の直後に述べたように $U$ の素因子は $U$ と交わる $X$ の素因子 $Y$ と $Y\cap U$ で 1 対 1 に対応するから、$\operatorname{Div}(X)\to\operatorname{Div}(U)$ は全射準同型である。$\mathcal{O}_{U,Y\cap U}=\mathcal{O}_{X,Y}$ だから $\operatorname{ord}_{Y\cap U}(f)=\operatorname{ord}_Y(f)$ であり、$\operatorname{div}_X(f)$ の像は $\operatorname{div}_U(f)$ である。ゆえに主因子は主因子に移り、全射準同型 $\operatorname{Cl}(X)\to\operatorname{Cl}(U)$ が誘導される。
2：全射性は 1 で示した。$Z_i\cap U=\emptyset$ から $Z_i$ の像は $0$ で、$\mathbb{Z}^r$ の像は核に含まれる。逆に $[D]\in\operatorname{Cl}(X)$ の像が $0$ なら $D|_U=\operatorname{div}_U(f)$ なる $f\in K^\times$ があり、$D':=D-\operatorname{div}_X(f)=\sum n_YY$ の $U$ への制限は $0$、すなわち $n_Y\ne0$ なる素因子 $Y$ はすべて $Z$ に含まれる。prf-weil-divisor-finiteness で見たように $Z$ に含まれる素因子は $Z$ の余次元 $1$ の既約成分 $Z_1,\dots,Z_r$ のいずれかだから、$[D]=[D']$ は $\mathbb{Z}^r$ の像に属する。$\square$

$\mathfrak{p}=(f)$ が単項とする。$\mathcal{O}_{X,Y}=A_\mathfrak{p}$ の極大イデアルは $fA_\mathfrak{p}$ だから $f$ はその素元で $\operatorname{ord}_Y(f)=1$ である。他の素因子 $Y'=V(\mathfrak{q})$（$\mathfrak{q}\ne\mathfrak{p}$ は高さ $1$ の素イデアル）については、$f\in\mathfrak{q}$ なら $\mathfrak{p}=(f)\subset\mathfrak{q}$ で高さが等しいから $\mathfrak{p}=\mathfrak{q}$ となり矛盾するので、$f$ は $A_\mathfrak{q}$ の単元で $\operatorname{ord}_{Y'}(f)=0$ である。したがって $\operatorname{div}(f)=Y$ である。
逆に $Y=\operatorname{div}(f)$ とする。$\operatorname{div}(f)\ge0$ だから prop-weil-divisor-homomorphism の 2 により $f\in A$ であり、$\operatorname{ord}_Y(f)=1>0$ から $f\in\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\cap A=\mathfrak{p}$ である。$g\in\mathfrak{p}\setminus\{0\}$ をとると、$\operatorname{ord}_Y(g)\ge1$ かつ他の素因子で $\operatorname{ord}_{Y'}(g)\ge0$ だから $\operatorname{div}(g/f)=\operatorname{div}(g)-Y\ge0$ であり、ふたたび prop-weil-divisor-homomorphism の 2 により $g/f\in A$、すなわち $g\in(f)$ である。よって $\mathfrak{p}=(f)$ である。$\square$

Noether 整域 $A$ が一意分解整域であることは、すべての高さ $1$ の素イデアルが単項であることと同値であり（Mat86 Theorem 20.1）、一意分解整域は整閉である（AM69 Chapter 5）。
$A$ が一意分解整域なら $A$ は正規で、高さ $1$ の素イデアルがすべて単項だから lem-weil-divisor-principal-prime によりすべての素因子が主因子であり、$\operatorname{Div}(\operatorname{Spec}A)$ は素因子で生成されるので $\operatorname{Cl}(\operatorname{Spec}A)=0$ である。逆に $A$ が正規で $\operatorname{Cl}(\operatorname{Spec}A)=0$ なら、高さ $1$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ に対応する素因子 $V(\mathfrak{p})$ は主因子で、lem-weil-divisor-principal-prime により $\mathfrak{p}$ は単項である。ゆえに $A$ は一意分解整域である。$\square$

多項式環 $k[x_1,\dots,x_n]$ は Noether（Hilbertの基底定理）かつ一意分解整域（Gaussの補題による $n$ に関する帰納法。Mat86 §20）だから、prop-weil-divisor-ufd により $\operatorname{Cl}(\mathbb{A}^n_k)=0$ である。後半も同じである。$\square$

1：$\mathbb{P}^n$ の点は $S_+=(x_0,\dots,x_n)$ を含まない $S$ の斉次素イデアル $\mathfrak{p}$ であり、既約閉集合はただ 1 つの生成点をもつから $V_+(\mathfrak{p})$ の形をしており、$\mathfrak{p}\mapsto V_+(\mathfrak{p})$ は包含を逆にする 1 対 1 対応である（Har77 II.2.5、II 演習 2.9）。$V_+(\mathfrak{p})$ の余次元は $\operatorname{ht}\mathfrak{p}$ に等しい（アフィン開集合 $D_+(x_i)=\operatorname{Spec}S_{(x_i)}$ 上で $\mathfrak{p}$ に対応する $S_{(x_i)}$ の素イデアルの高さが $\operatorname{ht}\mathfrak{p}$ であることによる。Har77 II.2.5 の証明、I.1.8A、II 演習 3.20）から、素因子は高さ $1$ の斉次素イデアル $\mathfrak{p}$ に対応する。$S$ は一意分解整域だから $\mathfrak{p}=(F)$ と書け（Mat86 Theorem 20.1）、$\mathfrak{p}$ は斉次イデアルなので $F$ の各斉次成分 $F_d$ も $(F)$ に属し $F_d=G_dF$ と書ける。$F$ の最低次の斉次成分 $F_{d_0}=G_{d_0}F\ne0$ の次数 $d_0$ は $\deg F$ 以上だから $F=F_{d_0}$ は斉次である。$F$ は素イデアルの生成元だから既約であり、単項イデアルの生成元は単元倍を除いて一意である。
2：$Y=V_+(F)$ を素因子、$d:=\deg F\ge1$ とする。1 次式 $\ell$ で $F\nmid\ell$ なるものがとれる（すべての $x_i$ が $F$ で割り切れれば $F$ は $x_0$ と $x_1$ の両方の単元倍となり矛盾する）。生成点 $\eta_Y$ の局所環は
$$ \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n,Y}=S_{(\mathfrak{p})}=\Bigl\{\tfrac{G}{H}\ \Big|\ G,H\in S\ \text{は同じ次数の斉次多項式},\ H\notin\mathfrak{p}\Bigr\} $$
であり（Har77 II.2.5）、関数体は $K=S_{((0))}=\{G/H\mid G,H\ \text{同次数斉次},\ H\ne0\}$ である。$\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n,Y}$ の極大イデアルは $G\in\mathfrak{p}$ なる $G/H$ 全体であり、$G=FG'$ と書けば
$$ \frac{G}{H}=\frac{F}{\ell^d}\cdot\frac{G'\ell^d}{H},\qquad \frac{G'\ell^d}{H}\in\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n,Y} $$
だから極大イデアルは $\pi:=F/\ell^d$ で生成され、$\pi$ は離散付値環 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n,Y}$ の素元で $\operatorname{ord}_Y(\pi)=1$ である。斉次多項式 $G\ne0$（次数 $e$）を $G=F^aG_1$（$F\nmid G_1$）と書くと
$$ \frac{G}{\ell^e}=\pi^a\cdot\frac{G_1}{\ell^{e-ad}} $$
で、$G_1,\ell\notin\mathfrak{p}$ だから $G_1/\ell^{e-ad}$ は単元であり、$\operatorname{ord}_Y(G/\ell^e)=a$、すなわち $G$ の素因数分解における $F$ の指数である。
$f=G/H\in K^\times$（$G,H$ は次数 $e$ の斉次多項式）の分子分母を $S$ で素因数分解して $G=u\prod_iF_i^{a_i}$、$H=v\prod_jF_j'^{\,b_j}$（$u,v\in k^\times$、$F_i,F_j'$ は互いに同伴でない既約斉次多項式。斉次多項式の既約因子は 1 と同じ議論で斉次である）とする。$f=(G/\ell^e)/(H/\ell^e)$ だから、上の計算により
$$ \operatorname{div}(f)=\sum_ia_iV_+(F_i)-\sum_jb_jV_+(F_j') $$
であり、$\deg\operatorname{div}(f)=\sum_ia_i\deg F_i-\sum_jb_j\deg F_j'=e-e=0$ である。ゆえに $\deg$ は $\operatorname{Cl}(\mathbb{P}^n)\to\mathbb{Z}$ を誘導し、超平面 $H_0:=V_+(x_0)$ が $\deg H_0=1$ だから全射である。単射性：$D=\sum_in_iV_+(F_i)$ が $\deg D=\sum_in_i\deg F_i=0$ を満たすなら、$f:=\prod_iF_i^{n_i}$ は分子と分母の次数が等しい有理式だから $K^\times$ の元で、上の計算により $\operatorname{div}(f)=D$ である。よって $\deg\colon\operatorname{Cl}(\mathbb{P}^n)\to\mathbb{Z}$ は同型である。$\square$