Mohr–Mascheroniの定理

方針：直線 $AB$ の上の点は $P$ と $P^*$ から等距離にあることを使う。
段 1（$P$ が直線 $AB$ の上にあるとき）。$P^*=P$ なので、作図済みである。
段 2（$P$ が直線 $AB$ の上にないとき）。直線 $AB$ は線分 $PP^*$ の垂直二等分線なので、その上の点 $A$、$B$ はどちらも $P$ と $P^*$ から等距離にある。よって $AP^*=AP$、$BP^*=BP$ で、$P^*$ は円 $(A;\,AP)$ と円 $(B;\,BP)$ の両方の上にある。$P$ も両方の上にある。$A\ne B$ なので 2 円は相異なり、交点は高々 2 つだから、交点はちょうど $P$ と $P^*$ である（$P\ne P^*$）。よって $P^*$ はこの 2 円の交点として作図できる。なお $P$ は直線上にないので $A\ne P$、$B\ne P$ で、2 円の半径は正である。$\square$

方針：ex-mm-first の (1)〜(3) の手順を、一般の $A$、$B$ で行う。
段 1（1 の手順）。$s=AB$ とおく。円 $(B;\,s)$ と円 $(A;\,s)$ の交点の一方を $U_1$、円 $(B;\,s)$ と円 $(U_1;\,s)$ の交点のうち $A$ でないほうを $U_2$、円 $(B;\,s)$ と円 $(U_2;\,s)$ の交点のうち $U_1$ でないほうを $C$ とする。
段 2（1 の正しさ）。座標を $B=(0,0)$、$A=(-s,0)$、$U_1$ が上側にくるようにとる。円 $(B;\,s)$ は $x^2+y^2=s^2$ である。$U_1$ は $x^2+y^2=s^2$ と $(x+s)^2+y^2=s^2$ を満たし、引くと $2sx+s^2=0$、$x=-\dfrac s2$ なので $U_1=\left(-\dfrac s2,\dfrac{\sqrt3}2s\right)$ である。同じ計算で、$U_1$ から距離 $s$ の円 $x^2+y^2=s^2$ の上の点は $A$ と $U_2=\left(\dfrac s2,\dfrac{\sqrt3}2s\right)$、$U_2$ から距離 $s$ の点は $U_1$ と $C=(s,0)$ である（たとえば $\left(s-\dfrac s2\right)^2+\left(0-\dfrac{\sqrt3}2s\right)^2=\dfrac{s^2}4+\dfrac{3s^2}4=s^2$）。$C=(s,0)$ は半直線 $AB$ の上にあり、$AC=2s$ である。
段 3（2 の証明）。$k=1$ では $Q_1=B$、$k=2$ では $Q_2$ は 1 の $C$ である。$Q_{k-1}$、$Q_k$（$k\ge2$）が作図できたとすると、$Q_{k-1}Q_k=s$ で、1 を $A$、$B$ の代わりに $Q_{k-1}$、$Q_k$ として使うと、半直線 $Q_{k-1}Q_k$ の上で $Q_{k-1}$ から距離 $2s$ の点、つまり $Q_{k+1}$ が得られる。帰納法により、すべての $k$ について $Q_k$ が作図できる。$\square$

方針：$OP>\dfrac r2$ のときは、円 $(P;\,PO)$ と円 $(O;\,r)$ の 2 つの交点 $A$、$B$ で決まる直線について $O$ と対称な点が $P'$ になることを示す。$OP\le\dfrac r2$ のときは、lem-mm-multiple で $P$ を遠くへ移してから同じことをする。
段 1（$OP>\dfrac r2$ のときの手順）。$d=OP$ とし、座標を $O=(0,0)$、$P=(d,0)$ にとる。円 $(O;\,r)$ は $x^2+y^2=r^2$、円 $(P;\,d)$ は $(x-d)^2+y^2=d^2$ である。2 式を引くと $2dx-d^2=r^2-d^2$ なので
$$ x=\frac{r^2}{2d} $$
である。$d>\dfrac r2$ より $0<\dfrac{r^2}{2d}< r$ なので、$y^2=r^2-\left(\dfrac{r^2}{2d}\right)^2>0$ となり、2 円は 2 点 $A=\left(\dfrac{r^2}{2d},\ y_0\right)$、$B=\left(\dfrac{r^2}{2d},\ -y_0\right)$（$y_0>0$）で交わる。
段 2（対称な点）。直線 $AB$ は $x=\dfrac{r^2}{2d}$ で、これについて $O=(0,0)$ と対称な点は $\left(\dfrac{r^2}d,0\right)$ である。これは半直線 $OP$ の上にあって $O$ からの距離が $\dfrac{r^2}d$ なので、$OP\cdot\dfrac{r^2}{d}=r^2$ を満たし、$P'$ に一致する。lem-mm-reflect により、$P'$ は円 $(A;\,AO)$ と円 $(B;\,BO)$ の交点のうち $O$ でないほうとして作図できる。
段 3（$OP\le\dfrac r2$ のとき）。$k\cdot OP>\dfrac r2$ となる正の整数 $k$ をとる。lem-mm-multiple の 2 により、半直線 $OP$ の上で $OQ=k\cdot OP$ となる点 $Q$ が作図できる。段 1・2 により $Q$ の反転 $Q'$ が作図でき、$OQ'=\dfrac{r^2}{k\cdot OP}$ である。$P'$ は同じ半直線の上で
$$ OP'=\frac{r^2}{OP}=k\cdot\frac{r^2}{k\cdot OP}=k\cdot OQ' $$
を満たすので、lem-mm-multiple の 2 を $O$、$Q'$ に使って作図できる。$\square$

要点：$(\ast\ast)$ から像の円の中心を求め、$O^*$ の反転の座標と比べると一致する。

方針：lem-mm-line-image と同じく、$(\ast\ast)$ の中心と、2 回反転した点の座標を比べる。
段 1（像の中心）。$C=(p,q)$、$d^2=p^2+q^2>0$ とする。$\Gamma$ は $x^2+y^2-2px-2qy+(d^2-\rho^2)=0$ で、$F=d^2-\rho^2$ は $O$ が $\Gamma$ の上にないので $0$ でない。$(\ast\ast)$ で $a=1$、$D=-2p$、$E=-2q$ とすると、像は $F(X^2+Y^2)-2r^2pX-2r^2qY+r^4=0$ で、中心は $\dfrac{r^2}{F}(p,q)$ である（定数項 $r^4\ne0$ なので $O$ を通らない円）。
段 2（$O^\Gamma$）。$O^\Gamma$ は、$C$ から $O$ へ向かう半直線の上で $C$ からの距離が $\dfrac{\rho^2}d$ の点なので
$$ O^\Gamma=(p,q)+\frac{\rho^2}{d}\cdot\frac{-(p,q)}{d}=\left(1-\frac{\rho^2}{d^2}\right)(p,q)=\frac{F}{d^2}(p,q) $$
である。
段 3（$O^\Gamma$ の反転）。$OO^{\Gamma\,2}=\dfrac{F^2}{d^4}\cdot d^2=\dfrac{F^2}{d^2}$ なので、反転は
$$ \frac{r^2}{OO^{\Gamma\,2}}\,O^\Gamma=\frac{r^2d^2}{F^2}\cdot\frac{F}{d^2}(p,q)=\frac{r^2}{F}(p,q) $$
で、段 1 の中心と一致する。$\square$

段 1。$2k\cdot CW\ge\rho$ となる正の整数 $k$ をとり、lem-mm-multiple の 2 で、半直線 $CW$ の上に $CQ=k\cdot CW$ となる点 $Q$ を作る。$D=CQ$ とおくと $2D\ge\rho$ である。
段 2。円 $(Q;\,QC)$ と $\Gamma$ が交わることを示す。$C=(0,0)$、$Q=(D,0)$ とすると、2 円は $x^2+y^2=\rho^2$、$(x-D)^2+y^2=D^2$ で、引くと $x=\dfrac{\rho^2}{2D}$ となる。$2D\ge\rho$ より $0< x\le\rho$ なので、$y^2=\rho^2-x^2\ge0$ となる $y$ があり、交点がある。この交点は $\Gamma$ の上にあり、作図できる。$\square$

方針：3 つの円に内接する正六角形の頂点を候補にし、図形の上にある候補の数を数える。
段 1（3 つの円）。lem-mm-multiple の 1 により、半直線 $AB$ の上に $AQ=2AB$ となる点 $Q$ が作図できる。3 つの円 $Z_1=(A;\,AB)$、$Z_2=(B;\,BA)$、$Z_3=(A;\,AQ)$ を考える。$Z_1$ と $Z_3$ は中心が同じで半径が違い、$Z_2$ は中心が違うので、3 つは相異なる円である。与えられた図形は 2 つなので、3 つのうち少なくとも 1 つ、たとえば $Z$ は、どちらの図形とも一致しない。
段 2（6 つの候補）。$Z$ の中心を $M$、$Z$ の上の作図済みの点を $N$（$Z_1$ では $B$、$Z_2$ では $A$、$Z_3$ では $Q$）とする。円 $(N;\,MN)$ と $Z$ の交点をとり、そこから同じ半径の円で区切っていくと（lem-mm-multiple の段 1 と同じ手順）、$Z$ に内接する正六角形の 6 頂点がコンパスだけで作図できる。
段 3（除かれる点は高々 4 つ）。各図形は $Z$ と一致しないので、$Z$ と高々 2 点で交わる（直線と円、または相異なる 2 円）。よって 6 頂点のうち図形の上にあるのは高々 $2+2=4$ つで、少なくとも 2 つの頂点はどちらの図形の上にもない。$\square$

要点：定規とコンパスの作図で新しい点が生まれるのは、円と円、直線と円、直線と直線の交点としてである。作図の手順にそって、これまでの点がすべてコンパスだけで作図できているとき、次の点もコンパスだけで作図できることを示す（手順の長さについての帰納法）。直線は、作図済みの 2 点で決まるものとして扱う。
段 1（円と円）。定規とコンパスで描く円は $(C;\,UV)$ の形で、$C$、$U$、$V$ はコンパスだけで作図できているので、同じ円をコンパスだけで描ける。その交点はそのまま得られる。
段 2（直線と円、中心が直線の上にないとき）。直線 $\ell=AB$ と円 $\Gamma=(C;\,\rho)$ で、$C$ は $\ell$ の上にないとする。lem-mm-reflect で $\ell$ について $C$ と対称な点 $C^*$ を作り、円 $(C^*;\,\rho)$ を描く（半径は $\Gamma$ と同じ 2 点の距離）。$\ell$ の上の点 $X$ は $C$ と $C^*$ から等距離なので、$X\in\ell\cap\Gamma$ なら $C^*X=CX=\rho$ で、$X$ は 2 円の交点である。逆に 2 円の交点 $X$ は $CX=C^*X$ を満たし、線分 $CC^*$ の垂直二等分線 $\ell$ の上にあるので、$\ell\cap\Gamma$ の点である。よって $\ell\cap\Gamma$ は、相異なる 2 円 $\Gamma$、$(C^*;\,\rho)$ の交点として得られる。
段 3（直線と円、中心が直線の上にあるとき）。lem-mm-avoid で、$\ell$ の上にも $\Gamma$ の上にもない作図済みの点 $O$ をとり、作図済みの点 $A$ までの距離 $r=OA$ を半径とする円 $(O;\,r)$ に関して反転する。$C$ は $\ell$ の上にあるので $O\ne C$ である。

• $\ell$ の像は、lem-mm-line-image により $O$ を通る円 $\omega$ で、コンパスだけで描ける。
• $\Gamma$ の像は、lem-mm-circle-image により円 $\Gamma'$ で、中心 $K$ は反転を 2 回使って（lem-mm-invert）作図できる。lem-mm-point-on-circle で $\Gamma$ の上の作図済みの点 $T$ をとり、その反転 $T'$ を作れば、$\Gamma'=(K;\,KT')$ が描ける。
• $O$ と異なる点 $Z$ について、$Z\in\omega$ は $Z'\in\ell$ と、$Z\in\Gamma'$ は $Z'\in\Gamma$ と同値である（反転を 2 回続けると元に戻る）。$\Gamma'$ は $O$ を通らないので、$\omega\cap\Gamma'$ の点はすべて $O$ と異なる。
  よって $\omega\cap\Gamma'$ の点を lem-mm-invert でもう一度反転すると、$\ell\cap\Gamma$ の点がちょうど得られる。
  段 4（直線と直線）。相異なる 2 直線 $\ell_1$、$\ell_2$ が 1 点 $X$ で交わるとする。lem-mm-avoid で、$\ell_1$ の上にも $\ell_2$ の上にもない作図済みの点 $O$ をとり、円 $(O;\,r)$ に関して反転する。lem-mm-line-image により、$\ell_1$、$\ell_2$ の像は $O$ を通る円 $\omega_1$、$\omega_2$ で、コンパスだけで描ける。反転は 1 対 1 なので $\omega_1\ne\omega_2$ であり、$\omega_1\cap\omega_2$ は $O$ と $X'$（$X$ の反転）からなる。$O$ でないほうの交点 $X'$ を反転すれば $X$ が得られる。
  段 5（まとめ）。段 1〜4 により、定規とコンパスの作図の各段階で得られる点は、コンパスだけでも作図できる。手順の長さについての帰納法で、定規とコンパスで作図できる点はすべてコンパスだけで作図できる。逆の包含は、コンパスだけの作図が定規とコンパスの作図の一部であることから成り立つ。$\square$

方針：$AB$ を 2 倍に延ばした点 $C$ を作り、$C$ を円 $(A;\,AB)$ に関して反転する。
段 1（手順）。lem-mm-multiple の 1 で、半直線 $AB$ の上に $AC=2AB$ となる点 $C$ を作る。次に円 $(C;\,CA)$ と円 $(A;\,AB)$ の交点を $F$、$G$ とし、円 $(F;\,FA)$ と円 $(G;\,GA)$ の交点のうち $A$ でないほうを $M$ とする。
段 2（正しさ）。$s=AB$ とおく。$AC=2s>\dfrac s2$ なので、段 1 の後半は lem-mm-invert の段 1・2 の手順そのもので、$M$ は $C$ の円 $(A;\,s)$ に関する反転である。よって $M$ は半直線 $AC$（$=$ 半直線 $AB$）の上にあり
$$ AM=\frac{s^2}{AC}=\frac{s^2}{2s}=\frac s2 $$
である。つまり $M$ は $AB$ の中点である。
段 3（数で確かめる）。$A=(0,0)$、$B=(1,0)$ なら $C=(2,0)$ で、円 $(x-2)^2+y^2=4$ と $x^2+y^2=1$ の交点は $x=\dfrac14$、$y=\pm\dfrac{\sqrt{15}}4$ である。直線 $x=\dfrac14$ について $A$ と対称な点は $\left(\dfrac12,0\right)$ で、確かに中点である（図 1 の右）。$\square$