ベクトル束

1. 各 $E_b$ は零ベクトルを含むので空でなく、$\pi$ は全射である。$W\subset E$ を開集合（開集合）とし、$e\in W$、$b:=\pi(e)$ の局所自明化 $(U,\phi_U)$ をとる。$\phi_U(W\cap\pi^{-1}(U))$ は $U\times\mathbb{K}^r$ の開集合で、$\mathrm{pr}_1$ は開写像なので $\pi(W\cap\pi^{-1}(U))=\mathrm{pr}_1(\phi_U(W\cap\pi^{-1}(U)))$ は $U$ の開集合、したがって $B$ の開集合である。$\pi(W)$ はこのような集合の和なので開である。
2. 局所自明化 $\phi_U$ の $E_b$ への制限は $E_b$ から $\{b\}\times\mathbb{K}^r$ への線形同型であり、$\phi_U$ が同相写像なので相対位相についての同相でもある。よって $\dim E_b=r$ である。
3. $U$ 上で零切断は $\phi_U^{-1}\circ(b\mapsto(b,0))$ と書けるので連続である。零切断の像の補集合は、局所自明化の族にわたる和 $\bigcup_U\phi_U^{-1}(U\times(\mathbb{K}^r\setminus\{0\}))$ なので開である。和とスカラー倍は、$\pi^{-1}(U)$ 上で $\phi_U$ を通して $U\times\mathbb{K}^r$ の成分ごとの和とスカラー倍に移るので連続である。$\square$

1. $\phi_\alpha\circ\phi_\beta^{-1}$ は連続なので、$e_j$ を $\mathbb{K}^r$ の標準基底（標準基底）とすると $u\mapsto\phi_\alpha\circ\phi_\beta^{-1}(u,e_j)=(u,g_{\alpha\beta}(u)e_j)$ は連続であり、$g_{\alpha\beta}(u)$ の第 $j$ 列は $u$ の連続関数である。よって $g_{\alpha\beta}\colon U_\alpha\cap U_\beta\to\mathbb{K}^{r\times r}$ は連続で、値は $\mathrm{GL}(r,\mathbb{K})$ に入る。$\phi_\alpha\circ\phi_\alpha^{-1}=\mathrm{id}$ から $g_{\alpha\alpha}=1$、$(\phi_\alpha\circ\phi_\beta^{-1})\circ(\phi_\beta\circ\phi_\gamma^{-1})=\phi_\alpha\circ\phi_\gamma^{-1}$ からコサイクル条件を得る。
2. $\tilde E:=\bigsqcup_{\alpha\in A}U_\alpha\times\mathbb{K}^r$ 上の関係 $(\alpha,u,v)\sim(\beta,u',v')\iff u=u'\text{ かつ }v'=g_{\beta\alpha}(u)v$ は、$g_{\alpha\alpha}=1$ により反射的、$g_{\alpha\beta}g_{\beta\alpha}=g_{\alpha\alpha}=1$ により対称的、コサイクル条件により推移的なので同値関係である。$E:=\tilde E/\sim$、$\pi([\alpha,u,v]):=u$ とおく。$\pi$ は矛盾なく定まり、商写像 $q\colon\tilde E\to E$ との合成が連続なので連続である。$\psi_\alpha\colon U_\alpha\times\mathbb{K}^r\to\pi^{-1}(U_\alpha)$、$\psi_\alpha(u,v):=[\alpha,u,v]$ は連続な全単射である（全射性：$\pi^{-1}(U_\alpha)$ の元 $[\beta,u,v']$ は $u\in U_\alpha$ なので $[\alpha,u,g_{\alpha\beta}(u)v']$ に等しい。単射性：$(\alpha,u,v)\sim(\alpha,u,v')$ なら $v'=g_{\alpha\alpha}(u)v=v$）。$q$ が開写像であることを示す。$W\subset U_\alpha\times\mathbb{K}^r$ を開集合とすると、$q^{-1}(q(W))\cap(U_\beta\times\mathbb{K}^r)$ は写像 $h_{\beta\alpha}\colon(U_\alpha\cap U_\beta)\times\mathbb{K}^r\to(U_\alpha\cap U_\beta)\times\mathbb{K}^r$、$(u,v)\mapsto(u,g_{\beta\alpha}(u)v)$ による $W\cap((U_\alpha\cap U_\beta)\times\mathbb{K}^r)$ の像である。$h_{\beta\alpha}$ は連続で $h_{\alpha\beta}$ を逆写像にもつ同相写像なので、この像は開である。よって $q^{-1}(q(W))$ は開で、$q(W)$ は開である。したがって $\psi_\alpha$ は開写像であり、$\pi^{-1}(U_\alpha)=q(U_\alpha\times\mathbb{K}^r)$ は $E$ の開集合で、$\psi_\alpha$ は同相写像である。各ファイバー $E_u$ に $\psi_\alpha$ を通して $\mathbb{K}^r$ のベクトル空間の構造を入れると、$\psi_\beta^{-1}\circ\psi_\alpha(u,v)=(u,g_{\beta\alpha}(u)v)$ が線形なのでこれは $\alpha$ によらない。$\phi_\alpha:=\psi_\alpha^{-1}$ が局所自明化であり、$\phi_\alpha\circ\phi_\beta^{-1}=h_{\alpha\beta}$ なので変換関数は $g_{\alpha\beta}$ である。
   $B$ が Hausdorff とする。$E$ の相異なる 2 点 $e,e'$ について、$\pi(e)\neq\pi(e')$ なら $B$ で分離する開集合の $\pi$ による逆像が $E$ で分離し、$\pi(e)=\pi(e')=u$ なら、$u\in U_\alpha$ をとると $e,e'$ は Hausdorff 空間 $U_\alpha\times\mathbb{K}^r$ と同相な開集合 $\pi^{-1}(U_\alpha)$ の中で分離される。$\square$

1 と 2 が同値であることは、$B$ 上の局所自明化 $\phi_B\colon E\to B\times\mathbb{K}^r$ が束同型にほかならず、逆に束同型 $f\colon E\to B\times\mathbb{K}^r$ が $B$ 上の局所自明化であることによる。2 から 3：束同型 $f$ に対し $s_i(b):=f^{-1}(b,e_i)$ とおけばよい。3 から 2：$\Phi\colon B\times\mathbb{K}^r\to E$ を $\Phi(b,a):=\sum_{i=1}^ra_is_i(b)$ で定める。$\Phi$ はファイバーごとに線形同型なので全単射であり、$\pi\circ\Phi=\mathrm{pr}_1$ である。局所自明化 $(U,\phi_U)$ 上で $\phi_U\circ\Phi(b,a)=(b,\sum_ia_i\,\mathrm{pr}_2\phi_U(s_i(b)))$ は連続なので $\Phi$ は連続である。$A(b)\in\mathrm{GL}(r,\mathbb{K})$ を第 $i$ 列が $\mathrm{pr}_2\phi_U(s_i(b))$ である行列とすると、$b\mapsto A(b)$ は連続で、$\Phi^{-1}(e)=(\pi(e),A(\pi(e))^{-1}\mathrm{pr}_2\phi_U(e))$（$e\in\pi^{-1}(U)$）である。逆行列をとる写像 $\mathrm{GL}(r,\mathbb{K})\to\mathrm{GL}(r,\mathbb{K})$ は連続（余因子行列と行列式（行列式）による表示）なので $\Phi^{-1}$ は各 $\pi^{-1}(U)$ 上で連続、したがって連続である。よって $\Phi$ は束同型である。直線束については、$s(b)\neq0$ であることと $\{s(b)\}$ が $1$ 次元空間 $E_b$ の基底であることは同値である。$\square$

$\Phi\colon U\times\mathbb{K}^r\to\pi^{-1}(U)$ を $\Phi(u,a):=(u,\sum_ia_is_i(u))$ で定めると、$\Phi$ は連続で、各 $u$ について $\mathbb{K}^r\to E_u$ の線形同型を与えるので全単射である。$\mathbb{K}^N$ の標準的な内積（内積、$\mathbb{C}$ のときは Hermite 内積。Hermite 内積は第 2 変数について線形とする）$\langle\cdot,\cdot\rangle$ を用い、Gram 行列（Gram行列）$G(u):=(\langle s_i(u),s_j(u)\rangle)_{i,j}$ とおくと、$u\mapsto G(u)$ は連続で、$s_1(u),\dots,s_r(u)$ が線形独立（線形独立）なので $G(u)$ は正則である。$(u,v)\in\pi^{-1}(U)$、$v=\sum_ja_js_j(u)$ に対し $\langle s_i(u),v\rangle=\sum_jG(u)_{ij}a_j$ なので $a=G(u)^{-1}(\langle s_i(u),v\rangle)_i$ であり、$\Phi^{-1}(u,v)=(u,G(u)^{-1}(\langle s_i(u),v\rangle)_i)$ は連続である。よって $\Phi^{-1}$ が $U$ 上の局所自明化である。$\square$

各ファイバー $\ell$ は $\mathbb{R}^{n+1}$ の $1$ 次元部分空間である。$i=0,\dots,n$ に対し $U_i:=\{[x]\mid x_i\neq0\}$ は開集合で $\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ を覆う（射影空間の記事の命題（アフィン座標近傍と多様体構造））。$s\colon U_i\to\mathbb{R}^{n+1}$ を $s([x]):=x/x_i$ で定めると、$x$ を $\lambda x$ に替えても値は変わらないので矛盾なく定まり、$s([x])\in\ell$ かつ $s([x])\neq0$ なので $\{s([x])\}$ は $\ell$ の基底である。$s\circ q(x)=x/x_i$ は $q^{-1}(U_i)$ 上で連続であり、商写像 $q$ の飽和開集合 $q^{-1}(U_i)$ への制限は商写像なので $s$ は連続である。よって vector-bundle-lem-subbundle-frames により $\gamma^1_n$ は直線束である。複素の場合も同じ。$\square$

1. $b\in B$ に対し、$E$、$E'$ の局所自明化 $(U,\phi_U)$、$(U',\phi'_{U'})$ をとり、$V:=U\cap U'$ に制限する。$\Psi\colon\pi_\oplus^{-1}(V)\to V\times\mathbb{K}^{r+r'}$ を $\Psi(e,e'):=(\pi(e),(\mathrm{pr}_2\phi_U(e),\mathrm{pr}_2\phi'_{U'}(e')))$ で定めると、$\Psi$ は連続で、ファイバーごとに線形同型 $E_v\oplus E'_v\to\mathbb{K}^r\oplus\mathbb{K}^{r'}$ を与えるので全単射である。逆写像 $(v,(a,a'))\mapsto(\phi_U^{-1}(v,a),\phi'^{-1}_{U'}(v,a'))$ は連続なので $\Psi$ は同相写像であり、局所自明化である。
2. $b'\in B'$ に対し $E$ の $f(b')$ での局所自明化 $(U,\phi_U)$ をとり、$V:=f^{-1}(U)$ とおく。$\Psi(b',e):=(b',\mathrm{pr}_2\phi_U(e))$ は $V\times\mathbb{K}^r$ への連続写像で、逆写像 $(b',a)\mapsto(b',\phi_U^{-1}(f(b'),a))$ も連続であり、ファイバーごとに線形同型である。$\square$

$s\colon S^1\to E$ を切断とする。各 $t\in\mathbb{R}$ に対し、$s(t+\mathbb{Z})$ は $[t,v]$ の形にただ一通りに書ける（第 1 成分を $t$ にとる代表は一意）ので、その $v$ を $f(t)$ とおく。定義から $[t+1,f(t+1)]=s(t+\mathbb{Z})=[t,f(t)]=[t+1,-f(t)]$ なので $f(t+1)=-f(t)$ である。$f$ は連続である：$-\varepsilon< t<1/2+\varepsilon$ では $f(t)=\mathrm{pr}_2\phi_1(s(t+\mathbb{Z}))$、$1/2-\varepsilon< t<1+\varepsilon$ では $f(t)=\mathrm{pr}_2\phi_2(s(t+\mathbb{Z}))$ であり、これらは連続写像の合成である。$f(t+1)=-f(t)$ と合わせて $f$ は $\mathbb{R}$ 全体で連続である。$f(1)=-f(0)$ なので、$f(0)=0$ でなければ $f(0)$ と $f(1)$ は符号が異なり、中間値の定理（中間値の定理）により $f(t_0)=0$ となる $t_0\in(0,1)$ がある。いずれの場合も $s$ はある点で $0$ になる。vector-bundle-prop-trivial-iff により $E$ は自明でない。$\square$

各 $x\in S^n$ について $T_xS^n=\{v\mid\langle x,v\rangle=0\}$ は $\mathbb{R}^{n+1}$ の $n$ 次元部分空間である。$P_x(w):=w-\langle w,x\rangle x$ は $\mathbb{R}^{n+1}$ から $T_xS^n$ への直交射影で、$(x,w)\mapsto P_x(w)$ は連続である。$j\in\{1,\dots,n+1\}$ に対し $U_j:=\{x\in S^n\mid x_j\neq0\}$ とおき、$k\neq j$ に対し $s_k(x):=P_x(e_k)$ とおく。$x\in U_j$ のとき $\{s_k(x)\}_{k\neq j}$ が $T_xS^n$ の基底であることを示す。$\sum_{k\neq j}a_kP_x(e_k)=P_x(w)=0$（$w:=\sum_{k\neq j}a_ke_k$、$w_j=0$）とすると $w=\langle w,x\rangle x$ であり、第 $j$ 成分を比べると $0=\langle w,x\rangle x_j$、$x_j\neq0$ より $\langle w,x\rangle=0$、よって $w=0$、すべての $a_k=0$ である。$n$ 個のベクトルが $n$ 次元空間で線形独立なので基底である。$U_1,\dots,U_{n+1}$ は $S^n$ を覆うので、vector-bundle-lem-subbundle-frames により $TS^n$ は階数 $n$ のベクトル束である。
$F\colon TS^n\oplus\varepsilon^1\to S^n\times\mathbb{R}^{n+1}$ を $F((x,v),(x,t)):=(x,v+tx)$ で定める。$F$ は連続で、各ファイバー上で線形であり、$G(x,w):=((x,P_x(w)),(x,\langle w,x\rangle))$ が逆写像である：$F(G(x,w))=(x,P_x(w)+\langle w,x\rangle x)=(x,w)$、$G(F((x,v),(x,t)))=((x,P_x(v+tx)),(x,\langle v+tx,x\rangle))=((x,v),(x,t))$（$\langle v,x\rangle=0$、$\|x\|=1$ による）。$G$ も連続なので $F$ は束同型である。$\square$