対称多項式

1. $f\mapsto\sigma f$ は、多項式環の普遍性により $x_i\mapsto x_{\sigma(i)}$ で定まる $R$ 代数（多元環）の準同型である。$\tau f$ において $x_i$ を $x_{\sigma(i)}$ に置き換えると、$f$ の $x_i$ は $x_{\tau(i)}$ を経て $x_{\sigma(\tau(i))}$ に置き換わるので $\sigma(\tau f)=(\sigma\tau)f$ である。$\mathrm{id}\,f=f$ は明らかである。特に $\sigma^{-1}$ が $\sigma$ の逆写像を与えるので、各 $\sigma$ は自己同型である。
2. 定数多項式は明らかに対称である。$f,g$ が対称なら、(1) により $\sigma(f+g)=\sigma f+\sigma g=f+g$、$\sigma(fg)=(\sigma f)(\sigma g)=fg$、$\sigma(-f)=-f$ である。$\square$

左辺を展開すると、各因子 $t-x_i$ から $t$ か $-x_i$ を選んで掛けた項の和になる。$-x_i$ を選ぶ添字の集合を $\{i_1<\cdots< i_k\}$ とすると、その項は $(-1)^kx_{i_1}\cdots x_{i_k}t^{n-k}$ である。添字集合の大きさ $k$ ごとにまとめると $t^{n-k}$ の係数は $(-1)^ke_k$ になる。後半は $x_i\mapsto a_i$ で定まる環準同型 $R[x_1,\dots,x_n][t]\to A[t]$（$R=\mathbb{Z}$ とすればよい）で両辺を写して係数を比較すればよい。$\square$

$E(t)$ の展開は prop-symmetric-polynomial-vieta の証明と同様である（各因子から $1$ か $x_it$ を選ぶ）。$1-x_it$ は定数項 $1$ をもつので $R[x_1,\dots,x_n][\![t]\!]$ で可逆であり、$(1-x_it)^{-1}=\sum_{m\ge0}x_i^mt^m$ である。これらの積を展開すると、$t^k$ の係数は $m_1+\cdots+m_n=k$ を満たす $(m_1,\dots,m_n)\in\mathbb{N}^n$ にわたる $x_1^{m_1}\cdots x_n^{m_n}$ の和、すなわち $k$ 次単項式すべての和 $h_k$ である。$E(-t)H(t)=\prod_i(1-x_it)\prod_i(1-x_it)^{-1}=1$ であり、左辺の $t^m$ の係数は $\sum_{k}(-1)^ke_kh_{m-k}$ なので、$m\ge1$ でこれが $0$ になる。$\square$

prop-symmetric-polynomial-generating の等式で $m=k$ とすると $(-1)^ke_k=-\sum_{j=0}^{k-1}(-1)^je_jh_{k-j}$ であり、右辺は $e_0,\dots,e_{k-1}$ と $h_1,\dots,h_k$ の整数係数多項式である。$k$ に関する数学的帰納法により $e_k$ は $h_1,\dots,h_k$ の整数係数多項式である。同じ等式を $h_k=-\sum_{j=1}^{k}(-1)^je_jh_{k-j}$ と書き直せば、逆も同様に従う。$\square$

1. $\alpha$ と $\beta$ が最初に異なる位置 $i$ は $\alpha+\gamma$ と $\beta+\gamma$ が最初に異なる位置でもあり、そこで $\alpha_i+\gamma_i>\beta_i+\gamma_i$ である。
2. $fg=\sum_{\alpha,\beta}c_\alpha d_\beta x^{\alpha+\beta}$（$c_\alpha\ne0$ なる $\alpha$、$d_\beta\ne0$ なる $\beta$ にわたる和）である。$\alpha\le\operatorname{lm}(f)$、$\beta\le\operatorname{lm}(g)$ であり、(1) を2回使うと $\alpha+\beta\le\operatorname{lm}(f)+\beta\le\operatorname{lm}(f)+\operatorname{lm}(g)$ で、等号は $\alpha=\operatorname{lm}(f)$ かつ $\beta=\operatorname{lm}(g)$ のときに限る。よって $x^{\operatorname{lm}(f)+\operatorname{lm}(g)}$ の係数は $\operatorname{lc}(f)\operatorname{lc}(g)\ne0$ であり、他の指数はすべてこれより小さい。
3. ある $i$ で $\alpha_i<\alpha_{i+1}$ とすると、互換 $\sigma=(i\ i{+}1)$ に対し $\sigma f=f$ なので、$\alpha'=(\dots,\alpha_{i+1},\alpha_i,\dots)$（第 $i$ 成分と第 $i+1$ 成分を入れ替えたもの）の係数も $c_\alpha\ne0$ である。ところが $\alpha'$ と $\alpha$ は位置 $i$ で最初に異なり $\alpha'_i=\alpha_{i+1}>\alpha_i$ なので $\alpha'>\alpha$ となり、$\alpha$ の最大性に反する。
4. $e_k$ の単項式 $x_{i_1}\cdots x_{i_k}$（$i_1<\cdots< i_k$）の指数は $0,1$ からなり $1$ が $k$ 個ある。このうち辞書式順序で最大なのは $1$ を前に詰めた $(1,\dots,1,0,\dots,0)$ で、係数は $1$ である。積については (2) を繰り返し用いる。$\square$

存在。 多項式 $f$ の $d$ 次斉次成分を $f_d$ とする。$\sigma$ は単項式を同じ次数の単項式に写すので $(\sigma f)_d=\sigma(f_d)$ であり、$f$ が対称なら各 $f_d$ も対称である。よって $f$ が $d$ 次斉次の場合に示せば十分である。
$d$ 次の指数 $\alpha\in\mathbb{N}^n$（$\alpha_1+\cdots+\alpha_n=d$）は有限個しかないので、$d$ 次斉次対称多項式 $f\ne0$ に関する主張を、$\operatorname{lm}(f)$ に関する辞書式順序についての帰納法で示す（$f=0$ なら $P=0$ でよい）。$\alpha:=\operatorname{lm}(f)$、$c:=\operatorname{lc}(f)$ とおく。lem-symmetric-polynomial-leading (3) により $\alpha_1\ge\cdots\ge\alpha_n$ なので、$b_k:=\alpha_k-\alpha_{k+1}$（$1\le k< n$）、$b_n:=\alpha_n$ は非負整数であり、$g:=e_1^{b_1}\cdots e_n^{b_n}$ とおくと同補題 (4) により $\operatorname{lm}(g)=\alpha$、$\operatorname{lc}(g)=1$ である。また $g$ は次数 $\sum_kkb_k=\sum_k\alpha_k=d$ の斉次対称多項式である。したがって $f_1:=f-cg$ は $d$ 次斉次対称多項式で、$f_1=0$ であるか、さもなくば $\operatorname{lm}(f_1)<\alpha$ である。帰納法の仮定により $f_1=P_1(e_1,\dots,e_n)$ となる $P_1$ があり、$P:=cy_1^{b_1}\cdots y_n^{b_n}+P_1$ とおけば $f=P(e_1,\dots,e_n)$ である。この手続きで現れる係数は $f$ の係数の加減乗で得られ、各段階で $\sum_kkb_k=d$ が保たれるので、後半の主張も従う。
一意性。 $P=\sum_ba_by^b\in R[y_1,\dots,y_n]$、$P\ne0$ が $P(e_1,\dots,e_n)=0$ を満たすとして矛盾を導く。$b\in\mathbb{N}^n$ に対し $\alpha(b):=(b_1+\cdots+b_n,\ b_2+\cdots+b_n,\ \dots,\ b_n)$ とおくと、lem-symmetric-polynomial-leading (4) により $\operatorname{lm}(e^b)=\alpha(b)$、$\operatorname{lc}(e^b)=1$ である（$e^b:=e_1^{b_1}\cdots e_n^{b_n}$）。$\alpha(b)$ から $b_n=\alpha(b)_n$、$b_k=\alpha(b)_k-\alpha(b)_{k+1}$ と $b$ が復元できるので、$b\mapsto\alpha(b)$ は単射である。$a_b\ne0$ となる $b$ のうち $\alpha(b)$ が辞書式順序で最大のものを $b^*$ とすると、$P(e_1,\dots,e_n)=\sum_ba_be^b$ において $x^{\alpha(b^*)}$ の係数は $a_{b^*}\cdot1$ である（$b\ne b^*$ の項 $a_be^b$ に現れる指数はすべて $\alpha(b)$ 以下であり、単射性と $b^*$ のとり方から $\alpha(b)<\alpha(b^*)$）。これは $P(e_1,\dots,e_n)=0$ に反する。$\square$

定義の直後に述べたように、$f=\sum_\alpha c_\alpha x^\alpha$ が対称であることは $c_\alpha$ が $\alpha$ の並べ替えで不変であることと同値である。よって対称多項式 $f$ は、各並べ替え類から代表 $\alpha$（成分が広義減少のもの）を選んで $f=\sum_\alpha c_\alpha m_\alpha$ と一意に書ける。逆に $m_\alpha$ は対称多項式であり、異なる代表に対する $m_\alpha$ は共通の単項式をもたないので、$\sum_\alpha c_\alpha m_\alpha=0$ なら各 $c_\alpha=0$ である。$\square$

$R[x_1,\dots,x_n][\![t]\!]$ で考える。$F=\sum_ma_mt^m$ の形式微分を $F^{\prime}:=\sum_mma_mt^{m-1}$ と定めると、$(FG)^{\prime}=F^{\prime}G+FG^{\prime}$（Leibniz則）が成り立つ（形式的冪級数。多項式の場合は係数比較で直ちに確かめられる）。$E(t)=\prod_{i=1}^n(1+x_it)$ に Leibniz 則を繰り返し用いると
$$ E^{\prime}(t)=\sum_{i=1}^nx_i\prod_{j\ne i}(1+x_jt) $$
である。一方、$(1+x_it)\sum_{m\ge0}(-1)^mx_i^mt^m=1$ が直接の計算（隣り合う項の相殺）で確かめられるので、$\prod_{j\ne i}(1+x_jt)=E(t)\sum_{m\ge0}(-1)^mx_i^mt^m$ である。これを代入して $i$ について足すと
$$ E^{\prime}(t)=E(t)\sum_{i=1}^n\sum_{m\ge0}(-1)^mx_i^{m+1}t^m=E(t)\sum_{m\ge0}(-1)^mp_{m+1}t^m $$
を得る。両辺の $t^{k-1}$ の係数を比べると、左辺は $ke_k$、右辺は $\sum_{j=0}^{k-1}e_j(-1)^{k-1-j}p_{k-j}$ である。両辺に $(-1)^{k}$ を掛けて移項すれば $\sum_{j=0}^{k-1}(-1)^je_jp_{k-j}+(-1)^kke_k=0$、すなわち主張の等式になる。$\square$

thm-symmetric-polynomial-newton を $ke_k=(-1)^{k-1}\bigl(p_k-e_1p_{k-1}+\cdots+(-1)^{k-1}e_{k-1}p_1\bigr)$ と書き直す。$k$ が $R$ で可逆なら、$k$ に関する数学的帰納法により $e_k$ は $p_1,\dots,p_k$ の $\mathbb{Q}$ 係数多項式である。前半の後段は thm-symmetric-polynomial-fundamental から従う。後半は同じ恒等式を $p_k=e_1p_{k-1}-\cdots+(-1)^{k-1}ke_k$ と読み、$k$ に関する帰納法を用いればよい。$\square$