Gysin写像

$M$ を $m$ 次元のコンパクト連結向き付けられた多様体、$x\in M$、$i\colon\{x\}\hookrightarrow M$ とする。$i_*\colon H^0(\{x\};\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\to H^m(M;\mathbb{Z})$ について、$[M]\frown i_*(1)=i_\sharp([x]\frown1)=[x]\in H_0(M;\mathbb{Z})$ である。$m$ 次コサイクル $\varphi$ と $m$ 次サイクル $\sigma$ に対し $\sigma\frown\varphi=\varphi(\sigma)\cdot(\text{点})$ なので、添加写像 $\varepsilon\colon H_0(M)\to\mathbb{Z}$ を施すと $\langle i_*(1),[M]\rangle=\varepsilon([x])=1$ を得る。すなわち $i_*(1)$ は $[M]$ との対が $1$ になる $H^m(M;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$ の生成元（向きの類）であり、どの点 $x$ をとっても同じ類である。エタールコホモロジーでは、$k$ 分離閉、$X$ を $d$ 次元の滑らかな固有多様体、$x$ を閉点とすると $i_*\colon H^0(x,\Lambda)\to H^{2d}(X,\Lambda(d))$ であり、thm-gysin-etale-proper の (iv) により $\operatorname{Tr}_X(i_*(1))=1$ となる。Chow 群では $i_*[x]=[x]\in CH^d(X)=CH_0(X)$、$\deg[x]=1$ である。 $Z=\{x_1,x_2\}\subset\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ の 2 点では、$i_*\colon H^0(Z;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}^2\to H^2(\mathbb{P}^1;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$ は $(a,b)\mapsto a+b$ であり、全射だが単射でない。核の生成元 $(1,-1)$ は、$0$ サイクル $[x_1]-[x_2]$ が有理関数の因子（有理同値で $0$）であることの反映である。Gysin 写像は一般に単射でも全射でもない（ex-gysin-plane-curve）。

$X=\mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ とし、$h:=c_1(\mathcal{O}(1))\in H^2(\mathbb{P}^n;\mathbb{Z})$ を超平面 $H$ の類（直線束 $\mathcal{O}(1)$ の第 1 Chern 類）とすると、$H^\bullet(\mathbb{P}^n;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[h]/(h^{n+1})$ である（射影空間）。$Y\subset\mathbb{P}^n$ を次数 $e$ の滑らかな超曲面、$i\colon Y\hookrightarrow\mathbb{P}^n$ とする。thm-gysin-divisor-c1 により $i_*(1)=\eta_Y=c_1(\mathcal{O}(Y))=c_1(\mathcal{O}(e))=e\,h$ である。射影公式（prop-gysin-projection-formula）から、任意の $\beta\in H^\bullet(\mathbb{P}^n)$ について
$$ i_*(i^*\beta)=i_*(1)\cup\beta=e\,h\cup\beta $$
となる。さらに自己交叉公式（prop-gysin-self-intersection）から $i^*i_*(1)=i^*(e\,h)=e\,h|_Y=c_1(N_{Y/\mathbb{P}^n})$ であり、これは法束 $N_{Y/\mathbb{P}^n}\cong\mathcal{O}(e)|_Y$ の第 1 Chern 類（第1Chern類）と一致する。Chow 群でも $i_*[Y]=[Y]=e[H]\in CH^1(\mathbb{P}^n)\cong\mathbb{Z}$ である（Chow環）。

$L\cong\mathbb{P}^1\subset\mathbb{P}^2$ を直線、$u\colon\mathbb{P}^2\smallsetminus L\hookrightarrow\mathbb{P}^2$ を包含とする。ex-gysin-hypersurface で $e=1$ として、$i_*\colon H^0(L)\to H^2(\mathbb{P}^2)$ は $1\mapsto h$ で同型、$i_*\colon H^2(L)\to H^4(\mathbb{P}^2)$ は、$H^2(L)$ の生成元 $\omega=i^*h$（$\mathcal{O}(1)|_L$ の次数は $1$）について $i_*\omega=i_*(i^*h)=h\cup h=h^2$ となり、これも同型である。Gysin 完全列（thm-gysin-sequence-topological、実余次元 $2$）
$$ \cdots\to H^{j-2}(L)\xrightarrow{i_*}H^{j}(\mathbb{P}^2)\xrightarrow{\ u^*\ }H^{j}(\mathbb{P}^2\smallsetminus L)\xrightarrow{\ \partial\ }H^{j-1}(L)\xrightarrow{i_*}H^{j+1}(\mathbb{P}^2)\to\cdots $$
で $i_*$ が $j=2,4$ で同型、他の次数で両端が $0$ なので、$H^{j}(\mathbb{P}^2\smallsetminus L;\mathbb{Z})=0$（$j\ge1$）を得る。これは $\mathbb{P}^2\smallsetminus L\cong\mathbb{C}^2$ が可縮（可縮空間）であることと合致する。
次に $C\subset\mathbb{P}^2$ を次数 $e\ge2$ の滑らかな平面曲線とし、$U:=\mathbb{P}^2\smallsetminus C$ とおく。$i_*\colon H^0(C)\to H^2(\mathbb{P}^2)$ は $e$ 倍写像 $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ であり、単射だが全射でない。Gysin 完全列の $j=1,2$ の部分
$$ 0=H^1(\mathbb{P}^2)\to H^1(U)\to H^0(C)\xrightarrow{\ e\ }H^2(\mathbb{P}^2)\to H^2(U)\to H^1(C)\xrightarrow{i_*}H^3(\mathbb{P}^2)=0 $$
から $H^1(U;\mathbb{Z})=0$、$H^2(U;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/e\oplus H^1(C;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/e\oplus\mathbb{Z}^{2g}$（$g=(e-1)(e-2)/2$ は $C$ の種数）を得る。とくに $e=2$（円錐曲線）では $H^2(\mathbb{P}^2\smallsetminus C;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/2$ であり、滑らかなアフィン曲面のコホモロジーに捩れが現れる。この捩れは Gysin 写像 $i_*$ の余核として生じたものである。

$Y$ をコンパクト連結複素多様体、$\pi\colon\mathbb{P}^1\times Y\to Y$ を射影とする。$\pi$ の余次元は $-2$ で、$\pi_*\colon H^{j}(\mathbb{P}^1\times Y)\to H^{j-2}(Y)$ は次数を下げる。$p\in\mathbb{P}^1$ を固定し、$\iota\colon Y\cong\{p\}\times Y\hookrightarrow\mathbb{P}^1\times Y$ とおくと $\pi\circ\iota=\mathrm{id}_Y$ である。$h:=\iota_*(1)\in H^2(\mathbb{P}^1\times Y)$ は $\{p\}\times Y=\mathrm{pr}_1^{-1}(p)$ の Poincaré 双対類なので $\mathrm{pr}_1^*\eta_p$ に等しく、Künnethの公式により $H^\bullet(\mathbb{P}^1\times Y)$ の元は $\pi^*\beta_0+h\cup\pi^*\beta_1$（$\beta_0,\beta_1\in H^\bullet(Y)$）と一意に書ける。射影公式と関手性（prop-gysin-functoriality）から
$$ \pi_*(\pi^*\beta_0)=\pi_*(1)\cup\beta_0=0,\qquad \pi_*(h\cup\pi^*\beta_1)=\pi_*\iota_*(1\cup\iota^*\pi^*\beta_1)=(\pi\circ\iota)_*\beta_1=\beta_1 $$
である（$\pi_*(1)\in H^{-2}(Y)=0$）。すなわち $\pi_*$ は「$h$ の係数 $\beta_1$ を取り出す」写像であり、de Rhamコホモロジーで言えばファイバー $\mathbb{P}^1$ に沿う微分形式の積分 $\int_{\mathbb{P}^1}$ である。一般に滑らかな固有射の Gysin 写像はファイバー積分と呼ばれる。

$X=\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$、$x\in X$、$i=g\colon\{x\}\hookrightarrow X$ とし、ファイバー積 $\{x\}\times_X\{x\}=\{x\}$ をとって $i'=g'=\mathrm{id}_{\{x\}}$ とおく。このとき $g^*i_*(1)=g^*\eta_x\in H^2(\{x\})=0$ であるが、$i'_*g'^*(1)=1\in H^0(\{x\})$ である。したがって $g^*\circ i_*\ne i'_*\circ g'^*$ である。破れている含意は「引き戻しと Gysin 写像は任意のファイバー積の図式で可換である」であり、prop-gysin-base-change の横断性（あるいは $g$ の平坦性）の仮定は落とせない。Chow 群で言えば、$i^!i_*[x]$ は過剰交叉公式（Ful98 Theorem 6.3）により $c_1(N_{x/X})\cap[x]=0$ であって $[x]$ ではない（$\{x\}$ は自分自身と横断的に交わらない）。

$u\colon\mathbb{A}^1\hookrightarrow\mathbb{P}^1$ を開埋め込みとする。$\mathbb{A}^1$ 上で $[0]=[\operatorname{div}(t)]$ は有理同値で $0$、すなわち $CH_0(\mathbb{A}^1)=0$ である。しかしサイクルの素朴な押し出し $[0]\mapsto[0]$ は $CH_0(\mathbb{P}^1)\cong\mathbb{Z}$ の生成元に写り、$0$ ではない。したがって固有でない射では Chow 群の Gysin 写像は定義されない。破れている含意は「$f_*$ が有理同値を保つ」であり、def-gysin-chow の固有性の仮定は落とせない（$\mathbb{P}^1$ では $t$ が $\infty$ に極をもつため $[0]-[\infty]$ しか消えない）。位相的にも、開集合 $U\subset M$ の包含に対して $H^j(U)\to H^j(M)$ に自然な写像はなく、定まるのはコンパクト台コホモロジー（コンパクト台コホモロジー）からの零拡張 $H^j_c(U)\to H^j(M)$ だけである。