靴ひも公式

方針：1 は展開して比べる。2 と 3 は、$A$ を始点とするベクトル $\vec u=\overrightarrow{AB}$、$\vec v=\overrightarrow{AC}$ で考える。
段 1（展開）。1 の右辺の中かっこの中を展開すると
$$ \begin{aligned} &(x_2y_3-x_2y_1-x_1y_3+x_1y_1)-(x_3y_2-x_3y_1-x_1y_2+x_1y_1)\\ &=(x_1y_2-x_2y_1)+(x_2y_3-x_3y_2)+(x_3y_1-x_1y_3) \end{aligned} $$
である（$x_1y_1$ が打ち消し合い、残る 6 つの項を 2 つずつ組にした）。最後の式は def-shl-sum の $n=3$ の中かっこそのものなので、1 が成り立つ。
段 2（面積）。$\vec u=(u_1,u_2)=(x_2-x_1,\ y_2-y_1)$、$\vec v=(v_1,v_2)=(x_3-x_1,\ y_3-y_1)$ とおく。$\vec u,\vec v$ のなす角を $\theta$（$0\le\theta\le\pi$）とすると、三角形の面積は $\dfrac12|\vec u||\vec v|\sin\theta$ である。$\sin\theta\ge0$ なので $\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}$ であり、内積 $\vec u\cdot\vec v=|\vec u||\vec v|\cos\theta$ を使うと
$$ \frac12|\vec u||\vec v|\sin\theta=\frac12\sqrt{|\vec u|^2|\vec v|^2-(\vec u\cdot\vec v)^2} $$
となる。根号の中を成分で書いて展開すると
$$ \begin{aligned} (u_1^2+u_2^2)(v_1^2+v_2^2)-(u_1v_1+u_2v_2)^2&=u_1^2v_2^2+u_2^2v_1^2-2u_1v_1u_2v_2\\ &=(u_1v_2-u_2v_1)^2 \end{aligned} $$
である（左辺の展開で $u_1^2v_1^2$ と $u_2^2v_2^2$ が打ち消し合う）。よって面積は $\dfrac12|u_1v_2-u_2v_1|$ で、段 1 により $u_1v_2-u_2v_1=2S(A,B,C)$ だから、面積は $|S(A,B,C)|$ である。$A,B,C$ が一直線上にあるときは $\theta=0$ か $\pi$、または $\vec u,\vec v$ の一方が零ベクトルなので、面積 $0$、つまり $S=0$ である。
段 3（符号）。$\vec u,\vec v$ は零ベクトルでないので、$x$ 軸の正の向きから反時計回りに測った角 $\alpha,\beta$ を使って $\vec u=|\vec u|(\cos\alpha,\sin\alpha)$、$\vec v=|\vec v|(\cos\beta,\sin\beta)$ と書ける。正弦の加法定理により
$$ u_1v_2-u_2v_1=|\vec u||\vec v|(\cos\alpha\sin\beta-\sin\alpha\cos\beta)=|\vec u||\vec v|\sin(\beta-\alpha) $$
である。$C$ が直線 $AB$ の左側にあることは、$\vec u$ の向きから反時計回りに $0$ より大きく $\pi$ より小さい角だけ回すと $\vec v$ の向きになること、つまり $\beta-\alpha$ が $0<\beta-\alpha<\pi$ を満たす角と $2\pi$ の整数倍の差しかないことである。これは $\sin(\beta-\alpha)>0$ と同値である。よって $S>0$ と反時計回りは同値である。
段 4（並べ替え）。$S(B,C,A)$ の中かっこは $(x_2y_3-x_3y_2)+(x_3y_1-x_1y_3)+(x_1y_2-x_2y_1)$ で、$S(A,B,C)$ と同じ 3 項を順番を変えて足したものである。$S(C,A,B)$ も同じである。$S(A,C,B)$ の中かっこは
$$ (x_1y_3-x_3y_1)+(x_3y_2-x_2y_3)+(x_2y_1-x_1y_2) $$
で、各項が $S(A,B,C)$ の項の符号を変えたものになっている。よって $S(A,C,B)=-S(A,B,C)$ である。$\square$

方針：1 つの項を展開し、増えた部分を $i$ について足すと $0$ になることを示す。
段 1（1 つの項）。$P_i'=(x_i+a,\ y_i+b)$ なので
$$ \begin{aligned} &(x_i+a)(y_{i+1}+b)-(x_{i+1}+a)(y_i+b)\\ &=x_iy_{i+1}+bx_i+ay_{i+1}+ab-x_{i+1}y_i-bx_{i+1}-ay_i-ab\\ &=(x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)+b(x_i-x_{i+1})+a(y_{i+1}-y_i) \end{aligned} $$
である。
段 2（足す）。$i=1,\dots,n$ について足すと、増えた部分は $b\sum_{i=1}^n(x_i-x_{i+1})+a\sum_{i=1}^n(y_{i+1}-y_i)$ である。$\sum_{i=1}^n(x_i-x_{i+1})=(x_1-x_2)+(x_2-x_3)+\cdots+(x_n-x_1)$ は、隣り合う項で $x_2,x_3,\dots,x_n$ が打ち消し合い、最後に $x_1-x_1=0$ が残る。$y$ の和も同じく $0$ である。よって増えた部分は $0$ で、$S(P_1',\dots,P_n')=S(P_1,\dots,P_n)$ である。$\square$

方針：$T_{ij}:=x_iy_j-x_jy_i$ と書く。$T_{ji}=-T_{ij}$ である。点を 1 つ増やしたときに増える量が、三角形 1 つ分の和であることを示す。
段 1（$n=3$）。右辺は $k=2$ の 1 項 $S(P_1,P_2,P_3)$ だけなので、両辺は等しい。
段 2（1 つ増やす）。$n\ge4$ とする。定義により
$$ \begin{aligned} 2S(P_1,\dots,P_n)&=T_{12}+T_{23}+\cdots+T_{n-2,n-1}+T_{n-1,n}+T_{n,1},\\ 2S(P_1,\dots,P_{n-1})&=T_{12}+T_{23}+\cdots+T_{n-2,n-1}+T_{n-1,1} \end{aligned} $$
である。上から下を引くと、$T_{12}$ から $T_{n-2,n-1}$ までが打ち消し合い
$$ 2S(P_1,\dots,P_n)-2S(P_1,\dots,P_{n-1})=T_{n-1,n}+T_{n,1}-T_{n-1,1} $$
が残る。一方、三角形 $P_1,P_{n-1},P_n$ については
$$ 2S(P_1,P_{n-1},P_n)=T_{1,n-1}+T_{n-1,n}+T_{n,1} $$
であり、$T_{1,n-1}=-T_{n-1,1}$ なので、これは上の差に等しい。よって
$$ S(P_1,\dots,P_n)=S(P_1,\dots,P_{n-1})+S(P_1,P_{n-1},P_n) $$
である。
段 3（帰納法）。段 2 の式を $n$ から $n-1$、$n-1$ から $n-2$、… と $n=3$ まで繰り返し使うと、
$$ S(P_1,\dots,P_n)=S(P_1,P_2,P_3)+S(P_1,P_3,P_4)+\cdots+S(P_1,P_{n-1},P_n) $$
となる。これが示す式である。$\square$

方針：lem-shl-fan で和を三角形ごとに分け、各三角形の和が正でその面積に等しいことを示す。
段 1（和を分ける）。lem-shl-fan により $S(P_1,\dots,P_n)=\sum_{k=2}^{n-1}S(P_1,P_k,P_{k+1})$ である。
段 2（各三角形の和は正）。$2\le k\le n-1$ とする。$P_1$ は $P_k$ とも $P_{k+1}$ とも異なる頂点なので（$k\ge2$ かつ $k+1\le n$）、def-shl-convex を辺 $P_kP_{k+1}$ に使うと $S(P_k,P_{k+1},P_1)>0$ である。prop-shl-triangle の 4 により $S(P_1,P_k,P_{k+1})=S(P_k,P_{k+1},P_1)>0$ である。
段 3（各三角形の面積）。段 2 と prop-shl-triangle の 2 により、$S(P_1,P_k,P_{k+1})=|S(P_1,P_k,P_{k+1})|$ は三角形 $P_1P_kP_{k+1}$ の面積に等しい。
段 4（面積を足す）。凸多角形は $n-2$ 個の三角形 $P_1P_kP_{k+1}$ に重なりなく分けられる（lem-shl-fan の前で述べたとおり、この事実は証明しない）ので、その面積は三角形の面積の和である。段 1・段 3 により、それは $S(P_1,\dots,P_n)$ に等しい。$\square$

方針：prf-shl-fan と同じく $T_{ij}=x_iy_j-x_jy_i$ で書き、右辺の 2 つの和を足す。
段 1（左の部分）。$P_1,\dots,P_j$ の和は、辺 $P_1P_2,\dots,P_{j-1}P_j$ の項と、$P_j$ から $P_1$ に戻る項からなる。
$$ 2S(P_1,\dots,P_j)=T_{12}+T_{23}+\cdots+T_{j-1,j}+T_{j,1} $$
段 2（右の部分）。$P_j,\dots,P_n,P_1$ の和は、辺 $P_jP_{j+1},\dots,P_{n-1}P_n,P_nP_1$ の項と、$P_1$ から $P_j$ に戻る項からなる。
$$ 2S(P_j,\dots,P_n,P_1)=T_{j,j+1}+\cdots+T_{n-1,n}+T_{n,1}+T_{1,j} $$
段 3（足す）。段 1 と段 2 を足すと、もとの $n$ 本の辺の項 $T_{12},\dots,T_{n,1}$ がちょうど 1 回ずつ現れ、ほかに切り口の項 $T_{j,1}+T_{1,j}$ が残る。$T_{1,j}=-T_{j,1}$ なので切り口の項は $0$ であり、和は $2S(P_1,\dots,P_n)$ に等しい。$\square$

方針：いちばん左にある頂点 $V$ をとり、その両隣を結ぶ線分か、$V$ から出る線分のどちらかが対角線になることを示す。
段 1（いちばん左の頂点）。$x$ 座標が最小の頂点のうち、$y$ 座標が最小のものを $V$ とし、その両隣の頂点を $U$、$W$ とする。多角形全体が直線 $x=x_V$ の右側（直線上を含む）にあるので、$V$ での内角は $180^\circ$ 以下である。$180^\circ$ になるのは $U,V,W$ が直線 $x=x_V$ 上で $V$ をはさむときだけだが、そのとき $U,W$ の一方は $V$ より下にあり、$V$ の選び方に反する。よって内角は $180^\circ$ より小さく、$U,V,W$ は一直線上にない三角形をなす。$V$ の近くでは、この三角形の内側が多角形の内部である。
段 2（三角形 $UVW$ に他の頂点がないとき）。三角形 $UVW$（周を含む）に $U,V,W$ 以外の頂点がないとする。このとき、辺 $UV$、$VW$ 以外の辺は三角形 $UVW$ の中に入れない。実際、そのような辺が三角形に入るなら、両端は三角形の外にあるので、三角形の周を 2 回横切る。辺 $UV$、$VW$ とは交わらない（単純多角形だから）ので、2 回とも線分 $UW$ を横切ることになるが、2 本の線分が同じ直線上にないとき共有点は高々 1 つなので、これは起こらない。$U$ や $W$ を端点とする辺（$UV$、$VW$ 以外）も、三角形の中に入るなら $UV$ か $VW$ か $UW$ を横切って出ていく必要があり、$UW$ を横切るには $U$ または $W$ 以外の点で直線 $UW$ と交わらなければならないので、同じく起こらない。
ここまでの議論では、辺が直線 $UW$ と同じ直線上にない場合を扱った。辺が直線 $UW$ 上にある場合も、次のとおり起こらない。

• $U$ も $W$ も端点にもたない辺が直線 $UW$ 上にあって三角形に入るなら、両端は三角形の外、つまり直線 $UW$ 上で線分 $UW$ の外にあるので、この辺は $U$ か $W$ を途中に含む。$U$ を含むなら、この辺は辺 $UV$ と隣り合わない（端点に $U$ も $V$ も含まない）のに共有点 $U$ をもち、単純多角形であることに反する。$W$ を含む場合も、辺 $VW$ について同じである。
• $U$ を端点とする辺で $UV$ でないもの、つまり $U$ のもう一方の隣の頂点 $U'$ との辺 $UU'$ が直線 $UW$ 上にある場合を考える。$U'$ は三角形の外にある（$n\ge4$ なので $U'\ne W$）。この辺が $U$ から $W$ の側へ向かうなら、$W$ を途中に含むので、隣り合わない辺 $VW$ と共有点 $W$ をもち、単純多角形であることに反する。$W$ と反対の側へ向かうなら、$U$ 以外の点は三角形に入らない。$W$ を端点とする辺についても同じである。よって線分 $UW$ の途中の点は、どの辺にも乗らず、三角形 $UVW$ の内側の近くにあり、多角形の内部にある。$U,W$ は隣り合わない（$n\ge4$ だから）ので、$UW$ は対角線である。
  段 3（三角形 $UVW$ に他の頂点があるとき）。そのような頂点のうち、直線 $UW$ から最も遠いもの（$V$ の側に最も近いもの）を $Z$ とする。$Z$ を通って $UW$ に平行な直線と、辺 $VU$、$VW$ で囲まれる小さな三角形 $V$ 側の部分には、$Z$ より $V$ に近い頂点はない。段 2 と同じ理由で、この小さな三角形の中を通る辺はなく、線分 $VZ$ の途中の点はどの辺にも乗らない。$V$ の近くで線分 $VZ$ は三角形 $UVW$ の内側、つまり多角形の内部に入り、辺を横切らずに $Z$ まで進むので、途中の点はすべて内部にある。$Z$ は $U,W$ と異なるので $V$ と隣り合わず、$VZ$ は対角線である。$\square$

方針：対角線で 2 つの単純多角形に切り、lem-shl-cut と帰納法の仮定を使う。
段 1（始点をずらしてよい）。点の列を $P_2,\dots,P_n,P_1$ と始点をずらしても、和に現れる $n$ 個の項は同じで、足す順番が変わるだけなので $S$ は変わらない。
段 2（$n=3$）。三角形では、反時計回りの 2 つの意味が一致するので、prop-shl-triangle の 2 と 3 により面積は $S$ である。
段 3（$n\ge4$）。$n$ より少ない頂点の単純多角形について定理が正しいと仮定する。lem-shl-diagonal により対角線がある。段 1 により、対角線を $P_1P_j$（$3\le j\le n-1$）としてよい。対角線で切ると、多角形は 2 つの単純多角形 $A=P_1P_2\cdots P_j$ と $B=P_jP_{j+1}\cdots P_nP_1$ に分かれ、重なりはない。頂点の数は $j$ と $n-j+2$ で、どちらも $n$ より少ない。
段 4（向き）。$A$ の辺のうちもとの多角形の辺であるものは、辺のすぐ近くで $A$ の内部が左側にある（もとの内部が左側にあり、そのうち辺に近い部分は $A$ に属するから）。切り口 $P_j\to P_1$ についても、$A$ は対角線の片側にあり、$A$ を反時計回りに回るとその側が左になる。同じことが $B$ についても成り立つので、$A$、$B$ の頂点はこの並びで反時計回りである。
段 5（足す）。帰納法の仮定により、$A$ の面積は $S(P_1,\dots,P_j)$、$B$ の面積は $S(P_j,\dots,P_n,P_1)$ である。重なりなく分かれているので、もとの多角形の面積はこの 2 つの和で、lem-shl-cut によりそれは $S(P_1,\dots,P_n)$ である。
段 6（時計回り）。頂点を逆順 $P_n,\dots,P_1$ に並べると反時計回りになる。逆順の和は、各項 $T_{i,i+1}$ が $T_{i+1,i}=-T_{i,i+1}$ に変わるので $-S(P_1,\dots,P_n)$ であり、これが面積である。$\square$

方針：右辺の各項を展開し、余分な項が $i$ について足すと消えることを示す。
段 1（展開）。
$$ (x_i-x_{i+1})(y_i+y_{i+1})=x_iy_i+x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i-x_{i+1}y_{i+1}=(x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)+(x_iy_i-x_{i+1}y_{i+1}) $$
である。
段 2（足す）。$\sum_{i=1}^n(x_iy_i-x_{i+1}y_{i+1})=(x_1y_1-x_2y_2)+(x_2y_2-x_3y_3)+\cdots+(x_ny_n-x_1y_1)$ は、隣り合う項が打ち消し合って $0$ になる（prf-shl-translate の段 2 と同じ形）。よって右辺は $\dfrac12\sum_{i=1}^n(x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)=S(P_1,\dots,P_n)$ である。$\square$

方針：$x$ 軸に関して対称なので、上半分の面積を積分で求めて 2 倍する。
段 1（上半分の関数）。楕円の上半分は $y=b\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}=\dfrac ba\sqrt{a^2-x^2}$（$-a\le x\le a$）のグラフと $x$ 軸で囲まれる。
段 2（積分）。面積は
$$ 2\int_{-a}^a\frac ba\sqrt{a^2-x^2}\,dx=\frac{2b}a\int_{-a}^a\sqrt{a^2-x^2}\,dx $$
である。$\displaystyle\int_{-a}^a\sqrt{a^2-x^2}\,dx$ は半径 $a$ の半円の面積なので $\dfrac{\pi a^2}2$ である。
段 3（まとめ）。面積は $\dfrac{2b}a\cdot\dfrac{\pi a^2}2=\pi ab$ である。$\square$