初等埋め込み

(i) 量化記号を含まない式は、原子式から $\neg$ と $\wedge$（ほかの結合子はこの二つで書ける）で作られる。原子式では定義から真偽が一致し、$\neg\varphi$ と $\varphi\wedge\psi$ の真偽は $\varphi,\psi$ の真偽だけで決まるので、式の作り方に沿った帰納法で一致が続く。存在の形の式については、$\mathcal M$ での証人 $\bar b$ を取ると $\mathcal M\models\psi(\bar a,\bar b)$ であり、前半から $\mathcal N\models\psi(j(\bar a),j(\bar b))$ となるので、$j(\bar b)$ が $\mathcal N$ での証人になる。
(ii) 式の作り方に関する帰納法で示す。原子式・$\neg$・$\wedge$ は (i) と同じである。$\varphi=\exists y\,\psi(\bar x,y)$ とし、$\psi$ については真偽の一致を仮定する。$\mathcal M\models\varphi(\bar a)$ なら証人 $b\in M$ について $\mathcal N\models\psi(j(\bar a),j(b))$ となる。逆に $\mathcal N\models\varphi(j(\bar a))$ の証人を $c\in N$ とすると、$j$ は全射なので $c=j(b)$ となる $b\in M$ があり、帰納法の仮定から $\mathcal M\models\psi(\bar a,b)$ である。よって $\varphi$ でも一致する。
(iii) $j\colon M\to N$ と $k\colon N\to P$ が初等埋め込みなら、$\mathcal M\models\varphi(\bar a)\Leftrightarrow\mathcal N\models\varphi(j(\bar a))\Leftrightarrow\mathcal P\models\varphi(k(j(\bar a)))$ である。$\square$

右辺の集合を $\|\varphi(\bar f)\|$ と書く。式の作り方に関する帰納法で示す（結合子は $\neg,\wedge$、量化記号は $\exists$ だけとしてよい）。
原子式：まず項 $t(\bar x)$ について、$t^{A^I/U}([\bar f])=[\,i\mapsto t^{\mathcal A}(\bar f(i))\,]$ が項の作り方に関する帰納法と $F^{A^I/U}$ の定義から従う。これを関係記号の定義（等号については $\sim_U$ の定義）に代入すれば、原子式について主張が成り立つ。
$\neg\varphi$：$U$ は超フィルターなので、$X\subseteq I$ について $X\notin U\Leftrightarrow I\setminus X\in U$ である。$\|\neg\varphi(\bar f)\|=I\setminus\|\varphi(\bar f)\|$ だから、帰納法の仮定と合わせて $\mathcal A^I/U\models\neg\varphi([\bar f])\Leftrightarrow\|\varphi(\bar f)\|\notin U\Leftrightarrow\|\neg\varphi(\bar f)\|\in U$ である。
$\varphi\wedge\psi$：$\|\varphi\wedge\psi\|=\|\varphi\|\cap\|\psi\|$ であり、フィルターでは $X\cap Y\in U\Leftrightarrow(X\in U\text{ かつ }Y\in U)$ である（右から左は交わりで閉じること、左から右は上への包含で閉じること）。
$\exists y\,\varphi(\bar x,y)$：超冪で真なら証人 $[g]$ があり、帰納法の仮定から $\|\varphi(\bar f,g)\|\in U$ である。この集合は $\|\exists y\,\varphi(\bar f,y)\|$ に含まれるので、後者も $U$ に属する。逆に $X:=\|\exists y\,\varphi(\bar f,y)\|\in U$ とする。選択公理により、各 $i\in X$ に対して $\mathcal A\models\varphi(\bar f(i),g(i))$ となる $g(i)\in A$ を選び、$i\notin X$ では $g(i)$ を $A$ の任意の元とする。すると $\|\varphi(\bar f,g)\|\supseteq X$ なので $U$ に属し、帰納法の仮定から $\mathcal A^I/U\models\varphi([\bar f],[g])$ である。
最後に $f_k=c_{a_k}$ とすると、$\|\varphi(\bar c_a)\|$ は $\mathcal A\models\varphi(\bar a)$ なら $I$、そうでなければ $\emptyset$ である。$I\in U$、$\emptyset\notin U$ なので $d$ は初等埋め込みである。$\square$

(i) 「$x$ は順序数」は $\Delta_0$ なので、$\alpha$ が順序数なら $M$ で $j(\alpha)$ は順序数であり、実際に順序数である。$\alpha<\beta$ は $\alpha\in\beta$ のことなので $j(\alpha)\in j(\beta)$ である。狭義単調増加な順序数の関数 $j$ で $j(\alpha)<\alpha$ となる $\alpha$ があれば、その最小のものについて $\beta:=j(\alpha)<\alpha$ から $j(\beta)< j(\alpha)=\beta$ となり、最小性に反する。$j(\emptyset)=\emptyset$（「元を持たない」は $\Delta_0$）と $j(n\cup\{n\})=j(n)\cup\{j(n)\}$ から帰納的に $j(n)=n$ である。$\omega$ は「$0$ でない極限順序数で、元はすべて $0$ か後続順序数」という $\Delta_0$ の性質を持つ唯一の順序数なので $j(\omega)=\omega$ である。
(ii) 集合 $x$ について $\in$ に関する帰納法で $j(x)=x$ を示す。$x$ のすべての元 $y$ で $j(y)=y$ と仮定する。選択公理により全単射 $f\colon\mu\to x$（$\mu$ は順序数）を取る。初等性と $\Delta_0$ 性から、$j(f)$ は $j(\mu)=\mu$ から $j(x)$ への全単射である。$\xi<\mu$ について $f(\xi)=y$ に初等性を当てると $j(f)(j(\xi))=j(y)$ なので、$j(f)(\xi)=j(f(\xi))=f(\xi)$ となる。よって $j(x)=j(f)[\mu]=f[\mu]=x$ である。後半は (i) による：固定されない順序数があるので最小の $\kappa$ が取れ、$j(n)=n$ と $j(\omega)=\omega$ から $\kappa>\omega$、また $j(\kappa)\ge\kappa$ かつ $j(\kappa)\ne\kappa$ である。$\square$

$j$ はクラスとして与えられているので、分出公理により $U_j$ は集合である。
超フィルターであること：$j(\kappa)>\kappa$ より $\kappa\in j(\kappa)$、すなわち $\kappa\in U_j$ である。$j(\emptyset)=\emptyset$ より $\emptyset\notin U_j$ である。$j(A\cap B)=j(A)\cap j(B)$ と $j(\kappa\setminus A)=j(\kappa)\setminus j(A)$ は $\Delta_0$ の関係を初等性で移したものである。前者から $U_j$ は交わりで閉じ、$A\subseteq B$ なら $j(A)\subseteq j(B)$ なので上への包含でも閉じる。後者と $\kappa\in j(\kappa)$ から、$A$ と $\kappa\setminus A$ のちょうど一方が $U_j$ に入る。
非主であること：$\alpha<\kappa$ について $j(\{\alpha\})=\{j(\alpha)\}=\{\alpha\}$ は $\kappa$ を含まないので、$\{\alpha\}\notin U_j$ である。
$\kappa$-完備であること：$0<\mu<\kappa$ と $A_i\in U_j$（$i<\mu$）を取り、列 $s=\langle A_i\mid i<\mu\rangle$ と $B:=\bigcap_{i<\mu}A_i$ を考える。初等性から $j(s)$ は定義域 $j(\mu)=\mu$ の関数で、$i<\mu$ について $j(s)(i)=j(s)(j(i))=j(s(i))=j(A_i)$ である。「$B$ は $s$ の値全体の交わり」も $\Delta_0$ なので $j(B)=\bigcap_{i<\mu}j(A_i)$ となる。各 $j(A_i)$ が $\kappa$ を含むので $\kappa\in j(B)$、すなわち $B\in U_j$ である。
$\kappa$ が非可算基数であること：prop-emb-ordinals より $\kappa>\omega$ である。$\kappa$ が基数でなければ、$\mu<\kappa$ と全単射 $f\colon\mu\to\kappa$ がある。$j(f)$ は $\mu$ から $j(\kappa)$ への全単射で、$\xi<\mu$ について $j(f)(\xi)=j(f(\xi))=f(\xi)$（$f(\xi)<\kappa$ は固定される）である。よって $j(f)$ の像は $\kappa$ だが、それは $j(\kappa)\ne\kappa$ に等しいはずで矛盾する。$\square$

関数 $f\colon\kappa\to V$ を $\sim_U$ で同一視した超冪 $V^\kappa/U$ を作り、所属関係を $[f]\mathrel{E}[g]:\Leftrightarrow\{\xi\mid f(\xi)\in g(\xi)\}\in U$ で定める（同値類は真のクラスになるので、同値類の中で階数が最小のものだけを集めて集合で代用する）。Łoś の定理の証明は、式ごとにそのまま $V^\kappa/U$ で通用し（存在量化の段では、各 $\xi$ の証人を階数最小のものの中から選ぶ）、対角写像 $x\mapsto[c_x]$ は初等的である。$U$ は可算完備なので $E$ は整礎である（可測基数の「可算完備性と整礎性」）。$E$ は外延的でもあるので、Mostowski の崩壊写像 $\pi$ で推移的なクラス $M$ と同型になる（BingOst19 §5.1, p. 19）。$j(x):=\pi([c_x])$ とおけば $j\colon V\to M$ は初等埋め込みである。