bar構成(分類空間)
概要
bar構成(分類空間)（bar construction of classifying spaces）とは、位相群 $G$ から各次数が $G$ の直積である単体的空間 $E_\bullet G\to B_\bullet G$ を作り、その幾何学的実現として可縮な自由 $G$ 空間 $EG$ と軌道空間 $BG$ を得る構成である。単位元が良い基点なら $EG\to BG$ は主 $G$ 束で、$\pi_q(BG)\cong\pi_{q-1}(G)$ が成り立つ。直積を保つので可換な $G$ では $BG$ も可換な位相群になり、離散可換群 $\pi$ に繰り返すと $B^n\pi$ は $K(\pi,n)$ である。
前提知識: 単体的空間の幾何学的実現, 分類空間, 主束, コファイブレーション, ホモトピー群
位相群 $G$ の bar 構成 は、各次数が $G$ の直積である単体的空間 $E_\bullet G\to B_\bullet G$ を作り、その 単体的空間の幾何学的実現 として空間 $EG$ と $BG$ を得る構成である。$EG$ は $G$ が自由に作用する可縮な空間で、軌道空間が $BG$ になる。単位元が良い基点であれば $EG\to BG$ は主 $G$ 束であり、$BG$ のホモトピー群は $G$ のホモトピー群を一つずらしたもの $\pi_q(BG)\cong\pi_{q-1}(G)$ になる。
bar 構成は直積を同相写像で保つ：$B(G\times_kH)\cong BG\times_kBH$（分類空間 の記事の Milnor の構成では、同じ関係をホモトピー同値として述べている）。このため $G$ が可換なら $BG$ は再び可換な位相群になり、構成を繰り返せる。離散可換群 $\pi$ に $n$ 回施した $B^n\pi$ は Eilenberg–MacLane 空間 $K(\pi,n)$ である。
定義
空間はすべてコンパクト生成空間（コンパクト生成空間）とし、積は $k$ 化した積 $\times_k$ とする（単体的空間の幾何学的実現 の節「定義」と同じ約束）。位相群 とは、群であるコンパクト生成空間で、積 $G\times_kG\to G$ と逆元をとる写像が連続なものをいう。局所コンパクト Hausdorff な群（Lie 群・離散群など）はこの意味の位相群である。$G^n$ は $k$ 化した積とし、連続な準同型を位相群の射とする。単位元 $e$ が コファイブレーション の定義「良い基点」の意味の良い基点であるとき、$G$ の 単位元は良い基点 であるという。
位相群 $G$ に対し、単体的空間 $E_\bullet G$、$B_\bullet G$ を次で定める。$E_nG:=G^{n+1}$、$B_nG:=G^n$ とし、$E_nG$ の点を $(g_1,\dots,g_{n+1})$ と書いて
$$
d_i(g_1,\dots,g_{n+1})=\begin{cases}(g_2,\dots,g_{n+1})&(i=0),\\(g_1,\dots,g_{i-1},\,g_ig_{i+1},\,g_{i+2},\dots,g_{n+1})&(1\le i\le n),\end{cases}
$$
$$
s_i(g_1,\dots,g_{n+1})=(g_1,\dots,g_i,\,e,\,g_{i+1},\dots,g_{n+1})\qquad(0\le i\le n)
$$
とする。$B_nG$ でも同じ式を使い（最後の成分 $g_{n+1}$ を除く）、ただし $d_n(g_1,\dots,g_n)=(g_1,\dots,g_{n-1})$ とする。$p_n\colon E_nG\to B_nG$ を最初の $n$ 成分への射影とし、$G$ を $E_nG$ に最後の成分の右からの積 $(g_1,\dots,g_{n+1})a=(g_1,\dots,g_{n+1}a)$ で作用させる。
$$
EG:=\lvert E_\bullet G\rvert,\qquad BG:=\lvert B_\bullet G\rvert,\qquad p:=\lvert p_\bullet\rvert\colon EG\to BG
$$
とおき、$BG$ を $G$ の bar 構成による分類空間 という。$BG$ の唯一の $0$ 単体の点を $b_0$ と書く。
$s_i$ では、$e$ を $g_i$ の 後に 挿入する（$i=0$ では先頭に挿入する）。
- 後ろからの積 $h_k:=g_{k+1}g_{k+2}\cdots g_{n+1}$（$0\le k\le n$）は同相写像 $E_nG\to G^{n+1}$ を与え、この座標で $d_i$ は $h_i$ を除く写像、$s_i$ は $h_i$ を二つ並べる写像、$G$ の作用は $(h_0,\dots,h_n)a=(h_0a,\dots,h_na)$ になる。とくに $E_\bullet G$ は単体的空間で、単体的空間の幾何学的実現 の定義「全空間の単体的空間」の $E_\bullet G$ と同型であり、作用は面写像・退化写像と可換である。
- $B_\bullet G$ は単体的空間、$p_\bullet$ は単体的空間の射であり、$p_n$ は同相写像 $E_nG/G\cong B_nG$ を誘導する。
- 連続な準同型 $\varphi\colon G\to H$ を成分ごとに施すと単体的空間の射が得られ、$E$、$B$ は関手である。
要点：後ろからの積の座標では面と退化が「消す」「並べる」になり、単体的恒等式は順序を保つ写像の合成から明らかになる。
詳しい証明を開く
1：逆写像は $g_i=h_{i-1}h_i^{-1}$（$1\le i\le n$）、$g_{n+1}=h_n$ で、どちらも積と逆元の有限個の合成なので連続である。$d_0$ は $g_1$ を除くので新しい後ろからの積は $h_1,\dots,h_n$ である。$1\le i\le n$ の $d_i$ では、位置 $i$ より前から始まる積は変わらず、$h_i$ に当たる積だけがなくなる。$s_i$ では $e$ の直前から始まる積と直後から始まる積がどちらも $h_i$ になり、ほかはずれるだけである。作用は最後の成分に右から掛けるので、すべての $h_k$ に右から掛かる。この座標では $\alpha\colon[m]\to[n]$ に対し $\alpha^*h=(h_{\alpha(0)},\dots,h_{\alpha(m)})$ なので、$(\alpha\beta)^*=\beta^*\alpha^*$ は明らかであり、作用と可換である。
2：$p_n$ は $(g_1,\dots,g_n,e)$ という連続な切断をもち、ファイバーはちょうど作用の軌道なので、$E_nG/G\to B_nG$ は同相写像である。面・退化は軌道を軌道に写し、$p_n$ と可換に $B_\bullet G$ の式を誘導する（$E_nG$ の $d_n$ は $g_n,g_{n+1}$ を積 $g_ng_{n+1}$ に置き換えるので、$p_{n-1}$ で写すと $g_n$ が消える）。$p_n$ は全射なので、$E_\bullet G$ の単体的恒等式から $B_\bullet G$ の単体的恒等式が従う。3 は式から明らかである。$\square$
単体的空間の幾何学的実現 の命題「bar 構成の全空間」により、$G$ について何も仮定せずに次が成り立つ：$G$ の右作用 $EG\times_kG\to EG$ は連続で自由であり、$EG$ は可縮であり、$p$ は同相写像 $EG/G\cong BG$ を誘導し、$a\mapsto[(a),1]$ は $G$ から閉集合 $p^{-1}(b_0)$ への同相写像である。とくに $BG$ は弧状連結である。
主束であること
主 $G$ 束は 主束 と 分類空間 の定義「主 $G$ 束と可算被覆性」のとおりとし、積は $k$ 化した積で読む。すなわち、$G$ が右から連続に（$P\times_kG\to P$ が連続であるように）自由に作用する空間 $P$ と、作用で不変な連続写像 $p\colon P\to B$ について、$B$ の各点が開近傍 $U$ と、$G$ 同変で $U$ 上の同相写像 $p^{-1}(U)\cong U\times_kG$ をもつとき、$p$ を主 $G$ 束という。$G$ が局所コンパクトなら $U\times_kG=U\times G$ であり（コンパクト生成空間 の命題「$k$-空間の圏の直積」）、通常の定義と一致する。
位相群 $G$ の単位元が良い基点なら、$p\colon EG\to BG$ は主 $G$ 束である。さらに $b_0$ は $BG$ の良い基点である。
証明は節「主定理の証明」で行う。$BG$ は、単体的空間の幾何学的実現 の定理「実現の位相と骨格」の 4 により、次数 $n$ 以下の部分 $F_nBG$ を、太いウェッジ $W_n:=\{(g_1,\dots,g_n)\mid\text{ある }i\text{ で }g_i=e\}$ と単体の境界に沿って $G^n\times\lvert\Delta^n\rvert$ を貼ることで順に得られる。単位元が良い基点なら、この貼り付けの対は NDR 対である。NDR 対に沿って貼るとき、局所切断はレトラクションで延ばせる。これを次数の順に繰り返し、合併をとる。この主張は May99 Chapter 16 §5（p. 128）に述べられている。
単位元が良い基点であるという仮定は、局所自明性に使う。可縮性と自由な作用には使わない。
ホモトピー群
位相群 $G$ の単位元が良い基点であるとする。$q\ge1$ について、主束 $p$ のホモトピー完全列の連結準同型
$$
\partial\colon\pi_q(BG,b_0)\longrightarrow\pi_{q-1}(G,e)
$$
は、$q\ge2$ では群の同型、$q=1$ では $\pi_0(G)$（単位元の弧状連結成分 $G_0$ による剰余類の群 $G/G_0$）への全単射であり、$[\gamma]\mapsto(\partial[\gamma])^{-1}$ は群の同型 $\pi_1(BG,b_0)\cong\pi_0(G)$ である。$G$ が離散群なら、$p$ は被覆写像で、$BG$ は $K(G,1)$ である。
積と反復
位相群 $G,H$ について、各次数の並べ替え $\bigl((g_1,h_1),\dots,(g_r,h_r)\bigr)\mapsto\bigl((g_1,\dots,g_r),(h_1,\dots,h_r)\bigr)$ は単体的空間の同型 $E_\bullet(G\times_kH)\cong E_\bullet G\times_kE_\bullet H$、$B_\bullet(G\times_kH)\cong B_\bullet G\times_kB_\bullet H$ を与え、自然な同相写像
$$
\chi\colon B(G\times_kH)\cong BG\times_kBH,\qquad\chi[((g_i,h_i))_i,t]=([(g_i)_i,t],[(h_i)_i,t])
$$
が得られる。$E$ についても同様で、$p$ と両立する。
並べ替えは $k$ 化した積の結合と交換による同相写像で、隣り合う成分の積・成分の削除・単位元の挿入は $G\times_kH$ では成分ごとに行われるので、面・退化と可換である。単体的空間の幾何学的実現 の定理「実現と積」を合成すればよい。$\square$
$G$ が可換な位相群なら、$\mu:=B(m)\circ\chi^{-1}\colon BG\times_kBG\to BG$（$m\colon G\times_kG\to G$ は積）を積として $BG$ は可換な位相群であり、単位元は $b_0$、逆元は $B(\iota)$（$\iota$ は逆元をとる写像）である。$EG$ も同様に可換な位相群で、$p$ と $a\mapsto[(a),1]$ は連続な準同型である。
要点：$G$ が可換なので $m$ と $\iota$ は準同型であり、$B(m)$、$B(\iota)$ が定まる。有限個の点は同じ次数・同じ内部の点をもつ代表で同時に表せるので、群の法則は各次数の $G^n$ の法則に帰着する。
詳しい証明を開く
$m(ab,cd)=acbd=m(a,c)m(b,d)$ のように、$G$ が可換なので $m$ と $\iota$ は連続な準同型であり、prop-bar-simplicial の 3 により $B(m)$、$B(\iota)$ は連続である。単体的空間の幾何学的実現 の定理「実現と積」の写像 $P$ は全単射なので、$BG$ の 2 点（3 点についても積を繰り返して）は、同じ $n$ と同じ $t$ をもつ代表 $[x_1,t],[x_2,t]$（$x_j\in G^n$）で表せる。このとき $\mu([x_1,t],[x_2,t])=[x_1x_2,t]$（成分ごとの積）であり、結合法則・交換法則は $G^n$ の法則から、$\mu([x,t],[x^{-1},t])=[(e,\dots,e),t]$ は、全成分が $e$ の単体が $0$ 単体の退化なので $b_0$ に等しい。$b_0=[(e,\dots,e),t]$ が単位元であることも同じである。$EG$ でも同じ式で確かめられ、$p$ と $a\mapsto[(a),1]$ が準同型であることは代表の式から分かる。$\square$
可換な位相群 $G$ について $B^0G:=G$、$B^{n+1}G:=B(B^nG)$ とおく。
- 可換な位相群 $G$ の単位元が良い基点なら、すべての $n\ge0$ について $B^nG$ は可換な位相群で、その単位元は良い基点であり、$E(B^nG)\to B^{n+1}G$ は主 $B^nG$ 束である。
- $\pi$ を離散可換群、$n\ge1$ とすると、$B^n\pi$ は Eilenberg–MacLane空間 $K(\pi,n)$ である。すなわち弧状連結で、$\pi_n(B^n\pi)\cong\pi$、$q\ne n$（$q\ge1$）では $\pi_q(B^n\pi)=0$ である。
1：$n$ についての帰納法による。$B^nG$ が可換な位相群で単位元が良い基点なら、prop-bar-abelian により $B^{n+1}G$ は可換な位相群でその単位元は $b_0$ であり、thm-bar-bundle により $b_0$ は良い基点で、$E(B^nG)\to B^{n+1}G$ は主束である。
2：離散群 $\pi$ では $\{e\}$ は開かつ閉なので、$u(e)=0$、$u(a)=1$（$a\ne e$）、$h(a,s)=a$ が NDR 表示を与え、単位元は良い基点である（コファイブレーション の定理「NDR 対による判定」）。よって 1 が使える。$n\ge1$ なら $B^n\pi$ は弧状連結である。$q\ge2$ では thm-bar-homotopy により $\pi_q(B^n\pi)\cong\pi_{q-1}(B^{n-1}\pi)$ であり、$q=1$ では $\pi_1(B^n\pi)\cong\pi_0(B^{n-1}\pi)$ である。$q>n$ なら $q-n$ 回ずらして $\pi_{q-n}(\pi)=0$（離散空間の正の次数のホモトピー群）に、$q=n$ なら $\pi_1(B\pi)\cong\pi_0(\pi)=\pi$ に、$1\le q< n$ なら $\pi_1(B^{n-q+1}\pi)\cong\pi_0(B^{n-q}\pi)$ に着き、$n-q\ge1$ なので $B^{n-q}\pi$ は弧状連結で、これは自明な群である。$\square$
この構成は May99 Chapter 16 §5（pp. 128–129）にある。Eilenberg–MacLane空間 の記事では $K(\pi,n)$ を球面と円板を貼って作る。bar 模型は群 $\pi$ について関手的で、さらに可換な位相群である。
主定理の証明
準備
コンパクト生成空間の開部分空間と閉部分空間はコンパクト生成空間である。
要点：開集合 $U$ の $k$-閉集合 $S$ について $S\cup(X\setminus U)$ が $X$ の $k$-閉集合になることを、試験写像の逆像の閉包で確かめる。
詳しい証明を開く
$X$ をコンパクト生成空間、$U$ を開集合とする。弱 Hausdorff 性は部分空間に移る（弱Hausdorff空間 の命題「弱 Hausdorff 空間の基本性質」の 3）。$S\subseteq U$ を $U$ の $k$-閉集合とし、試験写像 $u\colon K\to X$ をとる。$O:=u^{-1}(U)$ はコンパクト Hausdorff 空間 $K$ の開集合で局所コンパクトであり、$O$ の各点のコンパクトな近傍 $C\subseteq O$ について $u|_C$ は $U$ への試験写像なので、$u^{-1}(S)\cap C$ は閉である。よって $u^{-1}(S)$ は $O$ の閉集合で、$K$ での閉包は $u^{-1}(S)\cup(K\setminus O)$ に含まれる。したがって $u^{-1}(S\cup(X\setminus U))=u^{-1}(S)\cup(K\setminus O)$ は閉である。$X$ は $k$-空間なので $S\cup(X\setminus U)$ は閉集合であり、$S=(S\cup(X\setminus U))\cap U$ は $U$ の閉集合である。閉集合 $F$ の $k$-閉集合 $S$ については、試験写像 $u\colon K\to X$ の $u^{-1}(F)$ がコンパクトで、$u$ の制限が $F$ への試験写像なので $u^{-1}(S)$ は閉であり、$S$ は $X$ の閉集合である。$\square$
主束の局所自明性は、局所切断と群座標で扱う。$G$ が右から自由に作用する空間 $P$ と作用で不変な $p\colon P\to B$ について、開集合 $U\subseteq B$ の上の 局所切断と群座標 を、連続な $\sigma\colon U\to P$（$p\sigma=\mathrm{id}$）と連続な $\tau\colon p^{-1}(U)\to G$ で $z=\sigma(p(z))\,\tau(z)$ を満たすものとする。lem-bar-open により $U$ と $p^{-1}(U)$ はコンパクト生成空間なので、$(p,\tau)\colon p^{-1}(U)\to U\times_kG$ と $(b,a)\mapsto\sigma(b)a$ は互いに逆な $G$ 同変の連続写像である。逆に局所自明化からは $\sigma(b)=\varphi^{-1}(b,e)$ とその第 2 成分で局所切断と群座標が得られる。よって $p$ が主 $G$ 束であることは、$B$ の各点が局所切断と群座標をもつ開近傍をもつことと同値である。
$p_0\colon P_0\to B_0$ を主 $G$ 束、$(D,A)$ を NDR 対（$A$ は閉集合）、$f\colon A\to B_0$ を連続写像、$F\colon A\times_kG\to P_0$ を $G$ 同変で $p_0F(a,c)=f(a)$ を満たす連続写像とする。押し出し $B:=B_0\cup_fD$、$P:=P_0\cup_F(D\times_kG)$ と誘導写像 $p\colon P\to B$ を考える。$B_0$ の開集合 $U$ の上の局所切断と群座標 $(\sigma,\tau)$ に対し、$B$ の開集合 $U'$ で $U'\cap B_0=U$ となるものと、$U'$ の上の局所切断と群座標で $(\sigma,\tau)$ を延ばすものがある。とくに $P$、$B$ が空間の圏で考えて弱 Hausdorff なら、$p$ は主 $G$ 束である。
要点：$F(a,c)=\sigma(f(a))\,\alpha(a)\,c$ となる連続関数 $\alpha$ を作り、NDR 表示のレトラクション $r$ で $A$ の近くへ延ばして、$d\mapsto[d,\alpha(r(d))^{-1}]$ を新しい切断とする。
詳しい証明を開く
作用は $P_0$ と $D\times_kG$ の上の作用から、$F$ の同変性と商写像と $\mathrm{id}_G$ の $k$ 化した積が商写像であること（写像空間の指数法則(位相空間) の系「$k$ 化した積と商写像」）により連続に定まり、自由である。$A_U:=f^{-1}(U)$ の上で $\alpha(a):=\tau(F(a,e))$ とおくと、$F(a,c)=F(a,e)c=\sigma(f(a))\alpha(a)c$ である。$(h,u)$ を NDR 表示とし、$N:=u^{-1}([0,1))$、$r(d):=h(d,1)$ とおくと、$r\colon N\to A$ は連続なレトラクションである（コファイブレーション の定義「NDR 対」）。$V:=r^{-1}(A_U)$ は $D$ の開集合で $V\cap A=A_U$ を満たす。$U'$ を $U$ と $V$ の像の和とする。$V\cap A=A_U$ と $f(A_U)\subseteq U$ から、$B_0\sqcup D$ での $U'$ の逆像は $U\sqcup V$ で、これは飽和な開集合なので $U'$ は開集合で、$U\sqcup V\to U'$ は商写像である。
$U'$ の上の $\sigma'$ を、$U$ の上で $\sigma$、$V$ の上で $d\mapsto[d,\alpha(r(d))^{-1}]$ と定める。$a\in A_U$ では $[a,\alpha(a)^{-1}]=F(a,\alpha(a)^{-1})=\sigma(f(a))$ なので矛盾なく定まり、$V$ は lem-bar-open により $k$-空間なので $V\to D\times_kG$ は連続で、$\sigma'$ は連続である。$\tau'$ を、$p_0^{-1}(U)$ の上で $\tau$、$V\times_kG$ の上で $(d,c)\mapsto\alpha(r(d))c$ と定める。$A_U\times_kG$ の上では $\tau(F(a,c))=\tau(\sigma(f(a))\alpha(a)c)=\alpha(a)c$（作用は自由なので $\tau(\sigma(b)c)=c$）で一致し、$p^{-1}(U')$ の逆像は飽和な開集合なので $\tau'$ は連続である。$z=\sigma'(p(z))\tau'(z)$ は各部分で確かめられる。
$B_0$ の点は $p_0$ が主束なのでこのような近傍をもち、$D\setminus A$ の点は開集合 $D\setminus A$ の像の上の切断 $d\mapsto[d,e]$ と群座標 $(d,c)\mapsto c$ をもつ。よって $p$ は主 $G$ 束である。$\square$
主束であることの証明
段 1（NDR 対）：$e$ は良い基点で $\{e\}$ は閉集合（弱 Hausdorff 空間は T1）なので、$(G,\{e\})$ は NDR 対である（コファイブレーション の定理「NDR 対による判定」）。$W_{n+1}=W_n\times G\cup G^n\times\{e\}$ なので、コファイブレーション の命題「NDR 対の積」を帰納的に使うと $(G^n,W_n)$ は NDR 対である（$n=0$ では $u\equiv1$、$h=\mathrm{id}$）。命題の式は $k$ 化した積の上でも連続である（定義域 $(G^n\times_kG)\times[0,1]$ は $k$-空間なので、直積位相への連続写像は $k$ 化した積への連続写像でもある。コンパクト生成空間 の命題「$k$ 化」の 4）。$(\lvert\Delta^n\rvert,\partial\lvert\Delta^n\rvert)$ は CW 対なので NDR 対であり（コファイブレーション の例「CW 対と良い基点」と定理「NDR 対による判定」）、もう一度積をとると
$$
\bigl(G^n\times\lvert\Delta^n\rvert,\ L_n\bigr),\qquad L_n:=W_n\times\lvert\Delta^n\rvert\cup G^n\times\partial\lvert\Delta^n\rvert
$$
は NDR 対である。
段 2（骨格ごとの貼り付け）：$B_\bullet G$ の退化部分 $D_nB_\bullet G$ は $e$ を含む組の全体 $W_n$ であり、$E_\bullet G$ の退化部分は $W_n\times G$（最後の成分は任意）である。単体的空間の幾何学的実現 の定理「実現の位相と骨格」の 4 により、$F_nBG=F_{n-1}BG\cup_{L_n}(G^n\times\lvert\Delta^n\rvert)$、$F_nEG=F_{n-1}EG\cup_{L_n\times G}\bigl((G^n\times\lvert\Delta^n\rvert)\times_kG\bigr)$ であり、後者の貼り付け写像は作用と可換で $p$ の上にある。$p$ は次数を保つので $p^{-1}(F_nBG)=F_nEG$ である。$F_0EG=G\to F_0BG=\{b_0\}$ は主束なので、lem-bar-ndr-gluing により各 $F_nEG\to F_nBG$ は主束である（$F_n$ は閉集合なのでコンパクト生成空間である）。
段 3（合併）：$b\in F_NBG$ をとり、$F_NBG$ での局所切断と群座標 $(U_N,\sigma_N,\tau_N)$ をとる。lem-bar-ndr-gluing を $n=N+1,N+2,\dots$ に繰り返すと、$U_{n+1}\cap F_nBG=U_n$ を満たす開集合 $U_n\subseteq F_nBG$ と、それらの上で延びていく局所切断と群座標が得られる（$n< N$ では $U_n:=U_N\cap F_nBG$）。$U:=\bigcup U_n$ は、すべての $n$ で $U\cap F_nBG=U_n$ が開なので、同定理の 3 により $BG$ の開集合である。$O\subseteq U$ について $O\cap U_n$ がすべて $U_n$ で開なら $O\cap F_nBG=O\cap U_n$ は $F_nBG$ で開なので、$O$ は開である。よって $\sigma:=\bigcup\sigma_n$ は連続であり、同じ理由で $\tau:=\bigcup\tau_n$ も $p^{-1}(U)=\bigcup p^{-1}(U_n)$ の上で連続である。したがって $p$ は主 $G$ 束である。
段 4（$b_0$ は良い基点）：段 2 の $F_{n-1}BG\to F_nBG$ は閉集合へのコファイブレーション $L_n\to G^n\times\lvert\Delta^n\rvert$ の押し出しなので、コファイブレーションである（May99 Chapter 6 §1 の Lemma、p. 44）。$f\colon BG\to Z$ と $\{b_0\}\times[0,1]$ 上のホモトピーが与えられたら、これを $F_1BG,F_2BG,\dots$ の上へ順に延ばし、合併をとる。$[0,1]$ は局所コンパクトなので $BG\times[0,1]$ は $F_nBG\times[0,1]$ たちの合併の位相をもち（局所コンパクト空間 の命題「局所コンパクト因子と商写像」）、得られる写像は連続である。$\blacksquare$
ホモトピー群の計算
主 $G$ 束 $p\colon P\to B$ は、すべての $k\ge0$ について円板 $D^k$ に関するホモトピー持ち上げ性質をもつ。
要点：ホモトピー $H\colon D^k\times[0,1]\to B$ で引き戻した束は、コンパクト Hausdorff 空間の上の通常の意味のファイバー束になるので、Hat02 Proposition 4.48（p. 379）が使える。
詳しい証明を開く
$X:=D^k\times[0,1]$、$Q:=\{(x,z)\in X\times P\mid H(x)=p(z)\}$（直積位相の部分空間）、$\varpi\colon Q\to X$ を射影とする。$x_0\in X$ について、$H(x_0)$ の近くの局所切断と群座標 $(U,\sigma,\tau)$ をとり、$O:=H^{-1}(U)$ とおく。$\varpi^{-1}(O)\to O\times G$、$(x,z)\mapsto(x,\tau(z))$ は連続で、逆写像 $(x,c)\mapsto(x,\sigma(H(x))c)$ も連続である。実際 $O$ はコンパクト Hausdorff 空間の開集合で局所コンパクトなので、$O\times G$ は $k$-空間であり（コンパクト生成空間 の定理「局所コンパクト空間との直積」）、$(x,c)\mapsto(\sigma(H(x)),c)$ は $P\times_kG$ への連続写像（同記事の命題「$k$ 化」の 4）で、作用と合成すれば連続である。よって $\varpi$ はファイバー $G$ のファイバー束であり、Hat02 Proposition 4.48 によりホモトピー持ち上げ性質をもつ。持ち上げたい写像 $\tilde H_0\colon D^k\to P$（$p\tilde H_0=H(\cdot,0)$）に対し、恒等写像 $X\to X$ を $D^k$ のホモトピーとみて、時刻 $0$ の持ち上げ $x\mapsto((x,0),\tilde H_0(x))$ から $Q$ への持ち上げ $L$ を作り、$\tilde H:=\mathrm{pr}_P\circ L$ とおけば、$p\tilde H=H$、$\tilde H(\cdot,0)=\tilde H_0$ である。$\square$
thm-bar-bundle と lem-bar-lifting により $p$ は円板に関するホモトピー持ち上げ性質をもつので、ファイバー $p^{-1}(b_0)$ と基点 $x_0:=[(e),1]$ について、ホモトピー完全列
$$
\cdots\to\pi_q(p^{-1}(b_0),x_0)\to\pi_q(EG,x_0)\to\pi_q(BG,b_0)\xrightarrow{\ \partial\ }\pi_{q-1}(p^{-1}(b_0),x_0)\to\cdots
$$
がある（Hat02 Theorem 4.41、p. 376）。単体的空間の幾何学的実現 の命題「bar 構成の全空間」により、$EG$ は可縮で、$a\mapsto[(a),1]$ は $G$ から $p^{-1}(b_0)$ への同相写像で $e$ を $x_0$ に送る。よって $q\ge2$ では $\partial$ は同型である。$q=1$ の主張と群の構造についての主張は、分類空間 の命題「分類空間のホモトピー群」の証明の後半と同じ議論で示される。その議論が使うのは、全空間が弱可縮であること、道とその端点を止めたホモトピーが持ち上がること、ファイバーが $G$ と同一視され右移動 $z\mapsto za$ が $p$ を保つ同相写像であることだけであり、どれもここで成り立っている。
$G$ が離散群なら、局所自明化 $p^{-1}(U)\cong U\times_kG=\coprod_{a\in G}U$ により $p$ は被覆写像であり、$\pi_1(BG)\cong\pi_0(G)=G$、$q\ge2$ で $\pi_q(BG)\cong\pi_{q-1}(G)=0$ となる。$BG$ は弧状連結なので $K(G,1)$ である。$\blacksquare$
例と反例
- $G$ が離散群なら、$B_\bullet G$ は各次数が離散な単体的空間、すなわち群 $G$ の脈体（脈体）であり、$BG$ はその実現で、非退化な $n$ 単体は全成分が $e$ でない組である（幾何学的実現 の例「胞体の数え方」）。$BG$ は CW 複体なので、Eilenberg–MacLane空間 の定理「Eilenberg–MacLane 空間の一意性」により、$G$ の $K(G,1)$ である CW 複体とホモトピー同値である。たとえば $B\mathbb Z\simeq S^1$、$B(\mathbb Z/2)\simeq\mathbb RP^\infty$ である（同記事の例「円周とトーラス」「射影空間とレンズ空間」）。
- 円周群 $S^1$ は CW 複体で単位元は $0$ 胞体にとれるので良い基点であり、thm-bar-homotopy により $\pi_2(BS^1)\cong\pi_1(S^1)\cong\mathbb Z$、$q\ne2$ の $\pi_q(BS^1)$ は自明である。$BS^1$ は可換な位相群で、$K(\mathbb Z,2)$ である。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 退化写像で $e$ を $g_i$ の後に挿入する（def-bar-main） | $e$ を $g_i$ の前に挿入する式（非自明な群） | 単体的恒等式 $d_{i+1}s_i=\mathrm{id}$ |
| $G$ が離散群（thm-bar-homotopy の最後の主張） | 円周群 $S^1$ | $\pi_1(BG)\cong G$ |
| $G$ が可換（prop-bar-abelian） | 3 次対称群 $\mathfrak S_3$ | 積 $m\colon G\times G\to G$ が準同型であること |
1 行目：$e$ を $g_i$ の前に挿入する式では、$s_1(g_1,g_2)=(e,g_1,g_2)$ となり、$E_2G$ の $d_2$ は第 2・第 3 成分を掛けるので $d_2s_1(g_1,g_2)=(e,g_1g_2)$ である。$a\ne e$ をとって $(g_1,g_2)=(a,e)$ とすると、左辺は $(e,a)$、右辺は $(a,e)$ で異なる。2 行目：ex-bar-examples の 2 により $\pi_1(BS^1)=0$ だが、$S^1$ は自明な群でない。代わりに $\pi_1(BS^1)\cong\pi_0(S^1)$ が成り立つ。3 行目：$\mathfrak S_3$ の互換 $b=(1\,2)$、$c=(2\,3)$ について $m((a,b)(c,d))=acbd$、$m(a,b)m(c,d)=abcd$ は、$a=d=e$ のとき $cb\ne bc$ なので異なる。
補足
- Milnor の構成との関係：分類空間 の記事は、Milnor の無限ジョインで普遍束を作り、全空間の可縮性と可算被覆性から普遍性を示している。bar 構成の $EG$ も可縮で、$p$ は主束である。可算被覆的であることはこの記事では扱わないので、bar 構成が普遍束であるという主張はここでは述べない。ホモトピー群の計算（thm-bar-homotopy）は、普遍性を使わずに完全列だけから得られる。
- 圏の分類空間：$B_\bullet G$ は対象が一つで射が $G$ の元である圏の脈体であり、一般の小さい圏の脈体の実現は 圏の分類空間 で扱う。
関連項目
- 前提: 単体的空間の幾何学的実現, 主束, コファイブレーション, ホモトピー群
- 比較: 分類空間, 圏の分類空間, 脈体
- 応用: Eilenberg–MacLane空間, 位相群
- 発展: 特異単体的集合の実現の弱同値, 古典群の分類空間のコホモロジー
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
