Totally Vicious時空
概要
Totally Vicious 時空（totally vicious spacetime）とは、任意の点 $p$ に対して時間的未来と時間的過去の共通部分 $I^+(p)\cap I^-(p)$ が時空全体になる時空、すなわち任意の 2 点が互いに未来向き時間的曲線で結べ、すべての点が閉時間的曲線上にある時空である。因果階層の最下段「non-totally vicious」の否定であり、因果性が完全に失われた状態である。ある 1 点について $I^+(p_0)\cap I^-(p_0)$ が全体であること、任意の点を通る閉時間的曲線があること、$J^\pm$ で置き換えた条件と同値である。reflecting な時空が閉時間的曲線を 1 本でも持てば Totally Vicious であり、コンパクト時空では reflecting と同値になる。Gödel 時空が代表例である。
前提知識: 時空, 開集合, 閉包, 連結空間, コンパクト空間
定義
以下、時空 $(M,g)$ は連結な時間的向き付けられた Lorentz 多様体（次元 $n\ge2$）とし、符号規約は $(-,+,\dots,+)$ とする。$p\ll q$（$p$ から $q$ への未来向き時間的曲線が存在する）、$p\le q$（$p=q$ または $p$ から $q$ への未来向き因果曲線が存在する）、時間的未来 $I^+(p)=\{q\mid p\ll q\}$、時間的過去 $I^-(p)=\{q\mid q\ll p\}$、因果的未来 $J^+(p)=\{q\mid p\le q\}$、因果的過去 $J^-(p)=\{q\mid q\le p\}$、閉時間的曲線（closed timelike curve、$\gamma(a)=\gamma(b)$ となる未来向き時間的曲線。以下 CTC と略す）の定義は時空の記事による。$p$ を通る CTC が存在することと $p\ll p$ とは同値である。時空の記事の定理「時間的未来の基本性質」から、次の3つの事実を繰り返し用いる。
- $I^+(p)$、$I^-(p)$ は $M$ の開集合である。
- （押し上げ補題）$p\le q\ll r$ または $p\ll q\le r$ ならば $p\ll r$。
- $p$ の任意の近傍は $I^+(p)$ および $I^-(p)$ と交わる。特に $I^\pm(p)\neq\emptyset$ である。
時空 $(M,g)$ が Totally Vicious（全悪質。以下 TV と略す）であるとは、任意の $p\in M$ に対して
$$
I^+(p)\cap I^-(p)=M
$$
が成り立つことをいう。すなわち、任意の2点 $p,q$ に対して $p\ll q$ かつ $q\ll p$ が成り立つことである。TV でない時空を non-totally vicious という。
時空 $(M,g)$ が reflecting であるとは、任意の $p,q\in M$ に対して
$$
q\in\overline{I^+(p)}\iff p\in\overline{I^-(q)}
$$
が成り立つことをいう（$\overline{A}$ は $A$ の閉包）。lem-totally-vicious-closure により、これは「任意の $p,q$ に対し、$I^+(q)\subset I^+(p)$ と $I^-(p)\subset I^-(q)$ が同値」と言い換えられる。
直感
閉時間的曲線の存在は、ある事象が自分自身の過去に影響を及ぼせることを意味し、因果構造としては最も好ましくない性質である。TV 時空はそれが「至るところで最大限に」起きている状態、すなわちどの事象からどの事象へも時間的曲線で到達でき、未来と過去の区別が完全に消えている時空である。因果階層（chronological（chronological時空）、causal、strongly causal（強因果的時空）、globally hyperbolic などの因果性条件の系列）はこの状態を排除する「non-totally vicious」を最下段とし、そこから条件を強めていく。TV であるための十分条件として、reflecting という比較的多くの時空が満たす性質と CTC が1本あることを組み合わせる定理があり（thm-totally-vicious-reflecting）、コンパクト時空については reflecting と TV が同値になる（prop-totally-vicious-compact-reflecting）。
例と反例
$M=\mathbb{R}\times S^1$、座標 $(x,\theta)$（$\theta$ は $2\pi$ を周期とする）に $g=dx^2-d\theta^2$ を与え、$\partial_\theta$ を未来向きとする時空（時空の記事の例「閉時間的曲線をもつ Lorentz 円柱」）は TV である。実際、$p=(x_0,\theta_0)$、$q=(x_1,\theta_1)$ を任意にとり、整数 $N\ge1$ を $L:=\theta_1-\theta_0+2\pi N>|x_1-x_0|$ となるようにとる。曲線
$$
\gamma(s):=\Bigl(x_0+\frac{x_1-x_0}{L}s,\ \theta_0+s\Bigr)\qquad(0\le s\le L)
$$
は $\gamma(0)=p$、$\gamma(L)=q$（$\theta$ の周期性による）であり、接ベクトル $\gamma'=\frac{x_1-x_0}{L}\partial_x+\partial_\theta$ は $g(\gamma',\gamma')=\bigl(\frac{x_1-x_0}{L}\bigr)^2-1<0$ かつ $g(\gamma',\partial_\theta)=-1<0$ を満たすので未来向き時間的である。よって $p\ll q$ であり、$p,q$ は任意なので $I^+(p)=M$、同様に（$p$ と $q$ を入れ替えて）$I^-(p)=M$ である。
Gödel 時空は $\mathbb{R}^4$ 上の Lorentz 計量で、円柱座標 $(t,r,\phi,z)$（$r\ge0$、$\phi$ は $2\pi$ を周期とする）を用いて
$$
g=4a^2\Bigl[-dt^2+dr^2+dz^2-(\sinh^4r-\sinh^2r)\,d\phi^2+2\sqrt2\,\sinh^2r\,dt\,d\phi\Bigr]
$$
（$a>0$ は定数）と書ける（HE73 §5.7）。Gödel 時空は連結で、$g(\partial_t,\partial_t)=-4a^2<0$ より $\partial_t$ が大域的な時間的ベクトル場なので時間的向き付け可能であり、時空 の定義を満たす。これは Einstein 方程式の解であり、等長写像群の推移的作用をもつ（等質空間、すなわち等質な）時空である。$t,z,r=r_0$ を固定した円周 $\phi\mapsto(t,r_0,\phi,z)$ の接ベクトル $\partial_\phi$ は
$$
g(\partial_\phi,\partial_\phi)=4a^2\sinh^2r_0\,(1-\sinh^2r_0)
$$
を満たすので、$\sinh r_0>1$ のときこの円周は閉時間的曲線である（向きは未来向きになるように選ぶ）。等質性により任意の点を通る CTC が存在するので（等長写像は CTC を CTC に写す。時間的向きを反転する等長写像なら像の向きを逆にとればよい）、thm-totally-vicious-equivalent-conditions の条件 (T3) が成り立ち、Gödel 時空は TV である。Gödel 時空は TV 時空の最も有名な例であり、任意の2点が時間的曲線で結べる（HE73 §5.7、MS08 §3）。
$\mathbb{R}^2$（座標 $(t,x)$）上に
$$
g:=\cos^2x\,(-dt^2+dx^2)+2\sin x\,dt\,dx
$$
を与える。係数行列 $\begin{pmatrix}-\cos^2x&\sin x\\ \sin x&\cos^2x\end{pmatrix}$ の行列式は $-\cos^4x-\sin^2x<0$（$\cos x$ と $\sin x$ が同時に $0$ になることはない）なので $g$ は Lorentz 計量であり、係数は $t$ によらず $x$ について周期 $2\pi$ なので、$g$ はトーラス $T^2:=\mathbb{R}^2/\bigl((t,x)\sim(t+1,x)\sim(t,x+2\pi)\bigr)$ 上の Lorentz 計量を定める。ベクトル場 $V:=\partial_t-\sin x\,\partial_x$ は
$$
g(V,V)=-\cos^2x-2\sin^2x+\cos^2x\sin^2x=-\cos^2x-\sin^2x\,(2-\cos^2x)<0
$$
を満たす大域的な時間的ベクトル場なので、$V$ を未来向きとして $(T^2,g)$ は連結なコンパクト時空になる。
この時空は CTC を持つ：$x=0$ 上の曲線 $s\mapsto(s,0)$（$0\le s\le1$）は $t$ の周期性により閉曲線で、接ベクトル $\partial_t$ は $g(\partial_t,\partial_t)=-1<0$、$g(\partial_t,V)=-1<0$ を満たすので未来向き時間的である。したがって chronological ではない。
一方、$p:=(0,0)$ に対し $I^+(p)\subset\{(t,x)\mid|x|<\pi/2\}$ であり、特に $I^+(p)\neq M$ なので TV ではない。実際、$\gamma(s)=(t(s),x(s))$ を $p$ から出る未来向き時間的曲線（$\mathbb{R}^2$ に持ち上げて $x(0)=0$ とする）とし、$x(s_1)=\pi/2$ となる最小の $s_1>0$ が存在したとすると、$[0,s_1)$ 上で $x<\pi/2$ なので $s_1$ における左片側接ベクトル $v=(v^t,v^x)$ は $v^x\ge0$ を満たす。ところが $x=\pi/2$ では $g_{tt}=g_{xx}=0$、$g_{tx}=1$、$V=\partial_t-\partial_x$ なので、$g(v,v)=2v^tv^x$、$g(v,V)=v^x-v^t$ であり、$v$ が未来向き時間的であることは $v^tv^x<0$ かつ $v^x< v^t$ を意味する。$v^x\ge0$ なら前者から $v^x>0$、$v^t<0$ となり後者に反する。よって $x(s)<\pi/2$ がつねに成り立つ。$x=-\pi/2$ では $g_{tx}=-1$、$V=\partial_t+\partial_x$ なので $g(v,v)=-2v^tv^x$、$g(v,V)=-(v^t+v^x)$ であり、未来向き時間的なら $v^tv^x>0$ かつ $v^t+v^x>0$、したがって $v^x>0$ となる。$x(s_1)=-\pi/2$ となる最小の $s_1$ があれば左片側接ベクトルは $v^x\le0$ を満たすので矛盾し、$x(s)>-\pi/2$ がつねに成り立つ。
この例は「コンパクト時空」という性質を満たし、「CTC を持つ（chronological でない）」が「TV」という性質を満たさず、含意「コンパクトかつ CTC あり $\Rightarrow$ TV」を破る。prop-totally-vicious-compact-reflecting により、この時空は reflecting でもない。
Minkowski 時空 $\mathbb{L}^n$ では原点 $o$ について $I^+(o)=\{t>|x|\}\neq\mathbb{L}^n$ なので TV ではない（時空の記事の例）。より一般に、chronological な時空（CTC を持たない時空）は $p\notin I^+(p)$ なので TV ではない。
性質
時空 $(M,g)$ について次は同値である。
- (T1) 任意の $p\in M$ に対して $I^+(p)\cap I^-(p)=M$（TV の定義）。
- (T2) ある $p_0\in M$ に対して $I^+(p_0)\cap I^-(p_0)=M$。
- (T3) 任意の $p\in M$ に対して $p\ll p$、すなわち $p$ を通る CTC が存在する。
- (T4) 任意の相異なる $p,q\in M$ に対して $p\ll q$。
- (V1) 任意の $p\in M$ に対して $J^+(p)\cap J^-(p)=M$。
- (V2) ある $p_0\in M$ に対して $J^+(p_0)\cap J^-(p_0)=M$。
このうち (T3) $\Rightarrow$ (T1) の証明でのみ $M$ の連結性を用いる。
(T1) $\Rightarrow$ (T2)、(T1) $\Rightarrow$ (T4)、(V1) $\Rightarrow$ (V2) は明らかである。(T1) $\Rightarrow$ (T3)：$p\in M=I^+(p)\cap I^-(p)$ より $p\ll p$。(T1) $\Rightarrow$ (V1)：$I^\pm(p)\subset J^\pm(p)$ による。
(T2) $\Rightarrow$ (T1)：$p,q\in M$ を任意にとる。仮定より $p\in I^-(p_0)$、$q\in I^+(p_0)$、すなわち $p\ll p_0\ll q$ なので $\ll$ の推移性（時空の記事）により $p\ll q$、すなわち $q\in I^+(p)$ である。同様に $q\ll p_0\ll p$ より $q\in I^-(p)$ である。
(T4) $\Rightarrow$ (T1)：$p\in M$ とする。$q\neq p$ なら (T4) を $(p,q)$ と $(q,p)$ に適用して $q\in I^+(p)\cap I^-(p)$ である。$q=p$ については、$M$ は次元 $n\ge2$ の多様体なので $p$ と異なる点 $r$ をとれ、$p\ll r\ll p$ より $p\ll p$、すなわち $p\in I^+(p)\cap I^-(p)$ である。
(V2) $\Rightarrow$ (T2)：事実 3 により $r\in I^+(p_0)$ がとれる。(V2) より $r\in J^-(p_0)$、すなわち $r\le p_0$ なので、$p_0\ll r\le p_0$ と押し上げ補題により $p_0\ll p_0$ である。任意の $q\in M$ に対し、(V2) より $p_0\le q$ かつ $q\le p_0$ なので、$p_0\ll p_0\le q$ から $p_0\ll q$、$q\le p_0\ll p_0$ から $q\ll p_0$ が従い、$q\in I^+(p_0)\cap I^-(p_0)$ である。
(T3) $\Rightarrow$ (T1)：$p\in M$ を固定し $A:=I^+(p)$ とおく。事実 1 により $A$ は開集合であり、(T3) により $p\in A$ なので空でない。$A$ が閉集合であることを示す。$q\in\overline{A}$ とする。(T3) により $q\ll q$ なので $q\in I^-(q)$ であり、事実 1 により $I^-(q)$ は $q$ の開近傍である。よって $I^-(q)\cap A\neq\emptyset$ であり、$r\in I^-(q)\cap A$ をとると $p\ll r\ll q$ から $q\in A$ を得る。ゆえに $A$ は $M$ の空でない開かつ閉な部分集合であり、$M$ が連結なので $A=M$ である。同じ議論を向きを逆にして行えば $I^-(p)=M$ が従う。$\square$
(T3)・(T4) の「時間的曲線」を「因果曲線」に置き換えた条件（任意の点を通る閉因果曲線が存在する、任意の相異なる2点が因果曲線で結べる）は TV を含意しない。座標で書いた反例が本サイトの参考書「因果階層」の Totally Vicious 時空の頁にある。一方 (V1)・(V2) は「すべての $p$ について」または「ある $p_0$ について $J^+(p_0)\cap J^-(p_0)$ が全体」という強い形なので、押し上げ補題を介して TV と同値になる。
時空 $(M,g)$ の任意の点 $p$ について
$$
\overline{I^+(p)}=\{r\in M\mid I^+(r)\subset I^+(p)\},\qquad\overline{I^-(p)}=\{r\in M\mid I^-(r)\subset I^-(p)\}
$$
が成り立つ。
前半を示す（後半は向きを逆にして同様）。$S:=\{r\mid I^+(r)\subset I^+(p)\}$ とおく。
$\overline{I^+(p)}\subset S$：$r\in\overline{I^+(p)}$ とし、$r^+\in I^+(r)$ を任意にとる。$r\in I^-(r^+)$ であり、事実 1 により $I^-(r^+)$ は $r$ の開近傍なので $I^+(p)$ と交わる。$s\in I^-(r^+)\cap I^+(p)$ をとると $p\ll s\ll r^+$ より $r^+\in I^+(p)$ である。よって $I^+(r)\subset I^+(p)$、すなわち $r\in S$ である。
$S\subset\overline{I^+(p)}$：$r\in S$ とし、$U$ を $r$ の任意の近傍とする。事実 3 により $U\cap I^+(r)\neq\emptyset$ であり、$I^+(r)\subset I^+(p)$ なので $U\cap I^+(p)\neq\emptyset$ である。よって $r\in\overline{I^+(p)}$ である。$\square$
時空 $(M,g)$ が reflecting であり、かつ少なくとも1本の CTC を持つならば、$(M,g)$ は TV である。
$\gamma\colon[0,1]\to M$ を CTC とし、$p_0:=\gamma(0)=\gamma(1)$、$q_0:=\gamma(1/2)$ とおく。$\gamma$ の $[0,1/2]$ と $[1/2,1]$ への制限はそれぞれ $p_0$ から $q_0$、$q_0$ から $p_0$ への未来向き時間的曲線なので、$p_0\ll q_0\ll p_0$ である。
$I^+(p_0)$ が閉集合であることを示す。$r\in\overline{I^+(p_0)}$ とすると、reflecting 性により $p_0\in\overline{I^-(r)}$ であり、lem-totally-vicious-closure により $I^-(p_0)\subset I^-(r)$ である。$q_0\in I^-(p_0)$ なので $q_0\ll r$ であり、$p_0\ll q_0\ll r$ より $r\in I^+(p_0)$ である。よって $\overline{I^+(p_0)}=I^+(p_0)$ である。事実 1 により $I^+(p_0)$ は開集合でもあり、$p_0\in I^+(p_0)$ なので空でない。$M$ は連結なので $I^+(p_0)=M$ である。
同様に、$r\in\overline{I^-(p_0)}$ なら reflecting 性により $p_0\in\overline{I^+(r)}$、lem-totally-vicious-closure により $I^+(p_0)\subset I^+(r)$、$q_0\in I^+(p_0)$ より $r\ll q_0\ll p_0$ となり $r\in I^-(p_0)$ である。ゆえに $I^-(p_0)$ も空でない開かつ閉集合で $I^-(p_0)=M$ である。したがって $I^+(p_0)\cap I^-(p_0)=M$、すなわち thm-totally-vicious-equivalent-conditions の (T2) が成り立ち、$(M,g)$ は TV である。$\square$
時空 $(M,g)$ において任意の $p\in M$ に対し $J^+(p)$ と $J^-(p)$ が閉集合であり、かつ CTC が存在するならば、$(M,g)$ は TV である。
$(M,g)$ が reflecting であることを示せば thm-totally-vicious-reflecting から従う。まず任意の $q$ について $\overline{I^+(q)}=J^+(q)$ を示す。$I^+(q)\subset J^+(q)$ で $J^+(q)$ は閉なので $\overline{I^+(q)}\subset J^+(q)$ である。逆に $r\in J^+(q)$ とし $U$ を $r$ の任意の近傍とすると、事実 3 により $r'\in U\cap I^+(r)$ がとれ、$q\le r\ll r'$ と押し上げ補題により $r'\in I^+(q)$、よって $U\cap I^+(q)\neq\emptyset$ で $r\in\overline{I^+(q)}$ である。同様に $\overline{I^-(q)}=J^-(q)$ である。したがって任意の $p,q$ について
$$
q\in\overline{I^+(p)}\iff q\in J^+(p)\iff p\le q\iff p\in J^-(q)\iff p\in\overline{I^-(q)}
$$
となり、$(M,g)$ は reflecting である。$\square$
コンパクトな時空 $(M,g)$ は CTC を持つ。すなわち $p\ll p$ となる $p\in M$ が存在する。特にコンパクト時空は chronological ではない。
任意の $q\in M$ に対し、事実 3 により $I^-(q)\neq\emptyset$ なので $q\in I^+(p)$ となる $p$ が存在する。よって $\{I^+(p)\}_{p\in M}$ は $M$ の開被覆である（事実 1）。$M$ はコンパクトなので有限部分被覆 $I^+(p_1),\dots,I^+(p_k)$ がとれ、その中で $k$ が最小のものをとる。$p_1\in M$ はある $I^+(p_i)$ に属する。もし $i\neq1$ なら $p_i\ll p_1$ なので、$\ll$ の推移性により $I^+(p_1)\subset I^+(p_i)$ となり、$I^+(p_1)$ を除いた $k-1$ 個でも $M$ を覆うことになって $k$ の最小性に反する。よって $i=1$、すなわち $p_1\in I^+(p_1)$、$p_1\ll p_1$ である。$\square$
任意の TV 時空は reflecting である。逆に、コンパクトな時空が reflecting ならば TV である。したがってコンパクト時空については reflecting であることと TV であることは同値である。
$(M,g)$ が TV なら任意の $p$ について $I^\pm(p)=M$ なので $\overline{I^\pm(p)}=M$ であり、reflecting の定義の両辺はつねに真で同値である。逆にコンパクトかつ reflecting なら、prop-totally-vicious-compact-ctc により CTC が存在し、thm-totally-vicious-reflecting により TV である。$\square$
因果階層では、時空の因果性条件を non-totally vicious $\supset$ chronological $\supset$ causal $\supset$ distinguishing $\supset$ strongly causal $\supset$ stably causal $\supset$ causally continuous $\supset$ causally simple $\supset$ globally hyperbolic の順に強めていく（MS08、BEE96 Ch. 3）。TV 時空はこの階層の外に置かれる、因果性が完全に失われた時空である。ex-totally-vicious-compact-non-tv は、non-totally vicious であっても chronological とは限らないことを示している。reflecting 性は因果階層の中では causally continuous の定義に現れる性質であり、reflecting かつ distinguishing な時空が causally continuous である（MS08 §3）。
関連項目
参考文献
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