定数係数偏微分作用素

同義語：定数係数の偏微分作用素linear differential operator with constant coefficientsconstant coefficient differential operator

概要

前提知識: 超関数, 緩増加超関数とFourier変換, 多重指数, Taylorの定理

定数係数偏微分作用素（linear differential operator with constant coefficients）とは、複素数の係数 $a_\alpha$ をもつ多項式 $P(\xi)=\sum_{|\alpha|\le m}a_\alpha\xi^\alpha$ の変数 $\xi_j$ に偏微分 $\partial_j=\partial/\partial x_j$ を代入した作用素
$$ P(\partial)=\sum_{|\alpha|\le m}a_\alpha\partial^\alpha $$
である。Laplace 作用素 $\Delta=\partial_1^2+\dots+\partial_n^2$、熱作用素 $\partial_t-\Delta_x$、波動作用素 $\partial_t^2-\Delta_x$、Cauchy–Riemann 作用素 $\frac12(\partial_x+i\partial_y)$ がその代表である。
係数が定数であることには 2 つの意味がある。1 つは、作用素どうしの合成が多項式の掛け算になり、作用素の計算が多項式の計算に移ることである。もう 1 つは、作用素が平行移動と交換することである。この記事では、この 2 つの性質を定理の形にする。後者については、平行移動と交換し、関数の台を広げない連続線形写像は定数係数偏微分作用素に限ることを証明する。その途中で、1 点に台をもつ超関数がデルタとその導関数の有限和であることを示す。
Fourier 変換は $\partial_j$ を $i\xi_j$ の掛け算に変えるので、方程式 $P(\partial)u=0$ は周波数の側で $P(i\xi)\widehat u=0$ になる。ここから、緩増加な解の Fourier 変換は多項式 $\xi\mapsto P(i\xi)$ の実の零点の集合に台をもつことが分かり、零点が原点だけなら緩増加な解は多項式に限る、という Liouville 型の定理が出る。有界な調和関数が定数であること、有界な整関数が定数であることは、その特別な場合である。

定義と記号

$n\ge1$ とし、$\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ を多重指数、$|\alpha|=\alpha_1+\dots+\alpha_n$、$\partial^\alpha=\partial_1^{\alpha_1}\cdots\partial_n^{\alpha_n}$、$\xi^\alpha=\xi_1^{\alpha_1}\cdots\xi_n^{\alpha_n}$、$\alpha!=\alpha_1!\cdots\alpha_n!$ と書く。$\mathbb C[\xi]=\mathbb C[\xi_1,\dots,\xi_n]$ は複素係数の多項式環である。

定数係数偏微分作用素

多項式 $P(\xi)=\sum_{|\alpha|\le m}a_\alpha\xi^\alpha\in\mathbb C[\xi]$ に対し
$$ P(\partial):=\sum_{|\alpha|\le m}a_\alpha\partial^\alpha $$
を $P$ に対応する 定数係数偏微分作用素 という。$P(\partial)$ は、開集合 $\Omega\subset\mathbb R^n$ の上の $C^\infty$ 級関数の空間 $C^\infty(\Omega)$、超関数の空間 $\mathcal D'(\Omega)$、緩増加超関数の空間 $\mathcal S'(\mathbb R^n)$ のそれぞれを自分自身に写す（超関数には超関数微分で作用させる）。$P\ne0$ で $P$ の次数が $m$ のとき、$m$ を $P(\partial)$ の階数、$m$ 次の部分 $P_m(\xi):=\sum_{|\alpha|=m}a_\alpha\xi^\alpha$ を主部という。

超関数微分の定義 $\langle\partial^\alpha u,\varphi\rangle=(-1)^{|\alpha|}\langle u,\partial^\alpha\varphi\rangle$ から、$u\in\mathcal D'(\Omega)$ と $\varphi\in\mathcal D(\Omega)$ について
$$ \langle P(\partial)u,\varphi\rangle=\langle u,P(-\partial)\varphi\rangle $$
である。$P(-\partial)=\sum_\alpha(-1)^{|\alpha|}a_\alpha\partial^\alpha$ を $P(\partial)$ の 転置作用素 という（基本解の記事と同じ記法）。

$D_j=-i\partial_j$ で書く流儀

多くの文献は $D_j:=-i\partial_j$ とおき、作用素を $Q(D)=\sum b_\alpha D^\alpha$ と書く。$Q(D)=P(\partial)$ となるのは $P(\xi)=Q(-i\xi)$ のとき、すなわち $Q(\xi)=P(i\xi)$ のときである。この記事では $\partial$ で書くので、Fourier 変換の側に現れる多項式は $P(i\xi)$ になる（下の prop-ccdo-fourier）。

多項式の環と作用素の環

多項式との対応

$P,Q\in\mathbb C[\xi]$、$c\in\mathbb C$ について $(P+Q)(\partial)=P(\partial)+Q(\partial)$、$(cP)(\partial)=cP(\partial)$、$(PQ)(\partial)=P(\partial)Q(\partial)=Q(\partial)P(\partial)$ が成り立つ。
$\zeta\in\mathbb C^n$ に対し $e_\zeta(x):=e^{\zeta\cdot x}$（$\zeta\cdot x=\zeta_1x_1+\dots+\zeta_nx_n$）とおくと、$P(\partial)e_\zeta=P(\zeta)\,e_\zeta$ である。
写像 $P\mapsto P(\partial)$ は、$\mathbb C[\xi]$ から $C^\infty(\mathbb R^n)$ の線形変換のなす環への単射な環準同型である。とくに、定数係数偏微分作用素は、対応する多項式によってただ 1 つに決まる。

要点：偏微分は互いに交換するので合成は多項式の積に対応し、指数関数 $e_\zeta$ に作用させると $P(\zeta)$ 倍になることから単射性が出る。

詳しい証明を開く

1. 和と定数倍は定義から明らかである。積については、$C^\infty$ 級関数の偏微分の順序は交換できるので $\partial^\alpha\partial^\beta=\partial^{\alpha+\beta}=\partial^\beta\partial^\alpha$ であり、 $$P(\partial)Q(\partial)=\sum_{\alpha,\beta}a_\alpha b_\beta\,\partial^{\alpha+\beta}=(PQ)(\partial)$$ となる（$Q=\sum_\beta b_\beta\xi^\beta$）。$PQ=QP$ だから $Q(\partial)P(\partial)$ も同じである。超関数に作用させる場合も、超関数微分が互いに交換するので同じ式が成り立つ。

2. $\partial_je_\zeta=\zeta_je_\zeta$ を繰り返して $\partial^\alpha e_\zeta=\zeta^\alpha e_\zeta$ となり、線形結合をとれば $P(\partial)e_\zeta=P(\zeta)e_\zeta$ である。

3. 1 により環準同型である。$P(\partial)=0$ なら、2 によりすべての $\zeta\in\mathbb C^n$ で $P(\zeta)e_\zeta=0$、すなわち $P(\zeta)=0$ である。$\mathbb C^n$ の全体で $0$ になる多項式は係数がすべて $0$ である（1 変数ずつ、根が有限個しかないことを使えばよい）。よって $P=0$ であり、単射である。$\square$

2 から、方程式 $P(\partial)u=0$ には指数関数の解がたくさんある。

指数関数の解

$P\in\mathbb C[\xi]$ が定数でないとき、$P(\zeta)=0$ となる $\zeta\in\mathbb C^n$ があり、$e_\zeta$ は $P(\partial)u=0$ の $0$ でない $C^\infty$ 級の解である。したがって、$P(\partial)\colon C^\infty(\mathbb R^n)\to C^\infty(\mathbb R^n)$ が単射であるのは、$P$ が $0$ でない定数のときに限る。

$P$ の次数を $m\ge1$ とする。主部 $P_m$ は $0$ でない多項式なので、prf-ccdo-ring の 3 と同じ理由で $P_m(v)\ne0$ となる $v\in\mathbb C^n$ がある。1 変数の多項式 $t\mapsto P(tv)$ は $t^m$ の係数が $P_m(v)\ne0$ なので $m$ 次であり、代数学の基本定理により根 $t_0\in\mathbb C$ をもつ。$\zeta:=t_0v$ とおけば $P(\zeta)=0$ で、prop-ccdo-ring の 2 により $P(\partial)e_\zeta=0$ である。$e_\zeta$ は至る所 $0$ でない。$P$ が $0$ なら $P(\partial)=0$ は単射でなく、$P$ が $0$ でない定数 $c$ なら $P(\partial)=c$ 倍は単射である。$\square$

指数関数の解の例

例を開く

1. Laplace 作用素 $\Delta$ は $P(\xi)=\xi_1^2+\dots+\xi_n^2$ に対応する。$n=2$ で $\zeta=(1,i)$ とおくと $P(\zeta)=1-1=0$ なので、$e^{x+iy}$ は調和である。その実部 $e^x\cos y$ も調和である。 2. 熱作用素 $\partial_t-\partial_x^2$（変数 $(x,t)$）は $P(\xi,\tau)=\tau-\xi^2$ に対応し、$\zeta=(\xi,\xi^2)$ が零点なので $e^{\xi x+\xi^2t}$ は解である。$\xi=ik$（$k\in\mathbb R$）とすれば $e^{ikx-k^2t}$ という減衰する解になる。 3. 波動作用素 $\partial_t^2-\partial_x^2$ は $P(\xi,\tau)=\tau^2-\xi^2$ に対応し、$\zeta=(ik,ik)$ が零点なので $e^{ik(x+t)}$ は解である。実部をとれば $\cos(k(x+t))$ である。

Fourier 変換による表示

緩増加超関数とFourier変換の正規化 $\widehat\varphi(\xi)=(2\pi)^{-n/2}\int e^{-ix\cdot\xi}\varphi(x)\,dx$ を使う。多項式 $Q$ と $v\in\mathcal S'(\mathbb R^n)$ の積は $\langle Qv,\varphi\rangle:=\langle v,Q\varphi\rangle$ で定める（$Q\varphi\in\mathcal S$ だから意味をもつ）。

Fourier 変換は作用素を掛け算に変える

$u\in\mathcal S'(\mathbb R^n)$ について
$$ \widehat{P(\partial)u}(\xi)=P(i\xi)\,\widehat u(\xi) $$
が $\mathcal S'(\mathbb R^n)$ の等式として成り立つ。

緩増加超関数とFourier変換の命題「緩増加超関数のFourier変換の基本公式」により $\widehat{\partial^\alpha u}=(i\xi)^\alpha\widehat u$ である。これに $a_\alpha$ を掛けて足せばよい。$\square$

以下、多項式 $\xi\mapsto P(i\xi)$ の 実の零点の集合 を
$$ Z_P:=\{\xi\in\mathbb R^n\mid P(i\xi)=0\} $$
と書く。$Z_P$ は $\mathbb R^n$ の閉集合である。$P\ne0$ なら $\xi\mapsto P(i\xi)$ も $0$ でない多項式（$\xi^\alpha$ の係数は $i^{|\alpha|}a_\alpha$）であり、$0$ でない多項式は空でない開集合の上で恒等的に $0$ にはならない（その点での Taylor 展開の係数がすべて $0$ になるから）。よって $P\ne0$ なら $Z_P$ は内点をもたない。

代表的な作用素の $Z_P$

作用素	$P(i\xi)$	$Z_P$
Laplace 作用素 $\Delta$	$-\|\xi\|^2$	$\{0\}$
$\Delta-1$	$-\|\xi\|^2-1$	空集合
$\Delta+1$（Helmholtz 作用素）	$1-\|\xi\|^2$	単位球面
熱作用素 $\partial_t-\Delta_x$	$i\tau+\|\xi\|^2$	$\{(0,0)\}$
波動作用素 $\partial_t^2-\Delta_x$	$-\tau^2+\|\xi\|^2$	錐 $\|\tau\|=\|\xi\|$
Cauchy–Riemann 作用素 $\frac12(\partial_x+i\partial_y)$	$\frac12(i\xi-\eta)$	$\{(0,0)\}$

熱作用素と波動作用素では周波数の変数を $(\xi,\tau)\in\mathbb R^n\times\mathbb R$ と書いた。Cauchy–Riemann 作用素の行では変数を $(x,y)$、周波数を $(\xi,\eta)$ とした。

1 点に台をもつ超関数

平行移動と交換する作用素の特徴づけと Liouville 型の定理は、どちらも次の補題に帰着する。$\delta$ は原点の Dirac のデルタ $\langle\delta,\varphi\rangle=\varphi(0)$ であり、$\langle\partial^\alpha\delta,\varphi\rangle=(-1)^{|\alpha|}\partial^\alpha\varphi(0)$ である。

1 点に台をもつ超関数

$u\in\mathcal D'(\mathbb R^n)$ の台が $\{0\}$ に含まれるなら、整数 $N\ge0$ と定数 $c_\alpha\in\mathbb C$（$|\alpha|\le N$）があって
$$ u=\sum_{|\alpha|\le N}c_\alpha\,\partial^\alpha\delta $$
となる。

要点：連続性から有限の階数 $N$ の評価を得て、原点で $N$ 階までの導関数が消えるテスト関数には $u$ が $0$ で作用することを、台を原点に縮める切り落としと Taylor の定理で示し、一般のテスト関数からは Taylor 多項式を引く。

詳しい証明を開く

$K$ を閉単位球とする。$u$ は $\mathcal D_K$（台が $K$ に含まれるテスト関数の Fréchet 空間）の上で連続なので、定数 $C$ と整数 $N\ge0$ があって $$|\langle u,\varphi\rangle|\le C\max_{|\beta|\le N}\sup_{x\in K}|\partial^\beta\varphi(x)|\qquad(\varphi\in\mathcal D_K)$$ が成り立つ。$\chi\in\mathcal D(\mathbb R^n)$ を、$|x|\le1/2$ で $\chi=1$、台が $K$ に含まれるようにとる。

段 1． $\varphi\in\mathcal D(\mathbb R^n)$ が $|\beta|\le N$ のすべての $\beta$ で $\partial^\beta\varphi(0)=0$ を満たすなら $\langle u,\varphi\rangle=0$ であることを示す。$0<\varepsilon\le1$ に対し $\chi_\varepsilon(x):=\chi(x/\varepsilon)$ とおく。$(1-\chi_\varepsilon)\varphi$ は原点の近傍 $|x|<\varepsilon/2$ で $0$ であり、$u$ の台は $\{0\}$ に含まれるので $\langle u,(1-\chi_\varepsilon)\varphi\rangle=0$、すなわち $\langle u,\varphi\rangle=\langle u,\chi_\varepsilon\varphi\rangle$ である。$\chi_\varepsilon\varphi\in\mathcal D_K$ で、台は $|x|\le\varepsilon$ に含まれる。$|\beta|\le N$ と $\gamma\le\beta$ について、$|\beta-\gamma|$ 階の導関数 $\partial^{\beta-\gamma}\varphi$ は原点で $N-|\beta-\gamma|$ 階までの導関数がすべて $0$ なので、Taylorの定理により $\varphi$ だけで決まる定数 $M$ があって $|\partial^{\beta-\gamma}\varphi(x)|\le M|x|^{N+1-|\beta-\gamma|}$（$|x|\le1$）となる。Leibniz の公式と $|\partial^\gamma(\chi_\varepsilon)(x)|\le\varepsilon^{-|\gamma|}\sup|\partial^\gamma\chi|$ から、$|x|\le\varepsilon$ で $$|\partial^\beta(\chi_\varepsilon\varphi)(x)|\le\sum_{\gamma\le\beta}\binom{\beta}{\gamma}\varepsilon^{-|\gamma|}\sup|\partial^\gamma\chi|\cdot M\varepsilon^{N+1-|\beta|+|\gamma|}\le C'\varepsilon^{N+1-|\beta|}\le C'\varepsilon$$ となる（$C'$ は $\varepsilon$ によらない）。よって $|\langle u,\varphi\rangle|=|\langle u,\chi_\varepsilon\varphi\rangle|\le CC'\varepsilon$ であり、$\varepsilon\to0$ として $\langle u,\varphi\rangle=0$ を得る。

段 2． 一般の $\varphi\in\mathcal D(\mathbb R^n)$ に対し $$\varphi_0:=\varphi-\chi\sum_{|\alpha|\le N}\frac{\partial^\alpha\varphi(0)}{\alpha!}x^\alpha$$ とおく。$\chi$ は原点の近傍で $1$ なので、$|\beta|\le N$ について $\partial^\beta\varphi_0(0)=\partial^\beta\varphi(0)-\partial^\beta\varphi(0)=0$ である。段 1 により $\langle u,\varphi_0\rangle=0$ だから $$\langle u,\varphi\rangle=\sum_{|\alpha|\le N}\frac{\langle u,\chi x^\alpha\rangle}{\alpha!}\,\partial^\alpha\varphi(0)$$ となる。$c_\alpha:=(-1)^{|\alpha|}\langle u,\chi x^\alpha\rangle/\alpha!$ とおけば、これは $u=\sum_{|\alpha|\le N}c_\alpha\partial^\alpha\delta$ を意味する。$\square$

平行移動と交換する作用素

$C^\infty(\mathbb R^n)$ には、各コンパクト集合の上での各階の導関数の一様収束の位相（半ノルム $\sup_{|x|\le k}|\partial^\beta f(x)|$ の族が定める Fréchet 空間の位相）を入れる。$h\in\mathbb R^n$ について平行移動を $(\tau_hf)(x):=f(x-h)$ と書く。

平行移動と交換する局所的な作用素

線形写像 $L\colon C^\infty(\mathbb R^n)\to C^\infty(\mathbb R^n)$ について、次の 2 つは同値である。

ある多項式 $P\in\mathbb C[\xi]$ について $L=P(\partial)$ である。
$L$ は連続で、すべての $h\in\mathbb R^n$ について $L\tau_h=\tau_hL$ を満たし、すべての $f$ について $\operatorname{supp}Lf\subset\operatorname{supp}f$ を満たす。
1 が成り立つとき、$P$ は $L$ からただ 1 つに決まる。

1 から 2：$\partial^\alpha$ は $C^\infty(\mathbb R^n)$ の上で連続であり、平行移動と交換し、$f$ が $0$ になる開集合の上では $\partial^\alpha f$ も $0$ になる。線形結合 $P(\partial)$ も同じである。$P$ の一意性は prop-ccdo-ring の 3 である。
2 から 1：$T(f):=(Lf)(0)$ とおく。$f\mapsto Lf$ と $g\mapsto g(0)$ はともに連続なので、$T$ は $C^\infty(\mathbb R^n)$ の上の連続線形汎関数である。各コンパクト集合 $K$ について包含 $\mathcal D_K\to C^\infty(\mathbb R^n)$ は連続なので、$T$ を $\mathcal D(\mathbb R^n)$ に制限したものは超関数である。$\varphi\in\mathcal D(\mathbb R^n)$ の台が原点を含まなければ、仮定から $\operatorname{supp}L\varphi\subset\operatorname{supp}\varphi$ も原点を含まないので $T(\varphi)=(L\varphi)(0)=0$ である。よって $T|_{\mathcal D}$ の台は $\{0\}$ に含まれ、lem-ccdo-point-support により、$b_\alpha:=(-1)^{|\alpha|}c_\alpha$ とおくと
$$ T(\varphi)=\sum_{|\alpha|\le N}b_\alpha\,\partial^\alpha\varphi(0)\qquad(\varphi\in\mathcal D(\mathbb R^n)) $$
となる。$\mathcal D(\mathbb R^n)$ は $C^\infty(\mathbb R^n)$ で稠密である（$f\in C^\infty$ と、$|x|\le k$ で $1$ になるテスト関数 $\chi_k$ について $\chi_kf\to f$）。両辺は $C^\infty(\mathbb R^n)$ の上で連続なので、この式はすべての $f\in C^\infty(\mathbb R^n)$ で成り立つ。最後に $x\in\mathbb R^n$ を固定すると、$(\tau_{-x}g)(0)=g(x)$ と $L\tau_{-x}=\tau_{-x}L$ から
$$ (Lf)(x)=(\tau_{-x}Lf)(0)=(L\tau_{-x}f)(0)=\sum_{|\alpha|\le N}b_\alpha\,\partial^\alpha(\tau_{-x}f)(0)=\sum_{|\alpha|\le N}b_\alpha\,\partial^\alpha f(x) $$
となる。$P(\xi):=\sum_\alpha b_\alpha\xi^\alpha$ とおけば $L=P(\partial)$ である。$\square$

条件「台を広げない」は、$Lf$ の点 $x$ での値が $f$ の $x$ の近くでの振る舞いだけで決まる、という局所性である。局所性を外すと、平行移動と交換する連続な作用素はずっと多くなり、畳み込み $f\mapsto S*f$（$S$ はコンパクトな台の超関数）がその例である（超関数の畳み込み）。

単射性と緩増加な解

解の Fourier 変換の台

$u\in\mathcal S'(\mathbb R^n)$ が $P(\partial)u=0$ を満たすなら、$\widehat u$ の台は $Z_P$ に含まれる。

prop-ccdo-fourier により $P(i\xi)\widehat u=0$ である。$U:=\mathbb R^n\setminus Z_P$ は開集合で、その上で $P(i\xi)\ne0$ である。$\psi\in\mathcal D(U)$ に対し $\psi/P(i\,\cdot)$ も $\mathcal D(U)$ に属するので
$$ \langle\widehat u,\psi\rangle=\Bigl\langle\widehat u,P(i\,\cdot)\frac{\psi}{P(i\,\cdot)}\Bigr\rangle=\Bigl\langle P(i\,\cdot)\widehat u,\frac{\psi}{P(i\,\cdot)}\Bigr\rangle=0 $$
となる。よって $\widehat u$ は $U$ の上で $0$ であり、台は $Z_P$ に含まれる。$\square$

定数係数偏微分作用素の単射性

$P\in\mathbb C[\xi]$ とする。

$P(\partial)\colon\mathcal S'(\mathbb R^n)\to\mathcal S'(\mathbb R^n)$ が単射であることと、$Z_P$ が空集合であることは同値である。
$P\ne0$ なら、$P(\partial)$ はコンパクトな台をもつ超関数の空間 $\mathcal E'(\mathbb R^n)$ の上で単射である。とくに $\mathcal D(\mathbb R^n)$ の上で単射である。

要点：1 は $\widehat u$ の台が $Z_P$ に入ることと平面波 $e^{ix\cdot\xi_0}$ から、2 は $\widehat u$ の連続性と $Z_P$ が内点をもたないことから出る。

詳しい証明を開く

1. $Z_P=\emptyset$ で $P(\partial)u=0$ なら、prop-ccdo-support により $\widehat u$ の台は空で $\widehat u=0$、Fourier 変換は $\mathcal S'$ の上で単射なので $u=0$ である。逆に $\xi_0\in Z_P$ なら、$u(x):=e^{ix\cdot\xi_0}$ は有界な $C^\infty$ 級関数なので緩増加であり、prop-ccdo-ring の 2 により $P(\partial)u=P(i\xi_0)u=0$ である。$u\ne0$ なので単射でない。

2. $u\in\mathcal E'(\mathbb R^n)$ の Fourier 変換は連続関数（実は $\mathbb C^n$ の上の整関数に延びる）である。これはこの記事では証明しない（Kna16a Theorem 5.20、p. 203。同書の Fourier 変換の正規化はこの記事と異なるが、連続性は正規化によらない）。$P(\partial)u=0$ なら、連続関数 $\xi\mapsto P(i\xi)\widehat u(\xi)$ が超関数として $0$ なので、各点で $0$ である。$Z_P$ は内点をもたないので $\mathbb R^n\setminus Z_P$ は稠密であり、その上で $\widehat u=0$、連続性から至る所 $\widehat u=0$ となり、$u=0$ である。$\square$

定数係数偏微分作用素の Liouville 型の定理

$P\in\mathbb C[\xi]$ の実の零点の集合が $Z_P\subset\{0\}$ を満たすとする。$u\in\mathcal S'(\mathbb R^n)$ が $P(\partial)u=0$ を満たすなら、$u$ は多項式である。

prop-ccdo-support により、$\widehat u$ を $\mathcal D(\mathbb R^n)$ に制限した超関数の台は $\{0\}$ に含まれる。lem-ccdo-point-support により、$\mathcal D(\mathbb R^n)$ の上で $\widehat u=\sum_{|\alpha|\le N}c_\alpha\partial^\alpha\delta$ である。両辺は $\mathcal S'(\mathbb R^n)$ の元で、$\mathcal D(\mathbb R^n)$ は $\mathcal S(\mathbb R^n)$ で稠密なので（緩増加超関数とFourier変換の命題「コンパクト台テスト関数の稠密性」）、この等式は $\mathcal S'(\mathbb R^n)$ で成り立つ。一方、同じ記事の基本公式と例「定数とDiracデルタ」から
$$ \widehat{x^\alpha}=i^{|\alpha|}\partial^\alpha\widehat1=(2\pi)^{n/2}i^{|\alpha|}\partial^\alpha\delta $$
である。よって $v:=(2\pi)^{-n/2}\sum_\alpha c_\alpha(-i)^{|\alpha|}x^\alpha$ は $\widehat v=\widehat u$ を満たす多項式であり、Fourier 変換の単射性から $u=v$ である。$\square$

Liouville 型の定理の例

$\mathbb R^n$ 上の調和関数 $u$ で、ある $C,k$ について $|u(x)|\le C(1+|x|)^k$ となるものは、次数 $k$ 以下の多項式である。とくに有界な調和関数は定数である。
熱方程式 $\partial_tu=\Delta_xu$ の、$\mathbb R^n\times\mathbb R$ の全体の上の有界な可測関数の解（超関数の意味の解）は、ほとんど至る所で定数に等しい。
有界な整関数は定数である。

要点：どれも $Z_P=\{0\}$ の場合で、解は緩増加な多項式になり、増大度の条件から次数が決まる。

詳しい証明を開く

3 つとも、$Z_P=\{0\}$ であること（ex-ccdo-zero-sets）と、多項式の増大度で抑えられた可測関数は緩増加超関数を定めることから、thm-ccdo-liouville により解は多項式である。1 では、$|p(x)|\le C(1+|x|)^k$ を満たす多項式 $p$ の次数は $k$ 以下である（$p$ の最高次の斉次部分 $p_d$ について $p_d(v)\ne0$ となる方向 $v$ をとり、$p(tv)$ を $t\to\infty$ で比べる）。2 と 3 では、有界な多項式は定数である。3 では、整関数 $f=g+ih$ が Cauchy–Riemann 作用素で $0$ になることを使う。$\square$

3 は複素解析の Liouvilleの定理であり、ここでは Fourier 変換による別証明になっている。2 は熱方程式の解が時間の過去にも未来にも全体で定義されている場合の主張で、初期値問題の解（$t>0$ だけで定義される解）には当てはまらない。

楕円性・準楕円性・基本解

定数係数偏微分作用素の性質の多くは、多項式 $P$ の言葉で書ける。

楕円性． $P(\partial)$ が楕円型であるとは、主部が $\xi\in\mathbb R^n\setminus\{0\}$ で $P_m(\xi)\ne0$ を満たすことである（楕円型作用素の定義「楕円型作用素」の定数係数・スカラーの場合）。このとき単位球面の上の $|P_m|$ の最小値 $c>0$ を使うと、$|\xi|$ が大きい所で $|P(i\xi)|\ge\frac c2|\xi|^m$ となり、$Z_P$ は有界になる。ただし $Z_P$ が空や $\{0\}$ になるとは限らない（$\Delta+1$ は楕円型で $Z_P$ は単位球面）。
基本解． $P\ne0$ なら $P(\partial)E=\delta$ を満たす $E\in\mathcal D'(\mathbb R^n)$ が存在する（基本解の定理「Malgrange–Ehrenpreisの定理」）。$P$ が定数でないとき、基本解はコンパクトな台をもたない。実際、$E\in\mathcal E'(\mathbb R^n)$ なら $\widehat E$ は整関数 $\widetilde E$ に延び（Kna16a Theorem 5.20）、$\mathbb R^n$ の上で $P(i\xi)\widetilde E(\xi)=\widehat\delta=(2\pi)^{-n/2}$ が成り立つ。両辺は $\mathbb C^n$ の上の整関数で、$\mathbb R^n$ の上で一致するので（原点での冪級数の係数が実の方向の偏微分で決まるため）$\mathbb C^n$ の全体で一致する。ところが prop-ccdo-exponential により $P(\zeta_0)=0$ となる $\zeta_0\in\mathbb C^n$ があり、$\zeta=-i\zeta_0$ で左辺は $0$ になるので矛盾である。
準楕円性． $P(\partial)$ が準楕円型であることは、原点の外で $C^\infty$ 級の基本解をもつことと同値である（準楕円性の定理「基本解による特徴づけ」）。

条件を外したときの反例

thm-ccdo-translation の 2 の条件と、thm-ccdo-liouville の仮定を 1 つずつ外す。

外す条件	反例	成り立たなくなること
$L$ が平行移動と交換する	$Lf:=x_1f$	連続で台を広げないが、$L1=x_1$ は定数でないので $L$ は $P(\partial)$ の形でない（$P(\partial)1=P(0)$ は定数）
$L$ が台を広げない	$Lf:=f(\,\cdot+e_1)$（$e_1$ は第 1 基本ベクトル）	連続で平行移動と交換するが、$(Lf)(0)=f(e_1)$ は $f$ の原点の近くの値で決まらないので、$P(\partial)$ の形でない
$Z_P\subset\{0\}$	$\Delta+1$ と $u=\sin x_1$	$u$ は有界で $(\Delta+1)u=0$ を満たすが多項式でない
$Z_P\subset\{0\}$	波動作用素 $\partial_1^2-\partial_2^2$ と $u=\sin(x_1-x_2)$	$u$ は有界な解だが多項式でない。$Z_P$ は 2 本の直線 $\lvert\xi_1\rvert=\lvert\xi_2\rvert$
$u$ が緩増加	$\Delta$ と $u=e^{x_1}\cos x_2$（$n\ge2$）	$u$ は調和だが多項式でない。緩増加超関数でもない（緩増加なら thm-ccdo-liouville により多項式になるから）

反例の確かめ

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1 行目：$x_1f$ の台は $f$ の台に含まれ、写像 $f\mapsto x_1f$ は Leibniz の公式から各半ノルムについて連続である。$\tau_h(x_1f)=(x_1-h_1)\tau_hf$ なので、$h_1\ne0$ なら平行移動と交換しない。

2 行目：$f\mapsto f(\cdot+e_1)$ は連続で、$\tau_h$ と交換する。$f$ を原点の近傍で $0$、$e_1$ で $1$ になるようにとると、$\operatorname{supp}f$ は原点を含まないが $(Lf)(0)=1$ なので原点は $\operatorname{supp}Lf$ に入り、台を広げる。一方 $P(\partial)f(0)$ は $f$ の原点での導関数で決まり $0$ になる。

3 行目：$\partial_1^2\sin x_1=-\sin x_1$ なので $(\Delta+1)\sin x_1=0$。$P(i\xi)=1-|\xi|^2$ の零点は単位球面で、$\widehat u$ は 2 点 $\pm e_1$ に台をもつ。

4 行目：$\partial_1^2\sin(x_1-x_2)=\partial_2^2\sin(x_1-x_2)=-\sin(x_1-x_2)$。$P(i\xi)=-\xi_1^2+\xi_2^2$。

5 行目：$\partial_1^2(e^{x_1}\cos x_2)=e^{x_1}\cos x_2$、$\partial_2^2(e^{x_1}\cos x_2)=-e^{x_1}\cos x_2$ なので調和である（ex-ccdo-exponential の 1）。$Z_\Delta=\{0\}$ は満たしている。もし緩増加なら thm-ccdo-liouville から多項式になるが、$x_2=0$ の上で $e^{x_1}$ は多項式でないので、緩増加でない。

文献

thm-ccdo-injective の 2 で引いた、コンパクトな台の超関数の Fourier 変換が滑らかな関数で整関数に延びることは Kna16a Theorem 5.20（p. 203）にある。1 変数の場合は、増大度の評価とその逆を含めた証明が Paley–Wienerの定理の定理「Paley–Wiener–Schwartzの定理」にある。超関数の微分・積と Fourier 変換の関係も同書第 V 章 §4（pp. 202–203）にある。この記事の他の命題は、超関数・緩増加超関数とFourier変換の結果と Taylorの定理から記事の中で証明した。