Hasse–Minkowskiの定理

同義語：Hasse-Minkowskiの定理Hasse–Minkowski theorem

概要

前提知識: 2次形式, p進数体, ノルム剰余記号, Dirichletの算術級数定理

有理数係数の 2 次形式 $q$ について、$q=0$ が $(0,\dots,0)$ でない有理数解をもつかどうかは、無限に多くの候補を調べないと分からないように見える。Hasse–Minkowski の定理 は、これが実数体 $\mathbb R$ とすべての $p$ 進数体 $\mathbb Q_p$ での可解性だけで決まることを述べる。局所的な条件から大域的な解が出るという Hasse原理のもっとも基本的な例であり、各 $\mathbb Q_p$ での可解性は Hilbert 記号の計算で判定できるので、2 次形式が有理数の零をもつかどうかは有限回の計算で決まる。

定義

以下、$K$ は標数が $2$ でない体とする。$K^n$ 上の 2 次形式は、変数の可逆な 1 次変換で $a_1x_1^2+\dots+a_nx_n^2$ の形にできる（2次形式の記事の定理「平方完成による対角化」）。この形を $\langle a_1,\dots,a_n\rangle$ と書き、すべての $a_i$ が $0$ でないとき 非退化 という。非退化であることは、対称行列の行列式が $0$ でないことと同じで、対角化の仕方によらない。2 つの形式 $q_1,q_2$ を別々の変数に並べたものを $q_1\oplus q_2$ と書く（たとえば $\langle a,b\rangle\oplus\langle c\rangle=\langle a,b,c\rangle$）。

表現と等方性

$q$ を $K^n$ 上の非退化な 2 次形式とする。

$c\in K$ について、$q(x)=c$ となる $x\in K^n$ で $x\ne0$ のものがあるとき、$q$ は $K$ 上で $c$ を表すという。
$q$ が $0$ を表す（$q(x)=0$ となる $x\ne0$ がある）とき、$q$ は $K$ 上で 等方的（isotropic）であるという。そうでないとき 非等方的 という。

可逆な 1 次変換や、変数を 0 でない定数倍することでは、表す元の集合も等方性も変わらない。$q$ の係数が $\mathbb Q$ にあれば、$\mathbb R$ や $\mathbb Q_p$ の上でも $q$ を考えられる。$\mathbb Q$ の素点とは素数 $p$ と記号 $\infty$ のことで、$\mathbb Q_\infty:=\mathbb R$ とおく（p進数体の記事の系「$\mathbb Q$ の完備化」）。

Hasse–Minkowski の定理

$q$ を $\mathbb Q$ 係数の非退化な 2 次形式とする。$q$ が $\mathbb Q$ 上で等方的であるための必要十分条件は、すべての素点 $v$ について $q$ が $\mathbb Q_v$ 上で等方的であることである。

必要性は $\mathbb Q\subset\mathbb Q_v$ から明らかで、内容は十分性にある。3 変数の場合は Legendre の定理（2 次曲線の有理点の判定）にあたる（Mil21 Theorem 2.8、p. 22）。

有理数の表現

$q$ を $\mathbb Q$ 係数の非退化な 2 次形式、$c\in\mathbb Q^\times$ とする。$q$ が $\mathbb Q$ 上で $c$ を表すための必要十分条件は、すべての素点 $v$ について $q$ が $\mathbb Q_v$ 上で $c$ を表すことである。

lem-hm-basic の 2 により、どの体 $K\supseteq\mathbb Q$ の上でも「$q$ が $c$ を表す」ことと「$q\oplus\langle-c\rangle$ が等方的」であることは同値である。$q\oplus\langle-c\rangle$ も非退化なので、thm-hm-main を当てればよい。$\square$

直感

$\mathbb Q_p$ での可解性は「$p$ の冪を法とする合同式が、どの冪でも原始的な解をもつ」ことと同値である（rem-hm-congruence）。したがって定理は、「実数の解があり、どの法でも合同式の障害がないなら、有理数の解がある」と読める。証明は変数の個数で分かれる。2 変数は平方数の判定、3 変数は係数を小さくしていく降下法である。4 変数以上では、2 つの小さな形式が共通に表す有理数 $c$ を見つけて、変数の少ない場合へ帰着させる。4 変数の場合に $c$ を見つける段階で、すべての素点の Hilbert 記号を同時に指定できるという大域的な事実が要り、ここで Hilbert 記号の積公式と算術級数の素数の存在が使われる。

準備

表現と等方性の基本

表現と等方性

$K$ を標数 $2$ でない体、$q,q_1,q_2$ を $K$ 上の非退化な 2 次形式とする。

$q$ が等方的なら、$q$ は $K$ のすべての元を表す。
$c\in K^\times$ について、$q$ が $c$ を表すことと $q\oplus\langle-c\rangle$ が等方的であることは同値である。
$q_1\oplus(-q_2)$ が等方的であることと、$q_1$ と $q_2$ がともに表す $c\in K^\times$ があることは同値である。

要点：$q(tv+w)=t^2q(v)+2tB(v,w)+q(w)$ で $q(v)=0$、$B(v,w)\ne0$ とすれば $t$ の 1 次式になり、すべての値をとる。2・3 はこれと、零の成分の場合分けから従う。

証明を開く

$q=\langle a_1,\dots,a_n\rangle$ とし、$B(x,y):=\sum_ia_ix_iy_i$ とおくと $q(tx+y)=t^2q(x)+2tB(x,y)+q(y)$ である。

1。$q(v)=0$、$v\ne0$ とし、$v_i\ne0$ となる $i$ をとる。$w:=e_i$（第 $i$ 単位ベクトル）とすると $B(v,w)=a_iv_i\ne0$ で、$q(tv+w)=2tB(v,w)+q(w)$ は $t\in K$ の 1 次式なので、$t$ を選べば任意の $c\in K$ に等しくできる。そのとき $tv+w\ne0$ である（$w$ と $v$ が比例すれば $q(w)=0$ となるが $q(w)=a_i\ne0$）。

2。$q(x)=c$ なら $(x,1)$ は $q\oplus\langle-c\rangle$ の零である。逆に $q(x)-cy^2=0$、$(x,y)\ne0$ とする。$y\ne0$ なら $q(x/y)=c$ である。$y=0$ なら $q(x)=0$、$x\ne0$ なので $q$ は等方的で、1 により $c$ を表す。

3。$q_1(x)=c=q_2(y)$、$c\ne0$ なら $x\ne0$ で、$(x,y)$ は $q_1\oplus(-q_2)$ の零である。逆に $q_1(x)=q_2(y)$、$(x,y)\ne0$ とし、$c:=q_1(x)$ とおく。$c\ne0$ なら $x\ne0$、$y\ne0$ なのでよい。$c=0$ なら、$x\ne0$ のとき $q_1$ が等方的で、1 によりすべての元を表すので、$q_2$ が表す $0$ でない元（たとえば $q_2$ の対角係数）を $c$ にとればよい。$y\ne0$ のときも同様である。$\square$

Hilbert 記号による判定

素点 $v$ と $a,b\in\mathbb Q_v^\times$ について、$z^2=ax^2+by^2$ が $\mathbb Q_v$ に $(0,0,0)$ でない解をもつとき $(a,b)_v:=1$、もたないとき $(a,b)_v:=-1$ とおく。$v=p$ ではノルム剰余記号の記事の 2 次の Hilbert 記号であり、$v=\infty$ では $a<0$ かつ $b<0$ のときだけ $-1$ である。次の性質を使う（同記事の命題「Hilbert記号の基本性質」の (i)(ii)(iv)(v)、系「$p$ 進数体の 2 次のHilbert記号（$p$ は奇素数）」、定理「Hilbertの積公式（有理数体）」。$v=\infty$ では定義から直接確かめられる）。

(H1) $(a,b)_v$ は各変数について乗法的で、$a,b$ の平方類だけで決まり、$(a,b)_v=(b,a)_v$、$(a,-a)_v=1$ である。とくに $(a,a)_v=(a,-1)_v$ である。
(H2) $p$ が奇素数で $a,b\in\mathbb Z_p^\times$ なら $(a,b)_p=1$ である。
(H3) $a,b\in\mathbb Q^\times$ なら、$(a,b)_v=1$ は有限個を除くすべての $v$ で成り立ち、$\prod_v(a,b)_v=1$ である。

Hilbert 記号による判定

$v$ を素点、$\alpha,\beta,\gamma,a,b,c\in\mathbb Q_v^\times$ とする。

$\langle\alpha,\beta,\gamma\rangle$ が $\mathbb Q_v$ 上で等方的であることは $(-\alpha\gamma,-\beta\gamma)_v=1$ と同値である。
$\langle a,b\rangle$ が $\mathbb Q_v$ 上で $c$ を表すことは $(c,-ab)_v=(a,b)_v$ と同値である。

要点：1 は係数を $-\gamma$ で割って $z^2=ax^2+by^2$ の形にするだけである。2 は 1 を $\langle a,b,-c\rangle$ に当て、(H1) で $(ac,bc)_v=(a,b)_v(c,-ab)_v$ と展開する。

証明を開く

1。$\alpha x^2+\beta y^2+\gamma z^2=0$ は $z^2=(-\alpha/\gamma)x^2+(-\beta/\gamma)y^2$ と同値で、$-\alpha/\gamma=(-\alpha\gamma)/\gamma^2$ は $-\alpha\gamma$ と同じ平方類にある（$-\beta/\gamma$ も同様）。(H1) と記号の定義から主張を得る。

2。lem-hm-basic の 2 により、条件は $\langle a,b,-c\rangle$ の等方性と同値で、1 により $(ac,bc)_v=1$ と同値である。(H1) を使って展開すると $(ac,bc)_v=(a,b)_v(a,c)_v(c,b)_v(c,c)_v=(a,b)_v(c,a)_v(c,b)_v(c,-1)_v=(a,b)_v(c,-ab)_v$ である。値は $\pm1$ なので、これが $1$ であることは $(c,-ab)_v=(a,b)_v$ と同値である。$\square$

局所的な補題

単数係数の 3 変数以上の形式

$p$ を奇素数とし、$q=\langle u_1,\dots,u_n\rangle$（$n\ge3$）の係数のうち $u_1,u_2,u_3$ が $\mathbb Z_p^\times$ の元であるとする。このとき $q$ は $\mathbb Q_p$ 上で等方的である。

要点：鳩の巣原理で法 $p$ の零 $(x_0,y_0,1)$ を作り、第 3 変数について Hensel の補題で持ち上げる。

証明を開く

$\mathbb F_p$ の中で、$\{u_1x^2\}$ と $\{-u_3-u_2y^2\}$（$x,y$ は $\mathbb F_p$ を動く）はどちらも $(p+1)/2$ 個の元からなる（$p$ が奇数なので平方は $0$ と $(p-1)/2$ 個の元）。$(p+1)/2+(p+1)/2>p$ なので共通の元があり、$u_1x_0^2+u_2y_0^2+u_3\equiv0\pmod p$ となる $x_0,y_0\in\mathbb Z_p$ がある。$f(Z):=u_1x_0^2+u_2y_0^2+u_3Z^2$ は $Z=1$ を法 $p$ の根にもち、$f'(1)=2u_3\not\equiv0\pmod p$ なので単純根である。Henselの補題の記事の定理「Hensel の補題：単純根の持ち上げ」により $f(z)=0$ となる $z\in\mathbb Z_p$ があり、$(x_0,y_0,z,0,\dots,0)$ が $q$ の零である。$\square$

近似と平方類

$S$ を $\mathbb Q$ の素点の有限集合とする。

$v\in S$ ごとに $\xi_v\in\mathbb Q_v$ と $\varepsilon>0$ を与えると、すべての $v\in S$ で $|\xi-\xi_v|_v< \varepsilon$ となる $\xi\in\mathbb Q$ がある（$|\cdot|_\infty$ は通常の絶対値）。
$c\in\mathbb Q_v^\times$ について、$c$ に十分近い $c'\in\mathbb Q_v$ は $c'\in c\,(\mathbb Q_v^\times)^2$ を満たす。

要点：$p$ 進の近さは中国剰余定理で、実数の近さは「$p$ と素な数の冪を分母とする有理数」の稠密性で同時にそろえる。2 は平方数の判定から従う。

証明を開く

1。$\infty\in S$ としてよく、$S=\{\infty,p_1,\dots,p_m\}$ とする。$k$ を大きくとり $D:=(p_1\cdots p_m)^k$ とすると $D\xi_{p_i}\in\mathbb Z_{p_i}$ である。$M$ を大きくとり、中国剰余定理により $y_0\equiv D\xi_{p_i}\pmod{p_i^M}$（$i=1,\dots,m$）となる整数 $y_0$ をとる。$x_0:=y_0/D$ は $|x_0-\xi_{p_i}|_{p_i}\le p_i^{k-M}$ を満たす。次に $p_1,\dots,p_m$ と異なる素数 $\ell$ をとる。$a/\ell^r$（$a\in\mathbb Z$、$r\ge0$）の形の有理数は $\mathbb R$ で稠密なので、$N$ を大きな整数として、$|x_0+(p_1\cdots p_m)^Nu-\xi_\infty|< \varepsilon$ となるこの形の $u$ がとれる。$\xi:=x_0+(p_1\cdots p_m)^Nu$ とおく。$u$ は各 $p_i$ で整なので $|\xi-x_0|_{p_i}\le p_i^{-N}$ であり、$M,N$ を大きくとれば $\xi$ が求めるものである。

2。$v=\infty$ では、$c$ と同符号の $c'$ について $c'/c>0$ は平方数である。$v=p$ では、$|c'-c|_p\le p^{-3}|c|_p$ なら $c'/c\in1+p^3\mathbb Z_p$ であり、p進数体の記事の系「平方数の判定と平方類」により（$p$ が奇素数なら法 $p$ で $1$、$p=2$ なら法 $8$ で $1$ の単数なので）$c'/c$ は平方数である。$\square$

Hilbert 記号を指定する有理数

Hilbert 記号を指定する有理数の存在

$a_1,\dots,a_m\in\mathbb Q^\times$ とし、$i=1,\dots,m$ と素点 $v$ ごとに $\varepsilon_{i,v}\in\{\pm1\}$ を与える。次の 3 条件を仮定する。
(i) $\varepsilon_{i,v}=1$ は有限個の組 $(i,v)$ を除いて成り立つ。
(ii) 各 $i$ について $\prod_v\varepsilon_{i,v}=1$ である。
(iii) 各素点 $v$ について、すべての $i$ で $(a_i,x_v)_v=\varepsilon_{i,v}$ となる $x_v\in\mathbb Q_v^\times$ がある。
このとき、すべての $i$ と $v$ で $(a_i,x)_v=\varepsilon_{i,v}$ となる $x\in\mathbb Q^\times$ がある。

(ii) は積公式 (H3) から必要であり、(i)(iii) も明らかに必要である。

算術級数の素数で残りの素点を調整する

要点：まず $S$ の上の記号を平方類の近似で自明にし、残りの素点の $-1$ を、それらの素数の積 $a$ と、$p\equiv a$（法 $8\prod\ell$）となる素数 $p$ の積 $ap$ で実現する。$p$ での記号は積公式で自動的に合う。

証明を開く

$a_i$ を平方数倍しても記号は変わらないので、$a_i$ は整数としてよい。$S:=\{\infty,2\}\cup\{p:p\mid a_1\cdots a_m\}$、$T:=\{v:\text{ある }i\text{ で }\varepsilon_{i,v}=-1\}$ とおく（(i) により有限集合）。

段 1：$S$ の上ですべて $\varepsilon_{i,v}=1$ の場合。 このとき $T\cap S=\emptyset$ なので $T$ は $a_1\cdots a_m$ を割らない奇素数からなる。$a:=\prod_{\ell\in T}\ell$、$M:=8\prod_{\ell\in S,\ \ell\ne2,\infty}\ell$ とおくと $\gcd(a,M)=1$ であり、Dirichletの算術級数定理により、$p\equiv a\pmod M$ を満たす素数 $p$ で $T$ に属さないものがある。$p\nmid M$ なので $p\notin S$ である。$x:=ap$ とおき、各 $v$ で $(a_i,x)_v=\varepsilon_{i,v}$ を確かめる。

$v=\infty$：$x>0$ なので $(a_i,x)_\infty=1=\varepsilon_{i,\infty}$。

$v=\ell\in S$ が奇素数：$x\equiv a^2\not\equiv0\pmod\ell$ なので $x$ は $\ell$ 進単数で、法 $\ell$ の平方数だから $\mathbb Q_\ell$ の平方数である（p進数体の記事の系「平方数の判定と平方類」）。よって $(a_i,x)_\ell=1=\varepsilon_{i,\ell}$。$v=2$ でも $x\equiv a^2\equiv1\pmod8$ から同じである。

$v=\ell\notin S$、$\ell\ne p$：$a_i$ は $\ell$ 進単数で、$v_\ell(x)$ は $\ell\in T$ なら $1$、そうでなければ $0$ である。ノルム剰余記号の記事の系「$p$ 進数体の 2 次のHilbert記号（$p$ は奇素数）」により $(a_i,x)_\ell=\bigl(\frac{a_i}{\ell}\bigr)^{v_\ell(x)}$ である。$\ell\notin T$ なら値は $1=\varepsilon_{i,\ell}$。$\ell\in T$ なら、(iii) の $x_\ell$ についても同じ式 $\varepsilon_{i,\ell}=(a_i,x_\ell)_\ell=\bigl(\frac{a_i}{\ell}\bigr)^{v_\ell(x_\ell)}$ が成り立ち、ある $i$ で値が $-1$ なので $v_\ell(x_\ell)$ は奇数である。よって $\varepsilon_{i,\ell}=\bigl(\frac{a_i}{\ell}\bigr)=(a_i,x)_\ell$。

$v=p$：$p$ 以外のすべての素点で $(a_i,x)_v=\varepsilon_{i,v}$ が示せたので、(H3) と (ii) から $(a_i,x)_p=\varepsilon_{i,p}$ も従う。

段 2：一般の場合。 lem-hm-approx により、すべての $v\in S$ で $x'/x_v\in(\mathbb Q_v^\times)^2$ となる $x'\in\mathbb Q^\times$ がある（$\xi_v:=x_v$ に十分近い有理数をとる）。$\eta_{i,v}:=\varepsilon_{i,v}(a_i,x')_v$ とおく。(H3) により $\eta$ も (i)(ii) を満たし、$y_v:=x_vx'$ とおくと (H1) により $(a_i,y_v)_v=\varepsilon_{i,v}(a_i,x')_v=\eta_{i,v}$ なので (iii) も満たす。$v\in S$ では $x_vx'=x'^2\cdot(x_v/x')$ は平方数なので $\eta_{i,v}=1$ である。段 1 により $(a_i,y)_v=\eta_{i,v}$ となる $y\in\mathbb Q^\times$ があり、$x:=x'y$ について $(a_i,x)_v=(a_i,x')_v\eta_{i,v}=\varepsilon_{i,v}$ である。$\square$

定理の証明

thm-hm-main の十分性を変数の個数 $n$ で示す。$q$ はすべての $\mathbb Q_v$ 上で等方的であるとする。係数を平方数倍しても等方性は変わらないので、必要なら係数は 0 でない整数とする。$n=1$ では $\langle a\rangle$ はどの体の上でも非等方的なので、仮定は満たされない。

2 変数と 3 変数

$n=2$。 $q=\langle a_1,a_2\rangle$ が体 $K$ 上で等方的であることは、$d:=-a_2/a_1$ が $K$ の平方数であることと同値である。$d$ が $\mathbb R$ の平方数なら $d>0$、すべての $\mathbb Q_p$ の平方数なら各 $v_p(d)$ は偶数なので、$d=\prod_pp^{v_p(d)}$ は有理数の平方である。
$n=3$。 $q=\langle a_1,a_2,a_3\rangle$ を $a_3^{-1}$ 倍し、$x_1,x_2$ を定数倍すると、$q$ の等方性は
$$ f_{a,b}:=z^2-ax^2-by^2\qquad(a,b\text{ は平方因子をもたない }0\text{ でない整数}) $$
の等方性に帰着する。体 $K\supseteq\mathbb Q$ について次が成り立つ。$a$ が $K$ の平方数なら $f_{a,b}$ は等方的である（$z=\sqrt a$、$x=1$、$y=0$）。そうでないとき、$f_{a,b}$ が等方的であることは $b\in N_K(a):=\{z^2-ax^2:z,x\in K\}\setminus\{0\}$ と同値であり（$y\ne0$ なら $b=((z/y)^2-a(x/y)^2)$、$y=0$ なら $z^2=ax^2$ から $x=z=0$）、$N_K(a)$ は $K(\sqrt a)^\times$ の元のノルム全体として乗法群である。したがって
(★) $b,b'\in K^\times$ で $bb'\in N_K(a)$ なら、$f_{a,b}$ と $f_{a,b'}$ は $K$ 上で同時に等方的か同時に非等方的である（$a$ が $K$ の平方数ならどちらも等方的である）。
$|a|+|b|$ についての帰納法で示す。$f_{a,b}$ と $f_{b,a}$ は変数の入れ替えで移り合うので $|a|\le|b|$ としてよい。
$|b|=1$ のとき、$a,b\in\{\pm1\}$ で、$f_{a,b}$ は $\mathbb R$ 上で等方的なので $a=b=-1$ ではない。$a=1$ なら $(z,x,y)=(1,1,0)$、$b=1$ なら $(1,0,1)$ が $\mathbb Q$ 上の零である。
$|b|\ge2$ のとき、まず $a$ が法 $|b|$ の平方剰余であることを示す。$b$ は平方因子をもたないので、中国剰余定理により $b$ の各素因数 $p$ を法として示せばよい。$p\mid a$ なら $a\equiv0^2$ である。$p\nmid a$ のとき、$\mathbb Q_p$ 上の零を定数倍して $z,x,y\in\mathbb Z_p$ のどれかが単数であるようにとる。$p\mid b$ から $z^2\equiv ax^2\pmod p$ である。$p\mid x$ なら $p\mid z$ となり、$p^2\mid z^2-ax^2=by^2$ と $v_p(b)=1$ から $p\mid y$ となって矛盾する。よって $x$ は単数で、$a\equiv(z/x)^2\pmod p$ である。
そこで $t^2\equiv a\pmod b$、$|t|\le|b|/2$ となる整数 $t$ をとり、$t^2-a=bb'$（$b'\in\mathbb Z$）とおく。$b'=0$ なら $a=t^2$ は平方数で、$f_{a,b}$ は $\mathbb Q$ 上で等方的である。$b'\ne0$ なら
$$ |b'|=\frac{|t^2-a|}{|b|}\le\frac{b^2/4+|b|}{|b|}=\frac{|b|}4+1< |b| $$
である。$b'=b''s^2$（$b''$ は平方因子をもたない整数、$s\in\mathbb Z$）と書くと $|b''|\le|b'|< |b|$ である。$bb'=t^2-a\in N_K(a)$ がどの $K\supseteq\mathbb Q$ でも成り立つので、(★) と $f_{a,b'}\simeq f_{a,b''}$（$y$ を $s$ 倍する）により、$f_{a,b''}$ もすべての $\mathbb Q_v$ 上で等方的であり、また $f_{a,b''}$ が $\mathbb Q$ 上で等方的なら $f_{a,b}$ もそうである。$|a|+|b''|< |a|+|b|$ なので帰納法の仮定が使える。$\square$

4 変数

$q=\langle a_1,a_2,a_3,a_4\rangle$ とし、$h_1:=\langle a_1,a_2\rangle$、$h_2:=\langle-a_3,-a_4\rangle$ とおくと $q=h_1\oplus(-h_2)$ である。各素点 $v$ で $q$ は等方的なので、lem-hm-basic の 3 により $h_1,h_2$ がともに表す $c_v\in\mathbb Q_v^\times$ があり、lem-hm-hilbert の 2 により
$$ (c_v,-a_1a_2)_v=(a_1,a_2)_v,\qquad (c_v,-a_3a_4)_v=(-a_3,-a_4)_v $$
である。thm-hm-symbols を $m=2$、$a_1':=-a_1a_2$、$a_2':=-a_3a_4$、$\varepsilon_{1,v}:=(a_1,a_2)_v$、$\varepsilon_{2,v}:=(-a_3,-a_4)_v$ に当てる。(i)(ii) は (H3)、(iii) は $x_v:=c_v$ で満たされる。よって
$$ (c,-a_1a_2)_v=(a_1,a_2)_v,\qquad(c,-a_3a_4)_v=(-a_3,-a_4)_v\qquad(\text{すべての }v) $$
となる $c\in\mathbb Q^\times$ がある。lem-hm-hilbert の 2 により $h_1$ と $h_2$ はすべての $\mathbb Q_v$ 上で $c$ を表し、lem-hm-basic の 2 により 3 変数の形式 $h_1\oplus\langle-c\rangle$、$h_2\oplus\langle-c\rangle$ はすべての $\mathbb Q_v$ 上で等方的である。prf-hm-low の $n=3$ の場合によりこれらは $\mathbb Q$ 上で等方的で、再び lem-hm-basic の 2 により $h_1,h_2$ は $\mathbb Q$ 上で $c$ を表す。lem-hm-basic の 3 により $q$ は $\mathbb Q$ 上で等方的である。$\square$

5 変数以上

$n\ge5$ とし、$n-1$ 変数では定理が成り立つとする。$q=\langle a_1,\dots,a_n\rangle$（$a_i\in\mathbb Z$）を $h:=\langle a_1,a_2\rangle$ と $g:=\langle-a_3,\dots,-a_n\rangle$（$n-2\ge3$ 変数）で $q=h\oplus(-g)$ と書く。$S:=\{\infty,2\}\cup\{p:p\mid a_1\cdots a_n\}$ とおく。
$v\in S$ ごとに、lem-hm-basic の 3 により $h$ と $g$ がともに表す $c_v\in\mathbb Q_v^\times$ があり、$h(\xi_v)=c_v$ となる $\xi_v\in\mathbb Q_v^2$ がある。$h$ は連続なので、lem-hm-approx の 1（成分ごと）と 2 により、$\xi\in\mathbb Q^2$ を $\xi_v$ に十分近くとれば、$c:=h(\xi)$ はすべての $v\in S$ で $c\in c_v(\mathbb Q_v^\times)^2$ を満たす。とくに $c\ne0$ である。
$g\oplus\langle-c\rangle$ がすべての $\mathbb Q_v$ 上で等方的であることを示す。$v\in S$ では、$g$ は $c_v$ を表すので、変数を定数倍して平方類の等しい $c$ も表し、lem-hm-basic の 2 による。$v=p\notin S$ では、$p$ は奇素数で $-a_3,-a_4,-a_5$ は $p$ 進単数なので、lem-hm-unit により $g$ は等方的であり、lem-hm-basic の 1 により $c$ を表す。
$g\oplus\langle-c\rangle$ は $n-1$ 変数なので、帰納法の仮定により $\mathbb Q$ 上で等方的であり、lem-hm-basic の 2 により $g$ は $\mathbb Q$ 上で $c$ を表す。$h$ も $c=h(\xi)$ を表す（$\xi\ne0$）ので、lem-hm-basic の 3 により $q$ は $\mathbb Q$ 上で等方的である。$\square$

これで thm-hm-main が示された。定理の主張は Voi21 Theorem 14.3.3（p. 223）にもある。この定理は任意の代数体の上でも成り立つ（Neu99 Chapter VI, §4 の Exercise 5 の後の注意、p. 385）。代数体の場合はこの記事では証明しない。

例

局所的な障害で解がないことを示す

$3x^2+5y^2=7z^2$ は $(0,0,0)$ 以外の有理数解をもたない。lem-hm-hilbert の 1 により、$\langle3,5,-7\rangle$ が $\mathbb Q_v$ 上で等方的であることは $(21,35)_v=1$ と同値で、$v=3$ では $35$ が単数なので $(21,35)_3=\bigl(\frac{35}{3}\bigr)=\bigl(\frac23\bigr)=-1$ である。直接にも確かめられる：$\mathbb Z_3$ の解で成分のどれかが単数のものをとると、法 $3$ で $2y^2\equiv z^2$ となり、$2$ は法 $3$ の平方剰余でないので $y\equiv z\equiv0$、すると $9\mid3x^2$ から $3\mid x$ となって矛盾する。同じ計算で $v=7$ でも記号は $-1$ になり、それ以外の素点では $1$ である。

局所的に解けるので解がある

$5x^2+7y^2=13z^2$ を考える。$\langle5,7,-13\rangle$ の等方性は $(65,91)_v=1$ と同値である。$v\notin\{2,5,7,13\}$ では両方が単数なので (H2) により $1$、$v=\infty$ では両方が正なので $1$ である。$v=5$ ではノルム剰余記号の記事の奇素数の公式により $(65,91)_5=\bigl(\frac{91}{5}\bigr)=\bigl(\frac15\bigr)=1$、同様に $(65,91)_7=\bigl(\frac{65}{7}\bigr)=\bigl(\frac27\bigr)=1$、$(65,91)_{13}=(-1)^{\frac{13-1}2}\bigl(\frac{5}{13}\bigr)\bigl(\frac{7}{13}\bigr)=1\cdot(-1)\cdot(-1)=1$ である（$65=13\cdot5$、$91=13\cdot7$）。残る $v=2$ でも積公式 (H3) により $1$ になる。したがって thm-hm-main により有理数解があり、実際 $(x,y,z)=(3,1,2)$ は $45+7=52$ を満たす。

7 は 3 つの有理数の平方の和でない

$x^2+y^2+z^2=7w^2$ は $\mathbb Q_2$ 上で $(0,0,0,0)$ 以外の解をもたない。成分のどれかが単数の $\mathbb Z_2$ の解をとる。$w$ が単数なら右辺は法 $8$ で $7$ だが、平方は法 $8$ で $0,1,4$ なので 3 つの平方の和は法 $8$ で $7$ にならない。$w$ が偶数なら $x^2+y^2+z^2\equiv0\pmod4$ から $x,y,z$ はすべて偶数となり矛盾する。よって $7$ は 3 つの有理数の平方の和でない（cor-hm-represent を使うまでもなく、$\mathbb Q_2$ で表せないことから従う）。これは Legendreの三平方定理の除外される整数 $4^a(8b+7)$ の典型例である。

反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
2 次の形式である	Selmer の 3 次曲線 $3x^3+4y^3+5z^3=0$	すべての $\mathbb Q_v$ で零をもつのに $\mathbb Q$ で零をもたない
$\mathbb R$ でも零をもつ	$x^2+y^2+z^2+7w^2$	すべての $\mathbb Q_p$ で等方的なのに $\mathbb Q$ 上で等方的でない
有理数の範囲で解く	$x^2+11y^2=3$ の整数解	$\mathbb R$ とすべての $\mathbb Z_p$ に解があるのに整数解がない

反例の確認

1 行目は Tate–Shafarevich群の記事の例「Selmer の 3 次曲線」による。2 行目：奇素数 $p$ では係数 $1,1,1$ が単数なので lem-hm-unit により等方的、$p=2$ では $-7\equiv1\pmod8$ が $\mathbb Q_2$ の平方数なので $(\sqrt{-7},0,0,1)$ が零である。$\mathbb R$ 上では正定値なので等方的でなく、したがって $\mathbb Q$ 上でも等方的でない（ここで外れるのは $\mathbb R$ の条件だけである）。3 行目は次のとおりである。

3 行目の確認を開く

整数解がないこと：$y=0$ なら $x^2=3$、$|y|\ge1$ なら $11y^2>3$ となる。局所解：$\mathbb R$ では $(\sqrt3,0)$。$p\ne2,3,11$ では、$\{x^2\}$ と $\{3-11y^2\}$ が法 $p$ でそれぞれ $(p+1)/2$ 個なので $x_0^2\equiv3-11y_0^2$ となる $x_0,y_0$ があり、$x_0\not\equiv0$ なら $x$ について、$x_0\equiv0$ なら $11y_0^2\equiv3\not\equiv0$ なので $y$ について単純根になり、Henselの補題で持ち上がる。$p=11$ では $3\equiv5^2\pmod{11}$ なので $y=0$、$x=\sqrt3\in\mathbb Z_{11}$。$p=3$ では $y=1$、$x^2=-8$ で、$-8\equiv1\pmod3$ は $\mathbb Z_3$ の平方数である。$p=2$ では $x=4$ とすると $11y^2=-13$、$y^2=-13/11$ で、$-13/11\equiv1\pmod8$ は $\mathbb Z_2$ の単数の平方数である。有理数解は $(1/2,1/2)$ のように存在し、cor-hm-represent と矛盾しない。

補足

合同式による言い換え

$q$ を整数係数の 2 次形式、$p$ を素数とする。$q$ が $\mathbb Q_p$ 上で等方的であることは、すべての $k\ge1$ について、$q(x)\equiv0\pmod{p^k}$ が成分のどれかが $p$ で割れない整数解 $x$ をもつことと同値である。

理由を開く

$\mathbb Q_p$ の零は定数倍して $\mathbb Z_p^n$ の原始的な（成分のどれかが単数の）ベクトルにでき、各成分を法 $p^k$ で整数に置き換えればよい。逆に、$A_k$ を $q(x)\equiv0\pmod{p^k}$ を満たす原始的な $x\in\mathbb Z_p^n$ の集合とすると、仮定から $A_k\ne\emptyset$ で、$A_k$ は $\mathbb Z_p^n$ のコンパクトな閉集合で減少する。よって $\bigcap_kA_k\ne\emptyset$ で、その元は $q$ の原始的な零である。

2 次形式の分類

2 つの非退化な $\mathbb Q$ 係数の 2 次形式が $\mathbb Q$ 上で同値（可逆な 1 次変換で移り合う）であることは、すべての $\mathbb Q_v$ 上で同値であることと同値である（Voi21 Corollary 14.3.7、p. 225。cor-hm-represent と Witt の消去定理から変数の個数の帰納法で従う）。この記事ではこれを証明しない。