基本解
概要
基本解（fundamental solution）とは、定数係数の線形偏微分作用素 $P(\partial)$ に対して $P(\partial)E=\delta$ を満たす超関数 $E$ のことであり、コンパクトな台をもつ滑らかな $f$ に対して畳み込み $u=E*f$ が $P(\partial)u=f$ の滑らかな解を与える。基本解は斉次方程式の解を足す自由度を除いて定まり、常微分作用素では Heaviside 関数と斉次解の積、Laplace 作用素では $|x|^{2-n}$ や $\log|x|$ の定数倍で与えられる。Malgrange–Ehrenpreis の定理は、$0$ でないすべての定数係数の作用素が $\mathbb{R}^n$ 上の基本解をもつことを述べ、Fourier 変換の複素変数での評価と Hahn–Banach の定理から証明される。
前提知識: 超関数, 緩増加超関数とFourier変換, Hahn–Banachの定理, Cauchyの積分公式
点源に対する解
定数係数の線形偏微分方程式 $P(\partial)u=f$ では、方程式が平行移動と交換する。そこで、原点に集中した源 $\delta$ に対する解 $E$、すなわち $P(\partial)E=\delta$ を満たす超関数を 1 つ見つければ、コンパクトな台をもつ右辺 $f$ に対する解は、$f$ を点源の重ね合わせとみて $E$ を平行移動して重ねた畳み込み $u=E*f$ で得られる。この $E$ を 基本解 という。Laplace 作用素の基本解 $-\frac1{4\pi|x|}$（$\mathbb{R}^3$）は電荷が作る電位の公式であり、常微分方程式の基本解は単位インパルスに対する応答である。
基本解は一意ではなく、斉次方程式 $P(\partial)h=0$ の解を足しても基本解である。どの基本解を選ぶかは、減衰や台の条件で決まる。存在については、Malgrange–Ehrenpreis の定理が、$0$ でないすべての定数係数の作用素が $\mathbb{R}^n$ 上の基本解をもつことを保証する。この記事ではこの定理を、1 変数の複素関数の評価と Hahn–Banach の定理から証明する。
定義
$\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ を多重指数とし、$\partial^\alpha=\partial_1^{\alpha_1}\cdots\partial_n^{\alpha_n}$、$\xi^\alpha=\xi_1^{\alpha_1}\cdots\xi_n^{\alpha_n}$ と書く。複素係数の多項式 $P(\xi)=\sum_{|\alpha|\le m}a_\alpha\xi^\alpha$ に対し、定数係数の線形偏微分作用素 $P(\partial):=\sum_{|\alpha|\le m}a_\alpha\partial^\alpha$ を考える。$P\ne0$ で $m$ 次のとき、$m$ を作用素の 階数、$P_m(\xi):=\sum_{|\alpha|=m}a_\alpha\xi^\alpha$ を 主部 という。
超関数の微分は $\langle\partial^\alpha u,\varphi\rangle=(-1)^{|\alpha|}\langle u,\partial^\alpha\varphi\rangle$ で定める（超関数 の記事の定義「超関数微分」）。したがって $u\in\mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ と $\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ について
$$
\langle P(\partial)u,\varphi\rangle=\langle u,P(-\partial)\varphi\rangle
$$
である。$P(-\partial)=\sum_\alpha(-1)^{|\alpha|}a_\alpha\partial^\alpha$ を $P(\partial)$ の 転置作用素 という。
定数係数の線形偏微分作用素 $P(\partial)$ の 基本解（fundamental solution）とは、
$$
P(\partial)E=\delta
$$
を満たす超関数 $E\in\mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ のことである。ここで $\delta$ は原点の Dirac のデルタ $\langle\delta,\varphi\rangle=\varphi(0)$ である。言い換えると、すべての $\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ について $\langle E,P(-\partial)\varphi\rangle=\varphi(0)$ が成り立つことである。
$E$ が基本解なら、斉次方程式の超関数解 $h$（$P(\partial)h=0$）について $E+h$ も基本解であり、逆に 2 つの基本解の差は斉次方程式の解である。また $E$ を $y$ だけ平行移動したものは $P(\partial)E_y=\delta_y$ を満たす。基本解は関数とは限らない。$P=1$ なら $P(\partial)$ は恒等写像で、基本解は $\delta$ だけであり、$\delta$ は局所可積分関数で表せない（超関数 の記事の例「反例：Diracのデルタは局所可積分関数ではない」）。
基本解から解を作る
$E$ を $P(\partial)$ の基本解とし、$f\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ とする。$x\in\mathbb{R}^n$ ごとに $f_x(y):=f(x-y)$ とおき、
$$
u(x):=(E*f)(x):=\langle E,f_x\rangle
$$
と定める。このとき $u\in C^\infty(\mathbb{R}^n)$ であり、$P(\partial)u=f$ が成り立つ。
要点：$x$ についての微分を $f$ の側に移し、$\partial_x^\alpha[f(x-y)]=(-\partial_y)^\alpha[f(x-y)]$ を使う。
詳しい証明を開く
$\operatorname{supp}f\subset\overline B(0,\rho)$ とし、$|x|\le R$ と $|h|\le1$ を考えると、$f_x$ と $f_{x+he_j}$ の台はすべてコンパクト集合 $K:=\overline B(0,R+1+\rho)$ に含まれる。超関数 の記事の定義「超関数」の評価から、ある $C$ と $m$ で $|\langle E,\psi\rangle|\le C\max_{|\beta|\le m}\sup|\partial^\beta\psi|$（$\operatorname{supp}\psi\subset K$）である。$\psi_h:=(f_{x+he_j}-f_x)/h-(\partial_jf)_x$ の $\partial^\beta$ は $\partial^\beta f$ についての同じ形の式であり、$\partial^\beta f$ は一様連続なので、平均値の定理により $\sup|\partial^\beta\psi_h|\to0$（$h\to0$）である。よって $\partial_ju(x)=\langle E,(\partial_jf)_x\rangle$ が存在する。同じ評価で $x\mapsto\langle E,g_x\rangle$ は任意の $g\in\mathcal{D}$ について連続なので、これを繰り返して $u\in C^\infty$、$\partial^\alpha u(x)=\langle E,(\partial^\alpha f)_x\rangle$ を得る。
連鎖律により $(\partial^\alpha f)_x(y)=(\partial^\alpha f)(x-y)=(-\partial_y)^\alpha[f(x-y)]$ なので、$(\partial^\alpha f)_x=(-\partial)^\alpha f_x$ である。よって
$$ P(\partial)u(x)=\langle E,P(-\partial)f_x\rangle=\langle P(\partial)E,f_x\rangle=\langle\delta,f_x\rangle=f_x(0)=f(x) $$
である。$\square$
$f$ をコンパクトな台をもつ超関数にしても、$E*f$ は超関数として定義でき、$P(\partial)(E*f)=f$ が成り立つ。これは片方がコンパクトな台をもつ超関数の畳み込みの結合法則と、$\partial^\alpha\delta*T=\partial^\alpha T$ から従う（Kna16a Corollary 5.18・Proposition 5.19、pp. 200–201。この記事では証明しない）。$f$ の台がコンパクトでないと、畳み込みが定義できないことがある（下の反例の表）。
例
$n=1$ とし、$P(\partial)=\frac{d^m}{dx^m}+a_{m-1}\frac{d^{m-1}}{dx^{m-1}}+\cdots+a_0$（$m\ge1$）とする。斉次方程式 $P(\partial)y=0$ の解で $y(0)=\cdots=y^{(m-2)}(0)=0$、$y^{(m-1)}(0)=1$ を満たすもの（線形微分方程式）をとり、$H$ を Heaviside 関数（$x>0$ で $1$、$x< 0$ で $0$）とする。このとき $E:=Hy$ は $P(\partial)$ の基本解である。
実際、滑らかな関数 $g$ について、部分積分から
$$
\langle(Hg)',\varphi\rangle=-\int_0^\infty g\varphi'\,dx=g(0)\varphi(0)+\int_0^\infty g'\varphi\,dx,
$$
すなわち $(Hg)'=Hg'+g(0)\delta$ である。これを $g=y,y',\ldots$ に繰り返すと、$j\le m-1$ では $(Hy)^{(j)}=Hy^{(j)}$、$j=m$ では $(Hy)^{(m)}=Hy^{(m)}+\delta$ となる。よって $P(\partial)(Hy)=H\cdot P(\partial)y+\delta=\delta$ である。
たとえば $\frac{d}{dx}-\lambda$ の基本解は $H(x)e^{\lambda x}$ であり、$\frac{d^2}{dx^2}-1$ の基本解は $H(x)\sinh x$ である。後者の符号を変えた $-H(x)\sinh x$ は $1-\frac{d^2}{dx^2}$ の基本解である。$1-\frac{d^2}{dx^2}$ には有界な基本解 $\frac12e^{-|x|}$ もあり（弱微分による解析の見取り図 の命題「一次元の $1-\partial_x^2$ の基本解」）、2 つの差は $x>0$ でも $x< 0$ でも $\frac12e^x$ に等しい。差 $\frac12e^x$ は斉次方程式の解である。
$n\ge2$ とし、$\Gamma$ を Green関数 の記事の定義「Laplace 作用素の基本解」の関数（$n\ge3$ では $|x|^{2-n}$ の定数倍、$n=2$ では $-\frac1{2\pi}\log|x|$）とする。同記事の定理「基本解の方程式」により $-\Delta\Gamma=\delta$ なので、$-\Gamma$ が $\Delta$ の基本解、$\Gamma$ が $-\Delta$ の基本解である。$n=3$ では $-\Gamma(x)=-\frac1{4\pi|x|}$ である。同記事の定理「Newton ポテンシャル」は、prop-fs-convolution と同じ形の主張をコンパクトな台をもつ $C^2$ 級の $f$ について示している。
Malgrange–Ehrenpreis の定理
この節では次の thm-fs-malgrange-ehrenpreis を証明する：$0$ でないすべての定数係数の作用素は $\mathbb{R}^n$ 上の基本解をもつ。証明の方針を述べる。基本解の条件は「$\psi=P(-\partial)\varphi$ の形のテスト関数に対して $\langle E,\psi\rangle=\varphi(0)$」である。これは転置作用素の像の上の線形汎関数 $P(-\partial)\varphi\mapsto\varphi(0)$ を $\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ 全体へ連続に延ばすことにほかならない。延長は Hahn–Banachの定理 が与えるので、示すべきことは評価
$$
|\varphi(0)|\le C\,N\bigl(P(-\partial)\varphi\bigr)\qquad(\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n))
$$
を、テスト関数の位相で連続な半ノルム $N$ について示すことである。この評価は、Fourier 変換を複素変数に延ばし、1 変数の正則関数の評価（lem-fs-one-variable）を使って得る。
Fourier 変換の正規化は 緩増加超関数とFourier変換 の記事に合わせる。$\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ と $\zeta\in\mathbb{C}^n$ に対して
$$
\widehat\varphi(\zeta):=(2\pi)^{-n/2}\int_{\mathbb{R}^n}e^{-ix\cdot\zeta}\varphi(x)\,dx
$$
とおく（$x\cdot\zeta=\sum_jx_j\zeta_j$）。台がコンパクトなので積分記号の下で微分でき、$\widehat\varphi$ は各変数について正則である。部分積分で $\widehat{\partial^\alpha\varphi}(\zeta)=(i\zeta)^\alpha\widehat\varphi(\zeta)$ が複素の $\zeta$ でも成り立つ。よって $Q(\zeta):=P(-i\zeta)$ とおくと
$$
\widehat{P(-\partial)\varphi}(\zeta)=Q(\zeta)\,\widehat\varphi(\zeta)
$$
である。実の $\xi$ では $\widehat\varphi$ は Schwartz 関数で、Fourier 反転（同記事の定理「Schwartz空間上のFourier反転」）から $\varphi(0)=(2\pi)^{-n/2}\int_{\mathbb{R}^n}\widehat\varphi(\xi)\,d\xi$ である。
$g$ を閉円板 $\{|z-z_0|\le1\}$ を含む開集合の上の正則関数とし、$q(z)=\prod_{j=1}^m(z-a_j)$ を最高次の係数が $1$ の多項式とする（$m\ge0$）。このとき
$$
|g(z_0)|\le\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\bigl|q(z_0+e^{i\theta})\,g(z_0+e^{i\theta})\bigr|\,d\theta
$$
が成り立つ。
$z_0=0$ としてよい。$q^*(z):=\prod_{j=1}^m(1-\overline{a_j}z)$ とおくと、$q^*(0)=1$ であり、$|z|=1$ では $|1-\overline{a_j}z|=|z|\,|\overline z-\overline{a_j}|=|z-a_j|$ なので $|q^*(z)|=|q(z)|$ である。$q^*g$ は閉円板の近傍で正則なので、Cauchyの積分公式 を円周 $|z|=1$ で使うと $g(0)=q^*(0)g(0)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}q^*(e^{i\theta})g(e^{i\theta})\,d\theta$ である。絶対値をとり、円周上で $|q^*|=|q|$ を使えばよい。$\square$
$q$ の根 $a_j$ がどこにあっても定数が $1$ で済むことが要点である。根が $z_0$ の近くにあって $|q|$ が小さくなる点があっても、円周全体の平均は $|g(z_0)|$ 以上に保たれる。
$P\ne0$ の階数を $m$ とし、$P_m(\theta)\ne0$ となる $\theta\in\mathbb{R}^n$ を 1 つ固定する。テスト関数 $\psi$ に対して
$$
N(\psi):=\sup_{|t|\le1}\int_{\mathbb{R}^n}\bigl|\widehat\psi(\xi+it\theta)\bigr|\,d\xi
$$
とおく。このとき、すべての $\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ について
$$
|\varphi(0)|\le(2\pi)^{-n/2}\,|P_m(\theta)|^{-1}\,N\bigl(P(-\partial)\varphi\bigr)
$$
が成り立つ。
$P_m$ は $0$ でない多項式なので、$\mathbb{R}^n$ の上で恒等的に $0$ にはならず（実部と虚部がともに $\mathbb{R}^n$ 上で $0$ になる多項式は $0$ である）、このような $\theta$ がある。
$\psi:=P(-\partial)\varphi$ とおく。$\xi\in\mathbb{R}^n$ を固定し、1 変数の多項式 $z\mapsto Q(\xi+z\theta)$ を考える。$Q(\zeta)=P(-i\zeta)$ の $m$ 次の部分は $P_m(-i\zeta)=(-i)^mP_m(\zeta)$ なので、$z^m$ の係数は $c:=(-i)^mP_m(\theta)\ne0$ であり、$Q(\xi+z\theta)=c\,q_\xi(z)$ と最高次の係数が $1$ の多項式 $q_\xi$ で書ける。$g(z):=\widehat\varphi(\xi+z\theta)$ は $z$ の整関数で、$q_\xi(z)g(z)=c^{-1}\widehat\psi(\xi+z\theta)$ である。lem-fs-one-variable を $z_0=0$ で使うと
$$
|\widehat\varphi(\xi)|\le\frac1{2\pi|c|}\int_0^{2\pi}\bigl|\widehat\psi(\xi+e^{i\alpha}\theta)\bigr|\,d\alpha .
$$
両辺を $\xi\in\mathbb{R}^n$ で積分し、非負関数の積分の順序を交換する。$\xi+e^{i\alpha}\theta=(\xi+\cos\alpha\,\theta)+i\sin\alpha\,\theta$ であり、実の平行移動 $\xi\mapsto\xi+\cos\alpha\,\theta$ で $d\xi$ は変わらないので
$$
\int_{\mathbb{R}^n}|\widehat\varphi(\xi)|\,d\xi\le\frac1{2\pi|c|}\int_0^{2\pi}\int_{\mathbb{R}^n}\bigl|\widehat\psi(\xi+i\sin\alpha\,\theta)\bigr|\,d\xi\,d\alpha\le\frac{N(\psi)}{|c|}
$$
である。$|c|=|P_m(\theta)|$ と $|\varphi(0)|\le(2\pi)^{-n/2}\int|\widehat\varphi|$ から結論を得る。$\square$
lem-fs-l1-estimate の $N$ は $\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ 上の半ノルムである。さらに各コンパクト集合 $K\subset\mathbb{R}^n$ に対して定数 $C_K$ があり、$\operatorname{supp}\psi\subset K$ を満たすすべての $\psi$ について $N(\psi)\le C_K\max_{|\beta|\le2n}\sup_K|\partial^\beta\psi|$ が成り立つ。
$\widehat\psi(\xi+it\theta)=(2\pi)^{-n/2}\int e^{-ix\cdot\xi}e^{t\theta\cdot x}\psi(x)\,dx$ なので、$\psi_t(x):=e^{t\theta\cdot x}\psi(x)$ とおくと $\widehat\psi(\xi+it\theta)=\widehat{\psi_t}(\xi)$ である。$\psi\mapsto\int|\widehat{\psi_t}|$ は半ノルムなので、その上限 $N$ も（有限である限り）半ノルムである。$(1+|\xi|^2)^n\widehat{\psi_t}(\xi)$ は $(1-\Delta)^n\psi_t$ の Fourier 変換なので
$$
|\widehat{\psi_t}(\xi)|\le(2\pi)^{-n/2}(1+|\xi|^2)^{-n}\int_K\bigl|(1-\Delta)^n\psi_t\bigr|\,dx
$$
である。Leibniz の公式により、$(1-\Delta)^n\psi_t$ は $\partial^\beta\psi$（$|\beta|\le2n$）と $e^{t\theta\cdot x}$ の導関数の積の和であり、$|t|\le1$、$x\in K$ ではこれらの導関数は $t$ によらない定数で抑えられる。$2n>n$ なので $\int(1+|\xi|^2)^{-n}d\xi<\infty$ であり、結論を得る。$\square$
以上の補題から定理を導く。
$P\ne0$ を $n$ 変数の複素係数の多項式とする。定数係数の作用素 $P(\partial)$ は $\mathbb{R}^n$ 上の基本解 $E\in\mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ をもつ。
転置作用素の像 $M:=\{P(-\partial)\varphi\mid\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)\}$ は $\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ の線形部分空間である。$M$ 上の汎関数 $\lambda$ を $\lambda(P(-\partial)\varphi):=\varphi(0)$ で定めたい。$P(-\partial)\varphi_1=P(-\partial)\varphi_2$ なら、lem-fs-l1-estimate を $\varphi_1-\varphi_2$ に使って $|\varphi_1(0)-\varphi_2(0)|\le C\,N(0)=0$ となるので、$\lambda$ は矛盾なく定まる（$C:=(2\pi)^{-n/2}|P_m(\theta)|^{-1}$）。$\lambda$ は線形で、同じ補題により $M$ の上で $|\lambda|\le CN$ である。
lem-fs-seminorm により $CN$ は $\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ 上の半ノルムなので、Hahn–Banachの定理 の記事の定理「Hahn–Banachの定理（半ノルムで抑える形）」により、$\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ 上の線形汎関数 $E$ で、$M$ の上で $E=\lambda$、全体で $|E|\le CN$ となるものがある。lem-fs-seminorm から、$\operatorname{supp}\psi\subset K$ なら $|\langle E,\psi\rangle|\le CC_K\max_{|\beta|\le2n}\sup_K|\partial^\beta\psi|$ であり、これは $E$ が超関数であることを意味する（超関数 の記事の定義「超関数」）。最後に、すべての $\varphi$ について
$$
\langle P(\partial)E,\varphi\rangle=\langle E,P(-\partial)\varphi\rangle=\lambda(P(-\partial)\varphi)=\varphi(0)=\langle\delta,\varphi\rangle
$$
なので $P(\partial)E=\delta$ である。$\square$
証明から、得られる基本解は各コンパクト集合の上で $2n$ 階までの導関数の上限で抑えられる、すなわち位数が $2n$ 以下の超関数である。ただし Hahn–Banach の定理による延長は一意でなく、この方法は $E$ を式で与えない。
$P\ne0$ とする。
- 任意の $f\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ に対し、$P(\partial)u=f$ を満たす $u\in C^\infty(\mathbb{R}^n)$ がある。
- 開集合 $U\subset\mathbb{R}^n$、$f\in C^\infty(U)$、$x_0\in U$ に対し、$x_0$ の近傍 $V\subset U$ と $u\in C^\infty(V)$ で $P(\partial)u=f$（$V$ 上）を満たすものがある。
1 は thm-fs-malgrange-ehrenpreis と prop-fs-convolution による。2：$x_0$ の近傍 $V$ で $1$ となる $\chi\in\mathcal{D}(U)$ をとり、$\chi f$ を $U$ の外で $0$ と延ばしたものに 1 を使えば、$V$ の上で $P(\partial)u=\chi f=f$ である。$\square$
係数が定数でないと、2 は成り立たないことがある。H. Lewy は 1957 年に、$\mathbb{R}^3$ の 1 階の作用素 $-(\partial_1+i\partial_2)+2i(x_1+ix_2)\partial_3$（係数は 1 次式）と滑らかな $f$ で、どの空でない開集合の上にも解をもたないものを与えた（Kna16a p. 286。この記事では証明しない）。
楕円型の作用素（楕円型作用素）では、Fourier 変換で $1/P$ をほぼ割り算として実行できるので、誤差が滑らかな関数になる近似的な基本解（パラメトリクス）を具体的に作れる。Kna16a Corollary 7.15（p. 302）は、この方法で作ったパラメトリクス（Theorem 7.14）の誤差を Cauchy–Kovalevskaya の定理（Theorem 7.4）で補正して楕円型の作用素の基本解を得ており、Proposition 7.16（p. 303、証明は概略）はそのパラメトリクスが原点の外で滑らかであることを述べる。これは 楕円型正則性 の出発点になる。
条件を外したときの反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $P\ne0$（thm-fs-malgrange-ehrenpreis） | $P=0$ | 基本解の存在（$0=\delta$ となる） |
| $f$ の台のコンパクト性（prop-fs-convolution） | $n=1$、$P(\partial)=\frac{d}{dx}$、$E=H$、$f=1$ | $E*f$ を定める積分の収束 |
1 行目：$P=0$ なら $P(\partial)E=0$ であり、$\langle\delta,\varphi\rangle=\varphi(0)$ は $0$ でない汎関数なので $0\ne\delta$ である。2 行目：$(H*f)(x)=\int_0^\infty f(x-y)\,dy$ は $f=1$ では発散する。方程式 $u'=1$ 自体は $u(x)=x$ という解をもつので、成り立たなくなるのは畳み込みの公式であって可解性ではない。
文献
thm-fs-malgrange-ehrenpreis は Mal56 第 I 章 §1 の Théorème 1（pp. 288–289）で、同所の Lemme 1・Lemme 2・Proposition 1（pp. 286–288）による評価と Hahn–Banach の定理から示されている。同論文の定理は基本解 $E$ が $L^2$ の局所的な評価をもつように選べることも述べる。この記事の lem-fs-one-variable は、同論文の Lemme 1 の後の注意（半径 $r$ の円周上の最大値で抑える形）を半径 $1$ の円周上の平均で抑える形にしたもので、証明は $q^*$ による書き直しによる。Bre11 Comment 7（p. 117）は Malgrange–Ehrenpreis の定理として主張だけを述べる。楕円型の場合は Kna16a Corollary 7.15（p. 302）、定数係数の作用素の局所可解性の別証明は同書 Theorem 7.7（p. 292、Fourier 級数による）にある。
関連項目
- 前提: 超関数, 緩増加超関数とFourier変換, Hahn–Banachの定理, Cauchyの積分公式
- 例: Green関数, 線形微分方程式, 弱微分による解析の見取り図
- 発展: 楕円型作用素, 楕円型正則性, 偏微分方程式
- 関連する定理: Schwartzの核定理
参考文献
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