Liouvilleの定理(複素解析)
概要
Liouvilleの定理(複素解析)（Liouville's theorem）とは、複素平面全体で正則な関数（整関数）が有界ならば定数であるという定理である。Cauchy の評価式 $|f'(a)|\leq M/R$ で $R\to\infty$ とすれば導関数が消えることから従い、有界で滑らかな実関数 $\sin x$ が定数でないことと対照的に、複素微分可能性の強さを表す。同じ評価から $|f(z)|\leq A+B|z|^k$ を満たす整関数は次数 $k$ 以下の多項式であり、$1/p$ が有界な整関数になることから代数学の基本定理が短く証明される。値が上半平面に入る整関数や、像がある円板を避ける整関数も定数である。有界な整関数を Riemann 球面からの正則写像に延ばし、$\mathbb{C}$ がコンパクトでないことと対比させる別証明もある。
前提知識: 正則関数, Cauchyの積分公式, 整関数
定義
この評価式は Cauchyの積分公式 の記事の命題「Cauchy の評価式」そのものであり、証明はそちらにある（この記事では繰り返さない）。要点は、導関数 の積分表示 $f^{(n)}(a)=\dfrac{n!}{2\pi i}\displaystyle\oint_{|z-a|=R}\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz$ において被積分関数の絶対値を $M/R^{n+1}$、円周の長さを $2\pi R$ で評価することである。同じ評価は Ahl66 の式 (25)（p. 122）にある。
有界な整関数は定数関数である。すなわち、$f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ が正則で、ある定数 $M$ について $|f(z)|\leq M$（$z\in\mathbb{C}$）ならば、$f$ は定数である。
$a\in\mathbb{C}$ を任意にとる。任意の $R>0$ に対し $f$ は閉円板 $|z-a|\leq R$ を含む $\mathbb{C}$ 上で正則で、円周上で $|f|\leq M$ だから、lem-liouville-theorem-cauchy-estimate（$n=1$）により
$$|f'(a)|\leq\frac{M}{R}$$
である。$R\to\infty$ とすれば $f'(a)=0$ を得る。$a$ は任意だったので $f'\equiv0$ である。
$f'\equiv0$ から $f$ が定数であることを確かめる。$z\in\mathbb{C}$ を固定し、$\gamma(t):=f(tz)$（$0\leq t\leq1$）とおくと、$\gamma$ は実変数 $t$ の複素数値関数で、合成関数の微分（連鎖律）により $\gamma'(t)=f'(tz)\,z=0$ である。実部・虚部それぞれに 微分積分学の基本定理 を適用すれば $\gamma(1)=\gamma(0)$、すなわち $f(z)=f(0)$ である。ゆえに $f$ は定数 $f(0)$ に等しい。$\square$
直感
実変数では $\sin x$ のように、有界で無限回微分可能な非定数関数がいくらでもある。複素変数の正則関数ではそれが不可能で、全平面で有界なら動く余地がまったくなく定数になる、というのが Liouville の定理である。理由は Cauchy の積分公式が導関数を関数の値の平均で表すことにあり、大きな円周上での平均をとれば、有界な関数の導関数はいくらでも小さく評価されてしまう。
別の見方をすると、有界な整関数は Riemannの拡張定理 により Riemann球面 $\mathbb{P}^1$ からの正則写像に延び、コンパクトな Riemann 面からの定数でない正則写像は行き先もコンパクトにしてしまう（開写像定理(複素解析)）が、$\mathbb{C}$ はコンパクトでないので定数しか残らない（prop-liouville-theorem-riemann-sphere）。この定理は 代数学の基本定理 の最も短い証明を与え、整関数の増大度と 多項式 であることを結びつける議論の原型である。
例
$e^z$、$\sin z$、$\cos z$ はいずれも定数でない整関数だから、Liouville の定理の対偶により有界でない。実際 $e^x\to\infty$（$x\to+\infty$）であり、$\sin(iy)=i\sinh y$ より $|\sin(iy)|=\sinh y\to\infty$（$y\to\infty$）である。$\sin z$ は実軸上では $|\sin x|\leq1$ だが、虚軸方向には指数的に増大する。有界性は全平面で要求されていることに注意する。
整関数 $f$ の実部が上に有界、すなわち $\operatorname{Re}f(z)\leq C$（$z\in\mathbb{C}$）ならば $f$ は定数である。実際 $g:=e^{f}$ は整関数で $|g(z)|=e^{\operatorname{Re}f(z)}\leq e^{C}$ だから、thm-liouville-theorem-main により $g$ は定数 $c\neq0$ である。$g'=f'e^{f}=0$ と $e^f\neq0$ から $f'\equiv0$ となり、prf-liouville-theorem-main の後半の議論により $f$ は定数である。
整関数 $f$ の値がすべて上半平面 $\{w\mid\operatorname{Im}w>0\}$ に入るなら $f$ は定数である。$w$ が上半平面にあれば $w$ と $i$ の距離は $w$ と $-i$ の距離より小さい（$|w-i|^2-|w+i|^2=-4\operatorname{Im}w<0$）。したがって
$$g(z):=\frac{f(z)-i}{f(z)+i}$$
は分母が消えない整関数で、$|g|<1$ を満たす。thm-liouville-theorem-main により $g$ は定数で、$f=i(1+g)/(1-g)$ も定数である（$g\neq1$ に注意）。上半平面を任意の半平面に替えても、平行移動と回転で同じ議論が使える。この形の議論は、Picard の定理の古典的な証明の最後の段でも用いられる（Ahl66 第 8 章 3 節、pp. 297–298）。
定理の結論は定義域が全平面であることに依存する。単位円板 $\mathbb{D}=\{|z|<1\}$ 上では $f(z)=z$ は有界（$|f|<1$）な正則関数だが定数でなく、Riemannの写像定理 によれば $\mathbb{C}$ 以外の単連結（単連結空間）な領域の上には有界な定数でない正則関数が豊富にある。有界な整関数が存在しないことは、$\mathbb{C}$ と $\mathbb{D}$ が 双正則同型 でないことの最も簡単な証明を与える。$\phi\colon\mathbb{C}\to\mathbb{D}$ が正則同型なら、$\phi$ は $|\phi|<1$ を満たす整関数なので定数となり、全単射であることに反する。
仮定を外したときの反例
定理の仮定は「正則であること」「定義域が $\mathbb{C}$ 全体であること」「有界であること」の三つである。どれか一つを外すと結論は成り立たない。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 複素微分可能性 | $f(z)=\sin(\operatorname{Re}z)$ | 有界で $C^\infty$ 級だが定数でない |
| 定義域が $\mathbb{C}$ 全体（線分を除いた領域） | $\mathbb{C}\setminus[-1,1]$ 上の、Joukowski 変換の逆写像 $\psi$ | 有界な正則関数だが定数でない |
| 定義域が $\mathbb{C}$ 全体（円板上） | $\mathbb{D}$ 上の $f(z)=z$ | 有界な正則関数だが定数でない |
| 全平面での有界性 | $f(z)=z$、$f(z)=\sin z$ | 整関数だが定数でない |
1 行目は、$\sin(\operatorname{Re}z)$ が $x=\operatorname{Re}z$ だけの関数で Cauchy–Riemann 方程式 $u_x=v_y$ を満たさない（$v=0$、$u_x=\cos x$）ので、正則性を破る。2 行目の Joukowski 変換 $J(w)=(w+w^{-1})/2$ は、$\mathbb{D}\setminus\{0\}$ を $\mathbb{C}\setminus[-1,1]$ の上へ全単射に写す正則写像で、$J'(w)=(1-w^{-2})/2\neq0$ を満たす。実際、$z\notin[-1,1]$ に対し $w^2-2zw+1=0$ の 2 根の積は $1$ で、単位円周上の根 $w=e^{i\theta}$ があれば $z=\cos\theta\in[-1,1]$ となるから、ちょうど 1 つの根が $\mathbb{D}\setminus\{0\}$ にある。したがって逆写像 $\psi$ は正則で、値が $\mathbb{D}$ に入るので有界だが、定数ではない。一方、$\mathbb{C}$ から有限個の点を除いただけでは反例にならない。有界な正則関数は Riemannの拡張定理 により整関数に延び、定理により定数になるからである。4 行目の $\sin z$ は実軸上では有界だが、ex-liouville-theorem-unbounded-entire のとおり虚軸方向に有界でない。有界性は一方向だけでなく全平面で必要である。
性質
$f$ を整関数とし、定数 $A,B\geq0$ と整数 $k\geq0$ で $|f(z)|\leq A+B|z|^k$（$z\in\mathbb{C}$）となるものが存在するとする。このとき $f$ は 次数 $k$ 以下の多項式である。$k=0$ の場合が thm-liouville-theorem-main である。
$f$ は整関数だから、$0$ を中心とする Taylor展開(複素解析) $f(z)=\sum_{n\geq0}a_nz^n$ は $\mathbb{C}$ 全体で収束し、$a_n=f^{(n)}(0)/n!$ である（Taylor展開(複素解析) の記事の定理「正則関数の冪級数展開」と命題「収束半径と定義域の関係」）。$n>k$ とする。任意の $R>0$ に対し、円周 $|z|=R$ 上で $|f|\leq A+BR^k$ だから、lem-liouville-theorem-cauchy-estimate により
$$|a_n|=\frac{|f^{(n)}(0)|}{n!}\leq\frac{A+BR^k}{R^n}=\frac{A}{R^n}+\frac{B}{R^{n-k}}\to0\qquad(R\to\infty)$$
である。ゆえに $a_n=0$（$n>k$）であり、$f(z)=\sum_{n=0}^{k}a_nz^n$ は次数 $k$ 以下の多項式である。$\square$
同じ評価で、指数 $k$ を実数 $\alpha\geq0$ に替えた $|f(z)|\leq A+B|z|^\alpha$ からは、$n>\alpha$ の係数がすべて $0$ となり、$f$ は次数 $\lfloor\alpha\rfloor$ 以下の多項式である。特に $0\leq\alpha<1$ なら $f$ は定数である。たとえば $|f(z)|\leq 1+\sqrt{|z|}$ を満たす整関数は定数しかない。また、導関数 $f'$ が有界な整関数 $f$ は、$f'$ が定数になるので一次式 $az+b$ である。
次数 $n\geq1$ の複素係数多項式 $p(z)=a_nz^n+\cdots+a_1z+a_0$（$a_n\neq0$）は $\mathbb{C}$ に少なくとも 1 つの根を持つ。
$p$ が根を持たないと仮定する。このとき $f:=1/p$ は整関数である。$|z|\geq1$ のとき
$$|p(z)|\geq|a_n||z|^n-\sum_{k=0}^{n-1}|a_k||z|^k\geq|z|^n\Bigl(|a_n|-\frac{1}{|z|}\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|\Bigr)$$
だから、$R_0:=\max\{1,\ 2\sum_{k< n}|a_k|/|a_n|\}$ とおけば $|z|\geq R_0$ で $|p(z)|\geq|a_n||z|^n/2\geq|a_n|/2$、すなわち $|f(z)|\leq2/|a_n|$ である。一方、閉円板 $|z|\leq R_0$ はコンパクト（コンパクト空間）で $f$ はその上で連続だから、$|f|$ はそこで最大値 $M_0$ をとる。以上より $|f|\leq\max\{M_0,2/|a_n|\}$ が $\mathbb{C}$ 全体で成り立ち、$f$ は有界な整関数である。thm-liouville-theorem-main により $f$ は定数、したがって $p=1/f$ も定数となるが、これは $n\geq1$、$a_n\neq0$ に反する。ゆえに $p$ は根を持つ。$\square$
この証明は Ahl66 p. 122 の筋に沿う。代数学の基本定理 の記事は、d'Alembert の補題による別の証明を与えている。
仮定より $|f(z)-a|\geq\varepsilon$（$z\in\mathbb{C}$）だから、$g:=1/(f-a)$ は整関数で $|g|\leq1/\varepsilon$ である。thm-liouville-theorem-main により $g$ は定数 $c$（$c\neq0$）であり、$f=a+1/c$ は定数である。$\square$
$f,g$ を整関数とし、$g$ は恒等的に $0$ でないとする。すべての $z\in\mathbb{C}$ で $|f(z)|\leq|g(z)|$ ならば、定数 $c$（$|c|\leq1$）で $f=cg$ となる。
$g$ は恒等的に $0$ でない整関数だから、その零点の集合 $Z$ は孤立点だけからなる（一致の定理）。$h:=f/g$ は $\mathbb{C}\setminus Z$ で正則で、仮定から $|h|\leq1$ である。$Z$ の各点は $h$ の孤立特異点で、その近傍で $h$ は有界だから、Riemannの拡張定理 の記事の定理「Riemann の拡張定理」により $h$ はその点へ正則に延びる。延長した $h$ は整関数で、$Z$ の点でも連続性から $|h|\leq1$ である。thm-liouville-theorem-main により $h$ は定数 $c$ であり、$|c|\leq1$、$f=cg$（$Z$ の上でも両辺は $0$）を得る。$\square$
たとえば $|f(z)|\leq|e^{z}|$ を満たす整関数は $ce^{z}$ に限る。$g$ を $z^k$ にとれば、$|f(z)|\leq|z|^k$ を満たす整関数は $cz^k$ に限る。これは thm-liouville-theorem-polynomial-growth の特別な場合を、係数の評価を使わずに述べ直したものである。
$f$ を整関数とする。次は同値である。
- $f$ は有界である。
- $f$ は Riemann 球面 $\mathbb{P}^1=\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ からの正則写像 $\tilde f\colon\mathbb{P}^1\to\mathbb{C}$ に拡張される。
- $f$ は定数である。
3 ⇒ 1 は明らかである。1 ⇒ 2 は Riemannの拡張定理 の記事の系「有界な整関数の Riemann 球面への拡張」である。
2 ⇒ 3：$\tilde f$ が定数でないと仮定する。$\mathbb{P}^1$ はコンパクトで連結（連結空間）な Riemann 面、$\mathbb{C}$ は連結な Riemann 面だから、開写像定理(複素解析) の記事の系「コンパクトな面からの正則写像の全射性」により $\tilde f$ は全射で、$\mathbb{C}=\tilde f(\mathbb{P}^1)$ はコンパクトでなければならない。しかし $\mathbb{C}$ は有界でないのでコンパクトでない（コンパクト空間 の記事の定理（有界閉集合とコンパクト性の一致）、いわゆる Heine–Borel の定理）。これは矛盾であり、$\tilde f$ したがって $f$ は定数である。
この議論は thm-liouville-theorem-main の別証明を与える。Cauchy の評価式の代わりに、開写像定理と「コンパクト集合の連続像はコンパクト」という位相的事実を使っている。$\square$
補足
Liouville の定理は「$\mathbb{C}$ 上の有界正則関数は定数」という形で、コンパクトな Riemann 面上の正則関数が定数に限ること（開写像定理(複素解析) の記事の系「正則関数の最大値原理」）と同じ現象の 2 つの現れである。二重周期的な整関数が定数であることも同じ定理から従う。周期平行四辺形の閉包はコンパクトなので関数はそこで有界であり、周期性により全平面で有界になるからである（Weierstrassの楕円関数 の記事の定理「楕円関数についてのLiouvilleの定理」）。
prop-liouville-theorem-omitted-disk はさらに強められ、定数でない整関数は高々 1 つの値を除いてすべての複素数を値にとるという Picardの小定理 が成り立つ（Ahl66 第 8 章 3 節の定理 5、p. 297。この記事では証明しない）。$e^z$ は値 $0$ だけをとらないので、除かれる値が 1 つあることは避けられない。thm-liouville-theorem-polynomial-growth は整関数の増大の速さと多項式性を結びつける議論の出発点であり、位数有限の整関数の理論（Hadamardの因数分解定理）へ続く。また $\mathbb{R}^n$ 上の有界な 調和関数 が定数であるという Liouville の定理の調和関数版もある。名前の同じ別の定理として、Hamilton 力学の相空間の体積保存に関する Liouville の定理や、代数的数の有理数近似に関する Liouville の定理（Liouville数）があり、本記事の定理とは無関係である。標準的な記述は Ahl66 第 4 章 2.3 節（p. 122）にある。
関連項目
- 前提: 正則関数, Cauchyの積分公式, 整関数, 有界
- 比較: 最大値原理, Picardの小定理, 調和関数
- 直後に読む: 代数学の基本定理, Riemannの拡張定理, 開写像定理(複素解析)
- 発展: Hadamardの因数分解定理, Riemann球面, Liouville数, Weierstrassの楕円関数
参考文献
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