Liouvilleの定理(複素解析)

$a\in\mathbb{C}$ を任意にとる。任意の $R>0$ に対し $f$ は閉円板 $|z-a|\leq R$ を含む $\mathbb{C}$ 上で正則で、円周上で $|f|\leq M$ だから、lem-liouville-theorem-cauchy-estimate（$n=1$）により
$$|f'(a)|\leq\frac{M}{R}$$
である。$R\to\infty$ とすれば $f'(a)=0$ を得る。$a$ は任意だったので $f'\equiv0$ である。
$f'\equiv0$ から $f$ が定数であることを確かめる。$z\in\mathbb{C}$ を固定し、$\gamma(t):=f(tz)$（$0\leq t\leq1$）とおくと、$\gamma$ は実変数 $t$ の複素数値関数で、合成関数の微分（連鎖律）により $\gamma'(t)=f'(tz)\,z=0$ である。実部・虚部それぞれに 微分積分学の基本定理 を適用すれば $\gamma(1)=\gamma(0)$、すなわち $f(z)=f(0)$ である。ゆえに $f$ は定数 $f(0)$ に等しい。

$f$ は整関数だから、$0$ を中心とする Taylor展開(複素解析) $f(z)=\sum_{n\geq0}a_nz^n$ は $\mathbb{C}$ 全体で収束し、$a_n=f^{(n)}(0)/n!$ である（整関数の Taylor 展開が全平面で収束することと係数公式は既知とする。出典 Ahl79 Chapter 4 §3）。$n>k$ とする。任意の $R>0$ に対し、円周 $|z|=R$ 上で $|f|\leq A+BR^k$ だから、lem-liouville-theorem-cauchy-estimate により
$$|a_n|=\frac{|f^{(n)}(0)|}{n!}\leq\frac{A+BR^k}{R^n}=\frac{A}{R^n}+\frac{B}{R^{n-k}}\to0\qquad(R\to\infty)$$
である。ゆえに $a_n=0$（$n>k$）であり、$f(z)=\sum_{n=0}^{k}a_nz^n$ は次数 $k$ 以下の多項式である。

$p$ が根を持たないと仮定する。このとき $f:=1/p$ は整関数である。$|z|\geq1$ のとき
$$|p(z)|\geq|a_n||z|^n-\sum_{k=0}^{n-1}|a_k||z|^k\geq|z|^n\Bigl(|a_n|-\frac{1}{|z|}\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|\Bigr)$$
だから、$R_0:=\max\{1,\ 2\sum_{k< n}|a_k|/|a_n|\}$ とおけば $|z|\geq R_0$ で $|p(z)|\geq|a_n||z|^n/2\geq|a_n|/2$、すなわち $|f(z)|\leq2/|a_n|$ である。一方、閉円板 $|z|\leq R_0$ はコンパクト（コンパクト空間）で $f$ はその上で連続だから、$|f|$ はそこで最大値 $M_0$ をとる。以上より $|f|\leq\max\{M_0,2/|a_n|\}$ が $\mathbb{C}$ 全体で成り立ち、$f$ は有界な整関数である。thm-liouville-theorem-main により $f$ は定数、したがって $p=1/f$ も定数となるが、これは $n\geq1$、$a_n\neq0$ に反する。ゆえに $p$ は根を持つ。

仮定より $|f(z)-a|\geq\varepsilon$（$z\in\mathbb{C}$）だから、$g:=1/(f-a)$ は整関数で $|g|\leq1/\varepsilon$ である。thm-liouville-theorem-main により $g$ は定数 $c$（$c\neq0$）であり、$f=a+1/c$ は定数である。

3 ⇒ 1 は明らかである。1 ⇒ 2 は Riemannの拡張定理 の記事の系（有界な整関数の Riemann 球面への拡張）である。
2 ⇒ 3：$\tilde f$ が定数でないと仮定する。$\mathbb{P}^1$ はコンパクトで連結（連結空間）な Riemann 面、$\mathbb{C}$ は連結な Riemann 面だから、開写像定理(複素解析) の記事の系（コンパクトな面からの正則写像の全射性）により $\tilde f$ は全射で、$\mathbb{C}=\tilde f(\mathbb{P}^1)$ はコンパクトでなければならない。しかし $\mathbb{C}$ は有界でないのでコンパクトでない（コンパクト空間 の記事の定理（有界閉集合とコンパクト性の一致）、いわゆる Heine–Borel の定理）。これは矛盾であり、$\tilde f$ したがって $f$ は定数である。
この議論は thm-liouville-theorem-main の別証明を与える。Cauchy の評価式の代わりに、開写像定理と「コンパクト集合の連続像はコンパクト」という位相的事実を使っている。