商対象

同義語：quotient object

概要

前提知識: 圏, エピ射, 同型, 部分対象, 押し出し, 同値関係

定義

商対象は、集合の商集合、群の剰余群といった「対象を割って得られる対象」を、圏の射だけで言い表したものであり、部分対象の双対概念である。集合 $X$ を同値関係 $R$ で割った商集合 $X/R$ は標準射影 $X\to X/R$ という全射で表せるので、一般の圏では、対象 $X$ から出るエピ射を商の表示とみなす。ただし、同じ割り方を表すエピ射は同型なものがたくさんあるので、それらを同一視する。
以下、圏 $\mathcal{C}$ の射 $e\colon X\to Q$ がエピ射であるとは、任意の射 $a,b\colon Q\to Z$ について $a\circ e=b\circ e$ ならば $a=b$ となることをいい、$e\colon X\twoheadrightarrow Q$ と書く。

商対象

$\mathcal{C}$ を圏、$X$ を $\mathcal{C}$ の対象とする。$X$ を始域とするエピ射 $e\colon X\twoheadrightarrow Q$、$e'\colon X\twoheadrightarrow Q'$ に対し、

$u\circ e'=e$ を満たす射 $u\colon Q'\to Q$ が存在するとき、$e\le e'$ と書き、$e$ は $e'$ を経由して分解するという。
$u\circ e'=e$ を満たす同型射 $u\colon Q'\to Q$ が存在するとき、$e$ と $e'$ は同値であるといい、$e\equiv e'$ と書く。
$\equiv$ は $X$ から出るエピ射の間の同値関係であり、その同値類を $X$ の商対象（quotient object）という。エピ射 $e$ の同値類を $[e]$ と書き、$X$ の商対象の全体を $\operatorname{Quot}(X)$（圏を明示するときは $\operatorname{Quot}_{\mathcal{C}}(X)$）と書く。$\operatorname{Quot}(X)$ には $[e]\le[e']\ :\Longleftrightarrow\ e\le e'$ で順序が入る（prop-quotient-object-order）。

$\equiv$ が同値関係であることは、恒等射が同型射であり、同型射の逆射と合成が同型射であることから従う（$u\circ e'=e$ なら $u^{-1}\circ e=e'$、$u\circ e'=e$ かつ $v\circ e''=e'$ なら $(u\circ v)\circ e''=e$）。商対象の代表 $e\colon X\twoheadrightarrow Q$ をとって「商対象 $X\twoheadrightarrow Q$」あるいは単に「商対象 $Q$」ということも多い。恒等射 $\mathrm{id}_X$ の類は $\operatorname{Quot}(X)$ の最大元である（任意の $e$ について $e\circ\mathrm{id}_X=e$）。
$e\le e'$ は「$Q$ は $Q'$ をさらに割ったものである」ことを表し、$e$ の方が粗い商である。したがって $\operatorname{Quot}(X)$ では、細かい商ほど大きい。この向きは $\operatorname{Quot}_{\mathcal{C}}(X)$ が反対圏 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ における部分対象の順序集合 $\operatorname{Sub}_{\mathcal{C}^{\mathrm{op}}}(X)$ にそのまま一致するように選んだものであり（prop-quotient-object-order の証明）、逆向きの順序を用いる文献もある。
エピ射の全体は一般に集合とは限らないので、$\operatorname{Quot}(X)$ が集合になるとは限らない。すべての対象 $X$ について $\operatorname{Quot}(X)$ が集合（と一対一対応する）であるような圏を余整冪（co-well-powered）であるという。これは $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ が整冪であることにあたる。集合・群・加群・位相空間の圏は余整冪である（prop-quotient-object-set、prop-quotient-object-group、ex-quotient-object-top により、商対象は $X$ 上の同値関係と追加の構造で決まる。加群の場合は ex-quotient-object-algebra で述べるとおり、prop-quotient-object-group と同じ議論で部分加群に対応する）。

直感

商集合 $X/R$ を知るには、$X/R$ という集合そのものよりも「$X$ のどの点どうしが同じ点に潰されたか」が大事である。$X$ から $\{0,1\}$ への全射と $X$ から $\{\text{赤},\text{青}\}$ への全射は、同じ点どうしを同じ値に送るなら、$X$ の割り方としては区別する理由がない。商対象の定義は、この考えを「$X$ から出るエピ射を、終域の同型で同一視する」と表したものである。
部分対象が $X$ の「中に入っている」部分を $X$ への射で表すのに対し、商対象は $X$ から「出ていく」射で表す。矢印の向きを逆にすると部分対象と商対象が入れ替わるので、部分対象について成り立つ一般的な命題は、矢印をすべて逆にすれば商対象についての命題になる（双対原理）。ただし、具体的な圏での姿は部分対象と大きく異なりうる。集合の圏では部分対象は部分集合だが商対象は同値関係であり、環の圏では、エピ射が全射と限らないので、商対象はイデアルだけでは尽くされない（ex-quotient-object-ring）。

例と反例

集合・群・加群の商対象

$\mathbf{Set}$ では、$X$ の商対象は $X$ 上の同値関係と一対一に対応し、$[e]\le[e']$ は同値関係の逆向きの包含に対応する（prop-quotient-object-set）。群の圏では商対象は正規部分群に対応し、代表は剰余群への標準射影 $G\to G/N$ である（prop-quotient-object-group）。同じくアーベル群の圏や環 $R$ 上の加群の圏では、商対象は部分加群 $N\subset M$ に対応し、代表は商加群への射影 $M\to M/N$ である。いずれも対応は $[e]\mapsto$（$e$ の核、または $e$ で同じ点に行く点の組の全体）で与えられ、順序は包含の逆になる。
加群の場合の根拠は prop-quotient-object-group の証明と同じである。加群の圏のエピ射は全射な準同型であり（エピ射の記事の例「全射と一致する圏」の 2）、$e(x)=e(y)$ と $y-x\in\ker e$ は同値なので、$\ker e'\subset\ker e$ と $R_{e'}\subset R_e$ は同値である。$\ker e'\subset\ker e$ なら $u(e'(x)):=e(x)$ で定まる写像 $u$ は $u(e'(x)+e'(y))=e(x+y)=u(e'(x))+u(e'(y))$、$u(r\,e'(x))=u(e'(rx))=e(rx)=r\,u(e'(x))$ を満たす準同型で $u\circ e'=e$ であり、逆に $e\le e'$ なら $\ker e'\subset\ker e$ である。部分加群 $N$ に対し標準射影 $M\to M/N$ は核が $N$ の全射なので、$[e]\mapsto\ker e$ は順序を逆にする全単射 $\operatorname{Quot}(M)\to\{M\text{ の部分加群}\}$ である。
加群の場合、部分対象も部分加群に対応するので（部分対象の記事の例「集合・群・環・加群の部分対象」）、$N\mapsto[M\to M/N]$ を通じて、$\operatorname{Sub}(M)$ と $\operatorname{Quot}(M)$ は順序を逆にする全単射で結ばれる。集合の圏では、一般にはこのような対応はない。部分対象は部分集合に、商対象は同値関係に対応するので（同例と prop-quotient-object-set）、たとえば $X$ が 1 点集合なら $\operatorname{Sub}(X)$ は 2 元、$\operatorname{Quot}(X)$ は 1 元であり、$X$ が 3 点集合なら部分集合は 8 個、同値関係は 5 個で、個数が違うので全単射すらない（$X=\emptyset$ ではともに 1 元である）。

順序集合の商対象

順序集合 $(P,\le)$ を、$x\le y$ のときに限り射 $x\to y$ がただ一つある圏とみなす。すべての射はエピ射であり、$x\le y$、$x\le y'$ について $x\to y$ が $x\to y'$ を経由して分解するのは射 $y'\to y$ があるとき、すなわち $y'\le y$ のときである。同値になるのは $y=y'$ のときだけなので、$\operatorname{Quot}(x)$ は上集合 $\{y\in P\mid x\le y\}$ に逆の順序 $\ge$ を入れたものと順序同型である。部分対象の記事の例「順序集合の部分対象」で $\operatorname{Sub}(y)$ が下集合 $\{x\mid x\le y\}$ になったことの双対である。

反例：位相空間の商対象は商空間とは限らない

位相空間と連続写像の圏 $\mathbf{Top}$ では、エピ射は全射な連続写像である（エピ射の記事の例「全射と一致する圏」の 3）。2 点以上をもつ集合 $X$ に離散位相を入れた空間（離散空間）を $X_d$、密着位相を入れた空間を $X_i$ とし、$X_d$ から出る 2 つのエピ射
$$ e':=\mathrm{id}\colon X_d\to X_d,\qquad e\colon X_d\to X_i,\ e(x):=x $$
を考える。どちらも点を 1 つも同一視しない。$e\circ\mathrm{id}_{X_d}=e$ なので、$u:=e\colon X_d\to X_i$ について $u\circ e'=e$ であり、$[e]\le[e']$ である。しかし $[e']\le[e]$ ではない。実際 $u'\circ e=e'$ を満たす連続写像 $u'\colon X_i\to X_d$ があれば、$u'$ は写像として恒等写像であるが、点 $x\in X$ について $\{x\}$ は $X_d$ で開で、その逆像 $\{x\}$ は $X_i$ で開でないので $u'$ は連続でない。よって $[e]\ne[e']$ であり、$X_d$ 上の同じ同値関係（等号）の上に異なる 2 つの商対象がある。
一般に、$\mathbf{Top}$ における $X$ の商対象は、$X$ 上の同値関係 $R$ と、商集合 $X/R$ 上の位相であって商位相より粗い（開集合が少ない）もの $\tau$ との組 $(R,\tau)$ に一対一に対応する。全射な連続写像 $e\colon X\to Q$ に、$R:=\{(x,y)\mid e(x)=e(y)\}$ と、全単射 $X/R\to Q$ で $Q$ の位相を移した位相を対応させればよい。$e$ の連続性は $\tau$ が商位相より粗いことにあたる（商位相は標準射影を連続にする最も細かい位相である）。この例は「商対象は台となる同値関係で決まる」「商対象は商空間と一致する」という含意を破る。商空間にちょうど対応するのは、正則エピ射（余等化子になっているエピ射）で表される商対象である（rem-quotient-object-regular）。

反例：環の商対象はイデアルで尽くされない

環は単位元をもち、環準同型は単位元を保つとする。環の圏で、包含 $\iota\colon\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Q}$ はエピ射である（エピ射の記事の命題「局所化の標準写像はエピ射」）ので、$[\iota]\in\operatorname{Quot}(\mathbb{Z})$ である。一方、イデアル $I\subset\mathbb{Z}$ による剰余環への標準射影 $\pi_I\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/I$ は全射なのでエピ射であり、$[\pi_I]\in\operatorname{Quot}(\mathbb{Z})$ である。
$[\iota]$ はどの $[\pi_I]$ とも等しくない。$[\iota]=[\pi_I]$ なら、同型射 $v\colon\mathbb{Z}/I\to\mathbb{Q}$ で $v\circ\pi_I=\iota$ となるものがある。$\iota$ は単射なので $\pi_I$ も単射であり、$I=0$ である。すると $v\circ\pi_0$ は環の同型 $\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}$ になるが、環の同型は単元を単元に写し、$\mathbb{Z}$ の単元は $\pm1$ だけなのに $\mathbb{Q}$ の単元は $0$ 以外のすべての元なので、そのような同型はない。
さらに $n\ge2$ のとき $[\iota]$ と $[\pi_{n\mathbb{Z}}]$ は比較できない。$u\circ\iota=\pi_{n\mathbb{Z}}$ となる環準同型 $u\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ があれば、$1=u(1)=u\bigl(n\cdot\tfrac1n\bigr)=n\,u\bigl(\tfrac1n\bigr)=0$ となり矛盾する。$u'\circ\pi_{n\mathbb{Z}}=\iota$ となる $u'$ があれば $\iota$ が単射であることから $\pi_{n\mathbb{Z}}$ も単射になり、これも矛盾する。
この例は「環の商対象は剰余環への射影で表される」という含意を破る。剰余環への射影で表される商対象がイデアルと一対一に対応すること自体は、prop-quotient-object-group と同じ議論で示せる（全射な環準同型 $e$ について、$e\le e'$ と $\ker e'\subset\ker e$ が同値になる）。環の圏では、エピ射が全射と限らないことが、商対象を剰余環より多くしている。

性質

順序集合としての Quot

商対象の順序

$X$ を圏 $\mathcal{C}$ の対象とし、$e\colon X\twoheadrightarrow Q$、$e'\colon X\twoheadrightarrow Q'$、$e''\colon X\twoheadrightarrow Q''$ をエピ射とする。

$e\le e'$ のとき、$u\circ e'=e$ を満たす射 $u$ はただ一つであり、$u$ はエピ射である。
$e\le e$ であり、$e\le e'$ かつ $e'\le e''$ ならば $e\le e''$ である。
$e\le e'$ かつ $e'\le e$ であることと、$e\equiv e'$ であることは同値である。
$e\equiv e_1$、$e'\equiv e'_1$ のとき、$e\le e'$ と $e_1\le e'_1$ は同値である。
したがって $[e]\le[e']\ :\Longleftrightarrow\ e\le e'$ は $\operatorname{Quot}(X)$ 上の半順序として矛盾なく定まる。さらに、$\mathcal{C}$ のエピ射 $e$ を $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ のモノ射 $e^{\mathrm{op}}\colon Q\rightarrowtail X$ とみなす対応は、順序集合の同型 $\operatorname{Quot}_{\mathcal{C}}(X)\cong\operatorname{Sub}_{\mathcal{C}^{\mathrm{op}}}(X)$ を与える。

$\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ では射の向きと合成の順が逆になる。$\mathcal{C}$ の射 $f$ を $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ の射とみたものを $f^{\mathrm{op}}$ と書くと $(g\circ f)^{\mathrm{op}}=f^{\mathrm{op}}\circ g^{\mathrm{op}}$ である。$e$ が $\mathcal{C}$ のエピ射であることと、$e^{\mathrm{op}}$ が $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ のモノ射であることは同値である（エピ射の条件 $a\circ e=b\circ e\Rightarrow a=b$ は $e^{\mathrm{op}}\circ a^{\mathrm{op}}=e^{\mathrm{op}}\circ b^{\mathrm{op}}\Rightarrow a^{\mathrm{op}}=b^{\mathrm{op}}$ と同じ）。また $u\circ e'=e$ は $e'^{\mathrm{op}}\circ u^{\mathrm{op}}=e^{\mathrm{op}}$ と同じであり、$u$ が同型射であることと $u^{\mathrm{op}}$ が同型射であることは同値である。
したがって、def-quotient-object の $e\le e'$ と $e\equiv e'$ は、部分対象の記事の定義「部分対象」の $e^{\mathrm{op}}\le e'^{\mathrm{op}}$ と $e^{\mathrm{op}}\equiv e'^{\mathrm{op}}$（$\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ における）にそれぞれ一致する。1〜4 は、部分対象の記事の命題「部分対象の順序」の 1〜4 を $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ のモノ射 $e^{\mathrm{op}},e'^{\mathrm{op}},e''^{\mathrm{op}}$ に適用して翻訳したものである。とくに 1 の「$u$ はエピ射」は、同命題の「$u^{\mathrm{op}}$ はモノ射」の翻訳である。最後の主張も、$[e]\mapsto[e^{\mathrm{op}}]$ が順序を保ち反映する全単射であることから従う。$\square$

1 を直接確かめることもできる。$u\circ e'=e=u'\circ e'$ なら $e'$ がエピ射なので $u=u'$ であり、$a\circ u=b\circ u$ なら $a\circ e=a\circ u\circ e'=b\circ u\circ e'=b\circ e$ で、$e$ がエピ射なので $a=b$ である。以下の命題でも、部分対象の一般論の双対はこの方法で得られる。

具体的な圏の商対象

$X$ 上の同値関係全体の集合を $\operatorname{Eq}(X)$ と書き、包含の逆 $\supset$ で順序を入れる。写像 $e\colon X\to Q$ に対し、$R_e:=\{(x,y)\in X\times X\mid e(x)=e(y)\}$ は $X$ 上の同値関係である（$e$ で同じ点に行く点の組の全体）。

商集合との対応

$\mathbf{Set}$ の対象 $X$ について、対応 $[e]\mapsto R_e$（$e\colon X\twoheadrightarrow Q$）は、順序集合の同型
$$ \operatorname{Quot}_{\mathbf{Set}}(X)\ \cong\ (\operatorname{Eq}(X),\supset) $$
を与える。逆向きの対応は、同値関係 $R$ に商集合への標準射影 $X\to X/R$ の類を対応させるものである。

$\mathbf{Set}$ のエピ射は全射である（エピ射の記事の命題「集合の圏のエピ射は全射」）。
順序を保ち、かつ反映すること：$e\le e'$、すなわち $u\circ e'=e$ とする。$e'(x)=e'(y)$ なら $e(x)=u(e'(x))=u(e'(y))=e(y)$ なので $R_{e'}\subset R_e$ である。逆に $R_{e'}\subset R_e$ とする。$e'$ は全射なので、各 $q'\in Q'$ は $q'=e'(x)$ と書け、$u(q'):=e(x)$ と定める。$e'(x)=e'(y)$ なら $(x,y)\in R_{e'}\subset R_e$ で $e(x)=e(y)$ なので、$u(q')$ は $x$ の選び方によらない。$u\circ e'=e$ なので $e\le e'$ である。
well-defined：$e\equiv e'$ なら $e\le e'$ かつ $e'\le e$ なので、上により $R_e=R_{e'}$ である。
全単射であること：$R_e=R_{e'}$ なら上により $e\le e'$ かつ $e'\le e$ であり、prop-quotient-object-order の 3 により $[e]=[e']$ である。任意の $R\in\operatorname{Eq}(X)$ について、標準射影 $p\colon X\to X/R$ は全射で、$p(x)=p(y)$ と $(x,y)\in R$ は同値なので $R_p=R$ である（商集合）。$\square$

正規部分群との対応

$\mathbf{Grp}$ の対象 $G$ について、対応 $[e]\mapsto\ker e$（$e$ の核）は、$\operatorname{Quot}_{\mathbf{Grp}}(G)$ と、$G$ の正規部分群全体に包含の逆 $\supset$ で順序を入れたものとの順序同型を与える。逆向きの対応は、正規部分群 $N$ に剰余群への標準射影 $G\to G/N$ の類を対応させるものである。

$\mathbf{Grp}$ のエピ射は全射な群準同型である（エピ射の記事の命題「群の圏のエピ射は全射」）。準同型 $e$ について $e(x)=e(y)$ と $x^{-1}y\in\ker e$ は同値なので、$\ker e'\subset\ker e$ と $R_{e'}\subset R_e$ は同値である。
$e\le e'$ なら $R_{e'}\subset R_e$、すなわち $\ker e'\subset\ker e$ である（prf-quotient-object-set の前半）。逆に $\ker e'\subset\ker e$ なら、prf-quotient-object-set と同じく $u(e'(x)):=e(x)$ で写像 $u\colon Q'\to Q$ が定まり $u\circ e'=e$ である。$u$ は準同型である：$u(e'(x)e'(y))=u(e'(xy))=e(xy)=e(x)e(y)=u(e'(x))\,u(e'(y))$。よって $e\le e'$ である。well-defined であることと単射であることは prf-quotient-object-set と同じ議論による。核は正規部分群であり、任意の正規部分群 $N$ について標準射影 $G\to G/N$ は全射準同型で核が $N$ である（剰余群）ので、全射である。$\square$

押し出しによる順序写像

$\mathcal{C}$ が押し出しをもつとする。射 $f\colon X\to Y$ とエピ射 $e\colon X\twoheadrightarrow Q$ に対し、$e$ と $f$ の押し出しを
$$ \begin{array}{ccc} X&\xrightarrow{\ f\ }&Y\\ \big\downarrow e&&\big\downarrow f_!e\\ Q&\xrightarrow{\ p\ }&P \end{array} $$
と書く（$f_!e\circ f=p\circ e$）。エピ射は押し出しで保たれるので（押し出しの記事の命題「エピ射の余底変更」）、$f_!e\colon Y\twoheadrightarrow P$ はエピ射である。

押し出しによる順序写像

$\mathcal{C}$ が押し出しをもつとき、$f\colon X\to Y$ に対し
$$ f_!\colon\operatorname{Quot}(X)\to\operatorname{Quot}(Y),\qquad [e]\mapsto[f_!e] $$
は矛盾なく定まり、順序を保つ。また $(\mathrm{id}_X)_!$ は恒等写像であり、$g\colon Y\to Z$ に対し $(g\circ f)_!=g_!\circ f_!$ である。

$\mathcal{C}$ の押し出しの正方形は、矢印をすべて逆にすると $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ の引き戻しの正方形になる（押し出しの普遍性は、$\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ で読むと引き戻しの普遍性そのものである）。したがって $f_!e$ は、$\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ において、モノ射 $e^{\mathrm{op}}\colon Q\rightarrowtail X$ の $f^{\mathrm{op}}\colon Y\to X$ に沿った引き戻し $(f^{\mathrm{op}})^*e^{\mathrm{op}}$ の逆向きにほかならない。prop-quotient-object-order の同型 $\operatorname{Quot}_{\mathcal{C}}(-)\cong\operatorname{Sub}_{\mathcal{C}^{\mathrm{op}}}(-)$ のもとで $f_!$ は $(f^{\mathrm{op}})^*$ に対応するので、主張は部分対象の記事の命題「引き戻しによる順序写像」を $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ に適用したものである。合成については $(g\circ f)^{\mathrm{op}}=f^{\mathrm{op}}\circ g^{\mathrm{op}}$ なので、同命題の $(g'\circ f')^*=f'^*\circ g'^*$ を $f':=g^{\mathrm{op}}$、$g':=f^{\mathrm{op}}$ に適用して $(g\circ f)_!=\bigl(f^{\mathrm{op}}\circ g^{\mathrm{op}}\bigr)^*=(g^{\mathrm{op}})^*\circ(f^{\mathrm{op}})^*=g_!\circ f_!$ を得る。$\square$

$\mathbf{Set}$ では $f_!$ は次のように具体的に書ける。

集合の商対象の押し出し

$f\colon X\to Y$ を写像、$R$ を $X$ 上の同値関係とし、$S$ を $\{(f(x),f(x'))\mid(x,x')\in R\}$ を含む $Y$ 上の最小の同値関係とする。prop-quotient-object-set の同一視のもとで $f_!R=S$ である。

$e\colon X\to X/R$ と $s\colon Y\to Y/S$ を標準射影とし、$p\colon X/R\to Y/S$ を $p(e(x)):=s(f(x))$ で定める。$(x,x')\in R$ なら $(f(x),f(x'))\in S$ なので $p$ は矛盾なく定まり、$s\circ f=p\circ e$ である。この正方形が押し出しであることを示す。$a\colon Y\to Z$、$b\colon X/R\to Z$ が $a\circ f=b\circ e$ を満たすとする。$(x,x')\in R$ なら $a(f(x))=b(e(x))=b(e(x'))=a(f(x'))$ なので、$a(y)=a(y')$ で定まる $Y$ 上の同値関係は生成元をすべて含み、したがって $S$ を含む。よって $\bar a(s(y)):=a(y)$ で写像 $\bar a\colon Y/S\to Z$ が矛盾なく定まり、$\bar a\circ s=a$、$\bar a\circ p\circ e=\bar a\circ s\circ f=a\circ f=b\circ e$ で $e$ は全射なので $\bar a\circ p=b$ である。$s$ は全射なので、$\bar a\circ s=a$ を満たす $\bar a$ はただ一つである。よってこれは押し出しで、$f_!e=s$、$R_s=S$ である。$\square$

圏によって異なる押し出し

$X=Y=\mathbb{Z}$、$f(x):=2x$、$e\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ を標準射影とする。
$\mathbf{Set}$ では、prop-quotient-object-pushout-set により $f_![e]$ は $\{(2x,2x')\mid x\equiv x'\pmod2\}$ が生成する同値関係 $S$ である。$x$ が偶数なら $2x$ は $4$ の倍数、$x$ が奇数なら $2x\equiv2\pmod4$ なので、$S$ の同値類は $4\mathbb{Z}$、$2+4\mathbb{Z}$ と、奇数 $n$ ごとの 1 点集合 $\{n\}$ である。
アーベル群の圏 $\mathbf{Ab}$ では、全射 $e\colon A\to A/K$ と $f\colon A\to B$ の押し出しは $B\to B/f(K)$ で与えられる（普遍性は準同型定理から確かめられる）。いまは $K=2\mathbb{Z}$、$f(K)=4\mathbb{Z}$ なので、$f_![e]=[\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}]$ であり、同値類は $4$ 個である。同じ射 $f$、同じ $e$ でも、どの圏で押し出すかによって $f_!$ は異なる。

商対象の交わり

$\mathcal{C}$ が押し出しをもつとき、$X$ の商対象 $[e]$、$[e']$（$e\colon X\twoheadrightarrow Q$、$e'\colon X\twoheadrightarrow Q'$）は $\operatorname{Quot}(X)$ において最大下界 $[e]\wedge[e']$ をもつ。$e$ と $e'$ の押し出し $Q\xrightarrow{p}P\xleftarrow{p'}Q'$（$p\circ e=p'\circ e'$）をとると、$[e]\wedge[e']=[p\circ e]$ である。

$p'$ は $e$ の押し出しなのでエピ射であり、$k:=p\circ e=p'\circ e'$ はエピ射の合成 $p'\circ e'$ としてエピ射である（エピ射の記事の命題「エピ射の合成」）。$k=p\circ e$、$k=p'\circ e'$ なので $k\le e$ かつ $k\le e'$ である。
$l\colon X\twoheadrightarrow L$ が $l\le e$、$l\le e'$ を満たすとし、$a\circ e=l$、$b\circ e'=l$ とする。$a\circ e=b\circ e'$ なので、押し出しの普遍性により $c\circ p=a$、$c\circ p'=b$ となる $c\colon P\to L$ があり、$c\circ k=c\circ p\circ e=a\circ e=l$ である。よって $l\le k$ であり、$[k]$ は $[e]$ と $[e']$ の最大下界である。$\square$

$\mathbf{Set}$ では、$[e]\wedge[e']$ は $R_e\cup R_{e'}$ を含む最小の同値関係に対応する。順序が包含の逆なので、商対象の交わりは同値関係としては「両方を含む最小のもの」、すなわちより多くの点を同一視する粗い商である。加群の圏では、$[M\to M/N]\wedge[M\to M/N']=[M\to M/(N+N')]$ である。prop-quotient-object-meet と最大元 $[\mathrm{id}_X]$ により、押し出しをもつ圏では $\operatorname{Quot}(X)$ は有限個の元の下限をもつ順序集合（交わり半束）になる。これは部分対象の記事の命題「部分対象の共通部分」の双対である。

正則商対象

正則商対象と商空間

正則エピ射、すなわちある平行な射の組の余等化子になっているエピ射で表される商対象を正則商対象という。$e$ の核対（$e$ の $e$ 自身に沿った引き戻し）$R\rightrightarrows X$ が存在すれば、正則エピ射 $e$ は核対の余等化子である（正則エピ射の記事の命題「正則エピ射は核対の余等化子」）。したがって正則商対象は、$X$ の上の「同一視のしかた」である核対から復元できる。
$\mathbf{Set}$、群の圏、加群の圏では、エピ射はすべて正則エピ射である（正則エピ射の記事の例「集合・群・加群における正則エピ射」）ので、すべての商対象が正則であり、prop-quotient-object-set と prop-quotient-object-group の対応が得られる。
$\mathbf{Top}$ では、全射な連続写像 $e\colon X\to Q$ の核対は $R_e\subset X\times X$（直積位相の部分空間）と 2 つの射影であり、その余等化子は商集合 $X/R_e$ に商位相を入れた空間と標準射影である。商位相の普遍性（$X/R_e$ から出る写像が連続であることと、$X$ に合成したものが連続であることは同値）により、$R_e$ の上で等しい値をとる連続写像 $X\to Z$ はちょうど 1 つの連続写像 $X/R_e\to Z$ を経由するからである。よって $e$ が正則エピ射であることと、全単射 $X/R_e\to Q$ が同相写像であること、すなわち $Q$ が商位相をもつことは同値である。ex-quotient-object-top の $e\colon X_d\to X_i$ は、$R_e$ が等号なので商位相は離散位相であり、密着位相とは異なるので正則でない。

補足

アーベル圏での商対象：アーベル圏では、すべてのモノ射はその余核の核であり、すべてのエピ射はその核の余核である。このことから、部分対象 $[m]$ に余核 $[\operatorname{coker}m]$ を対応させる写像は、順序を逆にする全単射 $\operatorname{Sub}(X)\to\operatorname{Quot}(X)$ を与える（Mac98 Chapter VIII）。ex-quotient-object-algebra の加群の場合の対応はその特別な場合である。
用語：商対象の定義と、部分対象との双対性の一般論は Mac98 V §7、Bor94a 第4章にある。