極座標と極方程式

1. 点 $\mathrm{P}(1,\sqrt3)$。原点からの距離は $r=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt4=2$ である。$\cos\theta=\frac x r=\frac12$、$\sin\theta=\frac yr=\frac{\sqrt3}2$ となる角は $\theta=\frac\pi3$ なので、極座標は $\bigl(2,\frac\pi3\bigr)$ である。確かめると $2\cos\frac\pi3=2\cdot\frac12=1$、$2\sin\frac\pi3=2\cdot\frac{\sqrt3}2=\sqrt3$ である。
2. 点 $\mathrm{Q}(-1,-1)$。$r=\sqrt{1+1}=\sqrt2$ で、$\cos\theta=\sin\theta=-\frac1{\sqrt2}$ となる角は $\theta=\frac{5\pi}4$（第 3 象限）なので、極座標は $\bigl(\sqrt2,\frac{5\pi}4\bigr)$ である。確かめると $\sqrt2\cos\frac{5\pi}4=\sqrt2\cdot\bigl(-\frac{\sqrt2}2\bigr)=-1$、$\sqrt2\sin\frac{5\pi}4=-1$ である。
3. 逆向きに、極座標が $\bigl(3,\frac{5\pi}6\bigr)$ の点は
   $$ x=3\cos\frac{5\pi}6=3\cdot\Bigl(-\frac{\sqrt3}2\Bigr)=-\frac{3\sqrt3}2,\qquad y=3\sin\frac{5\pi}6=3\cdot\frac12=\frac32 $$
   である。

$\theta$ に値を入れて $r=2\cos\theta$ を計算し、点 $(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ を求める。

どの点でも $(x-1)^2+y^2=1$ が成り立つ。たとえば $\bigl(\frac32,\frac{\sqrt3}2\bigr)$ では $\frac14+\frac34=1$、$(1,1)$ では $0+1=1$ である。点は中心 $(1,0)$、半径 $1$ の円の上に並ぶ。

1. 点 $(-2,2)$：$r=\sqrt{4+4}=2\sqrt2$、$\cos\theta=\frac{-2}{2\sqrt2}=-\frac1{\sqrt2}$、$\sin\theta=\frac2{2\sqrt2}=\frac1{\sqrt2}$ なので、$0\le\theta<2\pi$ の範囲では $\theta=\frac{3\pi}4$ である。偏角をすべて書けば $\frac{3\pi}4+2k\pi$（$k$ は整数）で、たとえば $\bigl(2\sqrt2,-\frac{5\pi}4\bigr)$ も同じ点の極座標である。
2. 点 $(0,-3)$：$r=3$、$\cos\theta=0$、$\sin\theta=-1$ なので $\theta=\frac{3\pi}2$ である。
3. 逆向きに、$\bigl(4,\frac{7\pi}6\bigr)$ の点は $x=4\cos\frac{7\pi}6=4\cdot\bigl(-\frac{\sqrt3}2\bigr)=-2\sqrt3$、$y=4\sin\frac{7\pi}6=4\cdot\bigl(-\frac12\bigr)=-2$ である。

1. $r=3$：両辺を 2 乗すると $r^2=9$ なので $x^2+y^2=9$ である。原点を中心とする半径 $3$ の円である。
2. $r=2\cos\theta$：両辺に $r$ を掛けると $r^2=2r\cos\theta$ なので、$x^2+y^2=2x$ である。$x$ の項を平方完成すると
   $$ x^2-2x+y^2=0\iff(x-1)^2+y^2=1 $$
   となり、中心 $(1,0)$、半径 $1$ の円である。これは ex-ppe-start-curve で点を打って見た円である。$r$ を掛けると原点（$r=0$）が加わるおそれがあるが、原点はもともと $\theta=\frac\pi2$ で $r=2\cos\frac\pi2=0$ となってこの曲線の上にあるので、図形は変わらない。
3. $r=4\sin\theta$：同じく $r$ を掛けて $x^2+y^2=4y$、平方完成して $x^2+(y-2)^2=4$ である。中心 $(0,2)$、半径 $2$ の円である。$\theta=\frac\pi6$ では $r=4\cdot\frac12=2$、点は $\bigl(2\cos\frac\pi6,2\sin\frac\pi6\bigr)=(\sqrt3,1)$ で、確かに $(\sqrt3)^2+(1-2)^2=3+1=4$ である。

1. 直線 $x+\sqrt3y=4$。係数の組 $(1,\sqrt3)$ の長さは $\sqrt{1+3}=2$ なので、両辺を $2$ で割って
   $$ \frac12x+\frac{\sqrt3}2y=2,\qquad\text{すなわち}\qquad x\cos\frac\pi3+y\sin\frac\pi3=2 $$
   である。$\alpha=\frac\pi3$、$p=2$ なので、極方程式は $r\cos\bigl(\theta-\frac\pi3\bigr)=2$ である。点を打って確かめる。
   • $\theta=\frac\pi3$：$r=2$、点 $\bigl(2\cos\frac\pi3,2\sin\frac\pi3\bigr)=(1,\sqrt3)$。$1+\sqrt3\cdot\sqrt3=4$ である。これが垂線の足 $\mathrm{H}$ である。
   • $\theta=0$：$r\cos\bigl(-\frac\pi3\bigr)=\frac r2=2$ から $r=4$、点 $(4,0)$。$4+0=4$ である。
   • $\theta=\frac\pi2$：$r\cos\frac\pi6=\frac{\sqrt3}2r=2$ から $r=\frac4{\sqrt3}$、点 $\bigl(0,\frac4{\sqrt3}\bigr)$。$\sqrt3\cdot\frac4{\sqrt3}=4$ である。
2. 直線 $y=-2$。原点から下ろした垂線の足は $(0,-2)$ で、その極座標は $\bigl(2,\frac{3\pi}2\bigr)$ である。極方程式は $r\cos\bigl(\theta-\frac{3\pi}2\bigr)=2$ である。加法定理で $\cos\bigl(\theta-\frac{3\pi}2\bigr)=\cos\theta\cos\frac{3\pi}2+\sin\theta\sin\frac{3\pi}2=-\sin\theta$ なので、この式は $-r\sin\theta=2$、すなわち $y=-2$ に戻る。

1. $r=2\cos\theta$ は、cor-ppe-circle-origin で $c=1$、$\theta_0=0$ の場合で、中心 $(1,0)$、半径 $1$ の円である。
2. $r=4\sin\theta$ は、$\sin\theta=\cos\bigl(\theta-\frac\pi2\bigr)$ なので $r=2\cdot2\cos\bigl(\theta-\frac\pi2\bigr)$ と書ける。$c=2$、$\theta_0=\frac\pi2$ で、中心の極座標は $\bigl(2,\frac\pi2\bigr)$、つまり中心 $(0,2)$、半径 $2$ の円である。ex-ppe-to-cartesian の 3 と一致する。
3. 中心 $(2,0)$、半径 $1$ の円（原点を通らない）。$c=2$、$\theta_0=0$、$a=1$ なので、極方程式は
   $$ r^2-4r\cos\theta+3=0 $$
   である。$r$ の 2 次方程式として解くと $r=2\cos\theta\pm\sqrt{4\cos^2\theta-3}$ である。
   • $\theta=0$：$r^2-4r+3=(r-1)(r-3)=0$ から $r=1,3$。点 $(1,0)$ と $(3,0)$ で、円と $x$ 軸の交点である。
   • $\theta=\frac\pi6$：$4\cos^2\frac\pi6-3=4\cdot\frac34-3=0$ なので $r=2\cos\frac\pi6=\sqrt3$（重解）。点は $\bigl(\sqrt3\cos\frac\pi6,\sqrt3\sin\frac\pi6\bigr)=\bigl(\frac32,\frac{\sqrt3}2\bigr)$ で、$\bigl(\frac32-2\bigr)^2+\frac34=\frac14+\frac34=1$ である。重解になるのは、半直線 $\theta=\frac\pi6$ が円に接しているからである。
   • $\theta=\frac{\pi}{12}$：$r\approx1.0763$ と $r\approx2.7875$ の 2 つ。2 つの積は解と係数の関係から $3$ である。
   • $\frac\pi6<\theta<\frac{5\pi}6$ と $\frac{7\pi}6<\theta<\frac{11\pi}6$ では $|\cos\theta|<\frac{\sqrt3}2$ なので根号の中 $4\cos^2\theta-3$ が負になり、実数解がない。
   • $\frac{5\pi}6\le\theta\le\frac{7\pi}6$ では根号の中は $0$ 以上で、実数解がある。しかし解と係数の関係から 2 つの解の和は $4\cos\theta<0$、積は $3>0$ なので、2 つとも負であり、$r\ge0$ の解はない。たとえば $\theta=\pi$ では $r^2+4r+3=(r+1)(r+3)=0$ から $r=-1,-3$ である。
   • どちらの場合も、$\frac\pi6<\theta<\frac{11\pi}6$ の方角には円の点がない。
     3 の積 $3$ は、原点から円への方べき（原点から円に引いた接線の長さ $\sqrt3$ の 2 乗）である。方べきの定理（高校数学） と同じ現象である。

1. カージオイド $r=1+\cos\theta$：$f(-\theta)=1+\cos(-\theta)=1+\cos\theta=f(\theta)$ なので $x$ 軸に関して対称である。一方 $f(\pi-\theta)=1-\cos\theta$ は $f(\theta)$ と一致しない。実際、点 $(2,0)$（$\theta=0$、$r=2$）はこの曲線の上にあるが、$y$ 軸に関して折り返した点 $(-2,0)$ の極座標は $(2,\pi+2k\pi)$ で、$f(\pi)=0\ne2$ なので曲線の上にない。よって $y$ 軸に関しては対称でない。
2. $r^2=\cos2\theta$：$\cos(-2\theta)=\cos2\theta$、$\cos2(\pi-\theta)=\cos(2\pi-2\theta)=\cos2\theta$、$\cos2(\theta+\pi)=\cos(2\theta+2\pi)=\cos2\theta$ なので、3 つの条件がすべて成り立つ。この曲線は $x$ 軸、$y$ 軸、原点のどれに関しても対称で、第 1 象限の部分（$0\le\theta\le\frac\pi4$）を描けば残りは折り返しで得られる。
3. $r=2\cos\theta$：$f(-\theta)=f(\theta)$ なので $x$ 軸に関して対称である。$f(\theta+\pi)=-2\cos\theta$ は $f(\theta)$ と一致せず、実際、円 $(x-1)^2+y^2=1$ の上の点 $(2,0)$ を原点に関して折り返した $(-2,0)$ は、$(-2-1)^2+0=9\ne1$ なので円の上にない。

1. 螺旋 $r=\theta$（$\theta\ge0$）。$\theta=\frac\pi2$ で $r=\frac\pi2$、点 $\bigl(0,\frac\pi2\bigr)$。$\theta=\pi$ で $r=\pi$、点 $(-\pi,0)$。$\theta=2\pi$ で $r=2\pi$、点 $(2\pi,0)$。$\theta$ が $2\pi$ 増えるごとに、同じ方角で原点からの距離が $2\pi$ ずつ増えるので、一定の間隔で巻く渦巻きになる（Archimedes の螺旋）。
2. カージオイド $r=1+\cos\theta$。$\theta=0$ で $r=2$、点 $(2,0)$。$\theta=\frac\pi2$ で $r=1$、点 $(0,1)$。$\theta=\frac{2\pi}3$ で $r=1-\frac12=\frac12$、点 $\bigl(\frac12\cos\frac{2\pi}3,\frac12\sin\frac{2\pi}3\bigr)=\bigl(-\frac14,\frac{\sqrt3}4\bigr)$。$\theta=\pi$ で $r=0$、原点。ex-ppe-symmetry の 1 により $x$ 軸に関して対称なので、$0\le\theta\le\pi$ の部分を折り返せば全体になる。
   直交座標の式にするには、両辺に $r$ を掛けて $r^2=r+r\cos\theta$、すなわち $x^2+y^2=r+x$ とする。$r=x^2+y^2-x$ の両辺を 2 乗して $r^2=x^2+y^2$ を使うと
   $$ (x^2+y^2-x)^2=x^2+y^2 $$
   を得る。点 $\bigl(-\frac14,\frac{\sqrt3}4\bigr)$ では $x^2+y^2=\frac1{16}+\frac3{16}=\frac14$ なので、左辺は $\bigl(\frac14+\frac14\bigr)^2=\frac14$、右辺は $\frac14$ で一致する。4 次式になり、極方程式のほうがずっと簡単である。
   この変形で図形が変わらないことも確かめておく（ex-ppe-to-cartesian の 2、ex-ppe-squaring と同じ注意）。$r$ を掛けて加わりうるのは原点（$r=0$）だけで、原点はもともと $\theta=\pi$ で曲線の上にある。2 乗して加わりうるのは $x^2+y^2-x=-r$ を満たす点である。これを極座標で書くと $r^2-r\cos\theta=-r$、すなわち $r(r-\cos\theta+1)=0$ なので、$r=0$ か $r=\cos\theta-1$ である。$\cos\theta-1\le0$ と $r\ge0$ から、どちらの場合も $r=0$、つまり原点だけである。よって $(x^2+y^2-x)^2=x^2+y^2$ はカージオイドと同じ図形を表す。
3. レムニスケート $r^2=\cos2\theta$。$r^2\ge0$ なので、$\cos2\theta\ge0$ となる $\theta$、すなわち $-\frac\pi4\le\theta\le\frac\pi4$ と $\frac{3\pi}4\le\theta\le\frac{5\pi}4$ の方角にだけ点がある。$\theta=0$ で $r=1$、点 $(1,0)$。$\theta=\frac\pi6$ で $r^2=\cos\frac\pi3=\frac12$、$r=\frac1{\sqrt2}$、点 $\bigl(\frac1{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt3}2,\frac1{\sqrt2}\cdot\frac12\bigr)=\bigl(\frac{\sqrt6}4,\frac{\sqrt2}4\bigr)$。$\theta=\pm\frac\pi4$ で $r=0$ となり、原点を通る。
   直交座標では、$\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$ の両辺に $r^2$ を掛けて $r^4=r^2\cos^2\theta-r^2\sin^2\theta$、すなわち
   $$ (x^2+y^2)^2=x^2-y^2 $$
   である。点 $\bigl(\frac{\sqrt6}4,\frac{\sqrt2}4\bigr)$ では $x^2=\frac38$、$y^2=\frac18$ なので、左辺 $\bigl(\frac12\bigr)^2=\frac14$、右辺 $\frac38-\frac18=\frac14$ で一致する。$r^2$ を掛けて加わりうるのは原点（$r=0$）だけで、原点はもともと $\theta=\frac\pi4$ で $r^2=\cos\frac\pi2=0$ となって曲線の上にあるので、図形は変わらない。

1. 放物線 $r=\frac1{1-\cos\theta}$（$e=1$、$d=1$）。分母を払うと $r-r\cos\theta=1$、すなわち $r=1+x$ である。両辺を 2 乗して $x^2+y^2=(1+x)^2=1+2x+x^2$ から
   $$ y^2=2x+1 $$
   を得る。$\theta=\frac\pi2$ で $r=1$、点 $(0,1)$。$\theta=\pi$ で $r=\frac12$、点 $\bigl(-\frac12,0\bigr)$（頂点）。$\theta=\frac{2\pi}3$ で $r=\frac1{1+\frac12}=\frac23$、点 $\bigl(-\frac13,\frac{\sqrt3}3\bigr)$ で、$y^2=\frac13$、$2x+1=-\frac23+1=\frac13$ と一致する。$\theta\to0$ では分母が $0$ に近づき $r$ はいくらでも大きくなる。放物線が右へ開いているからである。
2. 楕円 $r=\frac3{2-\cos\theta}$（分子・分母を $2$ で割ると $\frac{3/2}{1-\frac12\cos\theta}$ なので $e=\frac12$、$d=3$）。分母を払うと $2r=3+x$、2 乗して $4(x^2+y^2)=(3+x)^2$、整理して $3x^2-6x+4y^2=9$、平方完成して
   $$ \frac{(x-1)^2}4+\frac{y^2}3=1 $$
   を得る。$\theta=0$ で $r=3$（点 $(3,0)$）、$\theta=\pi$ で $r=1$（点 $(-1,0)$）で、これは長軸の両端である。
3. 双曲線 $r=\frac2{1-2\cos\theta}$（$e=2$、$d=1$）。$r\ge0$ となるのは $1-2\cos\theta>0$、すなわち $\frac\pi3<\theta<\frac{5\pi}3$ のときだけである。分母を払うと $r=2+2x$、2 乗して $x^2+y^2=4(1+x)^2$、整理して $3x^2+8x-y^2+4=0$、平方完成して
   $$ \frac{\bigl(x+\frac43\bigr)^2}{\frac49}-\frac{y^2}{\frac43}=1 $$
   を得る。$\theta=\pi$ で $r=\frac23$、点 $\bigl(-\frac23,0\bigr)$。$\theta=\frac\pi2$ で $r=2$、点 $(0,2)$ で、$\frac{16/9}{4/9}-\frac4{4/3}=4-3=1$ である。ただし極方程式が表すのは、この双曲線の 2 本の枝のうち右の枝だけである（ex-ppe-squaring）。

焦点を $\mathrm{F}$ とする楕円または放物線に、$\mathrm{F}$ を通る直線を引き、曲線と 2 点 $\mathrm{P}$、$\mathrm{Q}$ で交わるとする。このとき
$$ \frac1{\mathrm{FP}}+\frac1{\mathrm{FQ}} $$
は直線の向きによらず一定であることを示し、その値を求めよ。放物線 $y^2=2x+1$（焦点は原点）で、直線の傾きを変えて確かめよ。

点 $(1,1)$ と点 $(-1,-1)$ は、どちらも $\frac yx=1$ である。$\tan\theta=1$ となる $\theta$ として $\frac\pi4$ を選ぶと、$(1,1)$ には正しいが、$(-1,-1)$ には誤りである。$(-1,-1)$ の偏角は $\frac{5\pi}4$ で（ex-ppe-start の 2）、$\frac\pi4$ とは $\pi$ だけずれている。$\tan$ は周期 $\pi$ の関数なので、$\tan\theta$ の値からは $\theta$ が $\pi$ の整数倍を除いてしか決まらない。偏角を決めるには $\cos\theta=\frac xr$ と $\sin\theta=\frac yr$ の両方の符号を見る。
また、原点では $r=0$ で、prop-ppe-unique の 3 のとおり偏角はどの値でもよい。$\frac yx$ は $\frac00$ になり、そもそも意味をもたない。極方程式の曲線が原点を通るかどうかは、「$f(\theta)=0$ となる $\theta$ があるか」で調べる（$r=2\cos\theta$ なら $\theta=\frac\pi2$）。

螺旋 $r=\theta$（$\theta\ge0$）を考える。点 $(2\pi,0)$ の極座標は $(2\pi,2k\pi)$（$k$ は整数）である。$0\le\theta<2\pi$ の範囲の極座標 $(2\pi,0)$ は $r=\theta$ を満たさない（$2\pi\ne0$）。しかし $k=1$ の極座標 $(2\pi,2\pi)$ は $r=\theta$ を満たすので、def-ppe-equation により点 $(2\pi,0)$ は螺旋の上にある。実際、ex-ppe-curves の 1 で $\theta=2\pi$ のときに打った点である。
もし「$0\le\theta<2\pi$ の極座標が式を満たす点」と定義を変えると、螺旋は $0\le\theta<2\pi$ の最初の 1 周分だけになり、2 周目より外側がすべて抜け落ちる。一方、点 $(\pi,0)$ の極座標は $(\pi,2k\pi)$ で、$\pi=2k\pi$ となる整数 $k$ はないので、この点は螺旋の上にない。どの極座標を選んでも式を満たさないことを確かめて、はじめて「上にない」と言える。

$r=\cos2\theta$ を考える。この記事の約束（$r\ge0$）では、$\cos2\theta\ge0$ となる $\theta$、すなわち $-\frac\pi4\le\theta\le\frac\pi4$ と $\frac{3\pi}4\le\theta\le\frac{5\pi}4$ だけを使うので、図形は $x$ 軸の方向に伸びた 2 枚の葉である。
$r<0$ も許し、$(r,\theta)$ で点 $(r\cos\theta,r\sin\theta)$ を表す流儀では、$\cos2\theta<0$ の $\theta$ も使える。たとえば $\theta=\frac\pi2$ では $r=\cos\pi=-1$ で、点は $\bigl(-1\cdot\cos\frac\pi2,-1\cdot\sin\frac\pi2\bigr)=(0,-1)$ である。この流儀では $y$ 軸の方向にも 2 枚の葉が加わり、4 枚の葉の曲線になる。点 $(0,-1)$ は、$r\ge0$ の約束では極座標 $\bigl(1,\frac{3\pi}2+2k\pi\bigr)$ しかもたず、$\cos\bigl(2\cdot\frac{3\pi}2\bigr)=\cos3\pi=-1\ne1$ なので $r=\cos2\theta$ の図形に入らない。
同じ極方程式でも、流儀によって表す図形が違う。SH16 のように $r<0$ を許す教科書もあるので、教科書や問題を読むときは、どちらの約束かを確かめる。

ex-ppe-conic の 3 では $r=\frac2{1-2\cos\theta}$ から $r=2+2x$ を出し、2 乗して $x^2+y^2=4(1+x)^2$ とした。2 乗した式は、$r=2+2x$ だけでなく $-r=2+2x$ を満たす点も含む。実際、2 乗した式を満たす点 $(-2,0)$ では $x^2+y^2=4$、$4(1+x)^2=4$ で成り立つが、$r=2$、$2+2x=-2$ なので $r=2+2x$ は成り立たない。
点 $(-2,0)$ の極座標は $(2,\pi+2k\pi)$ で、$\frac2{1-2\cos\pi}=\frac23\ne2$ なので、極方程式の図形には入らない。$r\ge0$ から $2+2x=r\ge0$、すなわち $x\ge-1$ が必要で、双曲線 $\frac{(x+4/3)^2}{4/9}-\frac{y^2}{4/3}=1$ の 2 本の枝のうち、$x\ge-1$ にあるのは右の枝（頂点 $\bigl(-\frac23,0\bigr)$）だけである。左の枝（頂点 $(-2,0)$）は、$r<0$ を許す流儀なら $\theta=0$、$r=\frac2{1-2}=-2$ として現れる。
放物線と楕円（ex-ppe-conic の 1、2）では、この問題は起きない。放物線では $y^2=2x+1\ge0$ から $x\ge-\frac12$ なので $1+x>0$、楕円では $\frac{(x-1)^2}4\le1$ から $x\ge-1$ なので $3+x>0$ で、2 乗する前の符号の条件が自動的に満たされるからである。