Simson線

同義語：シムソン線Wallace線Simson line

概要

前提知識: 円に内接する四角形, 円周角の定理（高校数学）, 直径に対する円周角, 三角形の外心

高校での出発点：外接円の上の点から 3 辺に垂線を下ろす

三角形 $ABC$ と点 $P$ をとり、$P$ から 3 辺 $BC$、$CA$、$AB$ を含む直線に垂線を下ろす。垂線の足は 3 つできる。ふつう 3 つの点は三角形を作るが、$P$ を三角形の外接円の上にとると、3 つの足が 1 本の直線の上に並ぶ。まず座標で確かめる。

外接円の上の点から下ろした垂線の足

$A(-3,4)$、$B(-4,-3)$、$C(4,-3)$ とする。3 点はどれも $x^2+y^2=25$ を満たすので、外接円は原点 $O$ を中心とする半径 $5$ の円である。この円の上の点 $P(0,-5)$ をとる。3 辺を含む直線は次のとおりである。
$$ BC:\ y=-3,\qquad CA:\ x+y=1,\qquad AB:\ 7x-y+25=0 $$
(1) 直線 $BC$ への足 $D$。直線 $BC$ は $x$ 軸に平行なので、$P$ を通る垂線は $x=0$ で、$D(0,-3)$ である。
(2) 直線 $CA$ への足 $E$。直線 $x+y=1$ に垂直な向きは $(1,1)$ なので、垂線の上の点は $(t,\,-5+t)$ と書ける。$t+(-5+t)=1$ より $t=3$ で、$E(3,-2)$ である。
(3) 直線 $AB$ への足 $F$。直線 $7x-y+25=0$ に垂直な向きは $(7,-1)$ なので、垂線の上の点は $(7t,\,-5-t)$ と書ける。代入すると $49t+5+t+25=0$、つまり $50t=-30$ で $t=-\dfrac35$ であり、$F\left(-\dfrac{21}5,-\dfrac{22}5\right)$ である。
(4) 並び方。直線 $DE$ の傾きは $\dfrac{-2-(-3)}{3-0}=\dfrac13$、直線 $DF$ の傾きは
$$ \frac{-\frac{22}5-(-3)}{-\frac{21}5-0}=\frac{-\frac75}{-\frac{21}5}=\frac13 $$
で、等しい。2 本の直線はどちらも $D$ を通るので同じ直線であり、$D$、$E$、$F$ は直線 $y=\dfrac13x-3$ の上に並ぶ。
$F$ の $y$ 座標 $-\dfrac{22}5$ は $B$ の $y$ 座標 $-3$ より小さいので、$F$ は辺 $AB$ を $B$ の先へ延ばした部分にある。足は辺そのものではなく、辺を延ばした直線の上にくることがある。

外接円の上にない点では三角形ができる

ex-smsn-start の三角形で、外接円の中心 $O(0,0)$ から垂線を下ろす。$BC$ への足は $D(0,-3)$ である。$CA$ への足は $(t,t)$ を $x+y=1$ に代入して $t=\dfrac12$、$E\left(\dfrac12,\dfrac12\right)$ である。$AB$ への足は $(7t,-t)$ を代入して $49t+t+25=0$、$t=-\dfrac12$ で、$F\left(-\dfrac72,\dfrac12\right)$ である。
直線 $DE$ の傾きは $\dfrac{\frac12+3}{\frac12}=7$、直線 $DF$ の傾きは $\dfrac{\frac12+3}{-\frac72}=-1$ で、異なる。3 つの足は一直線上になく、三角形を作る。3 つの足は 3 辺の中点で（三角形の外心は 3 辺の垂直二等分線の交点だから）、できる三角形は中点を結んだ三角形である。

外接円の上の点 P から 3 辺を含む直線に下ろした垂線の足 D、E、F は、赤い直線の上に並ぶ。F は辺 AB の延長の上にある

外接円の中心 O から下ろした垂線の足は 3 辺の中点で、赤い三角形を作る

図 1 と図 2 を比べると、足が一直線に並ぶかどうかは点の位置で決まる。この記事で答える問いは次の 3 つである。

外接円の上のどの点でも 3 つの足は一直線に並ぶか。逆に、並べば点は外接円の上にあるか。→ thm-smsn-main
足が辺の延長に出るかどうかで場合分けせずに証明できるか。→ def-smsn-directed、lem-smsn-transfer

点を外接円の上で動かすと、並んだ直線はどう動くか。→ prop-smsn-angle

高校の計算	この記事の言葉	大学の言葉
3 つの足の傾きが等しい	Simson 線	足の三角形の面積が $0$
直角を見込む点は直径の円の上	角の移しかえ	4 点が同一円周上にある条件
対角の和が $180^\circ$、または見込む角が等しい	有向角の等式 1 本	角を $180^\circ$ を法として測る
点を円の上で動かす	直線の向きは円周角だけ回る	包絡線はデルトイド

言葉の準備：垂線の足と有向角

垂線の足と足の三角形

三角形 $ABC$ と点 $P$ について、$P$ から直線 $BC$、$CA$、$AB$ に下ろした垂線の足を、それぞれ $D$、$E$、$F$ とする。$P$ が直線の上にあるときは、足は $P$ 自身とする。3 点 $D$、$E$、$F$ が一直線上にないとき、三角形 $DEF$ を $P$ の 足の三角形（垂足三角形）という。

足は「辺を含む直線」の上にとる。ex-smsn-start の $F$ のように、足が辺の延長にくることがあるからである。
足が辺の上にくるか延長にくるかで、角の関係は「等しい」になったり「和が $180^\circ$」になったりする（円に内接する四角形の 2 つの判定法）。この場合分けをまとめるために、角を $180^\circ$ の違いを除いて測る。

直線の有向角

直線 $\ell$ が $x$ 軸の正の向きとなす角を、$x$ 軸を反時計回りに回して $\ell$ に平行にするまでの角 $\theta_\ell$ で表す。$\theta_\ell$ は $180^\circ$ の整数倍の違いを除いて決まる（直線を $180^\circ$ 回すと同じ直線にもどるから）。2 本の直線 $\ell$、$m$ について
$$ \measuredangle(\ell,m)=\theta_m-\theta_\ell\pmod{180^\circ} $$
を、$\ell$ から $m$ への 有向角 という。$\ell$ を反時計回りに $\measuredangle(\ell,m)$ だけ回すと $m$ に平行になる。点 $X$、$Y$、$Z$（$X\ne Y$、$Z\ne Y$）については、直線 $YX$ から直線 $YZ$ への有向角を $\measuredangle XYZ$ と書く。

これは円周角の定理（高校数学）の有向角と同じものである（そこでは複素数の偏角で定めている）。定義から、次の性質がすぐに出る。
(R1) $\measuredangle(\ell,m)+\measuredangle(m,n)=\measuredangle(\ell,n)$。
(R1) $\measuredangle(m,\ell)=-\measuredangle(\ell,m)$。とくに $-90^\circ$ と $90^\circ$ は同じ値である。
(R1) 同じ点を通る 2 本の直線 $m$、$m'$ について、ある直線 $\ell$ で $\measuredangle(\ell,m)=\measuredangle(\ell,m')$ ならば、$m$ と $m'$ は平行か一致し、共有点があるので一致する。
(R1) $\ell\perp m$ と $\measuredangle(\ell,m)=90^\circ$ は同じことである。

有向角を計算する

$x$ 軸から直線 $y=x$ への有向角は $45^\circ-0^\circ=45^\circ$ である。逆に、直線 $y=x$ から $x$ 軸への有向角は $-45^\circ$ で、$180^\circ$ を足すと $135^\circ$ と同じ値である。有向角は、2 本の順番を入れかえると符号が変わる。
ex-smsn-start で、直線 $BC$（$\theta=0^\circ$）から、足の並ぶ直線 $y=\dfrac13x-3$ への有向角は、$\tan\theta=\dfrac13$ を満たす角 $\theta\approx18.43^\circ$ である。直線 $PD$（$x=0$、$\theta=90^\circ$）から直線 $BC$ への有向角は $0^\circ-90^\circ=-90^\circ$ で、$90^\circ$ と同じ値である（性質 (ii)・(iv)）。

円周角の定理とその逆を、有向角で 1 つの主張にまとめる。

有向角による共円の判定

異なる 2 点 $W$、$X$ と、直線 $WX$ の上にない 2 点 $Y$、$Z$ をとる。4 点 $W$、$X$、$Y$、$Z$ が同一円周上にあることと
$$ \measuredangle WYX=\measuredangle WZX $$
は同値である。

同じ側と反対側の 2 つの判定法をまとめる

要点：$Y$ から見て、半直線 $YW$ を半直線 $YX$ に重ねる回転の角を、反時計回りを正として $-180^\circ$ と $180^\circ$ の間で測ったものを $\varphi_Y$ とする。$\varphi_Y$ の大きさは普通の角 $\angle WYX$ で、符号は $Y$ が直線 $WX$ のどちら側にあるかで決まる。$Y$ と $Z$ が同じ側なら有向角の等式は $\angle WYX=\angle WZX$、反対側なら $\angle WYX+\angle WZX=180^\circ$ と同じになり、どちらも円に内接する四角形の判定法で共円と同値である。

詳しい証明を開く

段 1（符号と側）。$Y$ は直線 $WX$ の上にないので、$\varphi_Y$ は $0^\circ$ でも $\pm180^\circ$ でもなく、$\lvert\varphi_Y\rvert=\angle WYX$ である。$\varphi_Y$ の符号は、$\overrightarrow{YW}=(p_1,p_2)$、$\overrightarrow{YX}=(q_1,q_2)$ としたときの $p_1q_2-p_2q_1$（$=\lvert\overrightarrow{YW}\rvert\lvert\overrightarrow{YX}\rvert\sin\varphi_Y$）の符号と同じである。成分で展開すると、恒等式

$$(w_1-y_1)(x_2-y_2)-(w_2-y_2)(x_1-y_1)=(x_1-w_1)(y_2-w_2)-(x_2-w_2)(y_1-w_1)$$

が成り立つ（両辺とも $w_1x_2-w_2x_1+x_1y_2-x_2y_1+y_1w_2-y_2w_1$ になる）。右辺の符号は、$W$ から $X$ へ向かって $Y$ が左にあれば正、右にあれば負である。よって $\varphi_Y$ の符号は $Y$ が直線 $WX$ のどちら側にあるかだけで決まる。$Z$ についても同じである。また、$\measuredangle WYX$ は $\varphi_Y$ を $180^\circ$ の違いを除いて見たものである。

段 2（同じ側）。$\varphi_Y$ と $\varphi_Z$ は同じ符号なので、差は $-180^\circ$ と $180^\circ$ の間にある。有向角が等しい、つまり差が $180^\circ$ の整数倍であることは、差が $0$、つまり $\angle WYX=\angle WZX$ と同じである。円に内接する四角形の「見込む角による判定」により、これは 4 点が同一円周上にあることと同値である。

段 3（反対側）。$\varphi_Y>0>\varphi_Z$ としてよい（逆なら $Y$ と $Z$ の名前を入れかえる）。差 $\varphi_Y-\varphi_Z$ は $0^\circ$ と $360^\circ$ の間にあるので、$180^\circ$ の整数倍であることは $\varphi_Y-\varphi_Z=180^\circ$、つまり $\angle WYX+\angle WZX=180^\circ$ と同じである。$Y$ と $Z$ は直線 $WX$ の反対側にあるので、四角形 $WYXZ$ について円に内接する四角形の「対角の和」の定理とその逆（対角の和による判定）により、これは 4 点が同一円周上にあることと同値である。$\square$

主定理：足が一直線に並ぶ条件

以下、三角形 $ABC$ の外接円を $\Gamma$ とし、点 $P$ の足を def-smsn-pedal のとおり $D$、$E$、$F$ とする。

角の移しかえ

図 3 のように、$\angle PDB=\angle PFB=90^\circ$ なので、$D$ と $F$ は $PB$ を直径とする円の上にある（直径に対する円周角）。同じく $D$ と $E$ は $PC$ を直径とする円の上にある。この 2 つの円で、足での角を頂点での角に移す。
まず、$P$ が 3 本の直線 $BC$、$CA$、$AB$ のどれの上にもないとき、3 つの足は互いに異なり、$P$ とも異なる。$P$ と異なることは、$P$ が直線の上にないことから出る。$D=F$ とすると、その点は直線 $BC$ と直線 $AB$ の共有点 $B$ で、$PB\perp BC$ かつ $PB\perp AB$ となる。1 本の直線 $PB$ に垂直な 2 直線は平行なので、$B$ で交わる $BC$ と $AB$ は同じ直線になり、三角形であることに反する。$D=E$、$E=F$ も同じ理由で起こらない。

足での角を頂点での角に移す

点 $P$ が直線 $BC$、$CA$、$AB$ のどれの上にもないとする。このとき
$$ \measuredangle PDF=\measuredangle PBA,\qquad \measuredangle PDE=\measuredangle PCA $$
である。

直径の円と有向角

方針：$D$ と $B$ が同じ円の上から同じ弦 $PF$ を見込むことを使う。足が頂点に重なる 2 つの場合は別に確かめる。1 つ目の式を示す。
場合 1（$D\ne B$ かつ $F\ne B$）。$\angle PDB=90^\circ$、$\angle PFB=90^\circ$ なので、直径に対する円周角により $D$ と $F$ は $PB$ を直径とする円の上にある。4 点 $P$、$F$、$D$、$B$ は同一円周上にある。lem-smsn-concyclic を $W=P$、$X=F$、$Y=D$、$Z=B$ として使うために、$D$ と $B$ が直線 $PF$ の上にないことを確かめる。直線 $PF$ は直線 $AB$ に $F$ で垂直に交わり、$AB$ との共有点は $F$ だけなので、$F$ と異なる $B$ は直線 $PF$ の上にない。$D$ が直線 $PF$ の上にあるとすると、直線 $PF$ は直線 $PD$ と同じで、$AB$ にも $BC$ にも垂直になり、$AB$ と $BC$ が平行になって矛盾する。よって
$$ \measuredangle PDF=\measuredangle PBF $$
である。$F$ は直線 $AB$ の上の $B$ と異なる点なので、直線 $BF$ は直線 $BA$ であり、$\measuredangle PBF=\measuredangle PBA$ である。
場合 2（$D=B$）。上で見たとおり $F\ne D$ なので $F\ne B$ である。直線 $DP$ は直線 $BP$、直線 $DF$ は直線 $BF$、つまり直線 $BA$ である。2 つの有向角は同じ 2 本の直線の間の角なので等しい。
場合 3（$F=B$）。$D\ne B$ である。$B$ が $P$ から直線 $AB$ に下ろした垂線の足なので $PB\perp AB$ で、$\measuredangle PBA=90^\circ$ である。一方、$D$ と $F=B$ はどちらも直線 $BC$ の上の異なる点なので、直線 $DF$ は直線 $BC$ であり、$PD\perp BC$ から $\measuredangle PDF=90^\circ$ である。
2 つ目の式は、$B$ と $C$、$F$ と $E$ の役を入れかえて、$PC$ を直径とする円で同じ議論をすれば得られる。$\square$

PB を直径とする緑の円の上に D と F が、PC を直径とする紫の円の上に D と E がある

主定理と証明

Simson 線の定理

三角形 $ABC$ と点 $P$ について、$P$ から直線 $BC$、$CA$、$AB$ に下ろした垂線の足 $D$、$E$、$F$ が一直線上にあることと、$P$ が三角形 $ABC$ の外接円 $\Gamma$ の上にあることは同値である。

有向角の等式の連鎖

方針：$P$ が 3 辺を含む直線の上にない場合が本体で、lem-smsn-transfer と lem-smsn-concyclic を順に使う。直線の上にある場合を先に片付ける。
段 1（$P$ が頂点）。$P=A$ のとき、$A$ は直線 $CA$ と直線 $AB$ の上にあるので $E=F=A$ である。3 つの足は $D$ と $A$ の 2 点だけで、2 点を通る直線の上にある。$A$ は $\Gamma$ の上にあるので、どちらの条件も成り立つ。$P=B$、$P=C$ でも同じである。
段 2（$P$ が 3 本の直線のどれかの上にあり、頂点ではない）。$P$ が直線 $BC$ の上にあるとする（ほかの直線でも同じ）。直線と円の共有点は 2 個までで、直線 $BC$ と $\Gamma$ の共有点は $B$、$C$ なので、$P$ は $\Gamma$ の上にない。一方 $D=P$ である。$P$ は頂点ではないので直線 $CA$、$AB$ の上になく、$E\ne P$、$F\ne P$ である。$E=F$ ならその点は $A$ で、$PA$ が $CA$ にも $AB$ にも垂直になり矛盾するので、$E\ne F$ である。もし $P$、$E$、$F$ が一直線上にあれば、その直線は $PE$ として $CA$ に垂直、$PF$ として $AB$ に垂直で、$CA$ と $AB$ が平行になり矛盾する。よって $D=P$、$E$、$F$ は一直線上になく、どちらの条件も成り立たない。
段 3（$P$ が 3 本の直線のどれの上にもない）。3 つの足は互いに異なる。$D$、$E$、$F$ が一直線上にあることは、$D$ を通る 2 本の直線 $DF$ と $DE$ が一致することと同じであり、性質 (iii) により
$$ \measuredangle PDF=\measuredangle PDE $$
と同値である。lem-smsn-transfer により、左辺は $\measuredangle PBA$、右辺は $\measuredangle PCA$ に等しいので、これは
$$ \measuredangle PBA=\measuredangle PCA $$
と同値である。$P\ne A$ で、$P$ は直線 $AB$、$CA$ の上にないので、$B$ と $C$ は直線 $PA$ の上にない。lem-smsn-concyclic を $W=P$、$X=A$、$Y=B$、$Z=C$ として使うと、この等式は 4 点 $P$、$A$、$B$、$C$ が同一円周上にあること、つまり $P$ が $\Gamma$ の上にあることと同値である。$\square$

Simson 線

外接円 $\Gamma$ の上の点 $P$ について、thm-smsn-main により一直線上に並ぶ 3 つの足を通る直線を、$P$ の Simson 線（シムソン線）という。Wallace 線 ともいう。

この直線は Simson の著作には現れず、Wallace によるものとされる（Wei26a）。そのため Wallace–Simson 線とも呼ばれる。

鈍角三角形で足が延長に出る場合

$A(0,5)$、$B(-5,0)$、$C(4,3)$ とする。3 点は $x^2+y^2=25$ の上にあり、$\angle A\approx108.43^\circ$ の鈍角三角形である。3 辺を含む直線は $BC:\ x-3y+5=0$、$CA:\ x+2y=10$、$AB:\ x-y+5=0$ である。円の上の点 $P(3,-4)$ から垂線を下ろす。

$D$：垂線の上の点 $(3+t,\,-4-3t)$ を代入して $3+t+12+9t+5=0$、$t=-2$ で $D(1,2)$。
$E$：$(3+t,\,-4+2t)$ を代入して $3+t-8+4t=10$、$t=3$ で $E(6,2)$。
$F$：$(3+t,\,-4-t)$ を代入して $3+t+4+t+5=0$、$t=-6$ で $F(-3,2)$。
3 点の $y$ 座標はどれも $2$ なので、Simson 線は直線 $y=2$ である。$E$ の $x$ 座標 $6$ は $C$ の $4$ より大きく、$A$ の $0$ と反対側にあるので、$E$ は辺 $CA$ を $C$ の先へ延ばした部分にある。
lem-smsn-transfer の 1 つ目の式を数値で確かめる計算を開く
直線 $PD$ の傾きは $\dfrac{2-(-4)}{1-3}=-3$、直線 $DF$ は $x$ 軸に平行である。直線 $BP$ の傾きは $\dfrac{-4-0}{3+5}=-\dfrac12$、直線 $BA$ の傾きは $1$ である。$x$ 軸となす角 $\theta$ で書くと $\measuredangle PDF=0^\circ-\theta_{PD}$、$\measuredangle PBA=45^\circ-\theta_{BP}$ で、$\tan\theta_{PD}=-3$、$\tan\theta_{BP}=-\dfrac12$ から $\theta_{PD}\approx-71.57^\circ$、$\theta_{BP}\approx-26.57^\circ$ である。どちらの有向角もおよそ $71.57^\circ$ になり、等しい。

鈍角三角形で、外接円の上の点 P の足 D、E、F は直線 y=2 の上に並ぶ。E は辺 CA の延長の上にある

普通の角で書くと場合が分かれる

lem-smsn-transfer を普通の角で書くと、配置によって「等しい」と「和が $180^\circ$」が入れかわる。ex-smsn-start の $P(0,-5)$ では $\angle PDF\approx71.57^\circ$、$\angle PBA\approx108.43^\circ$ で和が $180^\circ$ になる。同じ三角形で $P(5,0)$ をとると、$D(5,-3)$ は辺 $BC$ の延長に出て、$\angle PDF=\angle PBA\approx63.43^\circ$ と等しくなる。

2 つの配置の角の計算を開く

$P(0,-5)$、$D(0,-3)$、$F\left(-\dfrac{21}5,-\dfrac{22}5\right)$ では $\overrightarrow{DP}=(0,-2)$、$\overrightarrow{DF}=\left(-\dfrac{21}5,-\dfrac75\right)$ で、$\cos\angle PDF=\dfrac{\frac{14}5}{2\cdot\frac{7\sqrt{10}}5}=\dfrac1{\sqrt{10}}$ である。$\overrightarrow{BP}=(4,-2)$、$\overrightarrow{BA}=(1,7)$ で、$\cos\angle PBA=\dfrac{4-14}{\sqrt{20}\sqrt{50}}=-\dfrac1{\sqrt{10}}$ である。余弦が符号だけ違うので、2 つの角の和は $180^\circ$ である。

$P(5,0)$ では $D(5,-3)$、$F\left(-\dfrac{17}5,\dfrac65\right)$ で、$\overrightarrow{DP}=(0,3)$、$\overrightarrow{DF}=\left(-\dfrac{42}5,\dfrac{21}5\right)$ から $\cos\angle PDF=\dfrac{\frac{63}5}{3\cdot\frac{21\sqrt5}5}=\dfrac1{\sqrt5}$ である。$\overrightarrow{BP}=(9,3)$、$\overrightarrow{BA}=(1,7)$ から $\cos\angle PBA=\dfrac{9+21}{\sqrt{90}\sqrt{50}}=\dfrac{30}{30\sqrt5}=\dfrac1{\sqrt5}$ で、2 つの角は等しい。

どちらの配置でも有向角は等しい。普通の角のままで証明すると、$D$ と $B$ が直線 $PF$ の同じ側か反対側か、$F$ が辺の上か延長の上か、$P$ がどの弧の上にあるかで場合を分けることになる。lem-smsn-concyclic がその場合分けを 1 回で済ませている。

Simson 線の性質

頂点と、頂点の反対側の点

頂点とその反対側の点の Simson 線

ex-smsn-start の三角形 $A(-3,4)$、$B(-4,-3)$、$C(4,-3)$ で考える。
(1) $P=A$。$E=F=A$ で、$D$ は $A$ から直線 $BC$ に下ろした垂線の足 $(-3,-3)$ である。Simson 線は直線 $x=-3$、つまり $A$ から $BC$ に下ろした垂線（高さの線）である。
(2) $P$ を $A$ と外接円の中心について反対側の点 $A^*(3,-4)$ にとる（$AA^*$ は直径）。直径に対する円周角により $\angle ABA^*=90^\circ$ なので、$A^*$ から直線 $AB$ に下ろした垂線の足は $B$ である。同じく $\angle ACA^*=90^\circ$ なので、直線 $CA$ への足は $C$ である。Simson 線は $B$ と $C$ を通るので、直線 $BC$ そのものである。直線 $BC$ への足は $D(3,-3)$ で、確かに直線 $y=-3$ の上にある。

2 つの点の Simson 線がなす角

点 $P$ を外接円の上で動かすと、Simson 線の向きが変わる。向きは円周角で決まる。

Simson 線の向き

外接円 $\Gamma$ の上の、頂点と異なる点 $P$、$Q$ の Simson 線を $s_P$、$s_Q$ とする。

$\measuredangle(BC,s_P)=90^\circ+\measuredangle PBA$ である。
$\measuredangle(s_P,s_Q)=\measuredangle QBP$ である。つまり 2 本の Simson 線のなす角は、弦 $PQ$ に対する円周角に等しい。

角の移しかえを 2 回使う

方針：$s_P$ は直線 $DF$ なので、$BC$ から $s_P$ への有向角を、垂線 $DP$ を経由して測る。
段 1（1）。$P$ は $\Gamma$ の上で頂点と異なるので、直線 $BC$、$CA$、$AB$ の上にない（直線と円の共有点は 2 個までで、直線 $BC$ と $\Gamma$ の共有点は $B$、$C$）。$D\ne F$ なので $s_P$ は直線 $DF$ である。性質 (i) と (iv)、lem-smsn-transfer により
$$ \measuredangle(BC,s_P)=\measuredangle(BC,DP)+\measuredangle(DP,DF)=90^\circ+\measuredangle PBA $$
である。
段 2（2）。$Q$ についても段 1 と同じく $\measuredangle(BC,s_Q)=90^\circ+\measuredangle QBA$ である。性質 (i)・(ii) により
$$ \measuredangle(s_P,s_Q)=\measuredangle(BC,s_Q)-\measuredangle(BC,s_P)=\measuredangle QBA-\measuredangle PBA=\measuredangle(BQ,BA)+\measuredangle(BA,BP)=\measuredangle QBP $$
である。$\measuredangle QBP$ は円周上の点 $B$ から弦 $QP$ を見込む有向角で、lem-smsn-concyclic により、円周上のどの点（$P$、$Q$ 以外）から見ても同じ値である。$\square$

直径の両端の Simson 線は垂直

$PP'$ が外接円の直径で、$P$、$P'$ が頂点と異なるなら、$s_P\perp s_{P'}$ である。

直径を見込む角

$B$ は $P$、$P'$ と異なる円周上の点なので、直径に対する円周角により $\angle P'BP=90^\circ$ である。prop-smsn-angle の 2 により $\measuredangle(s_P,s_{P'})=\measuredangle P'BP=90^\circ$ で、性質 (iv) から $s_P\perp s_{P'}$ である。$\square$

Simson 線のなす角を確かめる

ex-smsn-start の $P(0,-5)$ の Simson 線は傾き $\dfrac13$、ex-smsn-special の $A^*(3,-4)$ の Simson 線は直線 $BC$（傾き $0$）である。2 本のなす角は $\tan\theta=\dfrac13$ の角 $\theta\approx18.43^\circ$ である。一方、中心角 $\angle POA^*$ は $\cos\angle POA^*=\dfrac{0\cdot3+(-5)(-4)}{5\cdot5}=\dfrac45$ から約 $36.87^\circ$ で、弦 $PA^*$ に対する円周角はその半分の約 $18.43^\circ$ であり、一致する。
$P$ と反対側の点 $P'(0,5)$ では、足は $(0,-3)$、$(-2,3)$、$\left(-\dfrac{14}5,\dfrac{27}5\right)$ で、Simson 線の傾きは $\dfrac{3-(-3)}{-2-0}=-3$ である。$\dfrac13\cdot(-3)=-1$ なので、$s_P\perp s_{P'}$ である（cor-smsn-antipodal）。

直径の両端 P、P' の Simson 線（赤と青）は垂直に交わり、交点 D は九点円（オレンジ）の上にある
図 5 の 2 本の Simson 線は点 $(0,-3)$ で交わる。三角形の垂心は $H(-3,-2)$ で（三角形の垂心。外心が原点のとき $H$ の座標は 3 頂点の座標の和）、九点円の中心は $OH$ の中点 $\left(-\dfrac32,-1\right)$、半径は $\dfrac52$ である。$\left(\dfrac32\right)^2+(-2)^2=\dfrac{25}4$ なので、交点は九点円の上にある。直径の両端の Simson 線がいつも九点円の上で交わることは知られているが（Wei26a）、この記事では証明しない。Simson 線と九点円の関係は、次の記事 Steiner線で扱う。
prop-smsn-angle の 1 から、$P$ が外接円を 1 周すると、直線 $BP$ の向きは $180^\circ$ 回り（円周角は中心角の半分）、Simson 線の向きも $180^\circ$ 回る。1 周で Simson 線は半回転する。

例と反例

thm-smsn-main の条件を外すと何が崩れるかを並べる。

外す条件	反例	成り立たなくなること
$P$ が外接円の上にある	外接円の中心 $P=O(0,0)$（ex-smsn-start-center）	3 つの足が一直線上にある
足を辺を含む直線の上にとる	$P(0,-5)$ で、足を辺（線分）の上に限る	3 辺のそれぞれに足がある
直線は三角形の 3 辺の 3 本	4 本目の直線 $y=x$ を加える	すべての足が一直線上にある

反例：足を線分の上に限る

ex-smsn-start の $P(0,-5)$ で、直線 $AB$ の上で $PF\perp AB$ となる点は $F\left(-\dfrac{21}5,-\dfrac{22}5\right)$ だけで、これは線分 $AB$ の外にある。よって、線分 $AB$ の上には $P$ からの垂線の足がない。「3 辺に下ろした垂線の足」を線分の上の点に限ると、足がそろわず、主張そのものが述べられない。
これは例外ではない。外接円の上の点 $P$ が頂点でも頂点の反対側の点でもなければ、足の少なくとも 1 つは線分の外にある。

少なくとも 1 つが線分の外にある理由を開く

3 つの足がどれも三角形の周の上にあると、1 本の直線が三角形の周と異なる 3 点で交わることになる。そうなるのは直線が辺を 1 本まるごと含むときだけで、Simson 線が直線 $BC$ なら $E=C$、$F=B$ となり、$\angle ACP=\angle ABP=90^\circ$ から $P=A^*$ である（ex-smsn-special (2)）。直線 $CA$、$AB$ を含む場合も同じで、$P$ は $B$、$C$ の反対側の点になる。

反例：4 本目の直線

ex-smsn-start の $P(0,-5)$ から、4 本目の直線 $y=x$ に下ろした垂線の足は $\left(-\dfrac52,-\dfrac52\right)$ である（$(t,-5-t)$ を $y=x$ に代入して $t=-\dfrac52$）。Simson 線 $y=\dfrac13x-3$ の $x=-\dfrac52$ での値は $-\dfrac56-3=-\dfrac{23}6$ で、$-\dfrac52$ と異なる。4 つの足は一直線上にない。$P$ は三角形 $ABC$ の外接円の上にあるが、直線 $y=x$ と 2 辺で作る三角形の外接円の上にはないからである（thm-smsn-main の逆向き）。
4 本目を直線 $3x+5y+8=0$ にとると、足は $\left(\dfrac32,-\dfrac52\right)$ で、$\dfrac13\cdot\dfrac32-3=-\dfrac52$ なので Simson 線の上にある。4 本の直線から 3 本ずつ選んだ 4 つの三角形の外接円が 1 点を共有するとき、その点で 4 つの足が一直線に並ぶ。これが Miquelの定理の完全四辺形の話である。

大学数学で見る：足の三角形の面積と包絡線

足の三角形の面積

thm-smsn-main は「足の三角形の面積が $0$ になるのは外接円の上」と言いかえられる。実は面積そのものが、外接円の中心からの距離で書ける。

足の三角形の面積の公式

外接円の中心を $O$、半径を $R$、三角形 $ABC$ の面積を $S$ とすると、点 $P$ の足の三角形の面積は
$$ \frac{\lvert R^2-OP^2\rvert}{4R^2}\,S $$
である（3 つの足が一直線上にあるときは面積 $0$ とみなす）。この記事では証明しない。$OP=R$ で $0$ になるのが thm-smsn-main であり、$P=O$ で $\dfrac S4$（中点を結ぶ三角形）になる。面積が同じ値になる点は $O$ を中心とする同心円の上に並ぶ。

ex-smsn-start の三角形（$R=5$、$S=28$）で、足の座標から直接求めた面積と公式の値を比べる（下の表）。

点 $P$	位置	$OP^2$	足の三角形の面積	公式の値
$(0,0)$	外接円の中心	$0$	$7$	$7$
$(1,2)$	円の内部	$5$	$\dfrac{28}5$	$\dfrac{28}5$
$(3,0)$	円の内部	$9$	$\dfrac{112}{25}$	$\dfrac{112}{25}$
$(0,-5)$	円の上	$25$	$0$	$0$
$(6,2)$	円の外部	$40$	$\dfrac{21}5$	$\dfrac{21}5$
$(10,0)$	円の外部	$100$	$21$	$21$

表の $P(1,2)$ の面積の計算を開く

足は $D(1,-3)$、$E(0,1)$、$F\left(-\dfrac{16}5,\dfrac{13}5\right)$ である。$\overrightarrow{DE}=(-1,4)$、$\overrightarrow{DF}=\left(-\dfrac{21}5,\dfrac{28}5\right)$ から、面積は $\dfrac12\left\lvert(-1)\cdot\dfrac{28}5-4\cdot\left(-\dfrac{21}5\right)\right\rvert=\dfrac12\cdot\dfrac{56}5=\dfrac{28}5$ である。公式では $\dfrac{25-5}{100}\cdot28=\dfrac{28}5$ である。

Simson 線の包絡線

$P$ を外接円の上で動かしたときの Simson 線をたくさん描くと、図 6 のように 3 つのとがった点をもつ曲線が浮かび上がる。すべての Simson 線がこの曲線に接していて、曲線は Simson 線の 包絡線（通過領域と包絡線）である。この曲線は デルトイド（3 つの尖点をもつ内サイクロイド）で、Steiner のデルトイドと呼ばれ、九点円がこのデルトイドに内接する（Wei26a、Wei26b）。この記事では証明しない。
外接円の上の 72 個の点（中心角 5 度おき、頂点を除く）の Simson 線を赤で描くと、3 つの尖点をもつデルトイドが包絡線として現れ、九点円（オレンジ）がその内側に接する

複素数による別証

単位円と複素数で主定理を示す別証を開く

外接円を複素数平面の単位円にとり、$A$、$B$、$C$、$P$ を複素数 $a$、$b$、$c$、$p$ で表す（$\lvert a\rvert=\lvert b\rvert=\lvert c\rvert=1$）。$P$ は頂点でないとする。

段 1（足の式）。写像 $z\mapsto b+c-bc\,\overline z$ は、距離を変えず（$\lvert bc\rvert=1$）、向きを逆にし、$b$ を $b+c-bc\cdot\dfrac1b=b$ に、$c$ を $c$ に移す。2 点を動かさない向きを逆にする合同変換は、その 2 点を通る直線に関する折り返しである（平面の合同変換の分類）。よって $P$ を直線 $BC$ で折り返した点は $b+c-bc\,\overline p$ で、足はその中点

$$d=\frac{p+b+c-bc\,\overline p}2$$

である。同じく $e=\dfrac{p+c+a-ca\,\overline p}2$、$f=\dfrac{p+a+b-ab\,\overline p}2$ である。

段 2（差の比）。引き算すると $e-d=\dfrac{(a-b)(1-c\,\overline p)}2$、$f-d=\dfrac{(a-c)(1-b\,\overline p)}2$ である。$p\ne b$ なので $1-b\,\overline p\ne0$ である。3 つの足が一直線上にあることは、比

$$\frac{e-d}{f-d}=\frac{(a-b)(1-c\,\overline p)}{(a-c)(1-b\,\overline p)}$$

が実数であることと同じである。

段 3（$p=0$）。比は $\dfrac{a-b}{a-c}$ で、$a$、$b$、$c$ は一直線上にないので実数ではない。足は一直線上になく、$0$ は単位円の上にない。

段 4（$p\ne0$）。$q=\dfrac1{\overline p}$（$P$ を単位円に関して反転した点、円に関する反転）とおくと、$1-c\,\overline p=\overline p(q-c)$、$1-b\,\overline p=\overline p(q-b)$ なので、比は $\dfrac{(a-b)(q-c)}{(a-c)(q-b)}$ になる。これが実数であることは、4 点 $a$、$b$、$c$、$q$ が同一円周上か同一直線上にあることと同値である（円周上の4点の複比）。$a$、$b$、$c$ を通る円は単位円だけなので、これは $\lvert q\rvert=1$、つまり $\lvert p\rvert=1$ と同値である。$\square$

さらに先へ

$P$ を中心に Simson 線を 2 倍に拡大した直線は、$P$ を 3 辺で折り返した 3 点を通り、垂心 $H$ を通る。これが次の記事 Steiner線で、Simson 線が線分 $PH$ の中点を通ることもそこで示す。
4 本の直線から 3 本ずつ選んでできる 4 つの三角形の外接円は 1 点で交わり、その点の Simson 線は 4 つの三角形で共通である（Miquelの定理）。
外接円の上の点の等角共役点は無限遠の点になる（等角共役）。等角共役の反例で見た「3 辺で折り返した点が一直線に並ぶ」現象は、Simson 線を 2 倍に拡大したものである。
足の代わりに、3 辺と同じ有向角をなす直線を引いて交点をとっても、外接円の上の点なら 3 点は一直線に並ぶ。lem-smsn-transfer の $90^\circ$ を別の角に取りかえて同じ議論ができる。