Voevodskyのモチーフ圏

前提知識: モチーフ, 三角圏, Nisnevich位相, 代数的サイクル

Voevodskyのモチーフ圏（Voevodsky's category of motives）とは、完全体 $k$ の上の滑らかな多様体に「モチーフ」$M(X)$ を対応させる三角圏 $\mathbf{DM}^{\mathrm{eff}}_-(k)$ と、その中で $M(X)$ たちが生成する幾何的モチーフの三角圏 $\mathbf{DM}^{\mathrm{eff}}_{\mathrm{gm}}(k)$、およびそれらから Tate 捻りを逆にして得る $\mathbf{DM}_{\mathrm{gm}}(k)$ などの総称である。Voevodsky が 1990 年代に構成した。
Grothendieck の純粋モチーフ（モチーフ）は滑らかな射影多様体だけを扱い、圏はアーベル圏（またはその候補）であった。Voevodsky の圏は、射影的でない多様体（たとえば $\mathbb G_m=\mathbb A^1\setminus\{0\}$）にもモチーフを与え、アーベル圏の代わりに三角圏を使う。そのため、Mayer–Vietoris や Gysin の完全三角形のように、射影的でない多様体と射影的な多様体を結ぶ関係を圏の中で直接扱える。射は「有限対応」から作り、$\mathbb A^1$ による変形を同型とみなす（$\mathbb A^1$ ホモトピー不変性）。
この圏の中で、モチーフ的コホモロジー $H^{p,q}(X,\mathbb Z)=\operatorname{Hom}(M(X),\mathbb Z(q)[p])$ が表現され、Chow 群（$H^{2q,q}=CH^q$）や Milnor の $K$ 群（$H^{n,n}(\operatorname{Spec}F)=K^M_n(F)$）が同じ枠組みに入る。Voevodsky は、M. Rost の結果とあわせてこの枠組みを使い、Milnor 予想と Bloch–Kato 予想を証明した（Voe11）。
この記事では、有限対応と圏の定義を述べ、0 次元のスキームの間の有限対応を Galois 集合で計算し（prop-vm-zero-dim）、Mayer–Vietoris の三角形と $\mathbb A^1$ ホモトピー不変性から射影直線のモチーフの分解 $M(\mathbb P^1)\cong\mathbb Z\oplus\mathbb Z(1)[2]$ を導く（thm-vm-p1）。
以下、$k$ は完全体とし、$\mathrm{Sm}/k$ で $k$ 上の分離的で有限型の滑らかなスキームの圏を表す。

有限対応

$V\in\operatorname{Cor}(X,Y)$ と $W\in\operatorname{Cor}(Y,Z)$ の合成 $W\circ V$ は、$X\times Y\times Z$ の上の交叉積 $(V\times Z)\cdot(X\times W)$ を射影 $X\times Y\times Z\to X\times Z$ で押し出したサイクルとして定める。$V$ と $W$ が有限かつ全射であることから、この交叉は固有（期待される次元）であり、押し出したサイクルの各成分は $X$ の上で有限かつ全射になるので、合成は再び有限対応である（MVW06 Lemma 1.7、p. 5）。合成は結合的かつ双線形で、対角線 $\Delta_X$ が恒等射を与える（同書 p. 4）。こうして得られる加法圏を $\mathrm{Cor}_k$ と書く。

• 射 $f\colon X\to Y$ のグラフ $\Gamma_f\subset X\times Y$ は $X$ に同型に写るので有限対応であり、$X\mapsto X$、$f\mapsto\Gamma_f$ は忠実な関手 $\mathrm{Sm}/k\to\mathrm{Cor}_k$ を与える（同書 Example 1.2、p. 3 と p. 6）。
• $X$ が連結で $f\colon X\to Y$ が有限全射なら、転置 ${}^t\Gamma_f\subset Y\times X$ は $Y$ から $X$ への有限対応である。これが「移送」（transfer）の源である。
• $\operatorname{Cor}(\operatorname{Spec}k,X)$ は $X$ の閉点の生成する自由アーベル群、すなわち 0 サイクルの群である（$\operatorname{Spec}k$ の上で有限な既約閉集合は閉点だけだからである）。
  純粋モチーフの対応（モチーフ の定義「対応とその合成」）がサイクルを同値関係で割るのに対し、有限対応はサイクルそのもので、割らない。その代わりに有限性を課して、射影的でない $X,Y$ でも合成が定まるようにしている。
  0 次元のスキームの間では、有限対応は Artinモチーフ の記事の Galois 集合で完全に記述できる。$k^{\mathrm{sep}}$ を分離閉包、$G_k$ を絶対 Galois 群とし、有限エタールな $k$ 代数 $A$ に対して $\Sigma_A:=\operatorname{Hom}_{k\text{-alg}}(A,k^{\mathrm{sep}})$ とおく（Artinモチーフ の定義「Galois 集合」）。

移送つきの層とモチーフの圏

$\mathrm{Sh}_{\mathrm{Nis}}(\mathrm{Cor}_k)$ はアーベル圏である（MVW06 Definition 2.1・2.8（pp. 13・15）、Lemma 6.2（p. 37）、Theorem 13.1（p. 99））。$\mathbb Z_{\mathrm{tr}}(\operatorname{Spec}k)$ は定数層 $\mathbb Z$ で、これも $\mathbb Z$ と書く。$k$ 有理点 $x$ をもつ $X$ について、$x$ の定める $\mathbb Z\to\mathbb Z_{\mathrm{tr}}(X)$ の余核を $\mathbb Z_{\mathrm{tr}}(X,x)$ とおくと、構造射 $\mathbb Z_{\mathrm{tr}}(X)\to\mathbb Z$ が分裂を与えて $\mathbb Z_{\mathrm{tr}}(X)=\mathbb Z\oplus\mathbb Z_{\mathrm{tr}}(X,x)$ となる（同書 p. 15）。

これは MVW06 Definition 14.1（p. 109）の定義である。$X\mapsto M(X)$ は $\mathrm{Cor}_k$ から、したがって $\mathrm{Sm}/k$ から $\mathbf{DM}^{\mathrm{eff}}_-(k)$ への共変関手である。純粋モチーフの $h(X)$ がコホモロジーのように反変であったのと向きが逆で、$M(X)$ はホモロジーにあたる。
Tate 対象． $\mathbb G_m:=(\mathbb A^1\setminus\{0\},1)$ を点 $1$ を基点とする多様体とみて、$\mathbb Z(1):=C_*\mathbb Z_{\mathrm{tr}}(\mathbb G_m,1)[-1]$ とおく。ここで $C_*$ は Suslin 複体 $C_nF(U):=F(U\times\Delta^n)$（$\Delta^n=\operatorname{Spec}k[x_0,\dots,x_n]/(\sum_ix_i-1)$、微分は面写像の交代和）である。より一般に $\mathbb Z(q):=C_*\mathbb Z_{\mathrm{tr}}(\mathbb G_m^{\wedge q})[-q]$（$q\ge0$）をモチーフ複体という（MVW06 Definition 2.12・2.14（pp. 15–16）、Definition 3.1（p. 21））。$\mathbf{DM}^{\mathrm{eff}}_-(k)$ では $C_*F\cong F$ なので（同書 Lemma 14.4、p. 110）、
$$ \mathbb Z(1)[1]\cong\widetilde M(\mathbb G_m):=\bigl(\mathbb Z_{\mathrm{tr}}(\mathbb G_m,1)\text{ の像}\bigr) $$
である。テンソル積は $M(X)\otimes M(Y)=M(X\times Y)$ を満たし（同書 Definition 14.2、p. 109）、$M(n):=M\otimes\mathbb Z(n)$ を Tate 捻り という。$\mathbf{DM}^{\mathrm{eff}}_{\mathrm{gm}}(k)$ で $M\mapsto M(1)$ を逆にした圏が幾何的モチーフの三角圏 $\mathbf{DM}_{\mathrm{gm}}(k)$ である（同書 p. 110）。
モチーフ的コホモロジー． $X\in\mathrm{Sm}/k$ について
$$ H^{p,q}(X,\mathbb Z):=\operatorname{Hom}_{\mathbf{DM}^{\mathrm{eff}}_-(k)}\bigl(M(X),\mathbb Z(q)[p]\bigr) $$
とおく。これはモチーフ複体 $\mathbb Z(q)$ の Zariski 超コホモロジーとしての定義（同書 Definition 3.4、p. 22）と一致する（同書 Properties 14.5、p. 110）。

基本性質

この枠組みの上で Voevodsky は、標数 $\ell$ でない体 $k$ について Milnor の $K$ 群と Galois コホモロジーを結ぶノルム剰余写像 $K^M_n(k)/\ell\to H^n_{\mathrm{et}}(k,\mu_\ell^{\otimes n})$ がすべての $n$ で同型であること（Bloch–Kato 予想）を証明した（Voe11 Theorem 6.16、p. 436。$\ell=2$ の場合が Milnor 予想である）。

0 次元のモチーフの間の射

$\mathbf{DM}^{\mathrm{eff}}_-(k)$ の射は一般には計算しにくいが、0 次元のスキームのモチーフの間では有限対応そのものになる。

射影直線のモチーフ

$X\in\mathrm{Sm}/k$ が $k$ 有理点 $x$ をもつとき、$\mathbb Z_{\mathrm{tr}}(X)=\mathbb Z\oplus\mathbb Z_{\mathrm{tr}}(X,x)$ から、$\widetilde M(X,x):=(\mathbb Z_{\mathrm{tr}}(X,x)\text{ の像})$ とおいて $M(X)\cong\mathbb Z\oplus\widetilde M(X,x)$ を得る。$x$ の定める射を $s\colon\mathbb Z\to M(X)$、構造射を $\pi\colon M(X)\to\mathbb Z$、直和因子の包含と射影を $t\colon\widetilde M\to M(X)$、$r\colon M(X)\to\widetilde M$ と書くと、
$$ \pi s=1,\quad\pi t=0,\quad rs=0,\quad rt=1,\quad s\pi+tr=1 $$
である。

同じ論法を射影空間の被覆に繰り返すと $M(\mathbb P^n)\cong\bigoplus_{i=0}^n\mathbb Z(i)[2i]$ となる（MVW06 Corollary 15.5、p. 121。同書 Example 13.17（p. 103）は thm-vm-p1 を層の複体の擬同型として述べる）。これは純粋モチーフの分解 $h(\mathbb P^n)\cong\bigoplus_i\mathbb L^{\otimes i}$（モチーフ）に、Lefschetz モチーフ $\mathbb L$ を $\mathbb Z(1)[2]$ に写す対応（rem-vm-properties の 4）で一致する。一方、射影的でない $\mathbb G_m$ のモチーフ $M(\mathbb G_m)\cong\mathbb Z\oplus\mathbb Z(1)[1]$ には、$\mathbb L$ の像 $\mathbb Z(1)[2]$ を $1$ だけずらした対象が現れる。

条件を外したときの反例

位置づけ

• 純粋モチーフとの関係． rem-vm-properties の 4 により、特異点解消をもつ $k$ では Chow モチーフが $\mathbf{DM}^{\mathrm{eff}}_{\mathrm{gm}}(k)$ の中に入る。0 次元の部分は prop-vm-zero-dim-hom のとおり特異点解消の仮定なしに計算でき、$\mathbb Q$ 係数にして冪等元の像を加えたものは Artinモチーフ と同じ Hom をもつ。
• 混合モチーフ． 射影的でない多様体のモチーフやモチーフの間の拡大を扱える三角圏であり、混合モチーフ の記事にあるとおり、$k\subset\mathbb C$ のとき、幾何的モチーフの各対象のコホモロジーには混合 Hodge 構造が与えられる。モチーフ的コホモロジーは rem-vm-properties の 6 のように古典的な不変量を含む。
• 実現． Betti・Hodge・エタールなどの実現は 実現関手(モチーフ) の記事にある。
• ホモトピー論． $\mathbb A^1$ を可縮とみなす考え方は A¹ホモトピー論 と共通で、安定化した圏は モチーフ的安定ホモトピー圏 で扱う。

文献

関連項目

• 前提: モチーフ, 三角圏, Nisnevich位相, 代数的サイクル
• 道具: Verdier局所化, 厚い部分圏, 導来圏, Milnor K群
• 比較: Artinモチーフ, 混合モチーフ, モチーフ的安定ホモトピー圏, A¹ホモトピー論
• 応用: 実現関手(モチーフ), Chow環, 絶対Hodgeサイクル