Matsusakaの定理(数値的同値と代数的同値)
概要
Matsusakaの定理(数値的同値と代数的同値)（Matsusaka's theorem on numerical equivalence）とは、代数閉体上の非特異射影多様体の因子 $D$ がすべての曲線と交点数 $0$ をもつ（数値的に $0$ である）ことと、ある正の整数 $m$ について $mD$ が代数的同値で $0$ であることが同値であるという定理である。数値的同値と代数的同値の差は Néron–Severi 群の捩れ部分群にちょうど一致し、数値的同値類の群は Néron–Severi 群を捩れで割った有限生成自由アーベル群になる。
前提知識: 数値的同値, 代数的同値, Néron–Severi群, 交叉数
Matsusaka の定理（数値的同値と代数的同値）は、非特異射影多様体の因子について、数値的同値と代数的同値の違いが捩れだけであることを述べる定理である。すなわち、因子 $D$ がすべての曲線と交点数 $0$ をもつ（数値的に $0$）なら、ある正の整数倍 $mD$ は代数的同値で $0$ になる。T. Matsusaka（Teruhisa Matsusaka）が 1957 年に証明した（Mat57）。
因子の同値関係は細かい順に「線型同値 ⇒ 代数的同値 ⇒ 数値的同値」と並ぶ。代数的同値で割った群 $\operatorname{NS}(X)$（Néron–Severi群）は有限生成アーベル群だが捩れをもちうる。数値的同値で割った群 $N^1(X)$ は捩れをもたない。Matsusaka の定理は、両者の差がちょうど $\operatorname{NS}(X)$ の捩れ部分群であることを主張し、とくに Picard 数を $\operatorname{NS}(X)$ の階数としても $N^1(X)$ の階数としても同じ値で定められることを保証する。
| 問い | 答え |
|---|---|
| 何を主張するか | $\operatorname{Num}^1(X)/\operatorname{Alg}^1(X)=\operatorname{NS}(X)_{\mathrm{tors}}$（thm-mtn-main） |
| 易しい向き | 捩れの元は数値的に $0$（prop-mtn-easy、どの代数閉体でも証明） |
| 曲線では | 数値的同値と代数的同値は一致する（prop-mtn-curve） |
| 複素数体上では | Hodge–Riemann の双線形関係から証明できる（prf-mtn-complex） |
| 捩れは本当に現れるか | Enriques 曲面の標準因子（ex-mtn-enriques） |
| 余次元 $2$ では | 差は有限群とは限らない（ex-mtn-counter） |
定義
この記事では $k$ を代数閉体とし、$X$ を $k$ 上の非特異な射影多様体（既約で被約、したがって連結）、$n:=\dim X$ とする。$X$ は非特異なので Weil 因子と Cartier 因子は同じものであり、因子 $D$ に可逆層 $\mathcal O_X(D)$ が対応する。$X$ の因子全体の群を $Z^1(X)$ と書く。
- 因子 $D$ が数値的に $0$（numerically trivial）であるとは、$X$ のすべての曲線 $C$ について交点数 $(D\cdot C)=\deg_C\mathcal O_X(D)$ が $0$ であることをいう（数値的同値 の定義「可逆層と因子の数値的同値」）。数値的に $0$ の因子のなす部分群を $\operatorname{Num}^1(X)$ とし、$N^1(X):=Z^1(X)/\operatorname{Num}^1(X)$ とおく。
- 因子 $D$ が代数的同値で $0$ であるとは、非特異連結曲線 $T$ をパラメータとする因子の族の 2 つのファイバーの差の和として書けることをいう（代数的同値 の定義「代数的同値の定義」）。そのような因子のなす部分群を $\operatorname{Alg}^1(X)$ とし、$\operatorname{NS}(X):=Z^1(X)/\operatorname{Alg}^1(X)$ を Néron–Severi 群という。
代数的同値で $0$ の因子は数値的に $0$ である。平坦な曲線の族の上で可逆層の次数が一定だからである（Vak25 Corollary 24.7.3 と §24.7.5, p. 719。数値的同値 の節「ほかの同値関係との比較」）。したがって $\operatorname{Alg}^1(X)\subset\operatorname{Num}^1(X)$ であり、自然な全射 $\operatorname{NS}(X)\to N^1(X)$ がある。その核が $\operatorname{Num}^1(X)/\operatorname{Alg}^1(X)$ である。$\operatorname{NS}(X)$ は有限生成アーベル群であり（Néron–Severi の定理。Néron–Severi群）、その捩れ部分群を $\operatorname{NS}(X)_{\mathrm{tors}}$ と書く。
主定理
$X$ を代数閉体上の非特異射影多様体とする。因子 $D$ について、次は同値である。
- $D$ は数値的に $0$ である。
- ある整数 $m\ge1$ について $mD$ は代数的同値で $0$ である。
すなわち $\operatorname{Num}^1(X)/\operatorname{Alg}^1(X)=\operatorname{NS}(X)_{\mathrm{tors}}$ である。
一般の代数閉体の上の証明はこの記事では与えない（Mat57。証明つきの文献の所在は Vak25 §24.7.5, p. 719 が挙げている）。同所は、固有な $k$ スキームの上の可逆層についても、数値的に自明であることと、ある $m\ne0$ について $\mathcal L^{\otimes m}$ が代数的に自明であることが同値だと述べている。曲面の場合については Gro68 §8.2（p. 146）も、Néron–Severi 群の上の交点形式が捩れを除いて非退化であることを Matsusaka の結果として引いている。この記事では、易しい向き 2 ⇒ 1 をどの代数閉体でも、難しい向き 1 ⇒ 2 を曲線の場合と複素数体の場合に証明する。
$X$ を代数閉体上の非特異射影多様体とする。
- 全射 $\operatorname{NS}(X)\to N^1(X)$ の核は有限群 $\operatorname{NS}(X)_{\mathrm{tors}}$ であり、$N^1(X)\cong\operatorname{NS}(X)/\operatorname{NS}(X)_{\mathrm{tors}}$ は有限生成自由アーベル群である。
- $\operatorname{rank}N^1(X)=\operatorname{rank}\operatorname{NS}(X)$ である。この共通の値が Picard 数 $\rho(X)$ である（Picard数）。
1 の前半は thm-mtn-main であり、有限生成アーベル群の捩れ部分群は有限である。後半は、有限生成アーベル群を捩れ部分群で割ったものが有限生成自由であることによる。2 は、有限群で割っても階数が変わらないことによる。$\square$
易しい向き
thm-mtn-main の 2 ⇒ 1 が成り立つ。すなわち $\operatorname{NS}(X)_{\mathrm{tors}}\subset\operatorname{Num}^1(X)/\operatorname{Alg}^1(X)$ である。また $N^1(X)$ は捩れをもたない。
$mD\in\operatorname{Alg}^1(X)$（$m\ge1$）とする。$\operatorname{Alg}^1(X)\subset\operatorname{Num}^1(X)$ なので、どの曲線 $C$ についても $m(D\cdot C)=(mD\cdot C)=0$ であり、$(D\cdot C)$ は整数なので $0$ である。よって $D\in\operatorname{Num}^1(X)$ である。同じ計算で、$mD\in\operatorname{Num}^1(X)$ なら $D\in\operatorname{Num}^1(X)$ となるので、$N^1(X)$ は捩れをもたない（数値的同値 の命題「数値的同値類の群は捩れをもたない」）。$\square$
$N^1(X)$ が捩れをもたないので、全射 $\operatorname{NS}(X)\to N^1(X)$ は $\operatorname{NS}(X)_{\mathrm{tors}}$ を必ず $0$ に送る。Matsusaka の定理の内容は、核がそれより大きくならないこと、すなわち数値的に $0$ の因子が $\operatorname{NS}(X)$ の中で無限位数になりえないことである。
難しい向きの証明
曲線の場合
$X$ が代数閉体上の非特異射影曲線なら $\operatorname{Num}^1(X)=\operatorname{Alg}^1(X)$ であり、$\operatorname{NS}(X)\cong\mathbb Z$ は捩れをもたない。
$X$ の曲線は $X$ 自身だけなので、因子 $D$ が数値的に $0$ であることは $\deg D=0$ と同値である。非特異射影曲線の上では、次数 $0$ の因子は代数的同値で $0$ であり、次数を与える写像は同型 $\operatorname{NS}(X)\cong\mathbb Z$ を引き起こす（代数的同値 の定理「曲線上の因子と次数」）。よって $\operatorname{Num}^1(X)=\operatorname{Alg}^1(X)$ である。$\square$
複素数体上の証明
$k=\mathbb C$ とし、$X$ に付随する複素多様体を同じ記号で書く。次の事実を引用する。
- (a) 第 1 Chern 類 $c_1\colon\operatorname{Pic}(X)\to H^2(X,\mathbb Z)$ の核は代数的同値で $0$ の類の群 $\operatorname{Pic}^0(X)$ に等しく、$c_1$ は単射 $\operatorname{NS}(X)\hookrightarrow H^2(X,\mathbb Z)$ を引き起こす（Néron–Severi群 の命題「第1Chern類による記述」）。
- (b) 可逆層の第 1 Chern 類は $(1,1)$ 型の類である（Lefschetzの(1,1)定理 の定理「Lefschetz の (1,1) 定理（コンパクト Kähler 多様体）」）。
- (c) 交点数はカップ積で計算できる：可逆層 $\mathcal L_1,\dots,\mathcal L_n$ について $(\mathcal L_1\cdots\mathcal L_n)=\int_Xc_1(\mathcal L_1)\cup\dots\cup c_1(\mathcal L_n)$（Vak25 §20.1.9, p. 580、交叉数 の節「補足」）。
- (d) 非常に豊富な因子 $H$ について、Fubini–Study 計量の制限から、類が $c_1(\mathcal O_X(H))$ の正の実数倍である Kähler 形式 $\omega$ がとれる（この記事では証明しない）。
- (e) $n\ge2$ のとき、実 $(1,1)$ 類 $\xi$ で $\int_X\omega^{n-1}\wedge\xi=0$ をみたすもの（原始的な類）について、$\xi\ne0$ なら $\int_X\omega^{n-2}\wedge\xi\wedge\xi< 0$ である（Hodge–Riemann双線形関係 の定理「$(1,1)$ 類の Hodge 指数定理」）。
$k=\mathbb C$ とし、$D$ を数値的に $0$ の因子、$\mathcal L:=\mathcal O_X(D)$ とする。$n=1$ は prop-mtn-curve なので $n\ge2$ とする。非常に豊富な因子 $H$ と、(d) の Kähler 形式 $\omega$（類は $\lambda\,c_1(\mathcal O_X(H))$、$\lambda>0$）をとる。$\xi\in H^2(X,\mathbb R)$ を $c_1(\mathcal L)$ の像とする。(b) により $\xi$ は実 $(1,1)$ 類である。
数値的に $0$ の可逆層は、ほかの可逆層とのどの交点数にも $0$ しか与えない（数値的同値 の定理「数値的に自明な可逆層の交叉数」）。したがって (c) により
$$
\int_X\omega^{n-1}\wedge\xi=\lambda^{n-1}(\mathcal O_X(H)^{n-1}\cdot\mathcal L)=0,\qquad
\int_X\omega^{n-2}\wedge\xi\wedge\xi=\lambda^{n-2}(\mathcal O_X(H)^{n-2}\cdot\mathcal L\cdot\mathcal L)=0
$$
である。前者から $\xi$ は原始的であり、(e) により後者は $\xi=0$ を意味する。
$H^2(X,\mathbb Z)$ は有限生成で、$H^2(X,\mathbb R)=H^2(X,\mathbb Z)\otimes\mathbb R$ なので、$H^2(X,\mathbb Z)\to H^2(X,\mathbb R)$ の核は捩れ部分群である。$c_1(\mathcal L)$ はこの核に入るので、ある $m\ge1$ について $c_1(\mathcal L^{\otimes m})=m\,c_1(\mathcal L)=0$ であり、(a) により $\mathcal L^{\otimes m}\in\operatorname{Pic}^0(X)$、すなわち $mD$ は代数的同値で $0$ である。$\square$
この証明は、数値的な条件を「交点形式が原始的な $(1,1)$ 類の上で負定値である」という Hodge 理論の事実に乗せている。$H^2(X,\mathbb Z)$ の捩れが $\operatorname{NS}(X)$ の捩れの由来であり、捩れは実係数のコホモロジーでは見えないので、数値的な条件では捉えられない。一般の代数閉体の上では特異コホモロジーが使えないので、別の方法が要る。現代的には、数値的に $0$ の可逆層の全体が有界な族をなし、Picard スキームの有限個の連結成分に収まることから従うと理解される。
例
- $X=\mathbb P^n$ では $\operatorname{Pic}(\mathbb P^n)\cong\mathbb Z$ が超平面の類で生成され、直線 $\ell$ との交点数が次数を与える。数値的に $0$ の因子は次数 $0$、すなわち線型同値で $0$ であり、$\operatorname{NS}=N^1\cong\mathbb Z$ で捩れはない。
- 非特異射影曲線 $C$ では prop-mtn-curve により $\operatorname{NS}(C)=N^1(C)\cong\mathbb Z$ である。一方、種数 $g\ge1$ なら次数 $0$ の因子の群 $\operatorname{Pic}^0(C)$ は $0$ でなく、数値的に $0$ でも線型同値で $0$ とは限らない（ex-mtn-counter の 2 行目）。
$k=\mathbb C$ 上の Enriques曲面 $S$ の標準因子 $K_S$ は、$K_S\not\sim0$、$2K_S\sim0$ をみたし、$\operatorname{NS}(S)\cong\mathbb Z^{10}\oplus\mathbb Z/2\mathbb Z$ の捩れ元である（代数的同値 の例「反例：数値的同値だが代数的同値でない因子」）。どの曲線 $C$ についても $2(K_S\cdot C)=(2K_S\cdot C)=0$ なので $K_S$ は数値的に $0$ だが、代数的同値で $0$ ではない。$2K_S$ は線型同値で、したがって代数的同値で $0$ であり、thm-mtn-main の 2 が $m=2$ で成り立っている。Matsusaka の定理の結論の「捩れ」は外せない。
反例：条件を外すと
| 外す条件・誤解 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 結論の「ある整数倍」（$m=1$ とする） | Enriques 曲面の $K_S$（ex-mtn-enriques） | 数値的に $0$ だが代数的同値で $0$ でない |
| 代数的同値を線型同値に替える | 楕円曲線 $E$ 上の $P-O$（$P$ は群法則で無限位数の点） | 数値的に $0$ だが、どの倍数も線型同値で $0$ でない |
| cor-mtn-structure の 1 で、因子（余次元 $1$）を余次元 $2$ のサイクルに替える | 一般の 5 次 3 次元超曲面 $X\subset\mathbb P^4_{\mathbb C}$ | $\operatorname{Num}^2(X)/\operatorname{Alg}^2(X)$ が有限群でない |
1 行目．ex-mtn-enriques のとおりである。満たす性質は「数値的に $0$」、満たさない性質は「代数的同値で $0$」であり、破る含意は「数値的に $0$ なら代数的同値で $0$」である。
2 行目．$k=\mathbb C$ 上の楕円曲線 $E$ と原点 $O$ をとる。$E(\mathbb C)\cong\mathbb C/\Lambda$ は非可算で、捩れ点（ある $m\ge1$ で $mP=O$）は各 $m$ について有限個（$m^2$ 個。楕円曲線 の定理「$n$ 捩れ点の構造」）なので全部で可算個であり、無限位数の点 $P$ がある。$P-O$ は次数 $0$ なので数値的に $0$ である。$P\mapsto[P-O]$ は $E$ から次数 $0$ の因子の線型同値類の群への群同型である（楕円曲線 の定理「群構造と因子類群」）。したがって $m(P-O)$ の類は $mP$ の像で、$mP\ne O$ なので $m(P-O)\not\sim0$ である。満たす性質は「数値的に $0$」、満たさない性質は「ある倍数が線型同値で $0$」であり、破る含意は「数値的に $0$ なら、ある倍数が線型同値で $0$」である。$P-O$ 自体は代数的同値で $0$ なので（prop-mtn-curve）、Matsusaka の定理とは矛盾しない。
3 行目．余次元 $q$ のサイクルについて、ホモロジー同値で $0$ のサイクルの群 $\operatorname{Hom}^q(X)$ は $\operatorname{Alg}^q(X)\subset\operatorname{Hom}^q(X)\subset\operatorname{Num}^q(X)$ をみたす（代数的同値 の定理「同値関係の階層」の 1）。一般の 5 次 3 次元超曲面 $X$ では、Griffiths 群 $\operatorname{Hom}^2(X)/\operatorname{Alg}^2(X)$ は有限生成でない（Clemens の定理。代数的同値 の例「反例：ホモロジー同値だが代数的同値でないサイクル」。この記事では証明しない）。その部分群をもつ $\operatorname{Num}^2(X)/\operatorname{Alg}^2(X)$ は有限群でありえない（有限群の部分群は有限生成である）。満たす性質は「非特異射影多様体」、満たさない性質は「数値的同値と代数的同値の差が有限群」であり、破る含意は cor-mtn-structure の 1 を余次元 $2$ に広げた主張である。
補足
- 同名の別の定理．豊富な因子の倍数がいつ非常に豊富になるかについての「Matsusaka の大定理」は、同じ T. Matsusaka による別の定理で、この記事の定理とは異なる。
- 記号．Vak25 §18.4.12（p. 513）は数値的に $0$ の可逆層の群を $\operatorname{Pic}^\tau(X)$ と書く。Matsusaka の定理により、非特異射影多様体の上では、これは「ある正の倍数が $\operatorname{Pic}^0(X)$ に入る可逆層」の群と一致する。
関連項目
- 前提: 数値的同値, 代数的同値, Néron–Severi群, 交叉数
- 比較: Picard数, Hodge指数定理, Hodge–Riemann双線形関係
- 例: Enriques曲面, 楕円曲線
- 発展: Picardスキーム, 標準予想
参考文献
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