無理数

$m=a^k$ なら $\sqrt[k]m=a$ は有理数である。逆に $\sqrt[k]m$ が有理数であるとする。$\sqrt[k]m>0$ なので、有理数 の記事の定理「既約分数による標準形」により $\sqrt[k]m=a/b$、$a,b\ge1$、$\gcd(a,b)=1$ と書ける。$k$ 乗して分母を払うと
$$ a^k=m\,b^k $$
である。$b\ge2$ と仮定すると、$b$ はある素数 $p$ で割り切れる（素数 の記事の命題「素因数の存在」）。$p\mid b$ なので $p\mid mb^k=a^k$ であり、素数 の記事の系「有限個の積を割り切る素数」により $p\mid a$ となる。これは $\gcd(a,b)=1$ に反する。よって $b=1$ であり、$m=a^k$ である。$\square$

thm-irrational-roots で $k=2$ とすればよい。$\square$

有理数全体 $\mathbb{Q}$ は体であり、和・差・積・$0$ でない元による商について閉じている（有理数 の記事の命題「有理数体」）。$q+\alpha=r$ が有理数なら $\alpha=r-q$ は有理数となり、仮定に反する。$-\alpha=r$ なら $\alpha=-r$、$1/\alpha=r$ なら $r\neq0$ で $\alpha=1/r$、$q\alpha=r$（$q\neq0$）なら $\alpha=r/q$ となり、いずれも仮定に反する。$\alpha\neq0$ なので $1/\alpha$ は定義される。$\square$

有理数 の記事の命題「有限小数と循環小数」は、有限小数と循環小数が有理数であること、および有理数の 10 進小数表示が有限で終わるか途中から循環することを示している。前者の対偶により、無理数の小数表示は有限でも循環でもない。後者の対偶により、有限でも循環でもない小数表示をもつ実数は有理数でない。$\square$

$e$ が有理数であると仮定し、$e=p/q$（$p,q$ は正の整数）と書く。
$$ x:=q!\left(e-\sum_{k=0}^{q}\frac1{k!}\right) $$
とおく。$q!\,e=(q-1)!\,p$ と、$k\le q$ に対する $q!/k!$ はいずれも整数なので、$x$ は整数である。一方
$$ x=\sum_{k=q+1}^{\infty}\frac{q!}{k!} $$
であり、各項は正なので $x>0$ である。$k=q+j$（$j\ge1$）の項について $\dfrac{q!}{k!}=\dfrac1{(q+1)(q+2)\cdots(q+j)}\le\dfrac1{(q+1)^j}$ であり、$j\ge2$ では不等号が狭義になるので
$$ x<\sum_{j=1}^{\infty}\frac1{(q+1)^j}=\frac1q\le1 $$
である。よって $0< x<1$ となり、$x$ が整数であることに反する。$\square$

$E:=\{q+k\sqrt2\mid q\in\mathbb{Q},\ k\in\mathbb{N}\}$ とおく（$\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}$）。$E$ の元の表し方 $q+k\sqrt2$ はただ 1 通りである。実際 $q+k\sqrt2=q'+k'\sqrt2$、$k\neq k'$ なら $\sqrt2=(q'-q)/(k-k')$ は有理数となり、cor-irrational-square-root に反する。よって $k=k'$、$q=q'$ である。$k\ge1$ のとき $q+k\sqrt2$ は prop-irrational-rational-operations により無理数であり、$k=0$ のときは有理数 $q$ である。すなわち $\mathbb{Q}\subset E$ であり、$E\setminus\mathbb{Q}=\{q+k\sqrt2\mid k\ge1\}$ である。
写像 $h\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ を
$$ h(x):=\begin{cases}q+(k+1)\sqrt2 & (x=q+k\sqrt2\in E),\\ x & (x\notin E)\end{cases} $$
で定める。表し方の一意性から $h$ は矛盾なく定まり、値はつねに無理数である（$x\notin E$ なら $x\notin\mathbb{Q}$）。$h$ は $E$ を $E\setminus\mathbb{Q}$ へ、$(q,k)\mapsto(q,k+1)$ により全単射に写し、$\mathbb{R}\setminus E$ を自分自身へ恒等的に写す。$E$ と $\mathbb{R}\setminus E$ は交わらず、像 $E\setminus\mathbb{Q}$ と $\mathbb{R}\setminus E$ も交わらず、その和集合は $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ である。よって $h$ は全単射である。$|\mathbb{R}|=2^{\aleph_0}$（基数 の記事の例「連続体の濃度」）から最後の主張が従う。$\square$

有理数 $r$ の存在は 実数 の記事の定理「有理数の稠密性」である。その $r$ について $y-r>0$ なので、実数 の記事の定理「Archimedes性」により $n>\sqrt2/(y-r)$ となる正の整数 $n$ がある。$\alpha:=r+\sqrt2/n$ とおくと $r<\alpha< y$ であり、$\sqrt2/n=(1/n)\sqrt2$ と $\alpha$ は prop-irrational-rational-operations により無理数である。空でない開集合は開区間を含むので、$\mathbb{Q}$ と $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ はどの空でない開集合とも交わり、稠密である。$\square$

1：prop-irrational-dense により、どの開区間も $\mathbb{Q}$ と $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ の両方の点を含む。よってどちらも開区間を含まず内部は空であり、どちらも稠密なので閉包は $\mathbb{R}$ である。境界は閉包から内部を除いたものなので $\mathbb{R}$ である。
2：$\mathbb{Q}=\bigcup_{q\in\mathbb{Q}}\{q\}$ は 1 点からなる閉集合の可算個の和集合である。補集合をとると $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}=\bigcap_{q\in\mathbb{Q}}(\mathbb{R}\setminus\{q\})$ は開集合の可算個の共通部分である。
3：$\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}=\bigcup_{n\ge1}F_n$（各 $F_n$ は閉集合）と仮定する。$F_n\subset\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ は 1 により開区間を含まないので、内部は空である。$\mathbb{Q}$ の元を $q_1,q_2,\dots$ と並べると（有理数 の記事の命題「有理数全体は可算無限集合である」）
$$ \mathbb{R}=\bigcup_{n\ge1}F_n\cup\bigcup_{k\ge1}\{q_k\} $$
は内部が空の閉集合の可算個の和集合になる。$\mathbb{R}$ は空でない完備距離空間なので、これは Baireのカテゴリー定理 の記事の系「閉集合による可算被覆」に反する。よって $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ は $F_\sigma$ 集合でない。$\mathbb{Q}$ が $G_\delta$ 集合なら補集合 $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ は $F_\sigma$ 集合になるので、$\mathbb{Q}$ は $G_\delta$ 集合でない。$\square$

$0$ でない整数係数の多項式を $a_d\neq0$ となる形 $a_0+a_1x+\cdots+a_dx^d$ に書き、整数の有限列 $(a_0,\dots,a_d)$ を対応させる（この表し方はただ 1 通りなので写像が定まる。以下で使うのは $0$ でない多項式だけである）。$\mathbb{Z}\to\mathbb{N}$ の全単射（$n\ge0$ を $2n$ に、$n<0$ を $-2n-1$ に写す）で各項を自然数に置き換え、可算集合 の記事の例「自然数の有限列の全体」の単射 $\Psi\colon\mathbb{N}^{<\omega}\to\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ と、同記事の命題「自然数の対の番号付け」の全単射 $\pi\colon\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ を合成すると、$0$ でない整数係数の多項式全体から $\mathbb{N}$ への単射 $c$ が得られる。
$\alpha$ を代数的な実数とする。$\alpha$ を根にもつ $0$ でない整数係数の多項式のうち $c$ の値が最小のものを $f_\alpha$ とする。$f_\alpha$ の実数の根は有限個である（多項式環 の記事の定理「根の個数」を体 $\mathbb{R}$ 上で使う）ので、小さい順に並べたときの $\alpha$ の番号を $i_\alpha\ge1$ とする。$\alpha\mapsto(c(f_\alpha),i_\alpha)$ は単射である。$f_\alpha$ と番号が一致すれば $\alpha$ は同じ根だからである。$\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ は可算なので、可算集合 の記事の系「像と単射による可算性の伝播」の 2 により代数的な実数全体は可算である。
代数的な実数全体を $A$、実数の超越数全体を $T$ とすると $\mathbb{R}=A\cup T$ である。$T$ が可算なら $\mathbb{R}$ は可算集合 2 つの和集合として可算になり、可算集合 の記事の定理「実数全体の非可算性」に反する。よって $T$ は非可算であり、とくに空でない。$\square$

$\alpha$ が有理数なら $S(\alpha)$ は有限であることを示す。$\alpha=a/b$（$b\ge1$）とし、$r=p/q\in S(\alpha)$、$r\neq\alpha$ とする。$aq-bp$ は $0$ でない整数なので
$$ \frac1{bq}\le\frac{|aq-bp|}{bq}=\left|\alpha-\frac pq\right|<\frac1{q^2} $$
であり、$q< b$ である。各 $q\in\{1,\dots,b-1\}$ について、$p$ は $|q\alpha-p|<1/q\le1$ を満たす整数なので高々 2 個である。よって $\alpha$ 以外の $S(\alpha)$ の元は有限個であり、$S(\alpha)$ は有限である。
$\alpha$ が無理数なら $S(\alpha)$ は無限であることを示す。$S(\alpha)$ が有限であると仮定する。$S(\alpha)$ の元はすべて $\alpha$ と異なるので、$\delta:=\min\{|\alpha-r|\mid r\in S(\alpha)\}>0$ とおける（$S(\alpha)=\emptyset$ なら $\delta:=1$）。Archimedes 性により $1/N<\delta$ となる正の整数 $N$ をとる。鳩の巣原理 の記事の定理「Dirichlet の近似定理」により、$1\le q\le N$ かつ $|\alpha-p/q|<1/(qN)$ を満たす整数 $p,q$ がある。$q\le N$ より $1/(qN)\le1/q^2$ なので $p/q\in S(\alpha)$ であり、一方 $|\alpha-p/q|<1/(qN)\le1/N<\delta$ なので $p/q$ は $S(\alpha)$ のどの元とも異なる。これは矛盾である。$\square$