四元数

1：行列の中の虚数単位を $\sqrt{-1}$ と書き、$E$ を単位行列、
$$ I:=\varphi(i)=\begin{pmatrix}\sqrt{-1}&0\\0&-\sqrt{-1}\end{pmatrix},\quad J:=\varphi(j)=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\quad K:=\varphi(k)=\begin{pmatrix}0&\sqrt{-1}\\\sqrt{-1}&0\end{pmatrix} $$
とおくと、$\varphi(a+bi+cj+dk)=aE+bI+cJ+dK$ である。行列の積を計算すると
$$ I^2=J^2=K^2=-E,\quad IJ=K=-JI,\quad JK=I=-KJ,\quad KI=J=-IK $$
となり、$E,I,J,K$ は $\mathbb{H}$ の基底 $1,i,j,k$ と同じ積の表を満たす。$\mathbb{H}$ の積も行列の積も双線形なので、基底どうしの積で一致すれば、すべての $p,q$ について $\varphi(pq)=\varphi(p)\varphi(q)$ である。$\varphi(q)=0$ なら成分から $a=b=c=d=0$ なので $\varphi$ は単射である。行列の積は結合的なので、$\varphi((pq)r)=\varphi(p)\varphi(q)\varphi(r)=\varphi(p(qr))$ と単射性から $(pq)r=p(qr)$ である。実数 $r$ は $\varphi(r)=rE$ なので $\mathbb{H}$ のすべての元と交換し、$\mathbb{H}$ は $\mathbb{R}$ 多元環である。
2：成分を比べると $\varphi(\bar q)=\varphi(q)^{*}$ である。行列式は $(a+b\sqrt{-1})(a-b\sqrt{-1})-(c+d\sqrt{-1})(-c+d\sqrt{-1})=a^2+b^2+c^2+d^2$ である。また $\alpha=a+b\sqrt{-1}$、$\beta=c+d\sqrt{-1}$ とおくと $\varphi(q)=\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\-\bar\beta&\bar\alpha\end{pmatrix}$ で、$\varphi(q)\varphi(q)^{*}=\varphi(q)^{*}\varphi(q)=(|\alpha|^2+|\beta|^2)E=N(q)E$ である。$(AB)^{*}=B^{*}A^{*}$ と $\det(AB)=\det A\det B$ を $\varphi$ で引き戻すと、3 つの等式を得る。
3：$q\neq0$ なら $N(q)>0$ で、2 より $q\cdot\bar q/N(q)=\bar q/N(q)\cdot q=1$ である。
4：$q=a+bi+cj+dk$ について、定義の規則から
$$ iq-qi=2ck-2dj,\qquad jq-qj=-2bk+2di $$
である。$q$ が中心に属すれば両方が $0$ なので $b=c=d=0$、すなわち $q\in\mathbb{R}$ である。逆に実数は 1 で見たとおり中心に属する。

両辺とも $p,q$ について双線形である（内積とベクトル積は双線形）。$a,b$ の項は実数が中心にあることから明らかなので、$v,w$ が基底 $i,j,k$ の場合を確かめれば足りる。$v=w=i$ では左辺 $i^2=-1$、右辺 $-i\cdot i+i\times i=-1+0$ である。$v=i$、$w=j$ では左辺 $ij=k$、右辺 $-i\cdot j+i\times j=0+k$ であり、$v=j$、$w=i$ では左辺 $-k$、右辺 $j\times i=-k$ である。残りの組も、$i\to j\to k\to i$ の巡回で同じである。
1 は $v=w$ とおけば $v\times v=0$ から従う。2：$vw=-v\cdot w+v\times w$ と $wv=-v\cdot w-v\times w$ の和は $-2v\cdot w$ なので、$vw=-wv$ は $v\cdot w=0$ と同値である。3：$q=b+w$ のとき $\bar q=b-w$ なので、積の公式から $\mathrm{Re}(p\bar q)=ab+v\cdot w$ であり、これは $(a,v)$ と $(b,w)$ の標準内積である。

1：$q=a+v$ とすると、積の公式から $q^2=a^2-|v|^2+2av$ である。$q^2=-1$ なら純部を比べて $av=0$、実部を比べて $a^2-|v|^2=-1$ である。$v=0$ なら $a^2=-1$ となり $a$ が実数であることに反するので、$v\neq0$、したがって $a=0$、$|v|=1$ である。逆に $a=0$、$|v|=1$ なら $q^2=-|v|^2=-1$ である。
2：$q=a+v$ が実数でなければ $v\neq0$ である。$r:=|q|$、$u:=v/|v|$ とおき、$\theta\in(0,\pi)$ を $\cos\theta=a/r$、$\sin\theta=|v|/r$ で定める（$a^2+|v|^2=r^2$ かつ $|v|/r>0$ なので、このような $\theta$ がただ一つある）。すると $q=r(\cos\theta+u\sin\theta)$ である。逆にこの形に書けば、実部 $r\cos\theta$ と純部 $r\sin\theta\,u$（$\sin\theta>0$）から $r=|q|$、$u=v/|v|$、$\theta$ が決まるので、表し方は一意である。$u^2=-1$ なので $\mathbb{R}+\mathbb{R}u$ は積で閉じ、$x+yu\mapsto x+y\sqrt{-1}$ は環の同型である。$q\in\mathbb{R}+\mathbb{R}u$ でその純部は $0$ でないので、$\mathbb{R}[q]=\mathbb{R}+\mathbb{R}u$ である。

$\mathbb{R}$ を構造射の像と同一視する。$\mathbb{R}$ は $D$ の中心に含まれる。
段 1（実数でない元は 2 次式を満たす）：$a\in D\setminus\mathbb{R}$ とし、$\mu_a$ を $a$ の最小多項式とする（多元環の定理「最小多項式の存在」）。$\mu_a$ が実数の根 $c$ をもてば $\mu_a=(x-c)g$ と書け、$\deg g< \deg\mu_a$ より $g(a)\neq0$、一方 $(a-c)g(a)=0$ なので、$D$ が斜体であることから $a=c\in\mathbb{R}$ となって矛盾する。よって $\mu_a$ は実数の根をもたず、代数学の基本定理により実数でない複素数の根 $z=t+s\sqrt{-1}$（$s\neq0$）をもつ。実係数の多項式の根の共役も根なので、$m(x):=(x-z)(x-\bar z)=x^2-2tx+(t^2+s^2)$ は $\mu_a$ を $\mathbb{R}[x]$ で割り切る。$\mu_a=mh$ と書くと $m(a)h(a)=0$ である。$\deg h\ge1$ なら $m$ と $h$ はどちらも $\mu_a$ より次数が低いので $m(a)\ne0$、$h(a)\neq0$ となり、斜体であることに反する。よって $\mu_a=m$ であり、$u:=a-t$ とおくと
$$ u^2=a^2-2ta+t^2=-s^2<0 $$
である。
段 2（$D=\mathbb{R}\oplus V$）：$V:=\{u\in D\mid u^2\in\mathbb{R},\ u^2\le0\}$ とおく。$u\in V$、$u\neq0$ なら、斜体には $0$ でない冪零元がないので $u^2<0$ であり、実数の 2 乗は $0$ 以上なので $u\notin\mathbb{R}$ である。よって $V\cap\mathbb{R}=\{0\}$ であり、段 1 より $D=\mathbb{R}+V$ である。$V$ が実数倍で閉じることは明らかなので、和で閉じることを示す。$u,w\in V$ が $\mathbb{R}$ 上一次従属なら $u+w$ はその一方の実数倍なので $V$ に入る。一次独立のときは、まず $1,u,w$ が一次独立であることを示す。$w=\alpha+\beta u$（$\alpha,\beta\in\mathbb{R}$）と書けたとすると $w^2=\alpha^2+\beta^2u^2+2\alpha\beta u$ が実数なので、$u\notin\mathbb{R}$ から $\alpha\beta=0$ である。$\beta=0$ なら $w=\alpha\in V\cap\mathbb{R}=\{0\}$、$\alpha=0$ なら $w=\beta u$ となり、どちらも $u,w$ の一次独立性に反する。したがって $\alpha+\beta u+\gamma w=0$（$\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}$）なら $\gamma=0$ であり、さらに $u\notin\mathbb{R}$ から $\beta=0$、$\alpha=0$ となる。
すると $u+w$ と $u-w$ は実数でないので、段 1 により実数 $p,p',r,r'$ を用いて $(u+w)^2=p(u+w)+p'$、$(u-w)^2=r(u-w)+r'$ と書ける。2 式を足すと
$$ 2u^2+2w^2=(p+r)u+(p-r)w+(p'+r') $$
で、左辺は実数なので、$1,u,w$ の一次独立性から $p+r=p-r=0$、すなわち $p=0$ である。よって $(u+w)^2=p'\in\mathbb{R}$ である。$p'>0$ なら $(u+w-\sqrt{p'})(u+w+\sqrt{p'})=0$ から $u+w=\pm\sqrt{p'}\in\mathbb{R}$ となって一次独立性に反するので、$p'\le0$、すなわち $u+w\in V$ である。以上で $V$ は部分空間であり、$D=\mathbb{R}\oplus V$ である。
段 3（$V$ の内積）：$u,w\in V$ について $uw+wu=(u+w)^2-u^2-w^2\in\mathbb{R}$ である。$\langle u,w\rangle:=-\frac12(uw+wu)$ とおくと、これは対称な双線形形式で、$u\ne0$ なら $\langle u,u\rangle=-u^2>0$ なので、$V$ の内積である。$\langle u,w\rangle=0$ は $uw=-wu$ と同値である。
段 4（$D$ の決定）：$V=0$ なら $D=\mathbb{R}$ である。$V\ne0$ なら $\langle i,i\rangle=1$、すなわち $i^2=-1$ となる $i\in V$ をとる。$V=\mathbb{R}i$ なら $D=\mathbb{R}+\mathbb{R}i\cong\mathbb{C}$ である。そうでなければ、Gram–Schmidtの直交化により $i$ と直交する $j\in V$ で $j^2=-1$ となるものがとれる。$k:=ij$ とおくと、$ji=-ij$ を使って
$$ k^2=ijij=-i^2j^2=-1,\qquad ik+ki=i^2j+iji=-j+j=0,\qquad jk+kj=jij+ij^2=i-i=0 $$
となるので、$k\in V$ であり、$i,j,k$ は正規直交系である。同様の計算で $jk=i$、$kj=-i$、$ki=j$、$ik=-j$ も確かめられ、$1,i,j,k$ は $\mathbb{H}$ の基底と同じ積の表を満たす。$1\notin V$ と直交性から $1,i,j,k$ は一次独立なので、$1,i,j,k$ を $1,i,j,k$ に送る線形写像 $\mathbb{H}\to D$ は単射な $\mathbb{R}$ 多元環の準同型である。
最後に $V=\mathbb{R}i+\mathbb{R}j+\mathbb{R}k$ を示す。$w\in V$ が $i,j,k$ のすべてと直交すれば、$wi=-iw$、$wj=-jw$ なので
$$ wk=wij=-iwj=ijw=kw $$
であり、$wk=-kw$ と合わせて $2kw=0$、$k$ は可逆なので $w=0$ である。$V$ は有限次元の内積空間なので、部分空間 $W=\mathbb{R}i+\mathbb{R}j+\mathbb{R}k$ について $V=W\oplus W^{\perp}$ であり（直交補空間）、$W^{\perp}=0$ から $V=W$ である。よって $D\cong\mathbb{H}$ である。