チューブ補題

$Y$ が空なら $W=X$ でよい。以下 $Y\ne\emptyset$ とする。
各 $y\in Y$ について $(x_0,y)\in N$ で $N$ は開集合なので、開集合 $U_y\subset X$、$V_y\subset Y$ で
$$ (x_0,y)\in U_y\times V_y\subset N $$
となるものをとる。$y\in V_y$ なので $\{V_y\}_{y\in Y}$ は $Y$ の開被覆であり、$Y$ のコンパクト性から有限個の $y_1,\dots,y_m$ で $Y=V_{y_1}\cup\dots\cup V_{y_m}$ となるものがある（$Y\ne\emptyset$ なので $m\ge1$）。
$$ W:=U_{y_1}\cap\dots\cap U_{y_m} $$
とおく。有限個の開集合の共通部分なので $W$ は開集合で、各 $U_{y_j}$ は $x_0$ を含むので $x_0\in W$ である。
$W\times Y\subset N$ を示す。$(x,y)\in W\times Y$ をとる。$y$ はある $V_{y_j}$ に属し、$x\in W\subset U_{y_j}$ なので $(x,y)\in U_{y_j}\times V_{y_j}\subset N$ である。$\square$

$A=\emptyset$ なら $U=\emptyset$、$V=Y$、$B=\emptyset$ なら $U=X$、$V=\emptyset$ でよい。以下 $A$、$B$ は空でないとする。
第 1 段（1 点 $a$ と $B$）。 $a\in A$ を固定する。各 $b\in B$ について $(a,b)\in G$ なので、開集合 $U_b\subset X$、$V_b\subset Y$ で $(a,b)\in U_b\times V_b\subset G$ となるものをとる。$\{V_b\}_{b\in B}$ は $B$ を覆う $Y$ の開集合の族なので、$B$ のコンパクト性から有限個の $b_1,\dots,b_m$（$m\ge1$）で $B\subset V_{b_1}\cup\dots\cup V_{b_m}$ となるものがある。
$$ U(a):=\bigcap_{j=1}^mU_{b_j},\qquad V(a):=\bigcup_{j=1}^mV_{b_j} $$
とおくと、$U(a)$ は $a$ を含む開集合、$V(a)$ は $B$ を含む開集合である。$(x,y)\in U(a)\times V(a)$ なら、$y\in V_{b_j}$ となる $j$ があり、$x\in U_{b_j}$ なので $(x,y)\in U_{b_j}\times V_{b_j}\subset G$ である。よって $U(a)\times V(a)\subset G$ である。
第 2 段（$A$ と $B$）。 $\{U(a)\}_{a\in A}$ は $A$ を覆う $X$ の開集合の族なので、$A$ のコンパクト性から有限個の $a_1,\dots,a_l$（$l\ge1$）で $A\subset U(a_1)\cup\dots\cup U(a_l)$ となるものがある。
$$ U:=\bigcup_{i=1}^lU(a_i),\qquad V:=\bigcap_{i=1}^lV(a_i) $$
とおくと、$U$ は $A$ を含む開集合、$V$ は $B$ を含む開集合である（有限個の共通部分）。$(x,y)\in U\times V$ なら、$x\in U(a_i)$ となる $i$ があり、$y\in V\subset V(a_i)$ なので $(x,y)\in U(a_i)\times V(a_i)\subset G$ である。$\square$

$X\setminus p(C)$ が開集合であることを示す。$x_0\notin p(C)$ とすると、切り口 $\{x_0\}\times Y$ は $C$ と交わらないので、開集合 $N:=(X\times Y)\setminus C$ に含まれる。thm-tl-main により、$x_0$ を含む開集合 $W$ で $W\times Y\subset N$ となるものがある。$x\in W$ なら $\{x\}\times Y$ は $C$ と交わらないので $x\notin p(C)$ である。よって $W\subset X\setminus p(C)$ である。$\square$

$\mathcal{A}$ を $X\times Y$ の開被覆とする。$x\in X$ を固定すると、切り口 $\{x\}\times Y$ は $Y$ と同相（$y\mapsto(x,y)$ は連続で、逆写像は射影の制限）なのでコンパクトであり、$\mathcal{A}$ の有限個の元 $A_1,\dots,A_k$ で覆われる。$N_x:=A_1\cup\dots\cup A_k$ は切り口を含む開集合なので、thm-tl-main により $x$ を含む開集合 $W_x$ で $W_x\times Y\subset N_x$ となるものがある。こうして管 $W_x\times Y$ は $\mathcal{A}$ の有限個の元で覆われる。$\{W_x\}_{x\in X}$ は $X$ の開被覆なので、有限個の $W_{x_1},\dots,W_{x_l}$ が $X$ を覆う。すると $X\times Y=\bigcup_iW_{x_i}\times Y$ は、各管を覆う有限個の元を合わせた $\mathcal{A}$ の有限個の元で覆われる。$\square$

最大値の存在。 $x$ を固定すると $y\mapsto f(x,y)$ は連続写像 $y\mapsto(x,y)$ と $f$ の合成なので連続であり、空でないコンパクト空間の上の実数値連続関数は最大値をとる（最大値・最小値の定理）。
連続性。 実数 $c$ について $\{g>c\}$ と $\{g< c\}$ が開集合であることを示せばよい（開区間 $(c,d)$ の逆像は $\{g>c\}\cap\{g< d\}$ であり、開区間は $\mathbb{R}$ の開基をなす）。
$\{g>c\}$：$g(x_0)>c$ とし、$f(x_0,y_0)=g(x_0)$ となる $y_0$ をとる。$f^{-1}((c,\infty))$ は $(x_0,y_0)$ を含む開集合なので、$(x_0,y_0)\in U\times V\subset f^{-1}((c,\infty))$ となる開集合 $U$、$V$ がある。$x\in U$ なら $g(x)\ge f(x,y_0)>c$ である。
$\{g< c\}$：$g(x_0)< c$ とすると、すべての $y$ で $f(x_0,y)< c$ なので、開集合 $N:=f^{-1}((-\infty,c))$ は切り口 $\{x_0\}\times Y$ を含む。thm-tl-main により、$x_0$ を含む開集合 $W$ で $W\times Y\subset N$ となるものがある。$x\in W$ ならすべての $y$ で $f(x,y)< c$ であり、最大値が値の 1 つとしてとられるので $g(x)< c$ である。$\square$

対角線 $\Delta:=\{(x,x)\mid x\in X\}$ の補集合 $G:=(X\times X)\setminus\Delta$ は開集合である。実際 $(x,y)\in G$ なら $x\ne y$ なので、Hausdorff 性から $x\in U_0$、$y\in V_0$、$U_0\cap V_0=\emptyset$ となる開集合がとれ、$U_0\times V_0$ は $\Delta$ と交わらない。$A\cap B=\emptyset$ なので $A\times B\subset G$ である。thm-tl-wallace により、開集合 $U\supset A$、$V\supset B$ で $U\times V\subset G$ となるものがある。$x\in U\cap V$ があれば $(x,x)\in U\times V\subset G$ となり矛盾するので、$U\cap V=\emptyset$ である。$\square$