Tychonoffのコルク抜き

2 から示す。$\pi^{-1}(U^+_m\cap Y)$ は、$k>m$ の複製全体、$m$ 番目の複製から $E_m$ に対応する辺（閉集合）を除いた部分の和である。$m-1$ 番目の複製の点で $k\ge m$ の複製の点と同一視されるのは $E_m$ の辺の点だけなので、$m-1$ 番目以下の複製は含まれない。各部分は $T_\ast$ の開集合なので $U^+_m\cap Y$ は $Y$ の開集合で、$U^+_m$ 自身が条件を満たす。$E_m$ は $m-1$ 番目と $m$ 番目の複製にしか含まれないので、$U^+_{m+1}\subset U^+_m$ である。$U^-_m$ も同様である。
1：$\emptyset$ と $X$ は条件を満たす。合併は明らかに条件を満たす。2 つの開集合 $O,O'$ がともに $a^+$ を含めば $U^+_m\subset O$、$U^+_{m'}\subset O'$ となり、2 により $U^+_{\max\{m,m'\}}\subset O\cap O'$ である。$a^-$ も同様なので共通部分も条件を満たす。$Y$ の開集合は $a^\pm$ を含まないので $X$ の開集合であり、1 の残りが従う。
3：$X\setminus C_m=\{a^-\}\cup\pi\bigl(\bigcup_{k< m}T_\ast\times\{k\}\bigr)\setminus E_m$ であり（$E_m$ は $C_m$ に含まれる）、これは $U^-_{m-1}$ の定義そのものである。$E_{m-1}$ は $m-2$ 番目と $m-1$ 番目の複製にしか含まれないので $C_m\subset U^+_{m-1}$ である。$\square$

各点が閉集合からなる基本近傍系をもつことを示せば、正則性条件が従う（分離公理 の命題「正則性と閉近傍」）。
$a^+$ の場合：prop-tc-topology の 3 により $C_m$ は閉集合（補集合 $U^-_{m-1}$ が開）で、$U^+_m\subset C_m\subset U^+_{m-1}$ である。$a^+$ の近傍は $U^+_m$ の形の集合を含むので、$C_m$（$m\in\mathbb{Z}$）は $a^+$ の閉集合からなる基本近傍系である。$a^-$ も同様である。
$Y$ の点の場合：$[0,\omega_1]$ と $[0,\omega]$ の各点 $\xi$ は、区間 $(\delta,\xi]$（$\delta<\xi$。$\xi=0$ なら $\{0\}$）の形の開かつ閉な基本近傍をもつ（順序数空間 の補題「開かつ閉な区間と基本近傍」）。その直積は $T$ の開かつ閉集合で、$T_\ast$ に含まれるものは $T_\ast$ の開かつ閉集合である。点 $y\in Y$ の種類ごとに次の集合 $W$ をとる。

1. 辺にない点 $(\beta,n,k)$（$\beta<\omega_1$、$n<\omega$）：$W:=\pi(J\times\{n\}\times\{k\})$。$J$ は $\beta$ の開かつ閉な近傍で $J\subset[0,\beta]$。
2. 上の辺の点 $(\beta,\omega,k)\sim(\beta,\omega,k+1)$：$W:=\pi(J\times(j,\omega]\times\{k,k+1\})$。$J\subset[0,\beta]$ は上と同じ、$j<\omega$。
3. 右の辺の点 $(\omega_1,n,k)\sim(\omega_1,n,k+1)$：$W:=\pi((\gamma,\omega_1]\times\{n\}\times\{k,k+1\})$。$\gamma<\omega_1$。
   どの場合も、$W$ の逆像は 1 つまたは 2 つの複製の開かつ閉集合で、しかも同一視について閉じている（2 では右の辺と、3 では上の辺と交わらず、貼られた辺の上では 2 つの複製で同じ座標の集合だからである）。よって $W$ は $Y$ の開かつ閉集合である。さらに $W$ は有限個の複製にしか触れないので、$|m|$ を大きくとった $U^\pm_m$ は $W$ と交わらず、$X\setminus W$ は $X$ の開集合である。よって $W$ は $X$ の開かつ閉集合である。$y$ の開近傍 $O$ をとると、$\pi^{-1}(O)$ は $y$ の逆像の 1 点または 2 点の開近傍なので、$J,j,\gamma$ を十分小さく（2 点の場合は両方の複製で共通に）とれば $W\subset O$ となる。よって $W$ の形の集合が $y$ の閉集合からなる基本近傍系をなす。
   $T_1$ 性：$Y$ の点 $y$ について、$Y\setminus\{y\}$ は $Y$ の開集合（$\pi^{-1}(y)$ は 1 点か 2 点で閉）であり、$|m|$ の大きい $U^\pm_m$ を含むので、$X\setminus\{y\}$ は開である。$X\setminus\{a^+\}=Y\cup\{a^-\}$ は $U^-_m$ を含むので開であり、$a^-$ も同様である。$\square$

Tychonoffの板 の定理「隅への延長」により、$f$ は連続関数 $F\colon T\to\mathbb{R}$ に延びる。$c:=F(t^\ast)$ とおく。$[0,\omega]$ で $n\to\omega$ なので $(\omega_1,n)\to t^\ast$ であり、$F$ の連続性から 2 が成り立つ。
1 を示す。$f(\cdot,\omega)$ は $[0,\omega_1)$ の上の連続関数なので、Tychonoffの板 の補題「連続関数は最後に一定」により、ある $\gamma$ から先で一定値 $c'$ をとる。$\varepsilon>0$ に対し、$F$ の $t^\ast$ での連続性から、近傍 $(\delta,\omega_1]\times(m,\omega]$ の上で $|F-c|<\varepsilon$ となる $\delta<\omega_1$、$m<\omega$ がある。$\beta>\max\{\gamma,\delta\}$ をとれば $(\beta,\omega)$ はこの近傍に属するので $|c'-c|<\varepsilon$ である。$\varepsilon$ は任意なので $c'=c$ である。
一意性は 2 の極限の一意性による。$\square$

$k\in\mathbb{Z}$ について、$f_k\colon T_\ast\to\mathbb{R}$ を $f_k(t):=f(\pi(t,k))$ で定める。$f_k$ は連続関数の合成なので連続であり、lem-tc-corner によりその隅の値 $c_k$ が定まる。
段 1：$c_k=c_{k+1}$。$k$ が偶数なら上の辺が貼られているので、すべての $\beta<\omega_1$ で $f_k(\beta,\omega)=f(\pi(\beta,\omega,k))=f(\pi(\beta,\omega,k+1))=f_{k+1}(\beta,\omega)$ である。十分大きな $\beta$ でこの値は $c_k$ とも $c_{k+1}$ とも等しいので $c_k=c_{k+1}$ である。$k$ が奇数なら右の辺が貼られているので、すべての $n<\omega$ で $f_k(\omega_1,n)=f_{k+1}(\omega_1,n)$ であり、$n\to\infty$ の極限をとって $c_k=c_{k+1}$ である。よってすべての $c_k$ は共通の値 $c$ に等しい。
段 2：$f(a^+)=c$。$\varepsilon>0$ をとる。$f$ の $a^+$ での連続性から、$U^+_m$ の上で $|f-f(a^+)|<\varepsilon$ となる $m$ がある。$U^+_m$ は $m+1$ 番目の複製の像全体を含む。lem-tc-corner の 1 により、十分大きな $\beta<\omega_1$ について $f(\pi(\beta,\omega,m+1))=f_{m+1}(\beta,\omega)=c$ なので、$|c-f(a^+)|<\varepsilon$ である。$\varepsilon$ は任意なので $f(a^+)=c$ である。同様に、$U^-_m$ が $m-1$ 番目の複製の像全体を含むことから $f(a^-)=c$ である。$\square$

1：$T_3$ は thm-tc-regular による。$\{a^-\}$ は閉集合で $a^+$ を含まないが、$f(a^+)=0$、$f(a^-)=1$ となる連続関数は thm-tc-ends によりない。よって完全正則性条件を満たさない。
2：$T_4$ 空間は $T_{3.5}$ 空間である（分離公理 の命題「完全正則性を経由する含意」）ので、1 から $X$ は $T_4$ でない。$X$ は $T_1$ なので、正規性条件を満たさない。
3：$T_3$ 空間は $T_{2.5}$ 空間である（分離公理 の定理「$T_3$ は Urysohn である」）。後半は thm-tc-ends である。$\square$