中心単純環

$k$ の標数を $2$ でないとし、$a, b \in k^\times$ とする。$1, i, j, ij$ を基底とし、
$$ i^2 = a, \qquad j^2 = b, \qquad ij = -ji $$
で積を定めた $4$ 次元の $k$ 代数を四元数代数 $(a, b)_k$ という。
$\bar k$ の中で $\alpha^2 = a$ となる $\alpha$ を取り、
$$ i \longmapsto \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & -\alpha \end{pmatrix}, \qquad j \longmapsto \begin{pmatrix} 0 & b \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$
と定めると、右辺の行列は $i^2 = a$、$j^2 = b$、$ij = -ji$ をみたす。$1, i, j, ij$ の像は
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & -\alpha \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & b \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & \alpha b \\ -\alpha & 0 \end{pmatrix} $$
であり、$\alpha \ne 0$ と標数が $2$ でないことから $\bar k$ 上一次独立である。基底どうしの積は関係式によって基底の $k$ 係数の一次結合になるので、像の $k$ 線形包は $M_2(\bar k)$ の $k$ 部分代数であり、$(a, b)_k$ はこれと同型な結合代数である。さらに $(a, b)_k \otimes_k \bar k \to M_2(\bar k)$ は同型である。系 テンソル積と係数拡大で閉じること の 3 により、$(a, b)_k$ は次数 $2$ の中心単純環である。

例 四元数代数の構成 の記号で、$q = x + y i + z j + w\, ij$ の共役を $\bar q = x - y i - z j - w\, ij$ と定める。$i, j, ij$ は互いに反可換で $(ij)^2 = -ab$ だから、
$$ q \bar q = \bar q q = x^2 - a y^2 - b z^2 + ab\, w^2 \in k $$
である。この 2 次形式（ノルム形式）が $k$ 上で自明でない零点をもたなければ、$q \ne 0$ に対して $\bar q / (q \bar q)$ が $q$ の逆元になり、$(a, b)_k$ は斜体である。
とくに $k = \mathbb{R}$、$a = b = -1$ のとき、ノルム形式は $x^2 + y^2 + z^2 + w^2$ であり、Hamilton の四元数 $\mathbb{H} = (-1, -1)_{\mathbb{R}}$ は $\mathbb{R}$ 上の中心斜体である。$\mathbb{H} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} \cong M_2(\mathbb{C})$ なので、$\mathbb{C}$ は $\mathbb{H}$ の分裂体である。同じ理由で $(-1,-1)_{\mathbb{Q}}$ も $\mathbb{Q}$ 上の中心斜体である。
逆に、$(a, b)_k$ が分裂することは、ノルム形式が自明でない零点をもつこと、また $b$ が $k(\sqrt a)/k$ のノルムであることと同値である（GS06 第 1 章。本記事では証明しない）。

次の体の上では、中心単純環はすべて行列代数である。

• 分離閉体（定理 分離閉包上の分裂 の 3）。とくに代数閉体（定理 次元は平方数 の証明からも分かる）。
• 有限体。これは「有限な斜体は可換である」という Wedderburn の小定理による（GS06 第 2 章。本記事では証明しない）。
• 代数閉体上の 1 変数代数関数体。これは Tsenの定理 による（引用）。
  $\mathbb{R}$ 上の中心斜体は $\mathbb{R}$ と $\mathbb{H}$ だけである（Frobenius の定理。引用）。したがって $\mathbb{R}$ 上の中心単純環は $M_n(\mathbb{R})$ か $M_n(\mathbb{H})$ である。

$L/k$ を次数 $r$ の巡回拡大、$\sigma$ をその Galois 群の生成元、$c \in k^\times$ とする。$L$ 上の左ベクトル空間 $\bigoplus_{i=0}^{r-1} L u^i$ に
$$ u^r = c, \qquad u \lambda u^{-1} = \sigma(\lambda) \quad (\lambda \in L) $$
で積を入れたものを巡回代数 $(L/k, \sigma, c)$ という。これは次数 $r$ の中心単純環で、$L$ を極大部分体として含み、$c$ が $L/k$ のノルムであるときに限り分裂する（GS06 第 2 章・第 4 章。本記事では証明しない）。$r = 2$、$L = k(\sqrt a)$ のときは四元数代数 $(a, c)_k$ である。

$\mathbb{C}$ は $\mathbb{R}$ 代数として単純（体）で有限次元だが、中心が $\mathbb{C} \ne \mathbb{R}$ なので、条件 3（中心的）を満たさない。このとき補題 テンソル積の単純性と中心 の結論 1 が崩れる。実際、中国式剰余定理により
$$ \mathbb{C} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} \cong \mathbb{C}[x]/(x^2 + 1) \cong \mathbb{C}[x]/(x - \sqrt{-1}) \times \mathbb{C}[x]/(x + \sqrt{-1}) \cong \mathbb{C} \times \mathbb{C} $$
であり、これは単純でない。命題 反対代数とのテンソル積 も成り立たない（左辺は可換で、$\operatorname{End}_{\mathbb{R}}(\mathbb{C}) \cong M_2(\mathbb{R})$ は可換でない）。

$T \subset M_2(k)$ を上三角行列のなす $3$ 次元の部分代数とする。行列単位の計算（命題 行列代数は中心単純 の証明と同じもの）により $T$ の中心はスカラー行列だけなので、$T$ は中心的である。しかし狭義上三角行列の全体 $N = k e_{12}$ は $0$ でも全体でもない両側イデアルなので、条件 2（単純）を満たさない。
このとき命題 反対代数とのテンソル積 の結論が崩れる。写像 $x \mapsto a x b$（$a, b \in T$）はどれも $N$ を $N$ に写すので、$T \otimes_k T^{\mathrm{op}} \to \operatorname{End}_k(T)$ の像は $N$ を保つ自己準同型の真部分空間に含まれ、全射でない。次元はどちらも $9$ で一致しているので、次元の一致だけでは同型は出ない。

$k$ の標数を $0$ とし、$A_1(k) := k\langle x, y \rangle / (yx - xy - 1)$ を Weyl 代数とする。$x^i y^j$（$i, j \ge 0$）は $A_1(k)$ の $k$ 基底である（標準的な事実。本記事では証明しない）。
$[y, x^i] = i x^{i-1}$、$[x, y^j] = -j y^{j-1}$ である。$0$ でない両側イデアル $I$ の元 $z$ を取り、$[y, -]$ を繰り返し施すと $x$ についての次数が $1$ ずつ下がり、係数には $0$ でない整数（標数 $0$ で可逆）が掛かる。こうして $x$ を含まない $0$ でない元に達し、次に $[x, -]$ を繰り返して $0$ でないスカラーに達する。これは $I$ の元なので $I = A_1(k)$ であり、$A_1(k)$ は単純である。同じ計算で、中心の元は $[y, -]$ と $[x, -]$ で $0$ になるのでスカラーである。
したがって $A_1(k)$ は単純で中心が $k$ だが、条件 1（有限次元）を満たさない。実際、定理 次元は平方数 の類似は意味をもたず、$A_1(k)$ は $0$ でない有限次元の表現をもたない（$d$ 次元の表現があれば、$yx - xy = 1$ の跡を取って $0 = d$ となり、標数 $0$ で矛盾する）。したがって $A_1(k) \otimes_k K \cong M_r(K)$ となる拡大 $K$ もない。
標数 $p > 0$ では $x^p$ が中心に入るので、$A_1(k)$ は中心的でない。