実数の連続性

$\mathbb{Q}$ で $A:=\{x\in\mathbb{Q}\mid x\le0\ \text{または}\ x^2<2\}$、$B:=\{x\in\mathbb{Q}\mid x>0\ \text{かつ}\ x^2>2\}$ とおく。$x^2=2$ となる有理数はないので $A\cup B=\mathbb{Q}$ であり、$(A,B)$ は切断である。この切断では、$A$ に最大元がなく、$B$ に最小元もない。
$A$ に最大元がないこと：$a\in A$ とする。$a\le0$ なら $1\in A$ が $a$ より大きい。$a>0$、$a^2<2$ なら、$h$ を $0< h\le1$ かつ $h<\frac{2-a^2}{2a+1}$ を満たす有理数とすると、$(a+h)^2=a^2+2ah+h^2\le a^2+h(2a+1)<2$ なので $a+h\in A$ である。
$B$ に最小元がないこと：$b\in B$ とし、$k:=\frac{b^2-2}{2b}$ とおく。$k>0$ であり、$b-k=\frac{b^2+2}{2b}>0$、$(b-k)^2=b^2-2bk+k^2>b^2-2bk=2$ なので $b-k\in B$ である。
よって $\mathbb{Q}$ は切断の公理を満たさず、thm-rcont-cut により上限性質ももたない。$A$ の上限が $\mathbb{Q}$ にないことは 上限と下限 の記事の命題「有理数体における上限の不存在」と同じ内容である。

実係数の有理関数体 $\mathbb{R}(t)$ に、$t$ がすべての実数より大きくなる順序を入れる（順序体 の記事の例「無限大の元をもつ順序体」）。自然数 $n$（$=1+\dots+1$）の全体 $\mathbb{N}$ は $t$ を上界にもつ。しかし上限はない。$s$ が $\mathbb{N}$ の上界なら、どの $n$ についても $n+1\le s$、すなわち $n\le s-1$ なので、$s-1$ も上界であり、$s$ は最小の上界ではないからである。
同じ論法で、上限性質をもつ順序体では $\mathbb{N}$ は上に有界でない。これが Archimedes の性質であり（実数 の記事の定理「Archimedes性」）、上限性質は Archimedes の性質を含んでいる。

$D:=\{x\in\mathbb{Q}\mid1\le x\le2\}$ とする。$D$ 上の関数の連続性は ε-δ で、導関数は差分商 $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$（$h\ne0$、$x+h\in D$ は有理数）の極限で定める。表の下の 3 行を確かめる（GO03 第 1 章 Example 11、pp. 18–19）。

1. $f(x)=\frac{1}{x^2-2}$：$x^2=2$ となる有理数はないので $D$ の全体で定義され、分母が $0$ にならない有理関数なので連続である。$\sqrt2$ に近づく有理数 $q$ では $q^2-2\to0$ なので $\lvert f(q)\rvert$ はいくらでも大きくなる。
2. $\sigma$：$D$ の各点 $x$ は $\sqrt2$ から正の距離にあるので、$x$ の近くで $\sigma$ は定数であり、連続である。一方、どんな $\delta>0$ についても $p<\sqrt2< q$、$q-p<\delta$ となる有理数 $p,q\in D$ があり、$\lvert\sigma(q)-\sigma(p)\rvert=1$ なので、$\varepsilon=\frac12$ に対して共通の $\delta$ はとれない。
3. 同じ理由で、各 $x\in D$ について小さい $h$ では差分商が $0$ になるので、$\sigma'=0$ である。しかし $\sigma(1)=0\ne1=\sigma(2)$ である。
   さらに、$D$ のような有理数の閉区間の上には、単調で、一様連続で、有理数の範囲で中間値の性質をもち（端点の値の間の有理数をすべてとり）、導関数が恒等的に $0$ で、しかも定数でない有理数値の関数がある。実数の区間の上では単調性と導関数 $0$ だけで定数になる（平均値の定理）ので、どの性質も実数の連続性の欠如から生じている。
   構成を開く（区間を $[0,1]$ の有理数にして作る）

   段 1（有理数を含まない Cantor 型の集合）．無理数 $0<\alpha<\beta<1$ をとり、有理数を $q_1,q_2,\ldots$ と並べる。$K_0:=[\alpha,\beta]$ とし、$K_{n-1}$ が端点が無理数の互いに交わらない閉区間の有限個の和集合であるとき、その各区間 $[a,b]$ を、無理数 $c< d$ で $a< c< a+\frac{b-a}3$、$b-\frac{b-a}3< d< b$、さらに $q_n\in[a,b]$ なら $c< q_n< d$ を満たすものを選んで $[a,c]\cup[d,b]$ に取り替え、その和集合を $K_n$ とする（$q_n$ は無理数の端点と一致しないので選べる）。取り除いた開区間 $(c,d)$ をすき間と呼ぶ。$K:=\bigcap_nK_n$ は閉集合で、$q_n\notin K_n$ なので有理数を含まない。$K_n$ の区間の長さは $3^{-n}(\beta-\alpha)$ 以下なので、$K$ は区間を含まない。

   段 2（すき間の並び）．すき間全体 $G$ は可算で、左から右への順序で全順序集合になる。$G$ には最小元も最大元もない（すき間 $(c,d)$ を作った区間 $[a,b]$ の、後の段では $[a,c]$ の中にも $[d,b]$ の中にもすき間ができる）。2 つのすき間 $J=(c,d)$ と $J'=(c',d')$（$d< c'$）の間には別のすき間がある（$[d,c']$ は区間なので $K$ に含まれず、$K$ に属さない点 $y\in(d,c')$ はあるすき間に入り、そのすき間は $J$ と $J'$ の間にある）。よって $G$ は可算で稠密で端点のない全順序集合であり、Cantor の定理（順序型 の記事の定理「Cantor の定理」）により、順序を保つ全単射 $\lambda\colon G\to\mathbb{Q}\cap(0,1)$ がある。

   段 3（関数）．$x\in[0,1]$ について、左端が $x$ より小さいすき間 $J$ の値 $\lambda(J)$ と $0$ からなる集合の上限を $h(x)$ とおく。$h$ は単調増加で、$x\le\alpha$ なら $h(x)=0$、$x\ge\beta$ なら $h(x)=1$、$x$ がすき間 $J$ に入るなら $h(x)=\lambda(J)$ である（左端が $x$ より小さいすき間は $J$ と $J$ より左のすき間で、$\lambda$ は順序を保つ）。$h$ が点 $x$ で跳ぶとすると、左側の値の上限 $L$ と右側の値の下限 $R$ について $L< R$ で、$h$ の値のうち $(L,R)$ に入るのは高々 $h(x)$ だけになるが、$(L,R)\cap(0,1)$ には無限個の有理数があり、それらはすべてすき間の上での $h$ の値なので矛盾する。よって $h$ は $[0,1]$ 上で連続であり、閉区間上の連続関数なので一様連続である。

   段 4（有理数への制限）．$f:=h$ を $[0,1]$ の有理数に制限する。有理数 $x$ は $K$ に入らないので、すき間か $[0,\alpha)$ か $(\beta,1]$ に入り、そこで $h$ は定数である。よって $f$ の値は有理数で、$f'=0$ である。単調性と一様連続性は制限しても保たれ、$f(0)=0$、$f(1)=1$ なので定数でない。有理数 $u< v$ と有理数 $r$ が $f(u)< r< f(v)$ を満たすとき、$r=\lambda(J)$ となるすき間 $J$ がある。$h$ は $J$ の上で $r$ に等しく単調なので、$J$ は $u$ と $v$ の間にあり、$J$ の中の有理数 $z$ で $f(z)=r$ となる。

1. $\mathbb{Q}$：切断の公理が成り立たないことは ex-rcont-sqrt2-cut で示した。$[1,2]$ 上の $f(x)=x^2-2$ は多項式なので連続で、$f(1)=-1<0<2=f(2)$ だが、$f(c)=0$ となる有理数 $c$ はない。$g(x)=-(x^2-2)^2$ は $g\le0$ で、$x^2$ が $2$ に近い有理数をとれば値はいくらでも $0$ に近くなるが、$g(x)=0$ となる有理数はないので最大値をとらない。
2. $\mathbb{Q}(\sqrt2)$：prop-rcont-subfield の後で見たとおり $\sqrt3\notin\mathbb{Q}(\sqrt2)$ である。$f(x)=x^2-3$ は $f(1)=-2<0<1=f(2)$ を満たす連続関数だが、$[1,2]$ の中で零点をもつなら、それは $\sqrt3$ でなければならない。$\mathbb{Q}(\sqrt2)$ は $\sqrt2$ を含むので「無理数を付け加えれば十分」というわけではない。
3. $\mathbb{R}(t)$：ex-rcont-rational-functions で示した。$\mathbb{N}$ が上に有界になることは、Archimedes の性質が成り立たないことそのものである。
4. $\mathbb{Z}$：空でない上に有界な部分集合 $S$ は最大元をもつ（上界 $N$ をとると $\{N-s\mid s\in S\}$ は空でない自然数の集合なので最小元をもち、それが $S$ の最大元を与える）。したがって上限性質はある。しかし $[0,1]$ の中の整数は $0,1$ だけで、$f(x)=2x-1$ は $f(0)=-1<0<1=f(1)$ を満たすのに零点をもたない（$\delta=1$ ととれば $f$ は連続である）。thm-rcont-ivt-evt の (i)⇒(ii) の証明では $c+\frac\delta2$ という $c$ と $c+\delta$ の間の元を使ったが、$\mathbb{Z}$ では $2$ で割れないので、その元が作れない。この定理で $K$ を体としたのはこのためである。
5. $\mathbb{R}(\!(t)\!)$：元は $a=\sum_{j\ge J}a_jt^j$（$J\in\mathbb{Z}$、$a_j\in\mathbb{R}$）の形の形式的Laurent級数で、体をなす（形式的Laurent級数 の記事）。$a\ne0$ について $0$ でない係数をもつ最小の指数を $v(a)$ と書き、$a_{v(a)}>0$ のとき $a>0$ と定めると順序体になる（正の元の和と積の最低次の係数は正である）。$\frac1n-t$ の最低次の係数は $\frac1n>0$ なので、$t$ はどの正の実数よりも小さい正の元であり、$\frac1t$ はすべての自然数より大きい。よって $\mathbb{N}$ は上に有界で、ex-rcont-rational-functions と同じ論法で上限をもたない。一方、この順序で Cauchy 列はすべて収束する。部分体 $\mathbb{R}(t)$ はこの中で稠密であり（$t$ を $\frac1t$ に取り替えると ex-rcont-rational-functions の順序体と同型になる）、$\mathbb{R}(\!(t)\!)$ はその Cauchy 列の極限を付け加えた体にあたる。Archimedes の性質がなければ、Cauchy 列の収束は上限性質を導かない（GO03 第 1 章 Example 7、p. 17）。
   Cauchy 列が収束することと稠密性の証明を開く

   $k\in\mathbb{Z}$ とする。$z\ne0$ が $\lvert z\rvert< t^k$ を満たせば $v(z)\ge k$ である（$v(z)< k$ なら $t^k-\lvert z\rvert$ の最低次の係数は負）。逆に $v(z)>k$ なら $\lvert z\rvert< t^k$ である。また任意の $\varepsilon>0$ について、$k>v(\varepsilon)$ なら $\varepsilon-t^k$ の最低次の係数は $\varepsilon$ のものなので $t^k<\varepsilon$ である。

   $(a_n)$ を Cauchy 列とする。$\varepsilon=t^0=1$ に対する番号 $N$ をとると、$n\ge N$ で $v(a_n-a_N)\ge0$ なので、指数が $J:=\min\{v(a_N),0\}$ より小さい係数はすべての $a_n$（$n\ge N$）で $0$ である（$a_N=0$ なら $J=0$）。各 $k\ge J$ について $\varepsilon=t^{k+1}$ を使うと、十分先の $m,n$ で $v(a_m-a_n)\ge k+1$、すなわち $a_m$ と $a_n$ の指数 $k$ 以下の係数はすべて一致する。その一定の値を $b_j$ とし、$b:=\sum_{j\ge J}b_jt^j$ とおく。$\varepsilon>0$ に対し $t^k<\varepsilon$ となる $k\ge J$ をとると、十分先の $n$ で $a_n$ と $b$ の指数 $k$ 以下の係数が一致するので $v(a_n-b)>k$、よって $\lvert a_n-b\rvert< t^k<\varepsilon$ である。したがって $a_n\to b$ である。

   稠密性：$b=\sum_{j\ge J}b_jt^j$ を $k$ 次までで切った $b^{(k)}:=\sum_{J\le j\le k}b_jt^j$ は $\mathbb{R}(t)$ に属し、$v(b-b^{(k)})>k$ なので $\lvert b-b^{(k)}\rvert< t^k$ となり、$b^{(k)}\to b$ である。