Lusinの定理

同義語：Luzinの定理Lusin's theoremLuzin's theorem

概要

前提知識: 測度, Lebesgue測度, 距離空間, 連続関数

可測関数は連続とは限らず、たとえば有理数の指示関数はどの点でも連続でない。それでも、Lebesgue 可測関数は「ほとんど連続」である。Lusin の定理（Lusin's theorem）は、$\mathbb{R}^n$ の可測集合 $E$ の上の実数値の Lebesgue 可測関数 $f$ と $\varepsilon>0$ に対し、閉集合 $F\subset E$ で $E\setminus F$ の Lebesgue 測度が $\varepsilon$ より小さく、$f$ の $F$ への制限 $f|_F$ が連続になるものがある、という定理である。Luzin とも綴り、Nikolai Luzin が 1912 年に示した（Axler20 p. 66）。
結論の「$f|_F$ が連続」は、「$f$ が $F$ の各点で連続」とは違う。$f|_F$ の連続性は、$F$ の外の値を見ないで判定するからである。有理数の指示関数は、無理数ばかりからなる閉集合に制限すれば定数 $0$ で連続になる（ex-lusin-dirichlet）。さらに Tietzeの拡張定理と組み合わせると、$f$ は測度の小さい集合の外で $\mathbb{R}^n$ 全体の連続関数に一致する。この記事では、閉集合と開集合で測度を近似できる距離空間の上の測度について定理を示し、$\mathbb{R}^n$ の場合を導く。逆に、測度が完備なら（Lebesgue 測度は完備である）、この性質をもつ関数は可測であり、Lusin の性質は可測性の特徴づけになっている。

設定

$(X,d)$ を距離空間とし、$\mathcal{B}(X)$ を $X$ の Borel 集合全体（開集合全体が生成する σ-代数）とする。$\mathcal{S}\supset\mathcal{B}(X)$ を σ-代数、$\mu$ を $\mathcal{S}$ の上の測度とする（測度の記事の定義「測度」）。関数 $f\colon X\to\mathbb{R}$ が $\mathcal{S}$-可測であるとは、すべての実数 $a$ について $\{f>a\}\in\mathcal{S}$ であることをいう。このとき、$\mathbb{R}$ のすべての開集合 $V$ について $f^{-1}(V)\in\mathcal{S}$ である（$V$ は有理数を端点とする開区間の可算個の和であり、$f^{-1}((a,b))=\{f>a\}\setminus\{f\ge b\}$、$\{f\ge b\}=\bigcap_k\{f>b-1/k\}$）。部分集合 $F\subset X$ への制限 $f|_F$ が連続であるとは、$F$ に $d$ を制限した距離空間の上の関数として連続であることをいう。

閉集合と開集合による近似

$\mu$ が条件 (R) をみたすとは、任意の $A\in\mathcal{S}$ と $\varepsilon>0$ に対し、閉集合 $F$ と開集合 $U$ で
$$ F\subset A\subset U,\qquad\mu(U\setminus F)<\varepsilon $$
となるものがあることをいう。

条件 (R) をみたす測度の代表例は次の 2 つである。

距離空間 $X$ の上の有限な Borel 測度（$\mathcal{S}=\mathcal{B}(X)$、$\mu(X)<\infty$）。これは Radon測度の記事の定理「距離空間上の有限Borel測度の正則性」である。
$\mathbb{R}^n$ の Lebesgue 可測集合全体 $\mathcal{L}_n$ の上の Lebesgue 測度 $\lambda_n$（lem-lusin-lebesgue-regular）。測度は有限でないが条件 (R) をみたす。

Lebesgue測度の正則性

$\lambda_n$ は $(\mathbb{R}^n,\mathcal{L}_n)$ の上で条件 (R) をみたす。

要点：原点を中心とする半径 $j$ の開球 $B_j$ に分けて、有限な Borel 測度の正則性を使い、外側からの開集合の近似を作る。内側の閉集合は補集合の外側の近似から得る。

詳しい証明を開く

$\mathcal{L}_n$ は $(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\lambda_n)$ の完備化である（Carathéodoryの拡張定理の記事の注意「Lebesgue測度の記事との関係」）。したがって $A\in\mathcal{L}_n$ には、Borel 集合 $C\subset A\subset D$ で $\lambda_n(D\setminus C)=0$ となるものがある。

外側の近似：$A\in\mathcal{L}_n$ と $\varepsilon>0$ をとる。$A_j:=A\cap B_j$ を Borel 集合 $D_j:=D\cap B_j$ で $A_j\subset D_j$、$\lambda_n(D_j\setminus A_j)=0$ と覆う。$\nu_j(G):=\lambda_n(G\cap B_j)$ は $\mathbb{R}^n$ の上の有限な Borel 測度なので、Radon測度の記事の定理「距離空間上の有限Borel測度の正則性」により開集合 $U'_j\supset D_j$ で $\nu_j(U'_j\setminus D_j)<\varepsilon2^{-j}$ となるものがある。$U_j:=U'_j\cap B_j$ は開集合で $A_j\subset U_j$ であり、$D_j\subset U_j\subset B_j$ と $\lambda_n(D_j\setminus A_j)=0$ により $\lambda_n(U_j\setminus A_j)=\nu_j(U_j\setminus D_j)\le\nu_j(U'_j\setminus D_j)<\varepsilon2^{-j}$ である。$U:=\bigcup_jU_j$ は $A$ を含む開集合で、$U\setminus A\subset\bigcup_j(U_j\setminus A_j)$ から $\lambda_n(U\setminus A)<\varepsilon$ である。

内側の近似：$\mathbb{R}^n\setminus A\in\mathcal{L}_n$ に外側の近似を使い、開集合 $V\supset\mathbb{R}^n\setminus A$ で $\lambda_n(V\setminus(\mathbb{R}^n\setminus A))<\varepsilon$ となるものをとる。$F:=\mathbb{R}^n\setminus V$ は閉集合で $F\subset A$、$A\setminus F=A\cap V=V\setminus(\mathbb{R}^n\setminus A)$ なので $\lambda_n(A\setminus F)<\varepsilon$ である。

$\lambda_n(U\setminus F)\le\lambda_n(U\setminus A)+\lambda_n(A\setminus F)<2\varepsilon$ であり、$\varepsilon$ は任意なので条件 (R) が成り立つ。$\square$

主定理

Lusinの定理

$(X,d)$ を距離空間、$\mu$ を σ-代数 $\mathcal{S}\supset\mathcal{B}(X)$ の上の測度で条件 (R) をみたすものとし、$f\colon X\to\mathbb{R}$ を $\mathcal{S}$-可測とする。任意の $\varepsilon>0$ に対し、閉集合 $F\subset X$ で
$$ \mu(X\setminus F)<\varepsilon,\qquad f|_F\text{ は連続} $$
となるものがある。

有理数を端点とする開区間の全体を $V_1,V_2,\ldots$ と並べる。$A_k:=f^{-1}(V_k)\in\mathcal{S}$ に条件 (R) を使い、閉集合 $F_k$ と開集合 $U_k$ で
$$ F_k\subset A_k\subset U_k,\qquad\mu(U_k\setminus F_k)<\varepsilon2^{-k} $$
となるものをとる。
$$ F:=X\setminus\bigcup_{k\ge1}(U_k\setminus F_k)=\bigcap_{k\ge1}\bigl((X\setminus U_k)\cup F_k\bigr) $$
とおく。右辺の各項は 2 つの閉集合の和なので閉集合であり、$F$ は閉集合である。可算劣加法性により $\mu(X\setminus F)\le\sum_k\mu(U_k\setminus F_k)<\varepsilon$ である。
$f|_F$ が連続であることを示す。各 $k$ について
$$ (f|_F)^{-1}(V_k)=A_k\cap F=U_k\cap F $$
である。実際、$A_k\subset U_k$ から左の集合は右の集合に含まれる。逆に $x\in U_k\cap F$ なら、$x\in F$ から $x\notin U_k\setminus F_k$ であり、$x\in U_k$ なので $x\in F_k\subset A_k$ である。$U_k\cap F$ は $F$ の開集合なので、$V_k$ の $f|_F$ による逆像は $F$ の開集合である。$\mathbb{R}$ の開集合はいくつかの $V_k$ の和なので、その逆像も $F$ の開集合であり、$f|_F$ は連続である。$\square$

証明は、各 $V_k$ の逆像を内側の閉集合と外側の開集合で挟み、挟みきれなかった差 $U_k\setminus F_k$ を全部捨てる、というものである。捨てた後の $F$ の上では $f^{-1}(V_k)$ が開集合 $U_k$ で切り取られるので、連続性が得られる。$\mathbb{R}$ の位相が可算個の開区間で生成されることが、差の測度の和を $\varepsilon$ 未満に抑えるために要る。

Euclid 空間の場合

Euclid空間でのLusinの定理

$E\subset\mathbb{R}^n$ を Lebesgue 可測集合、$f\colon E\to\mathbb{R}$ を Lebesgue 可測関数とし、$\varepsilon>0$ とする。

$\mathbb{R}^n$ の閉集合 $F\subset E$ で $\lambda_n(E\setminus F)<\varepsilon$ かつ $f|_F$ が連続となるものがある。
1 の $F$ について、連続関数 $g\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ で $F$ の上で $g=f$ となるものがある。$M\ge0$ について $E$ の上で $\lvert f\rvert\le M$ ならば、$\mathbb{R}^n$ の上で $\lvert g\rvert\le M$ となるようにとれる。
とくに、$f$ と連続関数 $g$ は、測度が $\varepsilon$ より小さい集合の外で一致する。

1：$f$ を $E$ の外で $0$ と定めて $\mathbb{R}^n$ 上の関数 $\tilde f$ にすると、$\{\tilde f>a\}$ は $\{f>a\}$ か $\{f>a\}\cup(\mathbb{R}^n\setminus E)$ なので $\tilde f$ は Lebesgue 可測である。lem-lusin-lebesgue-regular と thm-lusin-main により、閉集合 $C$ で $\lambda_n(\mathbb{R}^n\setminus C)<\varepsilon/2$ かつ $\tilde f|_C$ が連続となるものがある。$C\cap E\in\mathcal{L}_n$ に条件 (R) を使い、閉集合 $F\subset C\cap E$ で $\lambda_n((C\cap E)\setminus F)<\varepsilon/2$ となるものをとる。$E\setminus F\subset(\mathbb{R}^n\setminus C)\cup((C\cap E)\setminus F)$ なので $\lambda_n(E\setminus F)<\varepsilon$ であり、$f|_F=\tilde f|_F$ は連続関数 $\tilde f|_C$ の制限なので連続である。
2：距離空間は Tietzeの拡張定理の仮定（正規性条件）をみたす（同記事の例「距離空間での延長」）。$F$ は閉集合なので、同記事の定理「Tietzeの拡張定理」の 2 により $f|_F$ は連続関数 $g\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ に延長できる。$\lvert f\rvert\le M$ なら $f|_F$ は $[-M,M]$ に値をとるので、同じ定理の 1 により $g$ も $[-M,M]$ に値をとるようにとれる。$\square$

逆向きの主張

Lusin の定理の結論をみたす関数は、測度が完備なら可測である。したがって、完備な測度について、条件 (R) のもとで Lusin の定理の結論は可測性と同値である。

結論から可測性へ

$(X,d)$ を距離空間、$\mu$ を σ-代数 $\mathcal{S}\supset\mathcal{B}(X)$ の上の完備な測度とする。関数 $f\colon X\to\mathbb{R}$ が、任意の $\varepsilon>0$ に対し、閉集合 $F$ で $\mu(X\setminus F)<\varepsilon$ かつ $f|_F$ が連続となるものをもつならば、$f$ は $\mathcal{S}$-可測である。

各 $k\ge1$ について、閉集合 $F_k$ で $\mu(X\setminus F_k)<1/k$ かつ $f|_{F_k}$ が連続となるものをとる。$Z:=X\setminus\bigcup_kF_k$ は $\mathcal{S}$ に属し、すべての $k$ で $\mu(Z)\le\mu(X\setminus F_k)<1/k$ なので $\mu(Z)=0$ である。実数 $a$ について
$$ \{f>a\}=\bigcup_k\{x\in F_k\mid f(x)>a\}\ \cup\ (\{f>a\}\cap Z) $$
である。$\{x\in F_k\mid f(x)>a\}=(f|_{F_k})^{-1}((a,\infty))$ は $F_k$ の開集合なので、$X$ の開集合 $O$ を使って $F_k\cap O$ と書け、Borel 集合である。$\{f>a\}\cap Z$ は零集合 $Z$ の部分集合なので、$\mu$ の完備性により $\mathcal{S}$ に属する。よって $\{f>a\}\in\mathcal{S}$ である。$\square$

例

有理数の指示関数

$f:=1_{\mathbb{Q}\cap[0,1]}$ を $[0,1]$ の上で考える。$f$ は $[0,1]$ のどの点でも連続でない。一方、$\varepsilon>0$ に対し、$[0,1]$ の有理数を $q_1,q_2,\ldots$ と並べて
$$ F:=[0,1]\setminus\bigcup_{k\ge1}\bigl(q_k-\varepsilon2^{-k-2},\ q_k+\varepsilon2^{-k-2}\bigr) $$
とおくと、$F$ は閉集合で $\lambda_1([0,1]\setminus F)\le\sum_k\varepsilon2^{-k-1}=\varepsilon/2<\varepsilon$ であり、$F$ は無理数だけからなるので $f|_F=0$ は連続である（Axler20 p. 66 の注意。無理数の指示関数での同じ例は Bass24 Example 5.16）。$F$ の点で $f$ が連続になったわけではない。

跳びのある関数

$f:=1_{[0,1/2]}$ を $[0,1]$ の上で考え、$0<\delta<\min\{\varepsilon,1/2\}$ とする。$F:=[0,1/2]\cup[1/2+\delta,1]$ は閉集合で $\lambda_1([0,1]\setminus F)=\delta<\varepsilon$ であり、$f|_F$ は $[0,1/2]$ の上で $1$、$[1/2+\delta,1]$ の上で $0$ である。この 2 つの閉集合は距離 $\delta$ だけ離れているので、$f|_F$ は連続である。一方、$\lambda_1([0,1]\setminus F)=0$ となる閉集合 $F\subset[0,1]$ では $f|_F$ は連続にならない（ex-lusin-counter-zero）。

反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
$\varepsilon>0$（例外集合の測度を $0$ にする）	$[0,1]$ 上の $1_{[0,1/2]}$	測度 $0$ の集合の外での連続性
条件 (R)	$[0,1]$ の Borel 集合全体の上の数え上げ測度、$1_{[0,1/2]}$	$\mu(X\setminus F)<1$ となる閉集合 $F$ の上での連続性
$f$ が実数値	$[0,1/2]$ の上で $+\infty$、$(1/2,1]$ の上で $0$	$\lambda_1([0,1]\setminus F)<1/2$ となる $F$ の上で実数値の連続関数になること
$f$ の可測性	可測でない集合 $V\subset[0,1]$ の指示関数	任意の $\varepsilon>0$ についての結論

反例：例外集合を零集合にはできない

$f:=1_{[0,1/2]}$ を $[0,1]$ の上で考える。閉集合 $F\subset[0,1]$ で $\lambda_1([0,1]\setminus F)=0$ となるものは $[0,1]$ 自身に限るので、$f|_F=f$ は $1/2$ で連続でない。

確かめる

$[0,1]\setminus F$ は $[0,1]$ の相対開集合である。空でなければ、ある $x$ と $r>0$ について $(x-r,x+r)\cap[0,1]$ を含み、その測度は正である。よって $\lambda_1([0,1]\setminus F)=0$ なら $F=[0,1]$ である。

$f$ は Lebesgue 可測で、$[0,1]$ の上の Lebesgue 測度は条件 (R) をみたす（lem-lusin-lebesgue-regular で得た閉集合と開集合のうち、開集合を $[0,1]$ と交わらせればよい）。この反例は、結論の「例外集合の測度が $\varepsilon$ より小さい」を「例外集合の測度が $0$」に強められないことを示す。

反例：閉集合で近似できない測度

$X=[0,1]$、$\mathcal{S}$ を $[0,1]$ の Borel 集合全体、$\mu$ を数え上げ測度とし、$f:=1_{[0,1/2]}$ とする。$f$ は Borel 可測である。閉集合 $F$ で $\mu([0,1]\setminus F)<1$ となるものは $[0,1]$ だけなので、$\varepsilon<1$ について Lusin の定理の結論は成り立たない。$\mu$ は条件 (R) をみたさない：$A:=[0,1/2)$ について、閉集合 $F\subset A\subset U$（$U$ は開集合）で $\mu(U\setminus F)<1$ なら $F=A$ となるが、$A$ は $[0,1]$ の閉集合でない。満たさない性質は条件 (R)、破る含意は「可測関数は測度の小さい集合を除けば連続」である。

反例：値に無限大をとる関数

$[0,1]$ の上で、$x\le1/2$ なら $f(x):=+\infty$、$x>1/2$ なら $f(x):=0$ とおく。$f$ は $[-\infty,\infty]$ に値をとる可測関数だが、$\lambda_1([0,1]\setminus F)<1/2$ となる閉集合 $F$ は $[0,1/2]$ と交わるので、$f|_F$ は実数値でない。満たさない性質は「$f$ が実数値」である。$f$ が $\pm\infty$ をとる集合が零集合なら、その集合を例外集合に加えればよい（Tao11 Remark 1.3.29）。

反例：可測でない関数

$V\subset[0,1]$ を Lebesgue 可測でない集合とする（Vitali集合）。$[0,1]$ の上の Lebesgue 測度は完備なので、$1_V$ が Lusin の定理の結論をすべての $\varepsilon>0$ についてみたすとすると、prop-lusin-converse により $1_V$ は可測、すなわち $V$ は可測になって矛盾する。よって、ある $\varepsilon>0$ について、$\lambda_1([0,1]\setminus F)<\varepsilon$ かつ $1_V|_F$ が連続となる閉集合 $F$ はない。満たさない性質は $f$ の可測性である。

補足

別の証明：Axler20 2.91（pp. 66–67）は、まず単関数の場合を示し、一般の場合は単関数の列で各点近似して Egorovの定理で一様収束に変える、という証明を与えている。この記事の証明は、$\mathbb{R}$ の位相が可算個の開区間から生成されることを使い、単関数を経由しない。Bass24 Theorem 5.15（pp. 48–49）は $[0,1]$ の上の場合を、単関数の一様収束する級数で示している。
文献の形：Tao11 Theorem 1.3.28（p. 77）は $\mathbb{R}^d$ の上の絶対可積分関数について述べ、Remark 1.3.29・1.3.30（p. 78）で値に無限大をとる場合と Tietzeの拡張定理との組み合わせに触れている。Axler20 2.93（p. 68）は thm-lusin-euclid の形（$n=1$、Borel 可測関数）を述べている。
Littlewood の原理：「可測集合はほとんど有限個の区間の和」「可積分関数はほとんど連続」「各点収束する関数列はほとんど一様収束」という 3 つの経験則は Littlewood の 3 原理と呼ばれる（Tao11 §1.3.5、p. 72）。Lusin の定理は 2 番目の、Egorovの定理は 3 番目の原理を正確にした形である（同書 pp. 75–77）。