Cantor集合

1. $t_{a0}=t_a$、$t_{a2}=t_a+2\cdot3^{-(n+1)}$ なので、$I_{a0}$、$I_{a2}$ は def-cantor-set の直後に書いた閉区間であり、主張は $t_a< t_a+3^{-(n+1)}< t_a+2\cdot3^{-(n+1)}< t_a+3^{-n}$ から従う。$C_{n+1}$ の各区間は $C_n$ のある区間に含まれるので $C_{n+1}\subset C_n$ である。
2. 1 を繰り返し使うと、$a\in\{0,2\}^n$ と $m\le n$ について、$a$ の最初の $m$ 項からなる列 $a|_m$ に対し $I_a\subset I_{a|_m}$ である。$a\neq a'$ とし、$a_k\neq a'_k$ となる最小の $k$ をとる。$a_k=0$、$a'_k=2$ としてよい。$b:=a|_k=a'|_k$ とおくと、$I_a\subset I_{b0}$、$I_{a'}\subset I_{b2}$ であり、1 により $I_{b0}$ の右端 $t_b+3^{-(k+1)}$ は $I_{b2}$ の左端 $t_b+2\cdot3^{-(k+1)}$ より小さいので、$I_{b0}\cap I_{b2}=\emptyset$ である。よって $I_a\cap I_{a'}=\emptyset$ である。$\square$

$\varphi$ の像が $C$ に含まれることと $\varphi$ が単射であることは、上で述べたとおり 非可算集合 の記事の命題「Cantor集合の非可算性」の証明による。$C\subset\varphi(\{0,1\}^{\mathbb{N}})$ を示す。
$x\in C$ とする。各 $n$ について $x\in C_n$ なので、$x\in I_a$ となる $a\in\{0,2\}^n$ があり、lem-cantor-set-intervals の 2 によりそれはただ 1 つである。これを $a^{(n)}$ と書く。$x\in I_{a^{(n+1)}}\subset I_{a^{(n+1)}|_n}$ なので、一意性から $a^{(n+1)}|_n=a^{(n)}$ である。したがって $a^{(n)}$ たちはある無限列 $(a_0,a_1,\dots)\in\{0,2\}^{\mathbb{N}}$ の最初の $n$ 項になっている。$s_k:=a_k/2$ とおくと、($\ast$) により $\varphi(s)\in I_{a^{(n)}}$ であり、$x\in I_{a^{(n)}}$ でもあるので、$|x-\varphi(s)|\le3^{-n}$ である。これがすべての $n$ で成り立つので $x=\varphi(s)$ である。各段の $a^{(n)}$ は一意に定まるので、この議論に選択公理は要らない。
以上で $\varphi$ は全単射である。表示の一意性は $\varphi$ の単射性の言い換えである。基数 の記事の定義「基数の算術」により $|\{0,1\}^{\mathbb{N}}|=2^{\aleph_0}$ なので $|C|=2^{\aleph_0}$ であり、Cantor の定理（Cantorの定理）により $2^{\aleph_0}>\aleph_0$ なので $C$ は非可算である。$\square$

各 $C_n$ は有限個の閉区間の和集合なので閉集合であり、$C$ は閉集合の共通部分なので閉集合である。$C\subset[0,1]$ は有界なので、Heine-Borelの定理（コンパクト空間 の定理「有界閉集合とコンパクト性の一致」）により $C$ はコンパクトである。$0\in C$（$0=\varphi(0,0,\dots)$）なので $C$ は空でない。
$C\subset C_n$ であり、$C_n$ は長さ $3^{-n}$ の閉区間 $2^n$ 個の和集合なので、Lebesgue 測度 $\lambda$ について $\lambda(C)\le\lambda(C_n)\le2^n3^{-n}=(2/3)^n$ である。$n\to\infty$ として $\lambda(C)=0$ を得る。長さ $\ell>0$ の区間 $J$ が $C$ に含まれれば $\ell=\lambda(J)\le\lambda(C)=0$ となり矛盾する。$\mathbb{R}$ の空でない開集合は長さが正の開区間を含むので、$C$ の内部は空である。$C$ は閉集合なので閉包も $C$ であり、閉包の内部が空であるから $C$ は疎集合である。$\square$

1. $x\in C$、$\varepsilon>0$ とし、$3^{-n}<\varepsilon$ となる $n$ をとる。thm-cantor-set-ternary により $x=\varphi(s)$ と書ける。$s$ の最初の $n$ 項は変えずに、第 $n$ 項以降をすべて $0$ にした列を $s'$、すべて $1$ にした列を $s''$ とすると、$\varphi(s')\neq\varphi(s'')$ であり（$\varphi$ は単射）、どちらも $C$ の点で、最初の $n$ 項が $s$ と一致するので $|\varphi(s')-x|\le3^{-n}<\varepsilon$、$|\varphi(s'')-x|<\varepsilon$ である。$\varphi(s')$ と $\varphi(s'')$ の少なくとも一方は $x$ と異なるので、$x$ の $\varepsilon$ 近傍は $x$ 以外の $C$ の点を含む。$C$ は閉集合なので（prop-cantor-set-measure-zero）、$C$ は完全集合である。
2. $x=\varphi(s)$、$y=\varphi(s')$ と書き、$s_k\neq s'_k$ となる最小の $k$ をとる。上の評価から、$s_k=1$、$s'_k=0$ なら $x>y$ となるので、$x< y$ より $s_k=0$、$s'_k=1$ である。$b:=(2s_0,\dots,2s_{k-1})\in\{0,2\}^k$ とおくと、($\ast$) により $x\in I_{b0}$、$y\in I_{b2}$ である。
   $$z:=t_b+\frac32\cdot3^{-(k+1)}$$
   とおくと、lem-cantor-set-intervals の 1 により $z$ は $I_{b0}$ と $I_{b2}$ の間の開区間に属するので $x< z< y$ である。$z\in I_b$ であり、$C_{k+1}$ を作る区間のうち $I_{b0},I_{b2}$ 以外のものは $I_b$ と異なる $I_{b'}$（$b'\in\{0,2\}^k$）に含まれ、lem-cantor-set-intervals の 2 により $I_b$ と交わらない。よって $z\notin C_{k+1}$、したがって $z\notin C$ である。
   $A\subset C$ が相異なる 2 点 $x< y$ を含めば、上の $z$ について $A\cap(-\infty,z)$ と $A\cap(z,\infty)$ は $A$ の空でない開集合で、交わらず、合わせて $A$ になるので、$A$ は連結でない。よって $C$ の連結（連結空間）な部分集合は 1 点以下であり、連結成分はすべて 1 点である。$\square$

$s\in\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ に対し、先頭に $i\in\{0,1\}$ を付け加えた列を $is:=(i,s_0,s_1,\dots)$ と書く。定義から
$$\varphi(0s)=\frac13\varphi(s),\qquad\varphi(1s)=\frac23+\frac13\varphi(s)$$
である。$\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ の元は $0s$ か $1s$ のどちらかの形にただ 1 通りに書けるので、thm-cantor-set-ternary により 1 の等式が成り立つ。$\tfrac13C\subset[0,\tfrac13]$、$\tfrac23+\tfrac13C\subset[\tfrac23,1]$ なので両者は交わらない。
2. $\bar s_k:=1-s_k$ とおくと、$\sum_{k\ge0}2\cdot3^{-(k+1)}=1$ より $\varphi(\bar s)=1-\varphi(s)$ である。$\square$

thm-cantor-set-ternary により $\varphi$ は全単射である。
$\varphi$ の連続性：$s\in\{0,1\}^{\mathbb{N}}$、$\varepsilon>0$ とし、$3^{-n}<\varepsilon$ となる $n$ をとる。$s'\in U_{s,n}$ なら $s$ と $s'$ は最初の $n$ 項で一致するので $|\varphi(s')-\varphi(s)|\le3^{-n}<\varepsilon$ である。
逆写像の連続性：$x=\varphi(s)\in C$ と $n$ をとる。$y=\varphi(s')\in C$ が $|y-x|<3^{-n}$ を満たすとする。$s'\neq s$ なら、$s_k\neq s'_k$ となる最小の $k$ について $|\varphi(s)-\varphi(s')|\ge3^{-(k+1)}$ なので、$3^{-(k+1)}<3^{-n}$、すなわち $k\ge n$ である。よって $s'\in U_{s,n}$ であり、$\varphi^{-1}$ は $x$ で連続である。
$C$ はコンパクトなので（prop-cantor-set-measure-zero）、それと同相な $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ もコンパクトである。$\square$

thm-cantor-set-ternary により $\varphi$ は全単射なので、$F$ は矛盾なく定まる。級数は $\sum_k2^{-(k+1)}=1$ で抑えられ、値は $[0,1]$ に属する。

1. 全射であること：$u\in[0,1)$ に対し $s_k:=\lfloor2^{k+1}u\rfloor-2\lfloor2^ku\rfloor\in\{0,1\}$ とおくと、$\sum_{k< n}s_k2^{-(k+1)}=\lfloor2^nu\rfloor/2^n$（和が打ち消し合う）であり、これは $u$ に収束するので $F(\varphi(s))=u$ である。$u=1$ にはすべての項が $1$ の列が対応する。単調であること：$x=\varphi(s)< y=\varphi(s')$ とし、$s_k\neq s'_k$ となる最小の $k$ をとる。thm-cantor-set-ternary の前の評価から $s_k=0$、$s'_k=1$ であり、
   $$F(y)-F(x)=\frac1{2^{k+1}}+\sum_{j>k}\frac{s'_j-s_j}{2^{j+1}}\ge\frac1{2^{k+1}}-\sum_{j>k}\frac1{2^{j+1}}=0$$
   である。
2. $0\in C$ なので上限をとる集合は空でなく、$\overline F$ は定まり値は $[0,1]$ に属する。$x\le x'$ なら上限をとる集合が大きくなるので $\overline F(x)\le\overline F(x')$ である。$x\in C$ なら 1 の単調性から $\overline F(x)=F(x)$ である。とくに $\overline F(0)=F(\varphi(0,0,\dots))=0$、$\overline F(1)=F(\varphi(1,1,\dots))=1$ である。1 により $\overline F([0,1])\supset F(C)=[0,1]$ なので $\overline F([0,1])=[0,1]$ である。$\overline F$ がある点 $x_0$ で連続でないとすると、単調性から左極限 $L^-:=\lim_{x\uparrow x_0}\overline F(x)$ と右極限 $L^+:=\lim_{x\downarrow x_0}\overline F(x)$（端点では片側だけ）が存在し、$L^-<\overline F(x_0)$ または $\overline F(x_0)< L^+$ である。前者なら、$x< x_0$ では $\overline F(x)\le L^-$、$x\ge x_0$ では $\overline F(x)\ge\overline F(x_0)$ なので、開区間 $(L^-,\overline F(x_0))\subset[0,1]$ の値は $\overline F$ の値にならない。これは $\overline F([0,1])=[0,1]$ に反する。後者も同様である。よって $\overline F$ は連続である。
3. $x\in[0,1]\setminus C$ とする。$x\in C_0$ かつ $x\notin C$ なので、$x\notin C_{m}$ となる最小の $m\ge1$ がある。$n:=m-1$ とすると $x\in I_b$ となる $b\in\{0,2\}^n$ があり、$x\notin I_{b0}\cup I_{b2}$ なので、lem-cantor-set-intervals の 1 により $x$ は開区間
   $$G:=(u,v),\qquad u:=t_b+3^{-(n+1)},\quad v:=t_b+2\cdot3^{-(n+1)}$$
   に属する。prop-cantor-set-perfect の 2 の証明と同じく $G\cap C_{n+1}=\emptyset$ なので $G\cap C=\emptyset$ であり、$x'\in G$ について $\{c\in C\mid c\le x'\}=\{c\in C\mid c\le u\}$、したがって $\overline F(x')=\overline F(u)$ である。$\overline F$ は $G$ 上で定数なので、$G$ の各点で微分係数は $0$ である。なお $b=(2r_0,\dots,2r_{n-1})$ とすると $u=\varphi(r_0,\dots,r_{n-1},0,1,1,\dots)$、$v=\varphi(r_0,\dots,r_{n-1},1,0,0,\dots)$ であり、$2$ 進小数 $0.\cdots0111\cdots$ と $0.\cdots1000\cdots$ は等しいので $F(u)=F(v)$ である。$\overline F$ は閉区間 $[u,v]$ 上で定数である。$\square$