原始元定理

$(f,g)=(d)$ なので、$d=uf+vg$ となる $u,v\in K[x]$ がある（Bézoutの等式）。$d$ は $K[x]$ で $f,g$ を割り切るので、$E[x]$ でも割り切る。$h\in E[x]$ が $E[x]$ で $f,g$ を割り切れば、$h$ は $uf+vg=d$ を割り切る。よって $d$ は $E[x]$ における $f,g$ の公約元のうちすべての公約元で割り切れるモニックな多項式であり、$E[x]$ における最大公約数である。$\square$

1：$s=1$ なら $g=x-\beta$ なので $\beta\in K$ であり、$L=K(\alpha)=K(\alpha+c\beta)$ である。以下 $s\ge2$ とする。このとき $c=0$ は条件を満たさない（$i=1$、$j=2$ で両辺がともに $\alpha$ になる）ので、$c\neq0$ である。
$\theta:=\alpha+c\beta$、$M:=K(\theta)\subset L$ とおき、
$$ h(x):=f(\theta-cx)\in M[x] $$
を考える。$f$ の次数を $n$ とすると、$h$ の $x^n$ の係数は $(-c)^n\neq0$ なので $h\neq0$ である。$h(\beta)=f(\theta-c\beta)=f(\alpha)=0$、$g(\beta)=0$ なので、$\beta$ は $g$ と $h$ の共通の根である。
$g$ と $h$ の $\Omega$ における共通の根は $\beta$ だけである。実際 $2\le j\le s$ について $h(\beta_j)=0$ とすると、$\theta-c\beta_j$ は $f$ の根なので、ある $i$ で $\theta-c\beta_j=\alpha_i$、すなわち $\alpha_i+c\beta_j=\alpha+c\beta$ となり、$c$ の条件に反する。
$\Omega[x]$ において $g=\prod_{j=1}^s(x-\beta_j)$ であり、$\beta_j$ は相異なる。$g$ と $h$ の $\Omega[x]$ におけるモニックな公約元は、$g$ のモニックな約元なので、いくつかの相異なる $x-\beta_j$ の積である（$\Omega[x]$ は一意分解整域で、$1$ 次式は既約である）。その各因子の根 $\beta_j$ は $h$ の根でもあるので、上により $j=1$ に限る。$x-\beta$ は実際に $g$ と $h$ を割り切るので、$\Omega[x]$ における $g$ と $h$ の最大公約数は $x-\beta$ である。
$g,h\in M[x]$ なので、lem-primitive-element-gcd を $M\subset\Omega$ に適用すると、$M[x]$ における $g,h$ の最大公約数も $x-\beta$ である。よって $x-\beta\in M[x]$、すなわち $\beta\in M$ であり、$\alpha=\theta-c\beta\in M$ である。したがって $L=K(\alpha,\beta)\subset M\subset L$、すなわち $L=K(\theta)$ である。
2：$1\le i\le r$、$2\le j\le s$ を固定する。$\beta_j\neq\beta$ なので、$\alpha_i+c\beta_j=\alpha+c\beta$ を満たす $c\in\Omega$ は $c=(\alpha_i-\alpha)/(\beta-\beta_j)$ のただ 1 つである。組 $(i,j)$ は $r(s-1)$ 個なので、条件を破る $c\in K$ は高々 $r(s-1)$ 個である。残りの主張は 1 から従う。$\square$

rem-primitive-element-sources のとおり 1 は 2 に含まれるので、2 を示す。
$K$ が有限体の場合：$L/K$ は有限次なので、$L$ も有限体である（元の個数は $K$ の元の個数の $[L:K]$ 乗）。有限体の乗法群 $L^\times$ は巡回群である（有限体 の記事の定理「有限体の乗法群の構造」）。その生成元を $\theta$ とすると、$L$ の $0$ でない元はすべて $\theta$ の冪なので $L=K(\theta)$ である。この場合 $\beta_i$ の分離性は使わない。
$K$ が無限体の場合：$r$ についての数学的帰納法で、$\theta=\alpha+c_1\beta_1+\cdots+c_r\beta_r$ の形の原始元があることを示す。$r=0$ なら $L=K(\alpha)$ で、$\theta=\alpha$ でよい。$r\ge1$ とし、$r-1$ では成り立つとする。$L':=K(\alpha,\beta_1,\dots,\beta_{r-1})$ は $L$ の中間体なので $K$ 上有限次であり、帰納法の仮定により $L'=K(\theta')$、$\theta'=\alpha+c_1\beta_1+\cdots+c_{r-1}\beta_{r-1}$ と書ける。すると $L=L'(\beta_r)=K(\theta',\beta_r)$ で、$\theta'$ と $\beta_r$ は $K$ 上代数的（$L/K$ が有限次なので）、$\beta_r$ は $K$ 上分離的である。lem-primitive-element-two の 2 により、ある $c_r\in K$ について $L=K(\theta'+c_r\beta_r)$ であり、$\theta'+c_r\beta_r=\alpha+c_1\beta_1+\cdots+c_r\beta_r$ である。$\square$

1 ⇒ 2：$L=K(\theta)$ とし、$f:=m_{\theta,K}$ とおく。中間体 $M$ に対し、$\theta$ の $M$ 上の最小多項式 $g_M:=m_{\theta,M}\in M[x]$ を考える。$f\in K[x]\subset M[x]$ は $\theta$ を根にもつので、$M[x]$ で $g_M\mid f$ であり、したがって $L[x]$ でも $g_M\mid f$ である。
$M$ は $g_M$ から決まることを示す。$g_M$ の係数を $K$ に添加した体を $M_0$ とすると、$M_0\subset M$ である。$g_M\in M_0[x]$ は $\theta$ を根にもつモニックな多項式であり、$M[x]$ で既約なので $M_0[x]$ でも既約である（$M_0[x]$ での分解はそのまま $M[x]$ での分解になる）。よって $g_M=m_{\theta,M_0}$ である。$L=K(\theta)$ なので $L=M(\theta)=M_0(\theta)$ であり、
$$ [L:M]=\deg g_M=[L:M_0] $$
である。拡大次数の乗法性（体の拡大 の記事の定理「拡大次数の乗法性」）により $[L:M_0]=[L:M][M:M_0]$ なので $[M:M_0]=1$、すなわち $M=M_0$ である。
したがって、中間体 $M$ に $g_M$ を対応させる写像は単射である。その像は $f$ の $L[x]$ におけるモニックな約元の集合に含まれる。$L[x]$ は一意分解整域なので、$f=p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}$（$p_i$ は相異なるモニックな既約多項式、$e_i\ge1$）と書け、$f$ のモニックな約元は $p_1^{d_1}\cdots p_k^{d_k}$（$0\le d_i\le e_i$）の形のものに限る。その個数は $(e_1+1)\cdots(e_k+1)$ で有限なので、中間体も有限個である。
2 ⇒ 1：$K$ が有限体なら、$L$ は有限体で、prf-primitive-element の前半と同じく単純拡大である。$K$ が無限体の場合、まず次を示す。
(＊) 中間体が有限個の拡大 $L/K$ の 2 元 $\alpha,\beta\in L$ について、$K(\alpha,\beta)=K(\alpha+c\beta)$ となる $c\in K$ がある。
$c\in K$ ごとに中間体 $M_c:=K(\alpha+c\beta)$ を考える。$K$ は無限集合で中間体は有限個なので、$c\neq c'$ で $M_c=M_{c'}$ となるものがある。この体を $M$ とすると $(c-c')\beta=(\alpha+c\beta)-(\alpha+c'\beta)\in M$ であり、$c-c'\neq0$ なので $\beta\in M$、$\alpha=(\alpha+c\beta)-c\beta\in M$ である。よって $K(\alpha,\beta)\subset M=K(\alpha+c\beta)\subset K(\alpha,\beta)$ である。
$L/K$ は有限次なので $L=K(\gamma_1,\dots,\gamma_m)$ と書ける（基底をとればよい）。$m$ が最小になるように生成元をとり、$m\ge2$ と仮定すると、(＊) により $K(\gamma_1,\gamma_2)=K(\delta)$ となる $\delta$ があり、$L=K(\delta,\gamma_3,\dots,\gamma_m)$ は $m-1$ 個の元で生成されて $m$ の最小性に反する。よって $m\le1$ であり、$L/K$ は単純拡大である（$m=0$ なら $L=K=K(0)$）。$\square$

thm-primitive-element の 1 により単純拡大であり、thm-primitive-element-intermediate の 1 ⇒ 2 により中間体は有限個である。$\square$

thm-primitive-element の 1 により $L=K(\theta)$ と書ける。$L/K$ は分離拡大なので $\theta$ は分離的である。分離拡大 の記事の命題「単純拡大の埋め込みの個数」により、$K$ 上の埋め込み $K(\theta)\to\Omega$ の個数は $\deg m_{\theta,K}=[K(\theta):K]=[L:K]$ に等しい。$\square$