Hodge–Riemann双線形関係

$\omega$ の定める Kähler 計量をとる。$\xi\in P^{p,q}(X)$ の調和代表を $\alpha$ とする。Hodge分解 の定理「Hodge 分解定理」の 4 により $\alpha$ は型 $(p,q)$ であり、Hard Lefschetz定理 の主定理の 4 により各点で原始的である。$\Delta$ は実の作用素なので $\bar\alpha$ は調和で、$\bar\xi$ の代表である。
1．$\eta$ の調和代表 $\beta$ は型 $(p',q')$ で、$\omega^{n-k}\wedge\alpha\wedge\beta$ は型 $(n-k+p+p',\,n-k+q+q')$ である。$2n$ 次形式で $0$ でありうるのは型 $(n,n)$ だけなので、$p+p'=k$、すなわち $p'=q$、$q'=p$ でなければ積分は $0$ である。
2．rem-hr-cited を各点で使って積分すると
$$ i^{p-q}Q(\xi,\bar\xi)=\int_Xi^{p-q}(-1)^{k(k-1)/2}\,\omega^{n-k}\wedge\alpha\wedge\bar\alpha=(n-k)!\,\|\alpha\|^2 $$
である。$\xi\neq0$ なので $\alpha\neq0$ で、右辺は正である。
3．Hermite 形式であることは $\overline{i^{p-q}Q(\xi,\bar\eta)}=i^{q-p}Q(\bar\xi,\eta)=i^{q-p}(-1)^kQ(\eta,\bar\xi)=i^{p-q}Q(\eta,\bar\xi)$（$(-1)^ki^{q-p}=i^{p-q}$ は $p+q=k$ による）から、正定値であることは 2 から分かる。非退化性：$0\neq\xi=\sum_{p+q=k}\xi^{p,q}\in P^k(X)$（Hard Lefschetz定理 の主定理の 3 による分解）について $\eta:=\sum_{p+q=k}i^{p-q}\,\overline{\xi^{p,q}}\in P^k(X)$ とおくと、1 により $Q(\xi,\eta)=\sum_{p+q=k}i^{p-q}Q(\xi^{p,q},\overline{\xi^{p,q}})>0$ である。$\square$

$\Lambda$ は型を $(-1,-1)$ ずらすので、$(p,0)$ 形式に $\Lambda$ を施すと $0$ である。$\alpha=\sum_{|I|=p}a_I\theta_I$ と書き、冒頭の式で $\omega^{n-p}\wedge\alpha\wedge\bar\alpha$ を展開すると、$\theta_I\wedge\bar\theta_J$ のうち $I=J$ の項だけが残る。

実の場合．実 $(1,1)$ 形式は $\alpha=\frac i2\sum_{j,k}a_{jk}\theta_j\wedge\bar\theta_k$ と書け、$\bar\alpha=\alpha$ は行列 $A=(a_{jk})$ が Hermite 行列であることと同値である。ユニタリ行列 $U$ で余枠を $\theta'=U\theta$ に替えても $\omega_x=\frac i2\sum_j\theta'_j\wedge\bar\theta'_j$ の形は変わらず、$A$ は $U$ で共役な行列に変わる。Hermite 行列はユニタリ行列で対角化できるので、はじめから $\alpha=\frac i2\sum_j\lambda_je_j$（$\lambda_j\in\mathbb R$）としてよい。Kählerの恒等式 の補題「$L$ と $\Lambda$ の表示」の $\Lambda=-2i\sum_l\bar\iota_l\iota_l$ から $\Lambda e_j=-2i$ なので、$\Lambda\alpha=\sum_j\lambda_j$ であり、原始的であることは $\sum_j\lambda_j=0$ と同値である。$e_j$ どうしは可換で $e_j^2=0$ なので $\alpha\wedge\alpha=\bigl(\frac i2\bigr)^2\,2\sum_{j< k}\lambda_j\lambda_ke_j\wedge e_k$ であり、冒頭の式から
$$ \omega^{n-2}\wedge\alpha\wedge\alpha=\Bigl(\frac i2\Bigr)^n(n-2)!\,2\sum_{j< k}\lambda_j\lambda_k\,e_1\wedge\cdots\wedge e_n=(n-2)!\Bigl(\Bigl(\sum_j\lambda_j\Bigr)^2-\sum_j\lambda_j^2\Bigr)\mathrm{vol}=-(n-2)!\sum_j\lambda_j^2\,\mathrm{vol} $$
である。$e_j$ たちは直交し $|e_j|^2=|\theta_j|^2|\bar\theta_j|^2=4$ なので $|\alpha|^2=\sum_j\lambda_j^2$ で、主張を得る。
一般の場合．$\alpha=\beta+i\gamma$（$\beta:=\frac12(\alpha+\bar\alpha)$、$\gamma:=\frac1{2i}(\alpha-\bar\alpha)$）は実 $(1,1)$ 形式に分かれ、$\Lambda$ は実の作用素なので $\beta$、$\gamma$ も原始的である。2 次形式どうしは可換なので $\alpha\wedge\bar\alpha=\beta\wedge\beta+\gamma\wedge\gamma$、また $|\alpha|^2=|\beta|^2+|\gamma|^2$（実形式どうしの内積は実数）であり、実の場合から主張が従う。$\square$

prop-hr-p0 を各点で使って積分すればよい。Riemann 面の前半は、$\eta\wedge\eta'$ が型 $(2,0)$ で、1 次元では $0$ であることによる。$\square$

分解．Hard Lefschetz定理 の主定理の 3 により $H^{1,1}(X)=P^{1,1}(X)\oplus L\,P^{0,0}(X)$ で、$X$ は連結なので $P^{0,0}(X)=H^0(X,\mathbb C)=\mathbb C$、$L\,P^{0,0}=\mathbb C[\omega]$ である。$L$ は実係数の写像で $H^{1,1}(X)$ は複素共役で保たれるので、$P^{1,1}(X)=\ker(L^{n-1})\cap H^{1,1}(X)$ も複素共役で保たれ、実の部分をとって $H^{1,1}_{\mathbb R}=\mathbb R[\omega]\oplus P^{1,1}_{\mathbb R}$ を得る。$\dim P^{1,1}=h^{1,1}-h^{0,0}=h^{1,1}-1$ である（同記事の系「Betti 数と Hodge 数の不等式」の 2）。
直交性と正値性．$q([\omega],[\omega])=\int_X\omega^n=n!\operatorname{vol}(X)>0$ である。$\xi\in P^{1,1}$ は原始的なので $L^{n-1}\xi=0$、すなわち $q([\omega],\xi)=\int_X\omega^{n-1}\wedge\xi=0$ である。
負定値性．$0\neq\xi\in P^{1,1}_{\mathbb R}$ の調和代表 $\alpha$ は実で（$\Delta$ は実の作用素）、型 $(1,1)$ で、各点で原始的である（同記事の主定理の 4）。prop-hr-11 により各点で $\omega^{n-2}\wedge\alpha\wedge\alpha=-(n-2)!|\alpha|^2\mathrm{vol}$ なので、$q(\xi,\xi)=-(n-2)!\|\alpha\|^2<0$ である。$\square$

段 1：直交分解．Hard Lefschetz定理 の主定理の 2・3 により $H^{2m}(X,\mathbb C)=\bigoplus_{r\ge0}\bigoplus_{a+b=2m-2r}L^rP^{a,b}$ である。$\zeta\in P^{a,b}$、$\zeta'\in P^{a',b'}$（$a+b=2m-2r$、$a'+b'=2m-2s$）について $B(L^r\zeta,L^s\zeta')=\int_X\omega^{r+s}\wedge\zeta\wedge\zeta'$ である。$r< s$ なら $r+s\ge2r+1=n-(a+b)+1$ なので $L^{r+s}\zeta=0$（原始的）で、これは $0$ である。$r=s$ なら、主定理の証明の 1 と同じ型の比較により $(a',b')=(b,a)$ でなければ $0$ である。
段 2：各部分の符号．$a\le b$ について、$W_{r,a,b}$ を $L^r(P^{a,b}+P^{b,a})$ の実の元の空間とする（$L$ は実で、複素共役は $P^{a,b}$ と $P^{b,a}$ を入れ替える）。$k:=a+b$ は偶数なので $(-1)^{k(k-1)/2}=(-1)^{k/2}$、$i^{a-b}=(-1)^{(a-b)/2}$ であり、thm-hr-main の 2 は $\zeta\neq0$ について
$$ (-1)^{(a-b)/2+k/2}\int_X\omega^{2r}\wedge\zeta\wedge\bar\zeta=(-1)^a\int_X\omega^{2r}\wedge\zeta\wedge\bar\zeta>0 $$
を意味する（$n-k=2r$）。$a< b$ のとき $W_{r,a,b}$ の元は $L^r(\zeta+\bar\zeta)$（$\zeta\in P^{a,b}$）で、型の比較から $B(L^r(\zeta+\bar\zeta),L^r(\zeta+\bar\zeta))=2\int_X\omega^{2r}\wedge\zeta\wedge\bar\zeta$ である。$a=b$ のとき $W_{r,a,a}$ の元は $L^r\zeta$（$\zeta=\bar\zeta$）で、$B(L^r\zeta,L^r\zeta)=\int_X\omega^{2r}\wedge\zeta\wedge\bar\zeta$ である。いずれの場合も $B$ は $W_{r,a,b}$ の上で符号 $(-1)^a$ の定値で、$\dim_{\mathbb R}W_{r,a,b}=\dim P^{a,b}+\dim P^{b,a}$（$a< b$）、$=\dim P^{a,a}$（$a=b$）である。
段 3：数え上げ．段 1 により $H^{2m}(X,\mathbb R)$ は $W_{r,a,b}$ たちの $B$ について直交する直和なので、$(-1)^a=(-1)^b$ に注意して
$$ \tau(X)=\sum_{a+b\ \text{偶数},\ a+b\le n}(-1)^a\dim P^{a,b} $$
である。一方、主定理の 3 の $H^{p,q}=\bigoplus_{s\ge0}L^sP^{p-s,q-s}$ と、$L^s$ が $P^{a,b}$ の上で $0\le s\le n-a-b$ なら単射、$s>n-a-b$ なら $0$ であること（同記事の主定理の 2）から
$$ \sum_{p,q}(-1)^ph^{p,q}=\sum_{a+b\le n}(-1)^a\dim P^{a,b}\sum_{s=0}^{n-a-b}(-1)^s $$
である。$n$ は偶数なので、内側の和は $a+b$ が偶数なら $1$、奇数なら $0$ である。よって両辺は一致する。$\square$

thm-hr-signature の証明の段 2 を $n=2$、$m=1$ に当てると、$H^2(X,\mathbb R)$ は $W_{0,0,2}$（$P^{2,0}=H^{2,0}$ から、次元 $2p_g$、符号 $+$）、$W_{0,1,1}$（$P^{1,1}$ から、次元 $h^{1,1}-1$、符号 $-$）、$W_{1,0,0}=\mathbb R[\omega]$（符号 $+$）の直交直和である。$H^{2,0}$ の類がすべて原始的なのは、$L\colon H^{2,0}\to H^{3,1}=0$ による。$\square$