被覆空間
概要
被覆空間（covering space）とは、全射連続写像 $p\colon E\to B$ で、$B$ の各点が均一に被覆される開近傍 $U$（$p^{-1}(U)$ が互いに交わらない開集合の和に分かれ、各々が $p$ により $U$ に同相に写る）をもつもの（被覆写像）の定義域 $E$ のことであり、$B$ を底空間、$p^{-1}(b)$ をファイバーという。局所的には底空間のコピーを積み重ねた空間で、実数直線から円周への写像、円周の $n$ 乗写像、球面から実射影空間への商写像が代表例である。底空間の道とホモトピーは一意的に持ち上がり、基本群 $\pi_1(B)$ がファイバーに作用して、底空間が弧状連結・局所弧状連結・半局所単連結のとき、弧状連結な被覆空間が $\pi_1(B)$ の部分群と一対一に対応する。この対応は Galois 理論と同じ形をもつ。
前提知識: 位相空間, 連続写像, 同相写像, 開集合, 道
定義
$E$、$B$ を位相空間とし、$p\colon E\to B$ を全射な連続写像とする。$B$ の開集合 $U$ が $p$ によって均一に被覆される（evenly covered）とは、$p^{-1}(U)$ が $E$ の互いに交わらない開集合の族 $\{V_\alpha\}_{\alpha\in A}$ の和
$$p^{-1}(U)=\bigcup_{\alpha\in A}V_\alpha,\qquad V_\alpha\cap V_\beta=\emptyset\ (\alpha\ne\beta)$$
として表され、かつ各 $\alpha$ について制限 $p|_{V_\alpha}\colon V_\alpha\to U$ が同相写像となることをいう。各 $V_\alpha$ を $U$ 上のシート（sheet、葉）という。
$p$ が被覆写像（covering map）であるとは、$B$ の各点 $b$ が、$p$ によって均一に被覆される開近傍（近傍）$U$ をもつことをいう。このとき $E$ を $B$ の被覆空間（covering space）、$B$ を底空間（base space）といい、均一に被覆される開近傍を均一被覆近傍、または単に被覆近傍ともいう。点 $b\in B$ に対し、部分集合 $p^{-1}(b)\subset E$ を $b$ 上のファイバー（fiber）という。ファイバーの濃度がすべて $n$ に等しいとき、$p$ を $n$ 重被覆（$n$-sheeted covering、$n$ 枚の被覆）という。
$p\colon E\to B$ を被覆写像、$f\colon X\to B$ を連続写像とする。連続写像 $\tilde f\colon X\to E$ で $p\circ\tilde f=f$ を満たすものを $f$ の（$p$ に関する）持ち上げ（lift、リフト）という。特に $X=[0,1]$ のとき、道 $\gamma\colon[0,1]\to B$ の持ち上げを $\gamma$ の持ち上げという。
直感
被覆空間とは、底空間 $B$ の上に「同じ形の層」が離散的に積み重なった空間である。$B$ の各点の近くを見るかぎり、$E$ はその近傍の何枚かのコピーを重ねただけであり、局所的には $B$ と区別がつかない。ところが大域的には、コピーどうしが互いにつなぎ変えられて、螺旋が円周に巻き付くような構造が生じる。円周 $S^1$ の上に実数直線 $\mathbb{R}$ が無限回巻き付く写像 $t\mapsto(\cos2\pi t,\sin2\pi t)$ が基本的な例である。被覆空間の理論の要は、底空間の道やホモトピー（ホモトピー）を被覆空間へ一意的に持ち上げられることであり、これによって底空間の基本群がファイバーへの置換として現れ、基本群の計算と被覆空間の分類が結びつく。
例と反例
$S^1:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2=1\}$（単位円周）とし、$p\colon\mathbb{R}\to S^1$ を $p(t):=(\cos2\pi t,\sin2\pi t)$ で定める。$p$ は被覆写像であり、各ファイバーは $t_0+\mathbb{Z}$ の形の可算無限集合である。
実際、$U_1:=\{(x,y)\in S^1\mid x>0\}$ とおくと $p^{-1}(U_1)=\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}(n-1/4,n+1/4)$ であり、これらの開区間は互いに交わらない。各 $n$ について $p$ の閉区間 $[n-1/4,n+1/4]$ への制限は、コンパクト空間からHausdorff空間への連続な単射なので、像 $\{(x,y)\in S^1\mid x\ge0\}$ の上への同相写像である（Mun00 §26 Theorem 26.6）。その開区間 $(n-1/4,n+1/4)$ への制限は、像 $U_1$ の上への同相写像である。$U_2:=\{x<0\}$、$U_3:=\{y>0\}$、$U_4:=\{y<0\}$ についても同様であり（$p^{-1}(U_3)=\bigcup_n(n,n+1/2)$ など）、$U_1,\dots,U_4$ は $S^1$ を覆うので、$S^1$ の各点は均一被覆近傍をもつ。
$S^1$ を複素数平面の単位円周 $\{z\in\mathbb{C}\mid|z|=1\}$ とみなし、整数 $n\ge1$ に対し $p_n\colon S^1\to S^1$ を $p_n(z):=z^n$ で定める。$p_n$ は $n$ 重被覆である。
実際、$w=e^{i\theta_0}\in S^1$ に対し $U:=\{e^{i\theta}\mid|\theta-\theta_0|<\pi\}$（$S^1$ から一点 $-w$ を除いた開集合）とおく。$k=0,1,\dots,n-1$ に対し
$$V_k:=\{e^{i\varphi}\mid|\varphi-(\theta_0+2\pi k)/n|<\pi/n\}$$
とおくと、$V_0,\dots,V_{n-1}$ は中心角 $2\pi/n$ の互いに交わらない開弧であり、$p_n^{-1}(U)=V_0\cup\cdots\cup V_{n-1}$ である。写像 $\varphi\mapsto e^{i\varphi}$ は被覆写像 $t\mapsto e^{2\pi it}$（ex-covering-space-real-line）と $t\mapsto2\pi t$ の合成なので局所同相であり（prop-covering-space-basic）、長さ $2\pi$ 以下の開区間への制限は単射な開写像、すなわち像の開弧の上への同相写像である。よって $p_n|_{V_k}$ は、開区間 $((\theta_0+2\pi k-\pi)/n,(\theta_0+2\pi k+\pi)/n)$ から $(\theta_0-\pi,\theta_0+\pi)$ への写像 $\varphi\mapsto n\varphi-2\pi k$（同相写像）をこれらの同相写像で挟んだものであり、$V_k$ から $U$ への同相写像である。各ファイバー $p_n^{-1}(w)$ は $w$ の $n$ 個の $n$ 乗根からなる。
$n\ge1$ とし、$n$ 次元球面 $S^n\subset\mathbb{R}^{n+1}$ の対蹠点 $x$ と $-x$ を同一視した商空間を $n$ 次元実射影空間 $\mathbb{RP}^n$ といい、商写像を $q\colon S^n\to\mathbb{RP}^n$ とする。$q$ は 2 重被覆である。
実際、$S^n$ の開集合 $W$ に対し $q^{-1}(q(W))=W\cup(-W)$ は開なので、商位相の定義により $q(W)$ は開であり、$q$ は開写像である。$x\in S^n$ に対し、開半球 $V:=\{y\in S^n\mid\langle x,y\rangle>0\}$ とおくと $V\cap(-V)=\emptyset$ であり、$U:=q(V)$ は $q(x)$ の開近傍で $q^{-1}(U)=V\cup(-V)$ である。$q|_V\colon V\to U$ は連続な全射であり、$V$ は対蹠点の対を含まないので単射であり、開写像の制限として開写像なので、同相写像である。$q|_{-V}$ についても同様である。
$D$ を離散空間とし、$B\times D$ に直積位相を入れると、射影 $B\times D\to B$ は被覆写像であり、$B$ 自身が均一被覆近傍で、シートは $B\times\{d\}$（$d\in D$）である。このように底空間全体が均一に被覆される被覆を自明な被覆という。同相写像は $1$ 重の被覆写像である。ex-covering-space-real-line の $p$ は自明でない：$\mathbb{R}$ は連結なので、$\mathbb{R}$ が二つ以上の互いに交わらない非空開集合の和になることはない。よってシートは1枚で $p$ は同相写像になるが、$p(0)=p(1)$ なので単射でなく矛盾する。
$x\in X$ をとり、命題の条件を満たす開近傍 $U$ を選ぶ。$V:=q(U)$ とおく。商写像 $q$ は開写像である。実際、開集合 $W\subset X$ に対して
$$q^{-1}(q(W))=\bigcup_{\gamma\in\Gamma}\gamma W$$
は開であるから、商位相の定義により $q(W)$ は開である。したがって $V$ は $q(x)$ の開近傍である。また
$$q^{-1}(V)=\bigcup_{\gamma\in\Gamma}\gamma U$$
である。$\gamma U$ と $\delta U$ が交わるならば $U$ と $\gamma^{-1}\delta U$ が交わるので、近傍 $U$ の選び方から $\gamma^{-1}\delta=1$、すなわち $\gamma=\delta$ である。ゆえに右辺は互いに交わらない開集合の和である。
$q|_U\colon U\to V$ は全射であり、$q(u)=q(u')$ ならば $u'=\gamma u$ となる $\gamma\in\Gamma$ がある。$U\cap\gamma U\ne\emptyset$ だから $\gamma=1$ であり、$u=u'$ である。よって $q|_U$ は連続な全単射であり、しかも $q$ が開写像なので同相写像である。各 $\gamma$ は同相写像であるから、$q|_{\gamma U}\colon\gamma U\to V$ も同相写像である。したがって $V$ は均一被覆近傍であり、$q$ は被覆写像である。
最後に、作用は自由なので、各 $x$ に対する写像 $\Gamma\to q^{-1}(q(x))$、$\gamma\mapsto\gamma x$ は全単射である。よって各ファイバーの濃度は $|\Gamma|$ である。$\square$
$H$ を Lie群、$\Gamma\subset H$ を離散部分群とする。$\Gamma$ が $H$ に右から作用する $h\cdot\gamma:=h\gamma$ を考えると、商写像 $H\to H/\Gamma$ は $|\Gamma|$ 重被覆である。
実際、単位元 $1\in H$ の開近傍 $W$ で $W\cap\Gamma=\{1\}$ となるものをとり、単位元の開近傍 $V$ を $V^{-1}V\subset W$ となるように小さくとる。$V\gamma\cap V\ne\emptyset$ ならば $\gamma\in V^{-1}V\cap\Gamma=\{1\}$ である。左移動により各 $h\in H$ の近傍 $hV$ も同じ性質をもつので、右作用版の prop-covering-space-quotient-action が適用できる。
ex-covering-space-real-line の被覆写像 $p\colon\mathbb{R}\to S^1$ を開区間 $(0,2)$ に制限した写像 $p'\colon(0,2)\to S^1$ を考える。$p'$ が満たす性質は「連続な全射であり、局所同相写像（各点が、像が $B$ の開集合で、その上へ同相に写る開近傍をもつ写像）である」ことであり、満たさない性質は「被覆写像である」ことである。破る含意は「局所同相な連続全射 $\Rightarrow$ 被覆写像」である。
全射性は $(0,1]\subset(0,2)$ の像がすでに $S^1$ 全体であることから従う。局所同相性は、$p$ の各シートへの制限が同相写像であり、$(0,2)$ の開集合が $\mathbb{R}$ の開集合であることから従う。一方、$b_0:=(1,0)$ のファイバー $p'^{-1}(b_0)=\{t\in(0,2)\mid t\in\mathbb{Z}\}=\{1\}$ は一点であるが、$0< s<1$ なる任意の $s$ について $p'^{-1}(p(s))=\{s,1+s\}$ は二点である。$b_0$ が均一被覆近傍 $U$ をもてば、prop-covering-space-fiber-cardinality により $U$ 上でファイバーの濃度は一定でなければならないが、$U$ は $s$ が十分小さいときの $p(s)$ を含むので矛盾する。破れている定義の条件は「$p'^{-1}(U)$ の各シートが $U$ の上へ同相に写ること」であり、$b_0$ の小さい開近傍 $U$ の逆像のうち $(0,\varepsilon)$ の形の成分は $U$ の「半分」にしか写らない。
性質
$p\colon E\to B$ を被覆写像とする。
- $p$ は局所同相写像であり、したがって開写像である。
- 各 $b\in B$ に対し、ファイバー $p^{-1}(b)$ は $E$ の相対位相について離散空間である。
- $U$ が均一に被覆される開集合で $V$ がその上のシートならば、各 $b\in U$ に対し $V\cap p^{-1}(b)$ はちょうど一点からなる。
- $e\in E$ とし、$p(e)$ の均一被覆近傍 $U$ をとる。$e\in p^{-1}(U)$ なので $e$ はあるシート $V$ に属し、$V$ は $e$ の開近傍で $p|_V\colon V\to U$ は同相写像である。よって $p$ は局所同相である。$W\subset E$ が開ならば、各 $e\in W$ について上の $V$ をとると $p(W\cap V)$ は同相写像 $p|_V$ による $V$ の開集合の像なので $U$ の開集合、したがって $B$ の開集合であり、$p(W)=\bigcup_e p(W\cap V)$ は開である。
- $p|_V\colon V\to U$ は全単射なので、$b\in U$ の逆像 $V\cap p^{-1}(b)$ はちょうど一点である。
- $b$ の均一被覆近傍 $U$ とその上のシートの族 $\{V_\alpha\}$ をとる。$p^{-1}(b)\subset p^{-1}(U)$ であり、(3) により各 $V_\alpha$ はファイバーとちょうど一点で交わるので、$p^{-1}(b)$ の各点 $e$ について $\{e\}=V_\alpha\cap p^{-1}(b)$（$e\in V_\alpha$）は $p^{-1}(b)$ の相対開集合である。よって $p^{-1}(b)$ は離散である。$\square$
$U$ を均一に被覆される開集合、$\{V_\alpha\}_{\alpha\in A}$ をその上のシートの族とする。$b\in U$ に対し、prop-covering-space-basic (3) により各 $V_\alpha$ は $p^{-1}(b)$ とちょうど一点で交わり、$p^{-1}(b)\subset\bigcup_\alpha V_\alpha$ でシートは互いに交わらないので、$\alpha\mapsto$（$V_\alpha\cap p^{-1}(b)$ の唯一の点）は $A$ から $p^{-1}(b)$ への全単射である。よって $|p^{-1}(b)|=|A|$ が $b\in U$ によらず成り立つ。
$B$ が連結とする。濃度 $\kappa$ に対し $B_\kappa:=\{b\in B\mid|p^{-1}(b)|=\kappa\}$ とおくと、前半により各 $B_\kappa$ は開である。$B_\kappa$ の補集合は $\kappa'\ne\kappa$ についての $B_{\kappa'}$ の和なので開であり、$B_\kappa$ は開かつ閉集合である。$B$ は連結なので、$B_\kappa$ は空か $B$ 全体であり、$B\ne\emptyset$ なら濃度は一定である。$\square$
$p\colon E\to B$ を被覆写像、$X$ を連結な位相空間、$f\colon X\to B$ を連続写像とする。$\tilde f_1,\tilde f_2\colon X\to E$ がともに $f$ の持ち上げであり、ある一点 $x_0\in X$ で $\tilde f_1(x_0)=\tilde f_2(x_0)$ ならば、$\tilde f_1=\tilde f_2$ である。
$Z:=\{x\in X\mid\tilde f_1(x)=\tilde f_2(x)\}$ とおく。$Z$ と $X\setminus Z$ がともに開であることを示す。$x\in X$ をとり、$f(x)$ の均一被覆近傍 $U$ と、その上のシートで $\tilde f_1(x)$ を含むもの $V_1$、$\tilde f_2(x)$ を含むもの $V_2$ をとる（$p(\tilde f_i(x))=f(x)\in U$ なのでこれらは存在する）。$N:=\tilde f_1^{-1}(V_1)\cap\tilde f_2^{-1}(V_2)$ は $x$ の開近傍である。
$x\in Z$ のとき、$\tilde f_1(x)=\tilde f_2(x)$ はただ一つのシートに属するので $V_1=V_2$ である。$x'\in N$ に対し $\tilde f_1(x'),\tilde f_2(x')\in V_1$ かつ $p(\tilde f_1(x'))=f(x')=p(\tilde f_2(x'))$ であり、$p|_{V_1}$ は単射なので $\tilde f_1(x')=\tilde f_2(x')$ である。よって $N\subset Z$ であり、$Z$ は開である。
$x\notin Z$ のとき、$\tilde f_1(x)\ne\tilde f_2(x)$ はともにファイバー $p^{-1}(f(x))$ の点であり、prop-covering-space-basic (3) により一つのシートはファイバーと一点でしか交わらないので $V_1\ne V_2$、したがって $V_1\cap V_2=\emptyset$ である。$x'\in N$ に対し $\tilde f_1(x')\in V_1$、$\tilde f_2(x')\in V_2$ なので $\tilde f_1(x')\ne\tilde f_2(x')$ である。よって $N\subset X\setminus Z$ であり、$X\setminus Z$ は開である。
$Z$ は開かつ閉であり、$x_0\in Z$ なので非空である。$X$ は連結なので $Z=X$ である。$\square$
$p\colon E\to B$ を被覆写像、$\gamma\colon[0,1]\to B$ を道、$e_0\in E$ を $p(e_0)=\gamma(0)$ なる点とする。このとき $\gamma$ の持ち上げ $\tilde\gamma\colon[0,1]\to E$ で $\tilde\gamma(0)=e_0$ を満たすものがただ一つ存在する。
一意性は、$[0,1]$ が連結であることから thm-covering-space-unique-lifting により従う。存在を示す。$B$ の各点 $b$ に対し均一被覆近傍 $U_b$ をとると、$\{\gamma^{-1}(U_b)\}_{b\in B}$ は $[0,1]$ の開被覆である。$[0,1]$ はコンパクトな距離空間なので、Lebesgue数の補題（Mun00 §27 Lemma 27.5）により、分点 $0=s_0< s_1<\cdots< s_m=1$ を、各 $i$ について $\gamma([s_i,s_{i+1}])$ がある均一に被覆される開集合 $U_i$ に含まれるようにとれる。
$\tilde\gamma(0):=e_0$ とおき、$\tilde\gamma$ が $[0,s_i]$ 上で定義された連続写像で $p\circ\tilde\gamma=\gamma$ を満たすと仮定する。$p(\tilde\gamma(s_i))=\gamma(s_i)\in U_i$ なので、$U_i$ 上のシートで $\tilde\gamma(s_i)$ を含むもの $V_i$ がただ一つある。$s\in[s_i,s_{i+1}]$ に対し
$$\tilde\gamma(s):=(p|_{V_i})^{-1}(\gamma(s))$$
と定めると、$(p|_{V_i})^{-1}\colon U_i\to V_i$ は連続なので $\tilde\gamma$ は $[s_i,s_{i+1}]$ 上で連続であり、$s=s_i$ での値は $\tilde\gamma(s_i)$（$V_i$ の点で $\gamma(s_i)$ に写る唯一の点）と一致する。$[0,s_i]$ と $[s_i,s_{i+1}]$ は $[0,s_{i+1}]$ の閉集合なので、貼り合わせにより $\tilde\gamma$ は $[0,s_{i+1}]$ 上で連続であり、$p\circ\tilde\gamma=\gamma$ を満たす。$i=0,\dots,m-1$ について繰り返せば、$[0,1]$ 全体で定義された持ち上げが得られる。$\square$
$p\colon E\to B$ を被覆写像、$Y$ を位相空間、$F\colon Y\times[0,1]\to B$ を連続写像（ホモトピー）とし、$\tilde F_0\colon Y\to E$ を $F|_{Y\times\{0\}}$ の持ち上げとする。このとき $F$ の持ち上げ $\tilde F\colon Y\times[0,1]\to E$ で $\tilde F|_{Y\times\{0\}}=\tilde F_0$ を満たすものがただ一つ存在する。
証明は Hat02 §1.3 Proposition 1.30 に譲る（Mun00 §54 Lemma 54.2 は $Y=[0,1]$ の場合を扱う）。$Y$ が一点の場合が thm-covering-space-path-lifting である。証明の骨子は、各 $y\in Y$ の近傍 $N$ と分割 $0=s_0<\cdots< s_m=1$ で $F(N\times[s_i,s_{i+1}])$ が均一に被覆されるものをとり、$N\times[0,1]$ 上で thm-covering-space-path-lifting と同じ構成を行い、一意性（thm-covering-space-unique-lifting）によって異なる $N$ での構成が貼り合うことを確かめることである。
$p\colon E\to B$ を被覆写像とし、$\gamma_0,\gamma_1\colon[0,1]\to B$ を始点 $b_0$ と終点 $b_1$ を共有する道で、端点を固定するホモトピーで結ばれるものとする。$e_0\in p^{-1}(b_0)$ とし、$\tilde\gamma_0,\tilde\gamma_1$ を $e_0$ を始点とする持ち上げとすると、$\tilde\gamma_0(1)=\tilde\gamma_1(1)$ であり、$\tilde\gamma_0$ と $\tilde\gamma_1$ は $E$ の中で端点を固定するホモトピーで結ばれる。
$F\colon[0,1]\times[0,1]\to B$ を $F(s,0)=\gamma_0(s)$、$F(s,1)=\gamma_1(s)$、$F(0,t)=b_0$、$F(1,t)=b_1$ を満たすホモトピーとする。thm-covering-space-homotopy-lifting を $Y=[0,1]$、$\tilde F_0=\tilde\gamma_0$ に適用して持ち上げ $\tilde F$ を得る。$t\mapsto\tilde F(0,t)$ は定値道 $t\mapsto b_0$ の持ち上げで $t=0$ で $e_0$ をとるので、thm-covering-space-path-lifting の一意性により定値 $e_0$ である。同様に $t\mapsto\tilde F(1,t)$ は定値道 $b_1$ の持ち上げなので定値であり、その値を $e_1$ とおく。$s\mapsto\tilde F(s,1)$ は $\gamma_1$ の持ち上げで始点が $\tilde F(0,1)=e_0$ なので、一意性により $\tilde\gamma_1$ に等しい。よって $\tilde\gamma_1(1)=\tilde F(1,1)=e_1=\tilde F(1,0)=\tilde\gamma_0(1)$ であり、$\tilde F$ が $\tilde\gamma_0$ と $\tilde\gamma_1$ を結ぶ端点を固定するホモトピーである。$\square$
$p\colon E\to B$ を被覆写像、$e_0\in E$、$b_0:=p(e_0)$ とする。
- $p$ が誘導する準同型 $p_*\colon\pi_1(E,e_0)\to\pi_1(B,b_0)$ は単射である。その像は、$b_0$ を基点とするループで、$e_0$ を始点とする持ち上げが再びループになるもののホモトピー類の全体である。
- $E$ と $B$ が弧状連結（弧状連結空間）ならば、ファイバー $p^{-1}(b_0)$ の濃度は部分群 $p_*\pi_1(E,e_0)$ の $\pi_1(B,b_0)$ における指数(群論)に等しい。
- $\pi_1(B,b_0)$ は $p^{-1}(b_0)$ に右から作用する（群の作用）：$[\gamma]\in\pi_1(B,b_0)$ と $e\in p^{-1}(b_0)$ に対し、$e\cdot[\gamma]$ を、$e$ を始点とする $\gamma$ の持ち上げの終点と定める。$E$ が弧状連結ならばこの作用は推移的であり、$e_0$ の固定部分群は $p_*\pi_1(E,e_0)$ である。
- の作用が矛盾なく定義されることは cor-covering-space-endpoint による。(1) の単射性は、$E$ のループ $\tilde\gamma$ について $p\circ\tilde\gamma$ が定値ループにホモトピックならば、そのホモトピーを thm-covering-space-homotopy-lifting で持ち上げて $\tilde\gamma$ が定値ループにホモトピックであることを得ることで示される。像の記述と (2)・(3) の残りは Hat02 §1.3 Proposition 1.31・1.32 に譲る。代表的な帰結として、ex-covering-space-real-line の被覆 $\mathbb{R}\to S^1$ に対し $\mathbb{R}$ は単連結空間なので、$\pi_1(S^1)$ はファイバー $\mathbb{Z}$ と一対一に対応し、実際に $\pi_1(S^1,(1,0))\cong\mathbb{Z}$ である（Hat02 §1.1 Theorem 1.7、Mun00 §54 Theorem 54.5）。
$B$ を弧状連結かつ局所弧状連結（局所弧状連結空間）な位相空間とし、$b_0\in B$ とする。
- $B$ が普遍被覆をもつための必要十分条件は、$B$ が半局所単連結（半局所単連結空間：各点 $b$ が、$U$ 内のループがすべて $B$ の中で定値ループにホモトピックとなるような近傍 $U$ をもつこと）であることである。
- $B$ が半局所単連結であるとき、$\pi_1(B,b_0)$ の部分群 $H$ に対し、弧状連結な被覆空間 $p\colon(E,e_0)\to(B,b_0)$ で $p_*\pi_1(E,e_0)=H$ となるものが存在し、基点を保つ同型を除いて一意である。これにより、弧状連結な被覆空間の基点付き同型類と $\pi_1(B,b_0)$ の部分群とが一対一に対応する。基点を忘れれば、被覆空間の同型類は部分群の共役類に対応する。
- 普遍被覆 $\tilde B\to B$ の被覆変換群は $\pi_1(B,b_0)$ と同型である。より一般に、弧状連結な被覆 $p\colon E\to B$ で $H=p_*\pi_1(E,e_0)$ とおくと、$G(E/B)$ は $H$ の $\pi_1(B,b_0)$ における正規化群 $N(H)$ による商 $N(H)/H$ と同型である。特に $H$ が正規部分群のとき（このような被覆を正規被覆、正則被覆、またはGalois被覆という）$G(E/B)\cong\pi_1(B,b_0)/H$ であり、被覆変換群はファイバーに推移的に作用する。
証明は Hat02 §1.3 に譲る：(1) と (2) の存在は Theorem 1.38 とその前の普遍被覆の構成（道のホモトピー類の空間）、(2) の一意性は Proposition 1.37、(3) は Proposition 1.39・1.40 である。Mun00 §79–§82 にも同じ内容がある。多様体（多様体）や CW複体 は局所可縮なので、弧状連結ならばこれらの仮定を満たし、普遍被覆をもつ。例として、$\mathbb{R}\to S^1$ は $S^1$ の普遍被覆で被覆変換群は整数 $n$ による平行移動 $t\mapsto t+n$ の全体 $\cong\mathbb{Z}$ であり、$S^n\to\mathbb{RP}^n$（$n\ge2$）は $\mathbb{RP}^n$ の普遍被覆で被覆変換群は $\{\mathrm{id},x\mapsto-x\}\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ であり、したがって $\pi_1(\mathbb{RP}^n)\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ である。円周の $n$ 重被覆 $z\mapsto z^n$ は部分群 $n\mathbb{Z}\subset\mathbb{Z}$ に対応する。
$B$ 上の二つの被覆 $p_1\colon E_1\to B$、$p_2\colon E_2\to B$ の間の被覆の射とは、連続写像 $f\colon E_1\to E_2$ で
$$p_2\circ f=p_1$$
を満たすものをいう。$B$ 上の被覆を対象、被覆の射を射とする圏を $\mathsf{Cov}(B)$ と書く。被覆の射がこの圏の同型射であることと、底空間上の同相写像であることは同値である。
$B$ を弧状連結、局所弧状連結かつ半局所単連結とし、$b_0\in B$ とする。このとき、ファイバーとモノドロミー作用を対応させる関手
$$\mathsf{Cov}(B)\longrightarrow \mathsf{Set}^{\pi_1(B,b_0)},\qquad (p\colon E\to B)\longmapsto p^{-1}(b_0)$$
は圏同値である。右辺は $\pi_1(B,b_0)$ が右から作用する集合と同変写像の圏を表す。被覆 $E$ が弧状連結であることは、対応する $\pi_1(B,b_0)$-集合が推移的であることと同値である。
被覆の射 $f\colon E_1\to E_2$ はファイバーをファイバーへ写し、道の持ち上げの一意性により、その制限 $p_1^{-1}(b_0)\to p_2^{-1}(b_0)$ はモノドロミー作用と可換する。逆に、ファイバー間の同変写像は、各点までの道を持ち上げて延長することにより被覆の射をただ一つ定める。この二つの操作は互いに逆であるから、ファイバー関手は充満忠実である。
本質的全射性は普遍被覆から得られる。$G:=\pi_1(B,b_0)$ とし、普遍被覆 $\widetilde B\to B$ 上の被覆変換の作用を左作用として固定する。右 $G$-集合 $S$ に対し
$$S\times_G\widetilde B:=(S\times\widetilde B)/\bigl((s\cdot g,\tilde b)\sim(s,g\cdot\tilde b)\bigr)$$
とおくと、$S\times_G\widetilde B\to B$ は被覆写像であり、$b_0$ 上のファイバーは作用込みで $S$ と同型である。局所的には普遍被覆の各シートを $S$ で添字付けした自明な被覆になるためである。これで任意の右 $G$-集合がファイバーとして実現される。以上は Hat02 §1.3 の道の持ち上げによる分類構成を、射にも適用したものである。
最後に、$E$ の弧状連結成分は、$p^{-1}(b_0)$ におけるモノドロミー作用の軌道と一対一に対応する。したがって $E$ が弧状連結であることと作用が推移的であることは同値である。
補足
thm-covering-space-classification の対応は、体の拡大におけるGalois理論と同じ形をしている。底空間 $B$ の上の被覆空間 $E$ を体 $k$ の拡大体 $K$ に、普遍被覆 $\tilde B$ を分離閉包に、基本群 $\pi_1(B)$ を絶対Galois群に、被覆変換群 $G(E/B)$ を Galois 群 $\mathrm{Gal}(K/k)$ に、ファイバーの濃度（シートの数）を拡大次数 $[K:k]$ に対応させると、正規被覆がGalois拡大に、部分群と被覆の対応が Galois 対応に対応する。
| 位相幾何学（被覆空間） | 代数学（体の拡大） |
|---|---|
| 底空間 $B$ | 基礎体 $k$ |
| 被覆空間 $E$ | 拡大体 $K$ |
| 普遍被覆 $\tilde B$ | 分離閉包 |
| 基本群 $\pi_1(B)$ | 絶対 Galois 群 |
| 被覆変換群 $G(E/B)$ | Galois 群 $\mathrm{Gal}(K/k)$ |
| 正規被覆 | Galois 拡大 |
| シートの数 | 拡大次数 $[K:k]$ |
この類似は比喩にとどまらず、エタール基本群の理論では、スキームの有限エタール被覆の圏を通じて両者が同じ枠組みで扱われる。
被覆写像は、$B$ が連結のとき、ファイバーが離散空間であるような局所自明なファイバー束にほかならない。実際、均一被覆近傍 $U$ の上では $p^{-1}(U)\cong U\times A$（$A$ は離散なシートの添字集合）である。逆に離散ファイバーをもつ局所自明なファイバー束は、局所自明化の各 $U\times\{a\}$ をシートとして被覆写像になる。
Riemann面の理論では、正則写像 $z\mapsto z^n$ は $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ から自身への $n$ 重被覆であるが、$0$ を含めると $0$ の上のファイバーが一点に潰れ、被覆写像ではなくなる（分岐被覆）。ex-covering-space-power はこの写像の単位円周への制限である。
$p\colon E\to B$ を被覆写像とし、$B$ をRiemann面とする。このとき、もとの位相と両立する $E$ 上のRiemann面構造で、$p$ が局所双正則写像となるものがただ一つ存在する。
$U\subset B$ を均一に被覆される開集合、$V\subset p^{-1}(U)$ をその上のシートとする。$B$ の複素座標 $z\colon U\to\Omega\subset\mathbb C$ に対し
$$
z\circ p|_V\colon V\longrightarrow\Omega
$$
を $E$ の座標とする。$p|_V$ は同相写像なので、これらの座標が定める位相は $E$ のもとの位相に一致する。二つの座標 $z_i\circ p|_{V_i}$ の定義域が交わるとき、その座標変換は対応する $B$ の座標変換 $z_j\circ z_i^{-1}$ の制限である。従って正則であり、これらは $E$ 上の複素座標系を定める。この座標系では $p|_V$ は座標表示で恒等写像だから局所双正則である。
別のRiemann面構造でも $p$ が局所双正則であるとする。各シート $V$ 上では、$B$ の任意の座標 $z$ を $p|_V$ で引き戻した $z\circ p|_V$ がその構造の複素座標になる。従ってその複素座標系は上で構成したものと一致し、一意性が従う。$\square$
$p\colon E\to B$ を被覆写像とし、$E$ をRiemann面とする。均一に被覆される開集合 $U\subset B$ と、その上の二つのシート $V,W$ に対するシート遷移を
$$
\tau_{V,W}:=(p|_W)^{-1}\circ p|_V\colon V\longrightarrow W
$$
とする。$B$ 上に、もとの位相と両立し、$p$ を局所双正則にするRiemann面構造が存在するための必要十分条件は、すべてのシート遷移（および均一被覆近傍を縮小して得られるその制限）が双正則であることである。そのような構造は存在すれば一意である。
$B$ にそのような構造があれば、$p|_V$ と $p|_W$ は局所双正則であり、$\tau_{V,W}=(p|_W)^{-1}\circ p|_V$ は双正則である。
逆に、すべてのシート遷移が双正則であるとする。各 $b\in B$ について、均一被覆近傍 $U$ とその上のシート $V$ を一つ選ぶ。必要なら $U$ を縮め、$V$ が $E$ の一つの複素座標 $z\colon V\to\Omega\subset\mathbb C$ の定義域に含まれるようにする。このとき
$$
z\circ(p|_V)^{-1}\colon U\longrightarrow\Omega
$$
を $B$ の座標とする。別の選択 $(U',V',z')$ との重なりでは、十分小さい開集合へ制限すると座標変換は
$$
z'\circ\tau_{V,V'}\circ z^{-1}
$$
の形になる。仮定により $\tau_{V,V'}$ は双正則なので、この座標変換も双正則である。従ってこれらの座標は $B$ にRiemann面構造を定め、構成から $p$ は局所双正則である。
二つのそのような構造があれば、任意のシート $V$ 上で $p|_V$ はそれぞれの構造への局所双正則写像である。その局所逆写像を介すと、$B$ 上の二つの構造の間の恒等写像は局所的に双正則になるので、両者は一致する。$\square$
なお、開被覆（空間を覆う開集合の族）は被覆空間とは別の概念である。被覆写像の定義に現れる均一被覆近傍の全体は底空間の開被覆をなすが、開被覆そのものは写像を伴わない。
関連項目
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
