微分作用素
概要
微分作用素（differential operator）とは、スキームの射 $X\to S$ 上で、$\mathcal{O}_X$ 加群の $S$ 上線形な写像で、関数との交換子を $n+1$ 回とると $0$ になるもの（$n$ 階以下）をいう。$0$ 階は $\mathcal{O}_X$ 線形、$1$ 階は関数倍と導分の和である。Grothendieck の定義（対角線の無限小近傍の構造層 $\mathcal{P}^n_{X/S}$ の双対）と一致する。滑らかな $X/S$ では局所的に分割冪微分 $\partial^{[\alpha]}$ が基底をなし、標数 $0$ では $\partial_i$ で生成される（affine 空間で Weyl 代数）が、標数 $p$ では $\partial^{[p]}$ が $1$ 階の作用素から得られない。D 加群と結晶コホモロジーの基礎をなす。
前提知識: 可換環, 加群, テンソル積, スキーム, Kähler微分, 導分, 準連接層, 滑らかな射
定義
微分作用素は、多様体上の $\sum a_\alpha\,\partial^\alpha/\partial x^\alpha$ の形の作用素を、局所座標を使わずに関数環の代数構造だけで定義したものである。定義は 2 通りある。交換子による帰納的な定義（$n$ 階の作用素とは、関数との交換子が $n-1$ 階になる写像）と、Grothendieck による定義（対角線の $n$ 次無限小近傍の構造層である主要部の層 $\mathcal{P}^n_{X/S}$ の上の線型写像）である。以下では環の場合に両方を定義して一致を証明し、次にスキームの上で層にする。
以下、環はすべて単位元をもつ可換環、環準同型は単位元を保つとし、$A\to B$ を環準同型、$M,N$ を $B$ 加群とする。$b\in B$ に対し、$M$ 上および $N$ 上の $b$ 倍写像をどちらも $b$ と書き、$A$ 線形写像 $D\colon M\to N$ に対して
$$
[D,b]:=D\circ b-b\circ D\colon M\to N,\qquad [D,b](m)=D(bm)-b\,D(m)
$$
とおく。$[D,b]$ もまた $A$ 線形写像である。$\operatorname{ad}_b(D):=[D,b]$ とも書く。
$A$ 線形写像 $D\colon M\to N$ が $A$ に関する $n$ 階以下の微分作用素（differential operator of order $\le n$）であることを、$n$ についての帰納法で次のように定める。
- $n=0$：$D$ が $B$ 線形写像であること。
- $n\ge1$：すべての $b\in B$ について $[D,b]$ が $n-1$ 階以下の微分作用素であること。
$n$ 階以下の微分作用素 $M\to N$ の全体を $\operatorname{Diff}^n_{B/A}(M,N)$ と書く。$D$ が $n$ 階以下だが $n-1$ 階以下でないとき、$D$ の階数（order）は $n$ であるという。$M=N=B$ のとき $\operatorname{Diff}^n_{B/A}(B,B)$ を $D^n_{B/A}$ とも書き、$D_{B/A}:=\bigcup_{n\ge0}D^n_{B/A}$ の元を $B$ の $A$ 上の微分作用素という。
定義を展開すると、$D$ が $n$ 階以下であることは、任意の $b_0,\dots,b_n\in B$ について
$$
\operatorname{ad}_{b_n}\circ\cdots\circ\operatorname{ad}_{b_0}(D)=0
$$
となることと同値である。$n-1$ 階以下なら $n$ 階以下である（$n$ についての帰納法：$D$ が $B$ 線形なら $[D,b]=0$ も $B$ 線形、一般には $[D,b]$ が $n-2$ 階以下なので仮定により $n-1$ 階以下）。よって $\operatorname{Diff}^0\subset\operatorname{Diff}^1\subset\cdots$ である。また $[b\circ D,c]=b\circ[D,c]$、$[D\circ b,c]=[D,c]\circ b$（$B$ は可換）だから、$D$ が $n$ 階以下なら $b\circ D$ と $D\circ b$ も $n$ 階以下であり、とくに $\operatorname{Diff}^n_{B/A}(M,N)$ は $(bD)(m):=b\,D(m)$ により $B$ 加群になる。
次に Grothendieck の定義に移る。$B\otimes_AB$ を $b\otimes b'$ の形の元が生成する可換環とし、乗法写像 $\mu\colon B\otimes_AB\to B$、$b\otimes b'\mapsto bb'$ の核を $I$ とする。$B\otimes_AB$ は 2 つの $B$ 代数構造をもつ：$b\mapsto b\otimes1$ による左構造と $b\mapsto1\otimes b$ による右構造である。$b\in B$ に対し
$$
\delta b:=1\otimes b-b\otimes1\in I
$$
とおく。$\mu(\delta b)=0$ なので確かに $\delta b\in I$ であり、$I$ は左 $B$ 加群として $\{\delta b\}_{b\in B}$ で生成される（$\xi=\sum_ib_i\otimes b_i'\in I$ なら $\sum_ib_ib_i'=0$ なので $\xi=\sum_i(b_i\otimes1)\,\delta b_i'$。Kähler微分の記事の命題「対角線のイデアルによる構成」と同じ計算である）。
$n\ge0$ に対し、可換環
$$
P^n_{B/A}:=(B\otimes_AB)/I^{n+1}
$$
を $B$ の $A$ 上の $n$ 次主要部の加群（module of principal parts of order $n$）という。$P^n_{B/A}$ は $B\otimes_AB$ から左構造と右構造を受け継ぎ、断りがなければ左構造で $B$ 加群とみなす。右構造の構造射
$$
d^n=d^n_{B/A}\colon B\to P^n_{B/A},\qquad b\mapsto1\otimes b\bmod I^{n+1}
$$
を $n$ 階の普遍微分作用素という。$d^n$ は環準同型で $A$ 線形だが、左構造については $B$ 線形でない（$d^n(b)-b\cdot1=\delta b\bmod I^{n+1}$）。$B$ 加群 $M$ に対し $P^n_{B/A}(M):=P^n_{B/A}\otimes_BM$（テンソル積は $P^n_{B/A}$ の右構造でとり、結果は左構造で $B$ 加群とみなす）とおき、$d^n_M\colon M\to P^n_{B/A}(M)$、$m\mapsto1\otimes m$ とおく。
$n=0$ では $I$ で割るので $P^0_{B/A}=B$、左右の構造は一致し、$d^0=\mathrm{id}$ である。$n=1$ では $0\to I/I^2\to P^1_{B/A}\xrightarrow{\mu}B\to0$ が完全列で、$b\mapsto b\otimes1$ が左 $B$ 線形な分裂を与えるから、左構造で
$$
P^1_{B/A}=B\oplus I/I^2=B\oplus\Omega_{B/A}
$$
である（$I/I^2=\Omega_{B/A}$ は Kähler微分の記事の命題「対角線のイデアルによる構成」）。この分解で $d^1(b)=b\otimes1+\delta b$ は $(b,db)$ に対応する。
$A$ 線形写像 $D\colon M\to N$ に対し、$\tilde D\colon B\otimes_AM\to N$ を $\tilde D(b\otimes m):=b\,D(m)$ で定める。$B\otimes_AM$ を $b'\cdot(b\otimes m):=b'b\otimes m$ で $B$ 加群とみなすと、$D\mapsto\tilde D$ は同型 $\operatorname{Hom}_A(M,N)\cong\operatorname{Hom}_B(B\otimes_AM,N)$ を与える。このとき次は同値である。
- $D$ は $n$ 階以下の微分作用素である。
- $\tilde D$ は部分加群 $I^{n+1}(B\otimes_AM)$ の上で $0$ である。ここで $B\otimes_AM$ は $(b\otimes b')(c\otimes m):=bc\otimes b'm$ により $B\otimes_AB$ 加群とみなす。
したがって $D\mapsto\tilde D$ は $B$ 加群の同型
$$ \operatorname{Diff}^n_{B/A}(M,N)\cong\operatorname{Hom}_B\bigl(P^n_{B/A}(M),N\bigr) $$
を誘導し、$n$ 階以下の微分作用素 $D$ は $B$ 線形写像 $\phi\colon P^n_{B/A}(M)\to N$ を用いて $D=\phi\circ d^n_M$ とただ 1 通りに分解する。とくに $M=N=B$ では $D^n_{B/A}\cong\operatorname{Hom}_B(P^n_{B/A},B)$、$D=\phi\circ d^n$ である。
$(b,m)\mapsto b\,D(m)$ は $A$ 双線形なので $\tilde D$ は定義され、左構造について $B$ 線形である。逆写像は $\phi\mapsto\phi(1\otimes-)$ である（係数拡大の随伴）。
まず $P^n_{B/A}(M)$ を書き直す。テンソル積の結合則により $(B\otimes_AB)\otimes_BM\cong B\otimes_AM$、$(b\otimes b')\otimes m\mapsto b\otimes b'm$ であり、この同型のもとで $B\otimes_AB$ の作用は 2 で述べたものになる。完全列 $I^{n+1}\to B\otimes_AB\to P^n_{B/A}\to0$ に $\otimes_BM$（右構造）を施すと、テンソル積の右完全性により
$$
P^n_{B/A}(M)\cong(B\otimes_AM)/I^{n+1}(B\otimes_AM)
$$
を得る。よって条件 2 は「$\tilde D$ が $P^n_{B/A}(M)$ を経由する」ことと同値で、命題の後半は 1 と 2 の同値から従う。
次に $I^{n+1}(B\otimes_AM)$ の生成元を求める。$I$ は $\{\delta b\}_{b\in B}$ で生成されるので、$I^{n+1}$ は $B\otimes_AB$ のイデアルとして積 $\delta b_0\cdots\delta b_n$ の全体で生成される。$c\otimes c'\in B\otimes_AB$ と $m\in M$ について $(c\otimes c')\cdot(1\otimes m)=c\cdot(1\otimes c'm)$（$c\cdot$ は左構造の $c$ 倍）であり、$B\otimes_AM$ の元は $1\otimes m$ の形の元の和だから、$I^{n+1}(B\otimes_AM)$ は左 $B$ 加群として
$$
\delta b_0\cdots\delta b_n\cdot(1\otimes m)\qquad(b_0,\dots,b_n\in B,\ m\in M)
$$
の全体で生成される。$\tilde D$ は左 $B$ 線形なので、条件 2 はこれらの元が $\tilde D$ で $0$ に写ることと同値である。
最後に交換子との関係を見る。左 $B$ 線形写像 $\phi\colon B\otimes_AM\to N$ と $b\in B$ に対し $\phi^{(b)}(x):=\phi(\delta b\cdot x)$ とおくと、$\delta b$ は $b'\otimes1$ と交換するので $\phi^{(b)}$ も左 $B$ 線形である。$B\otimes_AM$ は左 $B$ 加群として $\{1\otimes m\}$ で生成されるから、$\tilde D^{(b)}=\widetilde{[D,b]}$ は $1\otimes m$ での値を比べれば十分で、
$$
\tilde D\bigl(\delta b\cdot(1\otimes m)\bigr)=\tilde D(1\otimes bm)-\tilde D(b\otimes m)=D(bm)-b\,D(m)=[D,b](m)=\widetilde{[D,b]}(1\otimes m)
$$
である。これを繰り返すと
$$
\tilde D\bigl(\delta b_n\cdots\delta b_0\cdot(1\otimes m)\bigr)=\bigl(\operatorname{ad}_{b_n}\circ\cdots\circ\operatorname{ad}_{b_0}(D)\bigr)(m)
$$
を得る。よって条件 2 は、任意の $b_0,\dots,b_n$ について $\operatorname{ad}_{b_n}\circ\cdots\circ\operatorname{ad}_{b_0}(D)=0$ となること、すなわち $D$ が $n$ 階以下であることと同値である。
Grothendieck（EGA4 16.8）は条件 2 の形「$P^n_{B/A}(M)$ を経由する $A$ 線形写像」を $n$ 階以下の微分作用素の定義に採用し、Stacks Tag 09CH は帰納的定義を採って同じ一致を証明している。スキームの上では、主要部を対角線の無限小近傍として層にする。
$f\colon X\to S$ をスキームの射とし、対角射 $\Delta\colon X\to X\times_SX$ をとる。$\Delta$ は $X\times_SX$ のある開部分スキーム $W$ への閉埋め込みであり、その像を定義する $\mathcal{O}_W$ のイデアル層を $\mathcal{I}$ とする。$\mathcal{I}^{n+1}$ で定まる $W$ の閉部分スキームを $\Delta^{(n)}$ と書き、対角線の $n$ 次無限小近傍という。その台は $\Delta(X)\cong X$ なので、構造層を $X$ 上の環の層とみなしたもの
$$
\mathcal{P}^n_{X/S}:=\mathcal{O}_{\Delta^{(n)}}=\bigl(\mathcal{O}_W/\mathcal{I}^{n+1}\bigr)\big|_{\Delta(X)}
$$
を $X$ の $S$ 上の $n$ 次主要部の層（sheaf of principal parts）という。2 つの射影 $p_1,p_2\colon\Delta^{(n)}\to X$（文献により $p_0,p_1$ とも番号づける）が $\mathcal{P}^n_{X/S}$ に左右 2 つの $\mathcal{O}_X$ 代数構造を与え、断りがなければ左構造（$p_1$ による）で $\mathcal{O}_X$ 加群とみなす。右構造の構造射を $d^n\colon\mathcal{O}_X\to\mathcal{P}^n_{X/S}$ と書く。
$\mathcal{O}_X$ 加群 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ に対し
$$
\mathcal{D}iff^n_{X/S}(\mathcal{M},\mathcal{N}):=\mathcal{H}om_{\mathcal{O}_X}\bigl(\mathcal{P}^n_{X/S}\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{M},\ \mathcal{N}\bigr)
$$
（テンソルは右構造、$\mathcal{H}om$ は左構造でとる）を $n$ 階以下の微分作用素の層といい、切断 $\phi$ は $\phi\circ(d^n\otimes\mathrm{id})\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N}$ として作用する。とくに
$$
\mathcal{D}^n_{X/S}:=\mathcal{H}om_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{P}^n_{X/S},\mathcal{O}_X),\qquad\mathcal{D}_{X/S}:=\bigcup_{n\ge0}\mathcal{D}^n_{X/S}
$$
とおき、$\mathcal{D}_{X/S}$ を $X$ の $S$ 上の微分作用素の層という。$S=\operatorname{Spec}k$ のときは $\mathcal{D}_X$ とも書く。
$f^{-1}\mathcal{O}_S$ 線形な層の射 $D\colon\mathcal{M}\to\mathcal{N}$ が $n$ 階以下の微分作用素であることは、局所切断 $a\in\mathcal{O}_X(U)$ との交換子 $[D|_U,a]$ について def-differential-operator-inductive と同じ帰納的条件で定めてもよい。次の命題により、両者は affine 開集合の上で prop-differential-operator-equivalence により一致する。
$T\subset B$ を積閉集合、$B':=T^{-1}B$ とする。左構造で $P^n_{B/A}$ を $B$ 加群とみなすと、自然な写像は同型
$$
T^{-1}P^n_{B/A}\xrightarrow{\ \sim\ }P^n_{B'/A}
$$
を与える。したがって $\mathcal{P}^n_{X/S}$ は準連接層であり、$S$ の affine 開集合 $\operatorname{Spec}A$ の上にある $X$ の affine 開集合 $U=\operatorname{Spec}B$ について $\Gamma(U,\mathcal{P}^n_{X/S})=P^n_{B/A}$ である。
局所化はテンソル積と交換するので、$T\otimes T:=\{t\otimes t'\}$ を積閉集合として $B'\otimes_AB'=(T\otimes T)^{-1}(B\otimes_AB)$ である。局所化は完全なので $B'\otimes_AB'\to B'$ の核は $(T\otimes T)^{-1}I$ で、
$$
P^n_{B'/A}=(T\otimes T)^{-1}(B\otimes_AB)/(T\otimes T)^{-1}I^{n+1}=(T\otimes T)^{-1}P^n_{B/A}
$$
となる。ここで $t\in T$ に対し、$P^n_{B/A}$ の中で $1\otimes t=t\otimes1+\delta t$ であり、$(\delta t)^{n+1}\in I^{n+1}$ は $0$ である。よって $t\otimes1$ を可逆にした環 $T^{-1}P^n_{B/A}$ の中で $1\otimes t=(t\otimes1)(1+u)$、$u:=(t\otimes1)^{-1}\delta t$ は冪零で、$1+u$ は $1-u+u^2-\cdots$ を逆元にもつ。すなわち $1\otimes t$ は $T^{-1}P^n_{B/A}$ ですでに可逆であり、$(T\otimes T)^{-1}P^n_{B/A}=T^{-1}P^n_{B/A}$ である。
後半：$U\times_{\operatorname{Spec}A}U=\operatorname{Spec}(B\otimes_AB)$ の上で $\Delta(U)$ は $I$ で定まる閉集合であり、$\mathcal{O}_W/\mathcal{I}^{n+1}$ はそこでは準連接層 $\widetilde{P^n_{B/A}}$（$I^{n+1}$ で消えるので台は $\Delta(U)$ に含まれる）で、$\mathcal{P}^n_{X/S}|_U$ はそれを閉集合 $\Delta(U)\cong U$ に制限したものである。$t\in B$ について $\Delta(D(t))=D(t\otimes1)\cap\Delta(U)$ での切断は $(P^n_{B/A})_{t\otimes1}=T^{-1}P^n_{B/A}$（$T=\{t^k\}$）で、前半によりこれは $P^n_{B_t/A}$ に等しい。よって $\mathcal{P}^n_{X/S}|_U=\widetilde{P^n_{B/A}}$（左構造）であり、準連接である。
$X\to S$ が局所有限表示なら $\mathcal{P}^n_{X/S}$ は有限表示の $\mathcal{O}_X$ 加群である（$B=A[x_1,\dots,x_r]/(f_1,\dots,f_s)$ なら $I$ は $\delta x_1,\dots,\delta x_r$ で生成され、$P^n_{B/A}$ は $B[\xi_1,\dots,\xi_r]$ を有限個の元で割ったものになる。EGA4 16.3・16.4）。有限表示加群の $\mathcal{H}om$ は局所化と交換するので、$\mathcal{M}$ が有限表示で $\mathcal{N}$ が準連接なら $\mathcal{D}iff^n_{X/S}(\mathcal{M},\mathcal{N})$ は準連接で、affine 開集合 $U=\operatorname{Spec}B$ 上の切断は $\operatorname{Diff}^n_{B/A}(M,N)$ である（EGA4 16.8）。とくに $\mathcal{D}^n_{X/S}$ は準連接であり、$X$ が $S$ 上滑らかなら thm-differential-operator-smooth により局所自由である。
直感
$\mathcal{P}^n_{X/S}$ は「対角線のごく近く」の関数環である。$B\otimes_AB$ の元 $b\otimes b'$ は $X\times_SX$ 上の関数 $(x,y)\mapsto b(x)b'(y)$ であり、$\delta b=1\otimes b-b\otimes1$ は $b(y)-b(x)$、すなわち $x$ から $y$ へ動いたときの $b$ の変化量である。$I^{n+1}$ で割ることは「変化量の $n+1$ 次以上を無視する」ことにあたり、$d^n(b)=1\otimes b$ は $b(y)$ を $x$ の近くで $n$ 次まで Taylor 展開したものにほかならない。実際 $B=A[x]$ では $d^n(f)=f(x+\xi)=\sum_{|\alpha|\le n}\partial^{[\alpha]}f\,\xi^\alpha$ となる（prop-differential-operator-polynomial）。$n$ 階の微分作用素とは、関数の $n$ 次までの Taylor 係数だけから値が決まる写像であり、それが $\mathcal{P}^n_{X/S}$ 上の線形写像という言い方である。
交換子による定義は同じことを「係数を前に出す」操作で言い換えている。$D$ が $B$ 線形なら $b$ は自由に前に出せ、$D$ が導分なら $D(bm)=bD(m)+D(b)m$ で「$0$ 階の誤差」$D(b)$ が出る。一般に $[D,b]$ は $b$ を前に出すときの誤差であり、$n$ 階の作用素の誤差は $n-1$ 階である。
例と反例
$B=A[x]$ とする。$B\otimes_AB=A[x,y]$（$x=x\otimes1$、$y=1\otimes x$）で、$\xi:=y-x=\delta x$ とおくと $A[x,y]=B[\xi]$、$I=(\xi)$、
$$
P^n_{B/A}=B[\xi]/(\xi^{n+1})=B\oplus B\xi\oplus\cdots\oplus B\xi^n
$$
である。$d^n(f)=f(x+\xi)$ であり、二項定理により $(x+\xi)^m=\sum_k\binom mkx^{m-k}\xi^k$ となる。そこで $\partial^{[k]}\colon B\to B$ を
$$
f(x+\xi)=\sum_{k\ge0}\partial^{[k]}f\cdot\xi^k,\qquad\partial^{[k]}x^m=\binom mkx^{m-k}
$$
で定めると、prop-differential-operator-equivalence により $D^n_{B/A}=\operatorname{Hom}_B(P^n_{B/A},B)$ は $\xi^k$（$k\le n$）の双対基底 $\partial^{[k]}$ を基底とする自由加群で、$n$ 階以下の微分作用素は $D=\sum_{k=0}^na_k\,\partial^{[k]}$（$a_k\in B$）とただ 1 通りに書ける。$\partial^{[0]}=\mathrm{id}$、$\partial^{[1]}=\partial:=d/dx$、$\partial^k=k!\,\partial^{[k]}$ である。$A$ が $\mathbb{Q}$ を含むなら $\partial^{[k]}=\partial^k/k!$ で、$D=\sum_ka_k'\partial^k$ という見慣れた形になる。$\mathbb{A}^1_A=\operatorname{Spec}B$ の上では $\mathcal{D}^n_{\mathbb{A}^1/A}=\bigoplus_{k\le n}\mathcal{O}\,\partial^{[k]}$ である（prop-differential-operator-localization）。
$A=\mathbb{F}_2$、$B=\mathbb{F}_2[x]$ とする。$\partial^{[2]}x^m=\binom m2x^{m-2}$ で、$\binom m2$ は $m\equiv2,3\pmod4$ のとき奇数、$m\equiv0,1\pmod4$ のとき偶数なので、$\partial^{[2]}$ は $x^2\mapsto1$、$x^3\mapsto x$、$x^4\mapsto0$、$x^5\mapsto0$、$x^6\mapsto x^4$ である。一方 $\partial^2=2\,\partial^{[2]}=0$ である（$\partial(\partial x^m)=m(m-1)x^{m-2}$ で $m(m-1)$ は偶数）。したがって $\partial^{[2]}$ は $2$ 階の微分作用素だが $1$ 階の作用素 $a+b\,\partial$ の積や和では表せず（prop-differential-operator-characteristic）、$D^2_{B/\mathbb{F}_2}=B\oplus B\partial\oplus B\partial^{[2]}$ は自由加群だが、環 $D_{B/\mathbb{F}_2}$ は $B$ と $\partial$ だけからは生成されない。
$B=A[x,y]$ とする。$D:=x\partial_y-y\partial_x+xy$ は $1$ 階の微分作用素である（prop-differential-operator-order-one。$\theta=x\partial_y-y\partial_x$ が導分、$xy$ が関数倍）。$D':=\partial_x\partial_y$ は $2$ 階である：$[D',x]=\partial_y$ は $1$ 階で $0$ 階ではない。$D'':=x\partial_x+y\partial_y$（Euler 作用素）は $1$ 階で、$B$ の $m$ 次斉次成分の上では $m$ 倍として作用する。
$k$ を標数 $0$ の体、$B:=k[t^2,t^3]\subset k[t]$（尖点 $y^2=x^3$ の座標環、$x=t^2$、$y=t^3$）とする。$B$ は有限生成の整域だが $k$ 上滑らかでなく、滑らかな場合に成り立つ「$\mathcal{D}^1$ は局所自由である」「$\mathcal{D}$ は $1$ 階の作用素で生成される」という含意が次のとおり破れる。
- $\operatorname{Der}_k(B)=\{g\,d/dt\mid g\in t\,k[t]\}$ であり、これは階数 $1$ の自由でない $B$ 加群である。したがって $D^1_{B/k}=B\oplus\operatorname{Der}_k(B)$（prop-differential-operator-order-one）は自由でなく、thm-differential-operator-smooth の局所基底の記述は成り立たない。
- $Q:=t\,\partial^2-\partial$（$\partial=d/dt$）は $k[t]$ 上の $2$ 階の微分作用素で $B$ を $B$ に写し、その制限は $D^2_{B/k}$ の元だが、$B$ と $\operatorname{Der}_k(B)$ が生成する $D_{B/k}$ の部分環に入らない。すなわち尖点では $D_{B/k}$ は $1$ 階の作用素で生成されない。
- $3$ 次錐 $B_3:=\mathbb{C}[x,y,z]/(x^3+y^3+z^3)$ では、$D_{B_3/\mathbb{C}}$ は右 Noether でも左 Noether でもなく（Noether環）、$\mathbb{C}$ 代数として有限生成でもない（Bernstein–Gelfand–Gelfand BGG72）。一方、体上の affine 曲線の座標環では $D_{B/k}$ は常に有限生成な Noether 環である（Smith–Stafford SS88）。
主張 1 と 2 を証明する（3 は言明にとどめる）。$B$ の分数体は $k(t)$（$t=y/x$）である。$k$ 導分 $\theta\colon B\to B$ は分数体の導分にただ 1 通りに延び（導分の記事の命題「導分の基本性質」）、$g:=\theta(t)$ とおくと $\theta=g\,d/dt$ である。$\theta(t^2)=2tg\in B\subset k[t]$ から $g=c/t+h$（$c\in k$、$h\in k[t]$）と書け、$\theta(t^3)=3t^2g=3ct+3t^2h\in B$ と $B$ が $t$ の 1 次の項を含まないことから $c=0$、さらに $2tg=2th\in B$ から $h(0)=0$、すなわち $g\in t\,k[t]$ を得る。逆に $g\in t\,k[t]$ なら $g\,d/dt$ は $B$ を $t^2k[t]\subset B$ に写すので $B$ の導分である。$t\,k[t]$ は $B$ 加群として $t$ と $t^2$ で生成され（$Bt+Bt^2=(kt\oplus t^3k[t])+(kt^2\oplus t^4k[t])=t\,k[t]$）、$t$ 倍により極大イデアル $\mathfrak{m}:=t^2k[t]=(t^2,t^3)B$ に同型である。$\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ は $t^2,t^3$ を基底とする $2$ 次元なので $\mathfrak{m}$ は単項でなく、局所化 $\mathfrak{m}B_{\mathfrak{m}}$ も単項でないから $\mathfrak{m}$ は射影加群でない。よって $\operatorname{Der}_k(B)\cong\mathfrak{m}$ は階数 $1$ だが自由でなく、自由加群の直和因子にもならない。
主張 2。$Q(t^m)=m(m-1)t^{m-1}-mt^{m-1}=m(m-2)t^{m-1}$ なので $Q(1)=Q(t^2)=0$、$Q(t^3)=3t^2$、$m\ge4$ では $Q(t^m)\in t^3k[t]$ であり、$Q$ は $B$ を $B$ に写す。$Q$ は $k[t]$ 上で $2$ 階なので（prop-differential-operator-polynomial）、$B$ への制限も $2$ 階以下である。次に、$B$ と $\operatorname{Der}_k(B)$ が生成する部分環の元は、主張 1 により $k[t]$ 上の作用素 $\sum_ih_i\partial^i$（$h_i\in t^ik[t]$）の $B$ への制限である。実際 $g\,\partial$（$g\in t\,k[t]$）と $h\,\partial^i$（$h\in t^ik[t]$）の積は $gh\,\partial^{i+1}+gh'\,\partial^i$ で $gh\in t^{i+1}k[t]$、$gh'\in t^ik[t]$ であり、$B$ の元を掛けてもこの条件は保たれる。もし $Q$ がこの部分環に入るなら、$P:=Q-\sum_ih_i\partial^i=\sum_{i\le n}c_i\partial^i$（$c_i\in k[t]$）は $B$ の上で $0$ になる $k[t]$ 上の作用素で、$c_2=t-h_2\notin t^2k[t]$ だから $P\ne0$ である。ところが $m\ge n+2$ について $0=P(t^m)=\sum_i(m)_i\,c_it^{m-i}$（$(m)_i:=m(m-1)\cdots(m-i+1)$）であり、$\sum_i(m)_i\,c_it^{n-i}$ を $m$ の多項式（係数は整域 $k[t]$ の元、次数 $\le n$）とみると、標数 $0$ なので無限個の相異なる根をもち、零多項式である。$(m)_0,\dots,(m)_n$ は次数 $\le n$ の多項式の基底なので $c_it^{n-i}=0$、すなわちすべての $c_i=0$ となり矛盾する。よって $Q$ はこの部分環に入らない。
性質
階数の低い作用素
$A\to B$ を環準同型とする。
- $D^0_{B/A}=B$、すなわち $0$ 階の微分作用素 $B\to B$ は $B$ の元による倍写像である。
- $A$ 線形写像 $D\colon B\to B$ が $1$ 階以下の微分作用素であることと、$a\in B$ と $A$ 導分 $\theta\colon B\to B$ を用いて $D=a+\theta$（$a$ は $a$ 倍写像）と書けることは同値であり、この表示は一意で $a=D(1)$ である。したがって
$$ D^1_{B/A}=B\oplus\operatorname{Der}_A(B),\qquad\mathcal{D}^1_{X/S}=\mathcal{O}_X\oplus\mathcal{T}_{X/S} $$
である。ここで $\mathcal{T}_{X/S}:=\mathcal{H}om_{\mathcal{O}_X}(\Omega^1_{X/S},\mathcal{O}_X)$ は接層（ベクトル場の層）である。
- $B$ 線形写像 $D\colon B\to B$ は $D(b)=b\,D(1)$ をみたすので $D(1)$ 倍写像であり、逆は明らかである。
- $D$ を $1$ 階以下とする。各 $b\in B$ について $[D,b]$ は $B$ 線形なので、1 により $[D,b](c)=c\,[D,b](1)=c\,(D(b)-b\,D(1))$、すなわち
$$ D(bc)=b\,D(c)+c\,D(b)-bc\,D(1)\qquad(b,c\in B) $$
が成り立つ。$a:=D(1)$、$\theta:=D-a$ とおくと $\theta$ は $A$ 線形で $\theta(bc)=D(bc)-abc=b\,(D(c)-ac)+c\,(D(b)-ab)=b\,\theta(c)+c\,\theta(b)$ をみたすので $A$ 導分である。逆に $\theta$ が $A$ 導分なら $[\theta,b](c)=\theta(bc)-b\,\theta(c)=c\,\theta(b)$ は $\theta(b)$ 倍写像で $B$ 線形だから $\theta$ は $1$ 階以下であり、$a+\theta$ も $1$ 階以下である。一意性は、導分が $1$ を $0$ に写すので $a=D(1)$ と決まることによる。
層の等式は、$\mathcal{T}_{X/S}=\mathcal{H}om(\Omega^1_{X/S},\mathcal{O}_X)$ が $f^{-1}\mathcal{O}_S$ 導分の層であること（Kähler微分の普遍性）による。別証として、$P^1_{B/A}=B\oplus\Omega_{B/A}$ に prop-differential-operator-equivalence を当てると $D^1_{B/A}=\operatorname{Hom}_B(B,B)\oplus\operatorname{Hom}_B(\Omega_{B/A},B)=B\oplus\operatorname{Der}_A(B)$ となり、$\phi=(a,\psi)$ に対応する作用素は $\phi(d^1(b))=\phi(b\otimes1+\delta b)=ab+\psi(db)$ である。
合成と環構造
$M,N,L$ を $B$ 加群とする。
- $D\in\operatorname{Diff}^n_{B/A}(M,N)$、$D'\in\operatorname{Diff}^m_{B/A}(N,L)$ なら $D'\circ D\in\operatorname{Diff}^{m+n}_{B/A}(M,L)$ である。したがって $D_{B/A}=\bigcup_nD^n_{B/A}$ は合成を積とする（一般に非可換な）環で、$B=D^0_{B/A}$ を部分環に含み、$D^m_{B/A}\cdot D^n_{B/A}\subset D^{m+n}_{B/A}$ をみたす増大フィルトレーション $(D^n_{B/A})_n$ をもつ。
- $D\in D^n_{B/A}$、$D'\in D^m_{B/A}$ なら $[D',D]:=D'D-DD'\in D^{m+n-1}_{B/A}$ である（$m+n\ge1$）。したがって随伴次数環 $\operatorname{gr}D_{B/A}=\bigoplus_nD^n_{B/A}/D^{n-1}_{B/A}$ は可換である。
同じことが $\mathcal{D}_{X/S}$ についても成り立ち、$\mathcal{D}_{X/S}$ は $\mathcal{O}_X$ を含む環の層で、$\mathcal{O}_X$ 加群 $\mathcal{M}$ への微分作用素の作用は $\mathcal{D}_{X/S}$ の $\mathcal{M}$ への左作用である。
- $m+n$ についての帰納法。$m+n=0$ なら $D,D'$ はともに $B$ 線形なので $D'\circ D$ も $B$ 線形である。$m+n\ge1$ のとき、$b\in B$ に対し
$$ [D'\circ D,b]=D'\circ D\circ b-b\circ D'\circ D=D'\circ[D,b]+[D',b]\circ D $$
である。$[D,b]$ は $n-1$ 階以下（$n=0$ なら $0$）、$[D',b]$ は $m-1$ 階以下なので、帰納法の仮定により右辺の 2 項はともに $m+n-1$ 階以下であり、$D'\circ D$ は $m+n$ 階以下である。環であることは合成の結合性と恒等写像が $0$ 階であることによる。 - $m+n$ についての帰納法。$m=0$ なら $D'$ は $c\in B$ の倍写像で $[c,D]=-[D,c]$ は $n-1$ 階以下であり、$n=0$ も同様である。$m,n\ge1$ のとき、$b\in B$ に対し Jacobi の恒等式（$\operatorname{End}_A(B)$ の中の交換子の恒等式）
$$ [\![D',D],b]=[D',[D,b]\!]+[\![D',b],D] $$
が成り立つ。$[D,b]$ は $n-1$ 階以下、$[D',b]$ は $m-1$ 階以下なので、帰納法の仮定により右辺の 2 項は $m+n-2$ 階以下であり、$[D',D]$ は $m+n-1$ 階以下である。$\operatorname{gr}D_{B/A}$ の可換性はこれと 1 から直ちに従う。
滑らかな場合の局所構造
多重指数 $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_d)\in\mathbb{N}^d$ に対し $|\alpha|:=\sum_i\alpha_i$、$\alpha!:=\prod_i\alpha_i!$、$x^\alpha:=\prod_ix_i^{\alpha_i}$、$\binom\beta\alpha:=\prod_i\binom{\beta_i}{\alpha_i}$（$\beta_i<\alpha_i$ となる $i$ があれば $0$）とおき、$e_i$ で $i$ 番目の単位ベクトルを表す。$\binom{\beta}{\alpha}$ は二項係数の積であり整数である。
$B=A[x_1,\dots,x_d]$ を $A$ 上の多項式環、$\xi_i:=\delta x_i=1\otimes x_i-x_i\otimes1$ とする。
- $B\otimes_AB=B[\xi_1,\dots,\xi_d]$（左構造で $B$ 代数とみて、$\xi_i$ は $B$ 上代数的に独立）であり、$I=(\xi_1,\dots,\xi_d)$、
$$ P^n_{B/A}=B[\xi_1,\dots,\xi_d]/(\xi_1,\dots,\xi_d)^{n+1} $$
は $\xi^\alpha$（$|\alpha|\le n$）を基底とする自由 $B$ 加群である。$f\in B$ に対し $d^n(f)=f(x+\xi)$、すなわち $x_i$ に $x_i+\xi_i$ を代入した多項式である。 - $B[\xi]$ の中で $f(x+\xi)=\sum_{\alpha\in\mathbb{N}^d}\partial^{[\alpha]}(f)\,\xi^\alpha$（Taylor 展開）により $A$ 線形写像 $\partial^{[\alpha]}\colon B\to B$ を定めると、$\partial^{[\alpha]}$ は $|\alpha|$ 階の微分作用素で、
$$ D^n_{B/A}=\bigoplus_{|\alpha|\le n}B\,\partial^{[\alpha]} $$
は自由 $B$ 加群である。$D_{B/A}$ は $\partial^{[\alpha]}$（$\alpha\in\mathbb{N}^d$）を基底とする自由 $B$ 加群である。 - $\partial^{[\alpha]}$ は次をみたす。
$$ \partial^{[\alpha]}(x^\beta)=\binom\beta\alpha x^{\beta-\alpha},\qquad \partial^{[\alpha]}(fg)=\sum_{\beta+\gamma=\alpha}\partial^{[\beta]}(f)\,\partial^{[\gamma]}(g),\qquad \partial^{[\alpha]}\circ\partial^{[\beta]}=\binom{\alpha+\beta}{\alpha}\partial^{[\alpha+\beta]},\qquad [\partial^{[\alpha]},x_i]=\partial^{[\alpha-e_i]} $$
（最後の式で $\alpha_i=0$ なら右辺は $0$）。とくに $\partial^{[\alpha]}$ どうしは交換し、$\partial_i:=\partial^{[e_i]}$ は導分 $\partial/\partial x_i$ で、$\partial^\alpha:=\prod_i\partial_i^{\alpha_i}=\alpha!\,\partial^{[\alpha]}$ である。
- $B\otimes_AB=A[x_1,\dots,x_d,y_1,\dots,y_d]$（$x_i=x_i\otimes1$、$y_i=1\otimes x_i$）で、変数変換 $\xi_i=y_i-x_i$ により $A[x,y]=B[\xi]$、$\xi_i$ は $B$ 上代数的に独立である。$\mu$ は $x_i\mapsto x_i$、$y_i\mapsto x_i$、すなわち $\xi$ に $0$ を代入する写像だから、その核は $(\xi_1,\dots,\xi_d)$ である。$I^{n+1}=(\xi)^{n+1}$ は $|\alpha|\ge n+1$ の単項式 $\xi^\alpha$ が $B$ 上張る部分加群なので、商は $|\alpha|\le n$ の $\xi^\alpha$ を基底とする自由 $B$ 加群である。$d^n$ は環準同型 $x_i\mapsto y_i=x_i+\xi_i$ から誘導されるので $d^n(f)=f(x+\xi)$ である。
- prop-differential-operator-equivalence により $D^n_{B/A}=\operatorname{Hom}_B(P^n_{B/A},B)$、$D=\phi\circ d^n$ である。$\xi^\alpha$（$|\alpha|\le n$）の双対基底を $\phi_\alpha$ とすると、係数 $\partial^{[\beta]}(f)\in B$ は左構造で $P^n_{B/A}$ に作用するので $\phi_\alpha$ の $B$ 線形性により $\phi_\alpha\circ d^n(f)=\phi_\alpha\bigl(\sum_\beta\partial^{[\beta]}(f)\xi^\beta\bigr)=\partial^{[\alpha]}(f)$ である。よって $\partial^{[\alpha]}$（$|\alpha|\le n$）は $D^n_{B/A}$ の $B$ 基底である。$\partial^{[\alpha]}$ は $|\alpha|$ 階以下であり、$D^{|\alpha|-1}_{B/A}$ の基底 $\partial^{[\beta]}$（$|\beta|\le|\alpha|-1$）と線形独立なので $|\alpha|-1$ 階以下ではない。
- 第 1 式は二項展開 $(x+\xi)^\beta=\prod_i\sum_{\alpha_i}\binom{\beta_i}{\alpha_i}x_i^{\beta_i-\alpha_i}\xi_i^{\alpha_i}$ から読める。Leibniz 型の式は、$d^n$ が環準同型なので $(fg)(x+\xi)=f(x+\xi)\,g(x+\xi)$ の $\xi^\alpha$ の係数を比べれば得られる。合成の式は、両辺が $A$ 線形なので基底 $x^\gamma$ で確かめれば十分で、
$$ \partial^{[\alpha]}\partial^{[\beta]}(x^\gamma)=\binom\gamma\beta\binom{\gamma-\beta}{\alpha}x^{\gamma-\alpha-\beta},\qquad \binom\gamma\beta\binom{\gamma-\beta}\alpha=\frac{\gamma!}{\beta!\,\alpha!\,(\gamma-\alpha-\beta)!}=\binom{\gamma}{\alpha+\beta}\binom{\alpha+\beta}{\alpha} $$
（成分ごとの整数の恒等式。$\gamma\ge\alpha+\beta$ でなければ両辺とも $0$）による。交換子の式は、Leibniz 型の式で $f=x_i$ とおくと $\partial^{[\beta]}(x_i)$ が $\beta=0$ で $x_i$、$\beta=e_i$ で $1$、それ以外で $0$ なので $\partial^{[\alpha]}(x_ig)=x_i\,\partial^{[\alpha]}(g)+\partial^{[\alpha-e_i]}(g)$ となることから従う。$\partial^{[e_i]}(x^\beta)=\beta_ix^{\beta-e_i}$ は $\partial/\partial x_i$ の作用そのものであり、$\partial_i^{\,m}=m!\,\partial^{[me_i]}$ は合成の式 $\partial_i\circ\partial^{[(m-1)e_i]}=m\,\partial^{[me_i]}$ からの帰納法、$\partial^\alpha=\alpha!\,\partial^{[\alpha]}$ は成分ごとの積である。
$\partial^{[\alpha]}$ を分割冪微分（divided power differential operator）という。標数 $0$ では $\partial^{[\alpha]}=\partial^\alpha/\alpha!$ だが、一般の $A$ 上でも $\partial^{[\alpha]}$ は定義され、$\partial^\alpha$ より基本的である。
$f\colon X\to S$ を滑らかな射とし、$U\subset X$ を開集合、$x_1,\dots,x_d\in\Gamma(U,\mathcal{O}_X)$ をエタール座標（$(x_1,\dots,x_d)\colon U\to\mathbb{A}^d_S$ がエタール射）とする。$\xi_i:=1\otimes x_i-x_i\otimes1$ とおくと
$$
\mathcal{P}^n_{X/S}|_U=\mathcal{O}_U[\xi_1,\dots,\xi_d]/(\xi_1,\dots,\xi_d)^{n+1}
$$
は $\xi^\alpha$（$|\alpha|\le n$）を基底とする自由 $\mathcal{O}_U$ 加群であり、$\mathcal{D}^n_{X/S}|_U$ はその双対基底 $\partial^{[\alpha]}$（$|\alpha|\le n$）を基底とする自由 $\mathcal{O}_U$ 加群、$\mathcal{D}_{X/S}|_U$ は $\partial^{[\alpha]}$（$\alpha\in\mathbb{N}^d$）を基底とする自由 $\mathcal{O}_U$ 加群である。$\partial^{[\alpha]}$ は $d^n(f)=\sum_\alpha\partial^{[\alpha]}(f)\,\xi^\alpha$ で特徴づけられ、prop-differential-operator-polynomial の 3 の関係式をみたす。
証明は Grothendieck–Dieudonné EGA4 16.10・16.11（微分的に滑らかなスキームの主要部の層と微分作用素）および 17.12（滑らかな射は微分的に滑らか）に譲る。筋は次のとおりである。$g\colon U\to\mathbb{A}^d_S$ がエタールなら $U\times_SU\to U\times_S\mathbb{A}^d_S$ は $g$ の底変換でエタールであり、対角線 $\Delta_U$ を $g$ のグラフに写す。エタール射の無限小持上げの一意性により、$\Delta_U$ の $n$ 次無限小近傍はグラフの $n$ 次無限小近傍、すなわち $\Delta^{(n)}_{\mathbb{A}^d}$ の $g$ による引き戻しに同型で、$\mathcal{P}^n_{U/S}=g^*\mathcal{P}^n_{\mathbb{A}^d_S/S}$ となり、prop-differential-operator-polynomial の 1 の記述が $U$ に移る。関係式は $\mathcal{P}^n$ の環構造と Taylor 展開だけから導かれるので、多項式環の場合と同じ計算で得られる。エタール座標の存在は滑らかな射の記事の定理「滑らかな射の局所構造」による。
標数 0 と標数 p
$B=A[x_1,\dots,x_d]$ とし、$\partial_i=\partial/\partial x_i$ とする。
- $A$ が $\mathbb{Q}$ を含むなら、$D_{B/A}$ は環として $B$ と $\partial_1,\dots,\partial_d$ で生成され、$x^\beta\partial^\alpha$（$\alpha,\beta\in\mathbb{N}^d$）を基底とする自由 $A$ 加群である。さらに $D_{B/A}$ は、生成元 $x_1,\dots,x_d,\partial_1,\dots,\partial_d$ と関係式
$$ [x_i,x_j]=0,\qquad[\partial_i,\partial_j]=0,\qquad[\partial_i,x_j]=\delta_{ij} $$
で定義される $A$ 上の Weyl代数 $A_d(A)$ に同型である。とくに $\mathcal{D}_{X/S}$ は、$X$ が $\mathbb{Q}$ 上のスキーム $S$ 上滑らかなら、局所的に $\mathcal{O}_X$ と $\mathcal{T}_{X/S}$ で生成される。 - $A$ が素数 $p$ を標数とする環なら、$\partial_i^{\,p}=0$ であり、$\partial^{[pe_i]}$ は $B$ と $\partial_1,\dots,\partial_d$ が生成する $D_{B/A}$ の部分環に入らない。とくに $D_{B/A}$ は $1$ 階の微分作用素で生成されない。
- prop-differential-operator-polynomial により $D_{B/A}=\bigoplus_\alpha B\,\partial^{[\alpha]}$ で、$\partial^\alpha=\alpha!\,\partial^{[\alpha]}$ かつ $\alpha!$ は $A$ で可逆だから $\partial^\alpha$ も $B$ 基底をなし、$B=\bigoplus_\beta Ax^\beta$ から $x^\beta\partial^\alpha$ は $A$ 基底である。よって $D_{B/A}$ は $A$ 代数として $x_i$ と $\partial_i$ で生成される。関係式は prop-differential-operator-polynomial の 3 で確かめてあるので、$A$ 代数の全射準同型 $\pi\colon A_d(A)\to D_{B/A}$ が定まる。$A_d(A)$ の中では、関係式 $\partial_ix_j=x_j\partial_i+\delta_{ij}$ で生成元の語の中の $x_j$ を左へ動かすことにより（語の長さについての帰納法）、任意の元は $x^\beta\partial^\alpha$ の $A$ 係数の 1 次結合に書ける。それらの $\pi$ による像は $D_{B/A}$ の $A$ 基底で線形独立だから、$x^\beta\partial^\alpha$ は $A_d(A)$ の $A$ 基底であり、$\pi$ は同型である。滑らかな $X/S$ についての主張は thm-differential-operator-smooth の基底 $\partial^{[\alpha]}=\partial^\alpha/\alpha!$ による。
- $\partial_i^{\,p}=p!\,\partial^{[pe_i]}$ で $p!=0$ である。$R\subset\operatorname{End}_A(B)$ を $B$（の元の倍写像）と $\partial_1,\dots,\partial_d$ が生成する部分環とする。$x_j^p$ の倍写像は $R$ の生成元すべてと交換する：$B$ の元とは $B$ が可換だから、$\partial_i$ とは $[\partial_i,x_j^p]=\partial_i(x_j^p)=p\,x_j^{p-1}\delta_{ij}=0$ だからである。したがって $x_j^p$ は $R$ のすべての元と交換し、$D\in R$ なら $D(x_j^pf)=x_j^p\,D(f)$（$f\in B$）である。ところが prop-differential-operator-polynomial の 3 により
$$ \partial^{[pe_1]}(x_1^p\cdot1)=\binom pp=1,\qquad x_1^p\,\partial^{[pe_1]}(1)=x_1^p\binom0p=0 $$
で、両者は異なる。よって $\partial^{[pe_1]}\notin R$ である。最後の主張は、prop-differential-operator-polynomial の 2 により $D^1_{B/A}=B\oplus\bigoplus_iB\,\partial_i$ なので $D^1_{B/A}$ が生成する部分環が $R$ に等しいことによる。
標数 $p$ では $\partial^{[p^ke_i]}$（$k\ge0$）が $B$ 上 $D_{B/A}$ を生成する。実際 $m=\sum_km_kp^k$（$0\le m_k< p$）と $p$ 進展開すると、二項係数の記事の Lucas の定理により $\binom{jp^k}{p^k}\equiv j\pmod p$ なので合成の式から $(\partial^{[p^ke_i]})^{j}=j!\,\partial^{[jp^ke_i]}$（$j< p$）、また $a,b$ の $p$ 進展開の桁が重ならなければ $\binom{a+b}{a}\equiv1\pmod p$ だから
$$
\partial^{[me_i]}=\prod_k\frac{(\partial^{[p^ke_i]})^{m_k}}{m_k!}
$$
となる。$\partial^{[\alpha]}$ の記法は分割冪構造の $\gamma_n(x)=x^n/n!$ と同じ考え方で、標数 $p$ の微分作用素の理論では $\partial^\alpha$ でなく $\partial^{[\alpha]}$ が基本である。Berthelot は分割冪イデアルを備えた環の上で「PD 微分作用素」を定義し（BO78 §4）、それを結晶コホモロジーの係数である結晶の記述に使う。prop-differential-operator-characteristic の 2 は、標数 $p$ で $\mathcal{D}_{X/S}$ 加群の構造（すべての $\partial^{[\alpha]}$ の作用）が可積分接続（$\partial_i$ の作用だけ）より真に強い条件である理由でもある（rem-differential-operator-d-modules）。また上の証明のとおり標数 $p$ では $x_i^p$ が $\mathcal{D}_{X/S}$ の中心（環の中心）に入る。これはFrobenius写像による $\mathcal{O}_{X^{(p)}}$ が中心に含まれることの現れで、標数 $p$ の $\mathcal{D}$ 加群論が標数 $0$ と大きく異なる出発点である。
$\mathcal{D}$ 加群と接続
$\mathcal{O}_X$ 加群 $\mathcal{M}$ に、その $\mathcal{O}_X$ 加群構造を延ばす左 $\mathcal{D}_{X/S}$ 加群の構造を与えたものが D加群である。次の事実は言明にとどめる。
- $X$ が標数 $0$ の体 $k$ 上滑らかなら、prop-differential-operator-characteristic の 1 により $\mathcal{D}_X$ は $\mathcal{O}_X$ と $\mathcal{T}_X$ で生成されるので、左 $\mathcal{D}_X$ 加群の構造は $\mathcal{T}_X$ の作用 $\theta\mapsto\nabla_\theta$ で決まり、それが $\mathcal{D}_X$ の作用に延びる条件は、$\nabla$ が Leibniz 則をみたす接続であって $\nabla_{[\theta,\theta']}=[\nabla_\theta,\nabla_{\theta'}]$（可積分性）をみたすことである。すなわち標数 $0$ の滑らかな $X$ 上で、左 $\mathcal{D}_X$ 加群と可積分接続付き $\mathcal{O}_X$ 加群は同じものである（Hotta–Takeuchi–Tanisaki HTT08 1.2）。
- 一般の $X/S$ では、$\mathcal{M}$ の $\mathcal{D}_{X/S}$ 加群構造は、各 $n$ について $\mathcal{P}^n_{X/S}$ 上の同型 $p_2^*\mathcal{M}\cong p_1^*\mathcal{M}$ の両立系（stratification）を与えることと同値である（Berthelot–Ogus BO78 §2）。標数 $p$ では可積分接続は stratification を定めず（prop-differential-operator-characteristic の 2）、両者の隙間を分割冪で埋めるのが結晶景の考え方である（結晶コホモロジー、BO78 §4・§6）。標数 $p$ の可積分接続には $p$ 曲率 $\psi(\theta)=\nabla_\theta^{\,p}-\nabla_{\theta^{p}}$ という不変量があり（Katz Kat70 §5）、$\nabla$ が $\mathcal{D}_{X/S}$ の作用に延びるには $\psi=0$ が必要である（$\mathcal{D}_{X/S}$ の中で $\theta^{p}$ は $p$ 回の合成としても導分としても同じ元だから）。
- $X$ が標数 $0$ の体上滑らかなら、$\operatorname{gr}\mathcal{D}_X$ は余接束の座標環 $\operatorname{Sym}\mathcal{T}_X$ に同型で（thm-differential-operator-smooth の基底 $\partial^{[\alpha]}$ の $\operatorname{gr}$ での像 $\sigma_\alpha$ は prop-differential-operator-polynomial の 3 により $\sigma_\alpha\sigma_\beta=\binom{\alpha+\beta}{\alpha}\sigma_{\alpha+\beta}$ をみたし、標数 $0$ では $\sigma_{e_1},\dots,\sigma_{e_d}$ が生成する多項式環になる）、$\mathcal{D}_X$ は左右 Noether な環の層である（HTT08 1.1）。標数 $p$ では $\operatorname{gr}\mathcal{D}_{X/S}$ は同じ関係式をみたす $\sigma_\alpha$ を基底とする $\mathcal{T}_{X/S}$ の分割冪代数であり、多項式環ではない。特異点ではこれらが破れうる（ex-differential-operator-cusp）。
関連項目
参考文献
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