Chern数

$N\ge k$ とする。$m_I(t_1,\dots,t_N)$ は整数係数の $k$ 次斉次の対称多項式なので、対称多項式 の定理「対称多項式の基本定理」により、重み $k$ の斉次な $P_N\in\mathbb Z[y_1,\dots,y_N]$ でただ 1 つ $m_I=P_N(e_1,\dots,e_N)$ となるものがある。重み $k$ の単項式は $i>k$ の $y_i$ を含まないので $P_N\in\mathbb Z[y_1,\dots,y_k]$ である。

$N+1$ 変数の式で $t_{N+1}=0$ とおくと、$e_i(t_1,\dots,t_N,0)=e_i(t_1,\dots,t_N)$ であり、$m_I(t_1,\dots,t_N,0)$ は $t_{N+1}$ を含まない単項式の和なので $m_I(t_1,\dots,t_N)$ に等しい。よって $m_I(t_1,\dots,t_N)=P_{N+1}(e_1,\dots,e_k)$ であり、基本定理の一意性から $P_{N+1}=P_N$ である。$S_I:=P_N$（$N\ge k$）とおく。一意性は $N=k$ の場合の一意性による。

$N< k$ なら、$k$ 変数の式で $t_{N+1}=\cdots=t_k=0$ とおく。$e_i(t_1,\dots,t_N,0,\dots,0)$ は $i\le N$ で $N$ 変数の $e_i$、$i>N$ で $0$ になり、$m_I$ は $N$ 変数の $m_I$ になる（$\ell(I)>N$ なら $0$）。よって $N< k$ でも等式が成り立つ。$\square$

直線束では $c(L_i)=1+x_i$ なので、Whitney の和公式により $c(L_1\oplus\cdots\oplus L_N)=\prod_i(1+x_i)$、すなわち $c_j=e_j(x_1,\dots,x_N)$（$j>N$ では $0$）である。$t_i\mapsto x_i$ で定まる環準同型 $\mathbb Z[t_1,\dots,t_N]\to H^{\mathrm{even}}(B;\mathbb Z)$（偶数次の部分は可換環）で lem-cn-stable の等式を送ればよい。後半は、$\underline{\mathbb C}$ を足しても全 Chern 類が変わらないことによる（Chern類 の例「自明束と自明な直和因子」）。$\square$

多項式の等式． 不定元 $t_1,\dots,t_a$、$t'_1,\dots,t'_b$ をまとめた $a+b$ 変数で$$m_I(t,t')=\sum_{J\cup K=I}m_J(t)\,m_K(t')$$を示す。左辺の単項式 $\mu$ について、$t$ の変数に現れる正の指数の多重集合を $J$、$t'$ の変数に現れるものを $K$ とすると $J\cup K=I$ であり、$\mu$ は $m_J(t)$ の単項式と $m_K(t')$ の単項式の積にただ 1 通りに分かれる。逆に $J\cup K=I$ となる $(J,K)$ と、$m_J(t)$ の単項式 $\nu$、$m_K(t')$ の単項式 $\nu'$ について、$\nu\nu'$ は指数の多重集合が $I$ の単項式であり、$\nu\nu'$ から $(J,K,\nu,\nu')$ が復元できる。よって両辺の単項式は 1 対 1 に対応し、どの係数も $1$ なので、この等式が成り立つ。

束への移行． $E$ の階数が $0$ なら $s_J(E)$ は $J=\emptyset$ で $1$、それ以外で $0$ なので（lem-cn-stable の $N=0$）、等式は明らかである。$F$ についても同じである。両方の階数が正のとき、分裂原理 の定理「分裂原理」の 2・4 により、連続写像 $p\colon Y\to B$ で $p^*E\cong L_1\oplus\cdots\oplus L_a$、$p^*F\cong L'_1\oplus\cdots\oplus L'_b$（直線束の直和）となり、$p^*\colon H^*(B;\mathbb Z)\to H^*(Y;\mathbb Z)$ が単射であるものがある。$x_i:=c_1(L_i)$、$x'_j:=c_1(L'_j)$ とおくと、Chern 類の自然性と lem-cn-lines と上の多項式の等式により$$p^*s_I(E\oplus F)=m_I(x,x')=\sum_{J\cup K=I}m_J(x)\,m_K(x')=p^*\Bigl(\sum_{J\cup K=I}s_J(E)\,s_K(F)\Bigr)$$であり、$p^*$ の単射性から等式が従う。$I=(k)$ なら、$J\cup K=(k)$ となるのは $(J,K)=((k),\emptyset),(\emptyset,(k))$ だけである。$\square$

$M\times N$ はコンパクト Hausdorff なのでパラコンパクトである（パラコンパクト空間 の例「コンパクト空間の例」）。$T(M\times N)\cong\mathrm{pr}_1^*TM\oplus\mathrm{pr}_2^*TN$ に prop-cn-sum と Chern 類の自然性を当てると$$s_I\bigl(T(M\times N)\bigr)=\sum_{J\cup K=I}\mathrm{pr}_1^*s_J(TM)\smile\mathrm{pr}_2^*s_K(TN)=\sum_{J\cup K=I}s_J(TM)\times s_K(TN)$$である（$\times$ は Künnethの公式 の定義「コホモロジーのクロス積」）。$|J|+|K|=m+n$ なので、$|J|\ne m$ なら $|J|>m$ か $|K|>n$ であり、$H^{2|J|}(M;\mathbb Z)=0$ または $H^{2|K|}(N;\mathbb Z)=0$ によってその項は $0$ である（多様体の次元を超える次数のコホモロジーは消える。基本類 の定理「基本類の存在と一意性」の 3 と 普遍係数定理）。残る項について、$a\in H^{2m}(M;\mathbb Z)$、$b\in H^{2n}(N;\mathbb Z)$ の評価は$$\langle a\times b,[M\times N]\rangle=\langle a,[M]\rangle\,\langle b,[N]\rangle$$をみたす。これは次のように確かめられる。両辺は $a$、$b$ について双線形で基本類は成分ごとの和なので、$M$、$N$ は連結としてよく、$m=0$ または $n=0$ なら明らかなので $m,n\ge1$ とする。Poincaré双対 の定理「閉多様体の Poincaré 双対」により $H^{2m}(M;\mathbb Z)\cong\mathbb Z$ で、普遍係数定理 により評価 $H^{2m}(M;\mathbb Z)\to\mathbb Z$ は全射なので同型である。$\langle u_M,[M]\rangle=1$ となる $u_M$ をとると $a=\langle a,[M]\rangle u_M$ であり、$N$ の $u_N$ についても同様なので、$\varepsilon:=\langle u_M\times u_N,[M\times N]\rangle=1$ を示せばよい。点 $x\in M$ で $[M]$ の局所類 $\mu_x\in H_{2m}(M,M\setminus x;\mathbb Z)$ について $\langle\tau_x,\mu_x\rangle=1$ となる $\tau_x\in H^{2m}(M,M\setminus x;\mathbb Z)$ をとると、$\tau_x$ の $H^{2m}(M;\mathbb Z)$ での像は評価が $1$ なので $u_M$ であり、$y\in N$ の $\tau_y$ も同様である。$M\times N\setminus\{(x,y)\}=(M\setminus x)\times N\cup M\times(N\setminus y)$ は開集合の和なので相対クロス積 $\tau_x\times\tau_y$ が定まり、自然性により $\varepsilon=\langle\tau_x\times\tau_y,\mu_{(x,y)}\rangle$ である（$\mu_{(x,y)}$ は $[M\times N]$ の局所類）。$x$、$y$ のまわりで、その点での微分が $(T_xM,J_x)\cong\mathbb C^m$、$(T_yN,J_y)\cong\mathbb C^n$ と複素線形になる座標をとって切除すると、この値は $(\mathbb C^m,\mathbb C^m\setminus0)\times(\mathbb C^n,\mathbb C^n\setminus0)$ での同じ量（複素構造の向きによる）に等しく、$m$、$n$ だけで決まる。そこで $M=\mathbb{CP}^m$、$N=\mathbb{CP}^n$ で計算する。Whitney の和公式と次数により $c_{m+n}(T(M\times N))=c_m(M)\times c_n(N)$ なので、定義の直後の注意と ex-cn-cpn により $\chi(M\times N)=c_{m+n}[M\times N]=\varepsilon\,c_m[M]\,c_n[N]=\varepsilon\,(m+1)(n+1)$ である。Künnethの公式 の系「Betti 数と Euler 標数の乗法性」により $\chi(M\times N)=\chi(M)\chi(N)=(m+1)(n+1)\ne0$ なので、$\varepsilon=1$ である。これで公式が得られる。$I=(m+n)$ なら、$J\cup K=(m+n)$ となる組は $J$ か $K$ が空なので、$m,n\ge1$ では $|J|=m$、$|K|=n$ をみたす組がなく、和は $0$ である。$\square$

$X$ が複素部分多様体であることと、垂直微分 $D\colon TY|_X\to L|_X$（局所的に $df$）が複素線形な全射で核が $TX$ であることは、複素射影空間の接束 の系「滑らかな超曲面の Chern 類」の証明と同じく、正則な陰関数定理による（実の束としては 閉部分多様体のPoincaré双対 の補題「零点集合と法束」の 1・2）。$TY|_X$ に Hermite 計量をとり、$TX$ の直交補を $\nu$ とすると、$\nu$ は複素部分束で $D|_\nu\colon\nu\to L|_X$ は複素ベクトル束の同型なので、$TY|_X\cong TX\oplus i^*L$ である。

1：Whitney の和公式により $i^*c(TY)=c(TX)\,(1+i^*u)$ で、$1+i^*u$ は可逆である。

2：prop-cn-sum の $s_n$ の加法性と lem-cn-lines（$s_n(i^*L)=(i^*u)^n$）により、$i^*s_n(TY)=s_n(TX)+(i^*u)^n$ である。

3：直線束の第 1 Chern 類は、横断的に消える切断の零点集合の Poincaré 双対類である：$\beta\in H^{2n}(Y;\mathbb Z)$ について $\langle i^*\beta,[X]\rangle=\langle u\smile\beta,[Y]\rangle$（Gysin写像 の命題「基本類の押し出し」と定理「複素多様体の因子の類」。$X$ の向きは複素構造の向き。この記事では証明しない。同定理は $c_1(\mathcal O_Y(X))$ の形で述べられているが、横断性により $\sigma$ の局所表示 $f_\alpha$ は $X$ の局所的な定義関数なので、$\mathcal O_Y(X)$ の変換関数 $f_\alpha/f_\beta$ は $L$ の変換関数に等しく、$L\cong\mathcal O_Y(X)$ である）。2 の右辺に $\beta=s_n(TY)-u^n$ として当てればよい。$\square$