Morse関数

対称であることは偏微分の順序交換による。別の局所座標 $(u_1,\dots,u_n)$ をとり、座標変換を $x=h(u)$、$p$ に対応する点で $J:=\bigl(\partial x_i/\partial u_a\bigr)$ とおく。合成関数の微分を 2 回使うと
$$ \frac{\partial^2f}{\partial u_a\partial u_b}=\sum_{i,j}\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}\frac{\partial x_i}{\partial u_a}\frac{\partial x_j}{\partial u_b}+\sum_i\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{\partial^2x_i}{\partial u_a\partial u_b} $$
であり、$p$ では $\partial f/\partial x_i=0$ なので第 2 項が消える。よって 2 つの座標での Hesse 行列 $A^x$、$A^u$ は $A^u=J^{\top}A^xJ$ をみたす。一方、接ベクトルの成分は $v^x=Jv^u$ と変換されるので、
$$ (v^u)^{\top}A^u\,w^u=(Jv^u)^{\top}A^x(Jw^u)=(v^x)^{\top}A^x\,w^x $$
であり、2 つの座標で定めた $H_pf(v,w)$ は一致する。$\square$

$d_i<0$ となる $e_i$ の張る部分空間の上で $H$ は負定値なので、最大値は $\lambda$ 以上である。$d_i\ge0$ となる $e_i$ の張る部分空間 $P$（次元 $n-\lambda$）の上では $H(v,v)\ge0$ である。次元が $\lambda$ より大きい部分空間 $E$ は $P$ と $0$ でない元 $v$ を共有し（$\dim E+\dim P>n$）、$H(v,v)\ge0$ なので $E$ の上で $H$ は負定値でない。よって最大値は $\lambda$ である。$\square$

$x\in V$ なら線分 $\{tx\mid 0\le t\le1\}$ は $V$ に含まれるので、
$$ g(x)=\int_0^1\frac{d}{dt}g(tx)\,dt=\sum_{i=1}^nx_i\int_0^1\frac{\partial g}{\partial x_i}(tx)\,dt $$
である。$g_i(x):=\int_0^1\frac{\partial g}{\partial x_i}(tx)\,dt$ とおく。被積分関数は $(t,x)$ について滑らかで、$[0,1]$ はコンパクトなので、積分記号の下で何回でも微分でき、$g_i$ は滑らかである。$g_i(0)=\frac{\partial g}{\partial x_i}(0)$ は定義から明らかである。$\square$

後半．その座標で $\partial f/\partial y_i=\mp2y_i$ は $p$ で $0$ であり、Hesse 行列は対角成分が $-2$（$k$ 個）と $2$（$n-k$ 個）の対角行列で正則である。lem-morse-index により指数は $k$ である。
前半．段 1（2 次形式の形に書く）．局所座標で $p$ を原点に移し、$f(p)$ を引いて、$f$ は原点を含む凸な開集合 $V\subset\mathbb{R}^n$ の上の関数で $f(0)=0$ としてよい。lem-morse-hadamard により $f=\sum_jx_jg_j$、$g_j(0)=\partial f/\partial x_j(0)=0$ である。$g_j$ にもう一度補題を使って $g_j=\sum_ix_ih_{ij}$ と書くと、$f=\sum_{i,j}x_ix_jh_{ij}$ である。$h_{ij}$ を $\frac12(h_{ij}+h_{ji})$ に取り替えても和は変わらないので、$h_{ij}=h_{ji}$ としてよい。この式を 2 回微分して原点で値をとると、$x_ix_j$ を含む項だけが残り
$$ \frac{\partial^2f}{\partial x_a\partial x_b}(0)=h_{ab}(0)+h_{ba}(0)=2h_{ab}(0) $$
となる。よって行列 $\bigl(h_{ij}(0)\bigr)$ は Hesse 行列の $\frac12$ 倍で、正則である。
段 2（帰納法の主張）．$1\le r\le n+1$ について、次の主張 $(\mathrm{A}_r)$ を示す：原点のまわりの座標 $u_1,\dots,u_n$（$u(0)=0$）と、原点の近くの滑らかな関数 $H_{ij}=H_{ji}$（$r\le i,j\le n$）で、$\bigl(H_{ij}(0)\bigr)_{i,j\ge r}$ が正則なものがあり、
$$ f=\epsilon_1u_1^2+\dots+\epsilon_{r-1}u_{r-1}^2+\sum_{i,j\ge r}u_iu_jH_{ij}(u),\qquad\epsilon_i\in\{1,-1\} $$
と書ける。$(\mathrm{A}_1)$ は段 1 で $u=x$、$H=h$ とすれば成り立つ。$(\mathrm{A}_{n+1})$ は和が空になる場合で、$f=\sum_i\epsilon_iu_i^2$ を意味する。
段 3（$(\mathrm{A}_r)$ から $(\mathrm{A}_{r+1})$ へ）．$B:=\bigl(H_{ij}(0)\bigr)_{i,j\ge r}$ は正則な対称行列なので、あるベクトル $w$ で $w^{\top}Bw\ne0$ となる（すべての $w$ で $0$ なら、$w^{\top}Bw'=\frac12\bigl((w+w')^{\top}B(w+w')-w^{\top}Bw-w'^{\top}Bw'\bigr)$ より $B=0$ になる）。$u_r,\dots,u_n$ の間の正則な線形変換で $w$ を第 1 の基底ベクトルに移すと、変換後も $(\mathrm{A}_r)$ の形が保たれ（$H$ は $P^{\top}HP$ に変わる）、$H_{rr}(0)\ne0$ となる。原点の近くで $H_{rr}$ は $H_{rr}(0)$ と同じ符号 $\epsilon_r$ をもつので、$q(u):=\sqrt{\lvert H_{rr}(u)\rvert}$ は滑らかで $0$ にならない。新しい座標を
$$ v_r:=q(u)\Bigl(u_r+\sum_{i>r}u_i\frac{H_{ir}(u)}{H_{rr}(u)}\Bigr),\qquad v_i:=u_i\quad(i\ne r) $$
で定める。原点での Jacobi 行列は、第 $r$ 行を除いて単位行列の行であり、第 $r$ 行は $(0,\dots,0,q(0),\ast,\dots,\ast)$ である（$q$ を微分した項には括弧の中の値が、$H_{ir}/H_{rr}$ を微分した項には $u_i$（$i>r$）が掛かり、どちらも原点で $0$ なので、原点ではそれらの項が消える）。行列式は $q(0)\ne0$ なので、逆関数定理 により $v$ は原点の近くの座標である。平方完成により
$$ \sum_{i,j\ge r}u_iu_jH_{ij}=H_{rr}\Bigl(u_r+\sum_{i>r}u_i\frac{H_{ir}}{H_{rr}}\Bigr)^2+\sum_{i,j>r}u_iu_j\Bigl(H_{ij}-\frac{H_{ir}H_{jr}}{H_{rr}}\Bigr)=\epsilon_rv_r^2+\sum_{i,j>r}v_iv_jH'_{ij} $$
である。ここで $H'_{ij}:=H_{ij}-H_{ir}H_{jr}/H_{rr}$ を座標 $v$ の関数とみた。$H'_{ij}=H'_{ji}$ で、$\bigl(H'_{ij}(0)\bigr)_{i,j>r}$ は $B$ の $(r,r)$ 成分に関する Schur 補行列なので、$\det B=H_{rr}(0)\det\bigl(H'_{ij}(0)\bigr)$ より正則である。これで $(\mathrm{A}_{r+1})$ が示された。
段 4（結論）．$(\mathrm{A}_{n+1})$ により、原点の近くの座標 $u$ で $f=\sum_i\epsilon_iu_i^2$ となる。$\epsilon_i=-1$ の座標を前に並べ替えれば求める形になり、後半により負の項の個数は指数 $\lambda$ に等しい。$\square$

Morse 座標では $\partial f/\partial y_i=\mp2y_i$ なので、$U$ の中の臨界点は $y=0$、すなわち $p$ だけである。$M$ がコンパクトなら、臨界点の集合は $df$ の零点の集合として閉集合なのでコンパクトであり、各点が孤立しているので有限集合である（各臨界点の上の近傍で被覆し、有限部分被覆をとる）。$\square$

1．Morse 座標で $f-f(p)=-\sum_{i\le\lambda}y_i^2+\sum_{i>\lambda}y_i^2$ である。$\lambda=0$ なら $p$ の近くで $f\ge f(p)$ で極小、$\lambda=n$ なら極大である。$\lambda\ge1$ なら、$y_1$ 軸の上の $p$ 以外の点では $f< f(p)$ であり、そのような点は $p$ のいくらでも近くにあるので $p$ は極小点でない。同様に $\lambda\le n-1$ なら、$y_n$ 軸の上で $f>f(p)$ となるので極大点でない。これで 2 つの同値が示され、$0<\lambda< n$ ならどちらでもない。
2．$-f=-f(p)+\sum_{i\le\lambda}y_i^2-\sum_{i>\lambda}y_i^2$ なので、座標の順を入れ替えれば thm-morse-lemma の後半により、非退化で指数 $n-\lambda$ である。$\square$

分子・分母はともに $x$ の 2 次の同次式なので、$f$ は代表元の取り方によらない。$x_k\ne0$ となる点の全体 $U_k$ の上の座標 $u=(u_i)_{i\ne k}$、$u_i:=x_i/x_k$ で書くと
$$ f=\frac{c_k+\sum_{i\ne k}c_iu_i^2}{1+\lvert u\rvert^2},\qquad\frac{\partial f}{\partial u_i}=\frac{2u_i\bigl(c_i(1+\lvert u\rvert^2)-c_k-\sum_{j\ne k}c_ju_j^2\bigr)}{(1+\lvert u\rvert^2)^2}=\frac{2u_i\bigl(c_i-f\bigr)}{1+\lvert u\rvert^2} $$
であり、$f$ は滑らかである。$U_k$ の中の臨界点を $u$ とする。ある $i$ で $u_i\ne0$ なら $f(u)=c_i$ であり、$c_j$ は互いに異なるので、$i$ 以外の $j\ne k$ では $u_j=0$ である。すると $f(u)=(c_k+c_iu_i^2)/(1+u_i^2)$ は $c_k$ と $c_i$ の真の重み付き平均で、$c_k\ne c_i$ なので $c_i$ に等しくない。これは矛盾なので $u=0$ である。逆に $u=0$ は臨界点である。$U_0,\dots,U_n$ は $\mathbb{RP}^n$ を覆うので、臨界点は $[e_0],\dots,[e_n]$ である。
$\partial f/\partial u_i=2u_i(c_i-f)/(1+\lvert u\rvert^2)$ を $u_j$ で微分して $u=0$ とおくと、$u_i$ を微分した項だけが残り、Hesse 行列は $\operatorname{diag}\bigl(2(c_i-c_k)\bigr)_{i\ne k}$ である。$c_i-c_k$ は $i< k$ で負、$i>k$ で正なので、$[e_k]$ は非退化で指数 $k$ である。$\square$