Schmidtの部分空間定理

前提知識: Rothの定理, Weil高さ, 代数体, 線形部分空間, 線形独立

Schmidt の部分空間定理（Schmidt subspace theorem）とは、代数的数を係数とする $n$ 個の線形独立な 1 次形式 $L_1,\dots,L_n$ と $\delta>0$ について、不等式
$$ \lvert L_1(\mathbf{x})\cdots L_n(\mathbf{x})\rvert<\lvert\mathbf{x}\rvert^{-\delta} $$
をみたす整数ベクトル $\mathbf{x}\in\mathbb{Z}^n$ が、すべて有限個の真の有理部分空間に含まれる、という定理である。W. M. Schmidt が 1972 年に証明した。$n=2$ の場合は Rothの定理 にあたり、部分空間定理はその多変数への一般化である。
1 変数の近似と違い、例外が「有限個の点」ではなく「有限個の部分空間」になるのは避けられない。たとえば $L_1$ が有理数係数なら、有理部分空間 $L_1=0$ の上の無限個の整数点で左辺は $0$ になる。部分空間定理の使い方の典型は、例外の部分空間の上で問題の変数を 1 つ減らし、帰納法で片づけることである。この方法で、単数の 1 次方程式（S 単数方程式）の解の有限性、ノルム形式方程式の解の有限性、Siegel の整数点の定理の別証明などが得られる。
部分空間定理そのものの証明はこの記事では扱わない。この記事では、定理を整数ベクトルの形と、代数体と有限個の素点での射影空間の形で述べ、Roth の定理が $n=2$ の場合から従うこと、および S 単数方程式の非退化な解が有限個であること（S 単数定理）を、部分空間定理から完全に証明する。

整数ベクトルの形

$\mathbb{R}^n$ の部分空間が 有理部分空間 であるとは、有理数係数の 1 次方程式で定義されることをいう。$\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)$ について $\lvert\mathbf{x}\rvert:=(x_1^2+\dots+x_n^2)^{1/2}$ とする。

この定理はこの記事では証明しない（Schmidt, Ann. of Math. 96 (1972)。主張は Sch89 §1、p. 121）。素数の有限集合 $S$ について、各 $\ell\in S$ で整数係数の線形独立な 1 次形式 $L_{1,\ell},\dots,L_{n,\ell}$ をとり、左辺に $\prod_{\ell\in S}\prod_i\lvert L_{i,\ell}(\mathbf{x})\rvert_\ell$ を掛け、右辺を $(\max\{1,\lvert x_1\rvert,\dots,\lvert x_n\rvert\})^{-\delta}$ とした $p$ 進版もある（Bug11 §2 の Theorem (Subspace Theorem)、p. 38）。
定量版．Schmidt は、例外の部分空間の個数の上界を与えた。係数が $d$ 次の代数体に属し、$0<\delta<1$ のとき、不等式 $\lvert L_1(\mathbf{x})\cdots L_n(\mathbf{x})\rvert<\lvert\det(L_1,\dots,L_n)\rvert\,\lvert\mathbf{x}\rvert^{-\delta}$ の整数解は、$\bigl[(2d)^{2^{26n}\delta^{-2}}\bigr]$ 個の真の部分空間のどれかに含まれるか、ノルムが $\max\bigl((n!)^{8/\delta},H(L_1),\dots,H(L_n)\bigr)$ 未満である（Sch89 の Theorem、p. 122）。部分空間の大きさ（高さ）には上界がなく、この意味で定理は有効でない（Bug11 §1、p. 36）。

Bug11 §2（p. 38）は、Roth の定理を「$q\lvert q\alpha-p\rvert<\lvert q\rvert^{-\varepsilon}$ の整数解は $\mathbb{Q}^2$ の有限個の真の部分空間に含まれる」と書き直し、部分空間定理の特別な場合であることを述べている。上の証明はこの書き直しを確かめたものである。

代数体と有限個の素点の形

応用では、代数体 $k$ の点を、有限個の素点で同時に測る形が使われる。以下 $k$ を 代数体、$M_k$ をその素点全体、$\|\cdot\|_v$ を Weil高さ の節「素点と正規化された絶対値」の正規化された絶対値とし、$S\subset M_k$ を無限素点をすべて含む有限集合とする。射影空間の点 $P=[y_0:\dots:y_N]\in\mathbb{P}^N(k)$ について
$$ h_k(P):=\sum_{v\in M_k}\log\max_i\|y_i\|_v=[k:\mathbb{Q}]\,h(P) $$
とおく（$h$ は Weil高さ）。

$\lambda_{\ell,v}(P)$ は、座標 $\mathbf{y}$ を $c\in k^\times$ 倍しても分子と分母が $\|c\|_v$ 倍になるだけなので、$P$ だけで決まる。$P$ が $v$ 進的に超平面 $\ell=0$ に近いほど大きい。一般の位置の定義は Voj11 Definition 7.1（p. 133）の「$j\le N$ 個の交わりは $N-j$ 次元、$N+1$ 個の交わりは空」と同じことである。$\lambda_{\ell,v}$ の定義は Voj11 Definition 7.9、$m_S$・$N_S$ は同 Definition 7.10（pp. 134–135）である。

この定理はこの記事では証明しない（Voj11 Theorem 7.11、p. 135）。$N=1$ のとき、$\mathbb{P}^1$ の超平面は点で、これは代数体と有限個の素点での Roth の定理になる（同所）。Schmidt の元の形は、超平面の組を素点ごとに取り替えてよい、より強い主張である（Voj11 Theorem 7.12、p. 136。Schmidt の 1991 年の本の Chapter VIII, Theorem 7A を出典としている）。
なぜ「和」が効くか．lem-sst-first-main により、$N_S(\ell_j,P)$ が小さい点、すなわち $S$ の外では超平面に近づかない点では、$m_S(\ell_j,P)$ はほぼ $h_k(P)$ に等しい。そのような超平面が $N+2$ 枚以上あると、左辺はほぼ $(N+2)h_k(P)$ 以上になり、右辺の $(N+1+\varepsilon)h_k(P)$ を超える。こうして、$Z$ の外では高さが有界になり、Northcott の定理で有限性が出る。次節はこの議論の典型である。

応用：S 単数定理

$S$ が無限素点だけなら、$S$ 単数は整数環の単数である（有限素点で $\|u\|_v=1$ は $v_{\mathfrak{p}}(u)=0$ のこと）。$k=\mathbb{Q}$、$S=\{\infty,2,3\}$ なら、$\mathcal{O}_S^\times=\{\pm2^a3^b\mid a,b\in\mathbb{Z}\}$ である。この定義は Bug11 §3（p. 39）、Eve84 §1（p. 226）のものである。
$a_1,\dots,a_n\in k^\times$ を固定し、方程式
$$ a_1u_1+\dots+a_nu_n=1,\qquad u_1,\dots,u_n\in\mathcal{O}_S^\times $$
を S 単数方程式 という。解 $(u_1,\dots,u_n)$ が 非退化 であるとは、$\{1,\dots,n\}$ の空でないどの部分集合 $J$ についても $\sum_{j\in J}a_ju_j\ne0$ であることをいう（$J=\{1,\dots,n\}$ では和が $1$ なので、条件は真部分集合についてのものである）。

この定理は van der Poorten–Schlickewei（1982）と Evertse（1984）が独立に示した（Eve84 Theorem 1、p. 227 は同値な射影の形 $x_0+\dots+x_n=0$ で述べる。Voj11 Theorem 13.2、p. 157、Bug11 §3、p. 39）。以下の証明は Voj11 の証明の方針に沿い、細部を補ったものである。

$n=2$ の場合は、単数の方程式 $\varepsilon_1-\varepsilon_2=1$ の解の有限性（Chowla 1961）の一般化で、$n=2$ の射影の形は Mahler による（Eve84 §1、p. 225、p. 227）。$n=2$ では例外の部分空間は $\mathbb{P}^1$ の点であり、上の証明は Rothの定理 の代数体と有限個の素点への一般化だけを使っている。

ほかの応用

以下はこの記事では証明しない。

• ノルム形式方程式．代数体 $K$ の元 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ による 1 次形式 $L=\alpha_1X_1+\dots+\alpha_nX_n$ について、方程式 $N_{K/\mathbb{Q}}(L(x_1,\dots,x_n))=m$ の整数解が、すべての $0$ でない整数 $m$ について有限個であるための必要十分条件を、Schmidt は部分空間定理で与えた（Schmidt, Ann. of Math. 96 (1972)。Bug11 §3、p. 39）。Thue 方程式はその特別な場合である。
• 次数が有界な代数的数による近似．$\xi$ を $n$ 次より大きい実代数的数、$\varepsilon>0$ とする。次数 $n$ 以下の代数的数 $\alpha$ で $\lvert\xi-\alpha\rvert< H(\alpha)^{-n-1-\varepsilon}$ となるものは有限個である。ここで $H(\alpha)$ は $\alpha$ の最小多項式（整数係数）の係数の絶対値の最大である（Schmidt 1970。Bug11 §3、p. 38）。$n=1$ が Rothの定理 である。
• Siegel の定理の別証明．少なくとも 3 つの無限遠点をもつ滑らかなアフィン曲線の整数点の集合は有限である。Corvaja–Zannier（2002）は、曲線を大きな射影空間に埋め込み、無限遠点で高い位数で消える超平面を選んで部分空間定理を当てることで、これを示した（Voj11 §19、Theorem 19.1、p. 171）。
• 一般の因子への拡張．射影多様体 $X$ の有効 Cartier 因子 $D$ について、Ru は $\mathrm{Nev}(D)$ という数を定め、$\varepsilon>0$ について近接関数 $m_S(x,D)$ が $(\mathrm{Nev}(D)+\varepsilon)h_D(x)$ 以下であることを、$X(k)$ の真の Zariski 閉集合の外で示した。$\mathrm{Nev}(D)< 1$ なら $X\setminus D$ の整数点は退化する（RV16 §1、Theorem B と前後の段落、pp. 1–2）。超平面の場合の thm-sst-projective がその出発点になっている。
  これらの定理は、複素解析の Nevanlinna 理論の定理（Cartan の定理）と形がよく似ており、この対応は Vojta予想 で扱う（Voj11 §7、Theorem 7.7 と Theorem 7.11、pp. 134–135）。

反例と注意

部分空間定理と S 単数定理の仮定を外すと、結論は成り立たなくなる。確かめは表の下にある。

各行の反例が、どの条件を破り、他の条件をみたすかを確かめる。

関連項目

• 前提: Rothの定理, Weil高さ, 代数体, 線形部分空間, 線形独立
• 比較: Diophantus幾何学, Dirichletの単数定理, 連分数
• 直後に読む: S単数方程式, Thue方程式
• 発展: Vojta予想, Nevanlinna理論, abc予想