双対化加群

同義語：dualizing module

概要

前提知識: Noether環, 局所環, 加群, 体, 深さ

環上の双対を表す加群

体上の有限次元ベクトル空間には線形双対があり、二回双対を取ると元に戻る。環上では Hom の値をどの加群に取るかが重要になる。環自身を値域に取っても、短完全列が双対の下で完全になるとは限らず、二重双対が元の加群に戻るとも限らない。双対化加群は、この双対性を担う有限加群である。
零因子のある環でも双対化加群を考えられる。有限次元体代数では体に対する線形双対を取ればよい。一方、高い次元の完備局所環では、正則局所環からの表示と Ext により構成する。その構成が一つの加群になるのは Cohen–Macaulay 性が関与するためであり、一般の完備環で得られる双対化複体と区別する。

定義

単射加群の基礎と正則局所環のホモロジー的性質は Mat89 §18–19、係数表示は同書 §29 に対応する。

双対化加群

$(A,\mathfrak m)$ を非零 Noether 局所環とする。有限生成 $A$ 加群 $W$ が次を満たすとき双対化加群という。

$\operatorname{id}_A W< \infty$。
乗法による写像 $A\to\operatorname{Hom}_A(W,W)$ は同型である。
$\operatorname{Ext}_A^i(W,W)=0$ がすべての $i>0$ で成立する。

単射次元は、単射解像度の長さの最小値である。条件2から $W\ne0$ である。零環については零加群が同じ三条件を形式的に満たすが、非零局所環の定義とは分けて扱う。本記事で示す一般存在定理は完備 Cohen–Macaulay 局所環に対するものであり、任意の Noether 局所環に存在を仮定しない。
環自身が双対化加群となる場合は Gorenstein 性につながる。Cohen–Macaulay 完備局所環で後に構成する加群は標準加群とも呼ばれる。Cohen–Macaulay でない環についても標準加群という用語を使う流儀があるため、二つの用語を無条件に同義としない。

有限次元体代数での構成

線形双対による構成

$k$ を体、$A$ を有限次元可換 $k$ 代数とする。$D=\operatorname{Hom}_k(A,k)$ に $(a\varphi)(b)=\varphi(ab)$ で $A$ 作用を入れると、$D$ は有限生成単射加群であり、乗法写像 $A\to\operatorname{End}_A(D)$ は同型である。したがって $A$ が局所なら $D$ は双対化加群である。

任意の $A$ 加群 $M$ に対して
$$\operatorname{Hom}_A(M,D)\longrightarrow\operatorname{Hom}_k(M,k),\qquad f\longmapsto(m\mapsto f(m)(1))$$
を取る。逆写像は $\psi$ から $m\mapsto(a\mapsto\psi(am))$ を作る写像である。$A$ 線形性と二つの合成が恒等になることは代入により確かめられる。ここでは $M$ の有限生成性は不要である。ベクトル空間の部分空間上の線形形式は基底を延ばして全空間へ延長できるので $\operatorname{Hom}_k(-,k)$ は完全であり、$D$ は単射である。
有限次元 $M$ の評価写像 $M\to M^{**}$ は自然な $A$ 線形同型である。これを $M=A$ に使うと、$D$ の自己準同型を双対により $A$ の自己準同型へ戻せる。$A$ の自己準同型は $1$ の像 $a$ による乗法であり、評価の自然性から元の $D$ の自己準同型も $a$ による乗法である。従って実際の乗法写像が同型になる。$A$ と $D$ は有限次元だからそれぞれ Noether 環と有限生成加群である。単射性から正次数の Ext は消える。$\square$

局所 $A$ の剰余体を $K=A/\mathfrak m$ とする。$K=k$ とは限らない。
$$\operatorname{soc}D=\operatorname{Hom}_k(K,k)$$
であり、これは $K$ 上一次元である。実際 $k$ 次元は $[K:k]$ であり、$K$ 作用が入っている。有限次元局所代数では $\mathfrak m$ の冪が零になる。冪の列の定常性と有限 Nakayama による。従って $D$ の任意の非零部分加群は、最後の非零極大イデアル冪を掛けることで socle と非零交叉する。$D$ は剰余体の単射包となるが、$\operatorname{Hom}_k(K,k)$ と $K$ の具体的同型には線形形式の選択が必要である。

一変数の計算と非巡回の反例

$k$ を体、$r\ge1$ とする。$A=k[t]/(t^r)$ で $\lambda$ を $t^{r-1}$ の係数を取る線形形式とする。
$$A\to\operatorname{Hom}_k(A,k),\quad a\mapsto(b\mapsto\lambda(ab))$$
は同型である。非零 $a$ の最初の非零次数を $j$ とすると $b=t^{r-1-j}$ により $\lambda(ab)\ne0$ なので単射であり、次元が等しいため全射である。特にこの環自身は単射加群である。$r=1$ は体の場合である。
対して $A=k[x,y]/(x,y)^2$ では、双対の基底を $1^*,x^*,y^*$ と書くと
$$xx^*=1^*,\qquad yy^*=1^*$$
で、他の $x,y$ による積は零である。従って $\mathfrak mD=k1^*$、$\dim_kD/\mathfrak mD=2$ であり $D$ は巡回でない。環 $A$ と同型ではない。
環 $A$ 自身の単射次元も無限である。$\mathfrak m\cong k^2$ なので $k$ の逐次最小自由被覆の核は $\Omega^j k\cong k^{2^j}$ となる。$\operatorname{Hom}_A(\mathfrak m,A)$ の次元は4であり、$\operatorname{Hom}_A(A,A)$ からの制限の像は定数項による恒等写像の一次元部分である。よって $\dim_k\operatorname{Ext}_A^1(k,A)=3$。次元移送により
$$\dim_k\operatorname{Ext}_A^i(k,A)=3\cdot2^{i-1}\quad(i\ge1).$$
有限単射解像度なら十分高い Ext は零になるため、これはその不存在を示す。双対化加群が存在することと環自身がそれであることは異なる。

深さと射影次元について使う事実

一般構成では、正則局所環の商に対する Ext の集中を証明する。そのために、深さと射影次元についての次の事実を使う。$(A,\mathfrak m,k)$ をNoether局所環、$M$ を非零有限生成 $A$ 加群とする。有限生成 $A$ 加群 $N$ と $\mathfrak m$ に含まれるイデアル $J$ について $N=JN$ なら $N=0$ である（Nakayamaの補題の定理「Nakayamaの補題」。以下で Nakayama と呼ぶ）。

深さ：$\operatorname{depth}_AM$ は極大イデアル内の $M$ 正則列（各段の商の上で次の元の掛算が単射で、最後の商が非零となる列。空列も含む）の長さの最大値であり、零加群の深さは $\infty$ と約束する（深さの定義「深さ」）。深さは有限で $\operatorname{depth}_AM=\min\{i\ge0\mid\operatorname{Ext}^i_A(k,M)\ne0\}$ が成り立ち、極大イデアル内で延長できない $M$ 正則列はすべて同じ長さをもち、$M$ 正則元 $x\in\mathfrak m$ で割ると深さはちょうど $1$ 下がる（同じ記事の定理「正則列とExtによる深さ」）。
随伴素と素イデアル回避：$\operatorname{Ass}(M)$ は空でない有限集合で、$M$ 上の零因子の全体は随伴素イデアルの和集合であり、$M$ は各因子が素イデアル $\mathfrak p_i$ による $A/\mathfrak p_i$ と同型な有限列をもつ（随伴素イデアルの定理「随伴素の存在」「零因子を検出する和集合」「有限素因子列」）。イデアルが有限個の素イデアルのどれにも含まれないなら、それらすべてを避ける元をそのイデアルの中に選べる（素イデアル回避の定理「有限素イデアル回避補題」）。
極小自由分解：$M$ は、各項が有限階数の自由加群で微分の行列要素がすべて $\mathfrak m$ に入る自由分解（以下、最小自由解像度とよぶ）をもち、$\operatorname{pd}_AM=n<\infty$ ならその長さはちょうど $n$ である（極小自由分解の定理「極小自由分解の存在」「Betti 数の計算」）。
有限射影次元の深さ公式：$\operatorname{pd}_AM<\infty$ なら
$$\operatorname{pd}_AM+\operatorname{depth}_AM=\operatorname{depth}A$$
である（Auslander–Buchsbaum公式の定理「Auslander–Buchsbaum公式」）。

単射加群と有界な Hom 計算

単射加群を十分に用意できることも確認する。可除アーベル群 $\mathbb Q/\mathbb Z$ は単射である。$\mathbb Z$ のイデアルは $n\mathbb Z$ の形なので、その生成元の像を $n$ で割って写像を延長できる。このイデアルについての延長条件が全部分加群について十分であることは次の議論による。部分加群からの写像の延長定義域を Zorn で極大にし、まだ含まない元 $v$ を取る。$J=\{a:av\text{ が定義域に入る}\}$ 上の写像を環全体へ延ばし、$u+av$ の像を定めれば定義域を増やせる。二表示の差では係数が $J$ に入り、写像は well-defined である。これは Baer の判定の証明である。
任意の環 $R$ について $E=\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(R,\mathbb Q/\mathbb Z)$ は単射 $R$ 加群である。評価を使った随伴
$$\operatorname{Hom}_R(M,E)=\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(M,\mathbb Q/\mathbb Z)$$
と右辺の完全性による。非零 $m\in M$ の巡回アーベル部分群から $\mathbb Q/\mathbb Z$ への写像で $m$ を非零に写すものを選べる。有限位数ならその位数の逆数の類を、無限位数なら任意の非零類を選び、単射性で $M$ へ延長する。この全写像を座標とした $M\to\prod E$ は単射である。単射加群の積は、座標ごとに写像を延長して単射となる。商についてこれを繰り返せば単射解像度が存在する。
有界単射複体 $I$ と非輪体複体 $C$ に対し $\operatorname{Hom}(C,I)$ は非輪体である。一つの単射加群を標的にした場合、余輪体を境界の像上の写像として解釈し、その写像を単射性で延長すれば余境界になる。有界な複体の場合は項数に関する帰納で、一項複体を順に取り出す短完全列を使う。この説明は $C$ の項の有限生成性を要求しない。
自由・射影の有界複体 $P$ に対し $\operatorname{Hom}(P,C)$ が非輪体となることも、一項の場合の完全性と有限項の帰納による。従って以下で使う有界射影・単射複体による Hom は準同型同値を保存する。複体の同型を導来 Hom と書くときには、この比較を使っている。
任意の加群の自由解像度は下方に無限に続き得るため、有界射影の場合だけで済ませない。$P$ を非正次数の自由複体、$C$ を有界な非輪体複体とする。$\operatorname{Hom}(P,C)$ の各総次数には、$C$ の有限な次数幅に対応する有限個の成分だけが現れる。一つの余輪体について、標的次数が最高の成分から消していく。その成分の余輪体条件は、先に消した成分が零であるため標的の縦微分について閉じているという条件になる。$P$ の各項の射影性と $C$ の完全性により縦微分の原像を選べ、その余境界を引くと当該成分が消える。原像から生じる横微分の誤差は一つ低い標的次数にだけ移る。標的の次数幅は有限なので、この階段状の補正は有限回で終わる。最低次数では完全性によって残る閉じた成分が零になる。従って全余輪体が余境界となる。
有界複体間の準同型同値の錐は有界非輪体なので、この計算により $\operatorname{Hom}(P,-)$ はその準同型同値を保存する。後の任意加群 $L$ の Ext 移送では、この有限幅の計算を使う。無限直和や無限積が無条件に完全性を保つと仮定した議論ではない。

正則冪級数表示のホモロジー

構成に使う正則環は、体 $K$ 上の $K[\![ X_1,\ldots,X_n]\!]$、または完備離散付値環 $V$ 上の $V[\![ X_1,\ldots,X_{n-1}]\!]$ である。後者の一様化元を $\pi$ とする。それぞれ $X_1,\ldots,X_n$ と $\pi,X_1,\ldots,X_{n-1}$ は正則列である。変数による乗算は係数のシフトで単射であり、割ると変数を一つ除いた冪級数環になる。後者では最初に $\pi$ を割って剰余体上の冪級数環にする。
Noether 環上の有限変数冪級数環は Noether 環である（Cohenの構造定理の定理「冪級数環の Noether 性」）。係数環が局所環なら有限変数冪級数環も局所環で、極大イデアルは係数環の極大イデアルと変数で生成される（同じ記事の命題「係数環と局所性」）。極大イデアルは表示した $n$ 元で生成され、極大イデアル自身がこの $n$ 元の生成するイデアルの上で極小な素イデアルだから、Krullの高さ定理の定理「Krullの一般高さ定理」により次元は高々 $n$。順に変数を加える素イデアル鎖（後者では最初に $\pi$）が長さ $n$ なので次元は $n$。正則列が長さ $n$ であるため深さは $n$ 以上である。逆の不等式は随伴素の次元下界（Noether 局所環 $R$ 上の非零有限加群 $M$ の随伴素 $\mathfrak p$ について $\dim R/\mathfrak p\ge\operatorname{depth}M$。Ischebeckの補題の系「随伴素の次元と深さ」）からも得られる。$S$ は非零有限 $S$ 加群なので随伴素が存在し、その次元は $\dim S=n$ 以下である。従って $\operatorname{depth}S\le n$、深さはちょうど $n$ となる。この下界の証明は $S$ の深さを先に $n$ と仮定しない。
正則列の Koszul 複体は剰余体の長さ $n$ の自由解像度となる。ここでの完全性は一元の二項複体から帰納できる。最後の元を加える操作は前の複体のその元による乗算の写像錐である。長完全ホモロジー列と、前の商に対する最後の元の単射性から正次数が消える。剰余体とテンソルすると全微分は零で、最高次数の Tor は剰余体である。
任意の有限 $S$ 加群の最小自由解像度を剰余体とテンソルすると全微分が零になる。二つの自由解像度の二重複体を使って Tor の二変数を交換できるので、剰余体の長さ $n$ の解像度から $i>n$ の Tor は零になる。最小解像度の第 $i$ 自由項の剰余が零なら Nakayama でその項は零。従ってすべての有限加群の射影次元は高々 $n$ である。
任意の $S$ 加群 $N$ の単射解像度を $n$ 段進め、最後の余核を $Z$ とする。$n=0$ では $Z=N$ とする。任意のイデアル $J$ について $S/J$ は有限だから、次元移送で $\operatorname{Ext}_S^1(S/J,Z)=0$。Baer の判定により $Z$ は単射となる。従ってすべての $N$ に長さ $n$ の単射解像度がある。特に $S$ 自身について
$$0\longrightarrow S\longrightarrow I^0\longrightarrow\cdots\longrightarrow I^n\longrightarrow0$$
を取れる。$n=0$ では体の長さ零の解像度である。

正則局所環の商に対する双対複体

正則表示からの双対性

$S$ を上の正則局所環、$A=S/J\ne0$ とし、$I$ を長さ $n$ の $S$ 単射解像度とする。$D=\operatorname{Hom}_S(A,I)$ は有界 $A$ 単射複体であり、有限コホモロジーを持つ。有限コホモロジーを持つ有界複体 $X$ には自然な二重双対同型
$$X\simeq\operatorname{RHom}_A(\operatorname{RHom}_A(X,D),D)$$
がある。特に乗法による $A\to\operatorname{RHom}_A(D,D)$ は準同型同値である。

任意の $A$ 加群 $T$ に対する項別随伴は
$$\operatorname{Hom}_A(T,\operatorname{Hom}_S(A,I^j))\cong\operatorname{Hom}_S(T,I^j)$$
である。順方向は値を $1$ で評価し、逆方向は $\psi(t)$ から $a\mapsto\psi(at)$ を作る。右辺は $T$ に関して完全なので $D^j$ は $A$ 単射である。
有限 $A$ 加群は有限 $S$ 加群でもあり、長さ $n$ 以下の有限自由 $S$ 解像度を持つ。従って $H^j(D)=\operatorname{Ext}_S^j(A,S)$ は有限である。$J$ はこのコホモロジーを零化する。源の $A$ 上の零作用を自由解像度へ持ち上げると零写像とホモトピックになり、Hom 側のスカラー作用と一致するためである。
有限コホモロジーを持つ有界 $X$ は $S$ 上で有界有限自由複体 $P$ と準同型同値になる。一コホモロジーのときはその有限自由解像度を使う。複数のときは最上端のコホモロジーを取り出す切断の三角を用い、次数数の帰納を行う。必要な射は有界射影複体からの比較写像として持ち上がり、その錐の項も有限自由である。比較写像の違いはホモトピーであり、前節の非輪体に対する Hom 計算がその持上げを保証する。
$A$ 自由解像度と有界単射 $D$ による計算で、項別随伴は
$$\operatorname{RHom}_A(X,D)\simeq\operatorname{RHom}_S(X,S)$$
となる。右辺は $\operatorname{Hom}_S(P,S)$ で計算され、有限で有界なコホモロジーを持つ。もう一度同じ随伴を使うと二重双対は
$$\operatorname{Hom}_S(\operatorname{Hom}_S(P,S),S)\simeq P$$
である。有限自由項の二重双対同型が複体の同型になる。余鎖次数 $p$ の元 $v$ に対する評価は $f\mapsto(-1)^pf(v)$ と取り、双対の微分 $d(f)=(-1)^{|f|+1}fd$ に代入すれば微分と可換である。評価の自然性から $X=A$ の場合の写像は乗法による実際の同型である。$\square$

Cohen–Macaulay 商での集中

正則表示を持つ CM 環の双対化加群

$A=S/J\ne0$ が Cohen–Macaulay で、$d=\dim A$、$n=\dim S$ とする。$c=n-d$ とおくと
$$W=\operatorname{Ext}_S^c(A,S)$$
は双対化加群である。

まず $J$ 内に長さ $c$ の $S$ 正則列を作る。長さ $j< c$ の列 $y_1,\ldots,y_j$ ができているとし、$T=S/(y_1,\ldots,y_j)$ とする。正則商の深さの次数移動より $\operatorname{depth}T=n-j$。$T$ は Noether 局所環 $S$ 上の非零有限加群なので、随伴素の次元下界（Ischebeckの補題の系「随伴素の次元と深さ」）により、任意の $\mathfrak p\in\operatorname{Ass}_S T$ について $\dim S/\mathfrak p\ge\operatorname{depth}T=n-j$ である。ある $\mathfrak p\in\operatorname{Ass}_S T$ が $J\subset\mathfrak p$ をみたすなら
$$d=\dim S/J\ge\dim S/\mathfrak p\ge n-j>d$$
となり矛盾する。有限素回避で $J$ 内から全随伴素を避ける元を選べる。それは $T$ 上非零因子で、$J\subset\mathfrak m_S$ により次の商は非零である。これで帰納が進む。$c=0$ なら空列である。
次に一元の次数移動を確認する。$y$ が $R$ の非零因子で $yN=0$ とする。$R$ の有界単射解像度 $I$ に対し $E=\operatorname{Hom}_R(R/yR,I)$ は $R/yR$ 単射複体である。$0\to R\xrightarrow y R\to R/yR\to0$ から、そのコホモロジーは次数1の $R/yR$ だけとなる。切断による準同型同値と項別随伴から
$$\operatorname{Ext}_R^i(N,R)\cong\operatorname{Ext}_{R/yR}^{i-1}(N,R/yR).$$
負次数は零とする。任意の $N$ について十分高い次数の右辺も零になるため、$R/yR$ 自身の単射次元は有限であり、この操作を次の元へ反復できる。作った列を $c$ 回使うと $\operatorname{Ext}_S^i(A,S)=0$ が $i< c$ で成立する。
$A$ 上の正則列は $S$ の極大イデアルから持ち上げられ、逆に $S$ の列を $A$ へ写すと各乗算・商・最終非零条件が同じである。従って $\operatorname{depth}_SA=\operatorname{depth}_AA=d$。有限射影次元の公式により $\operatorname{pd}_SA=n-d=c$ なので $i>c$ の Ext も零になる。最小有限自由解像度の最後の双対への行列は極大イデアル内にあるから、その余核は Nakayama により非零。従って $W\ne0$ である。
$D$ はただ一つの次数 $c$ にコホモロジーを持つため $D\simeq W[-c]$。これは下側を次数 $c$ の核で切り、その核を境界で割る二つの切断写像による。任意 $A$ 加群 $L$ の非正次数の自由解像度を取る。有界な $D$ とその切断の錐に対して前の有限幅の補正が適用できるので、項別随伴と $D\simeq W[-c]$ を使うと
$$\operatorname{Ext}_A^i(L,W)\cong\operatorname{Ext}_S^{i+c}(L,S).$$
右辺は $i+c>n$ で零なので $\operatorname{id}_AW\le n-c=d$。任意加群での Ext 消滅から単射解像度の末端を切れることは前に証明した。
最後に $A\simeq\operatorname{RHom}_A(D,D)$ へ $D\simeq W[-c]$ を代入する。二つの同じシフトが相殺され、$A\simeq\operatorname{RHom}_A(W,W)$ を得る。次数零は実際の乗法同型、正次数は自己 Ext の消滅である。$W$ の有限性は有限自由 $S$ 解像度から従うので、定義の三条件がそろう。$\square$

この証明は $\operatorname{ht}J=c$ を先に仮定していない。正則列の構成に必要なのは随伴素の次元下界であり、Cohen–Macaulay 性は射影次元を $n-d$ とする段で使う。一般の商では最後の次数が $n-\operatorname{depth}A$ になるため、一つの加群への集中は保証されない。

完備環の係数と正則表示

以上の構成を一般の完備局所環に用いるには、正則局所環からの全射が要る。これは Cohen の構造定理が与える。剰余体を有限体や完全体に限定しない。

完備局所環の正則表示

非零 Noether 完備局所環 $(A,\mathfrak m,k)$ は、上の形の正則局所環 $S$ からの全射 $S\twoheadrightarrow A$ をもつ。詳しくは次のとおりである。

等標数（環と剰余体の標数が等しい）なら、剰余体と同型な部分体（係数体）$K\subset A$ があり、$e=\dim_k\mathfrak m/\mathfrak m^2$ として $K[\![X_1,\ldots,X_e]\!]\twoheadrightarrow A$ となる。
剰余標数 $p>0$ なら、剰余体 $k$ のCohen環 $C$（標数零の完備離散付値環で、極大イデアルが $pC$、剰余体が $k$ のもの）と、剰余体上で恒等写像を誘導する局所準同型 $C\to A$ があり、$\mathfrak m=(p,y_1,\ldots,y_r)$ と選べば $C[\![Y_1,\ldots,Y_r]\!]\twoheadrightarrow A$ となる。
いずれの源も正則 Noether 完備局所環である。

正則表示の証明

証明は Cohenの構造定理の定理「Cohenの構造定理」にある。源が正則 Noether 完備局所環であることは同じ記事の補題「係数体又はCohen環上の級数源の正則性」で示される。係数体の存在は係数体の定理「等標数完備局所環の係数体」、Cohen環の存在と係数準同型は Cohen環の定理「Cohen環の存在」「完備局所環への係数準同型」で、いずれも剰余体の完全性・有限生成性・有限 $p$ 次数を仮定しない。正の標数の剰余体には p基底を使う。

2 の係数写像の核は、$A$ の標数が零なら零、$p^h$ なら $p^hC$ である。後者でも源には $C$ 自身を用い、その核を全射の核に含めればよい。したがって $p$ が $A$ 上零因子でも表示は成立する。全射を作るには、極大イデアルの冪を生成する単項式で残差を一段ずつ消し、各単項式の係数を係数体または係数環から選んで完備性でまとめる。

完備 CM 環での存在

完備 Cohen–Macaulay 局所環の双対化加群

非零完備 Noether Cohen–Macaulay 局所環 $A$ は双対化加群を持つ。剰余体の完全性や有限性、等標数性は不要である。上の正則局所全射 $S\to A$ に対し、$n=\dim S$、$d=\dim A$ とすれば $\operatorname{Ext}_S^{n-d}(A,S)$ がその一つである。

thm-dualizing-regular-presentation により、Noether 正則完備局所環 $S$ からの全射を得る。$S$ の正則パラメータ系、長さ $n$ の剰余体の Koszul 解像度、全有限加群の有限自由解像度、$S$ の有界単射解像度は上で示した。正則表示を持つ CM 環の構成定理を適用すればよい。$d=0$ でも $c=n$ として同じ証明が成り立つ。$A$ が体なら $S=A$、$n=d=0$ の表示を選べ、構成される加群は $A$ 自身である。$\square$

非 CM 商で二つの次数が残る例

標準加群と双対化加群の違い

$k$ を体、$S=k[\![ x,y]\!]$、$A=S/(x^2,xy)$ とする。$A$ は次元一、深さ零であり、
$$\operatorname{Ext}_S^1(A,S)\cong S/(x),\qquad\operatorname{Ext}_S^2(A,S)\cong k.$$
下端の $\operatorname{Ext}_S^{\dim S-\dim A}(A,S)$ を標準加群と呼ぶ規約では $S/(x)$ がその加群となる。しかしこれは $A$ の双対化加群ではない。

次の有限自由解像度を取る。
$$0\longrightarrow S\xrightarrow{(-y,x)}S^2\xrightarrow{(x^2,xy)}S\longrightarrow A\longrightarrow0.$$
右側の写像の核では $x^2a+xyb=x(xa+yb)=0$ である。$S$ は整域なので $xa+yb=0$。$S/(x)=k[\![ y]\!]$ で $y$ は非零因子だから $b=xc$ と書け、$a=-yc$ となる。これが左側の像であり、左写像も整域性から単射である。
双対複体は $0\to S\xrightarrow{(x^2,xy)}S^2\xrightarrow{(-y,x)}S\to0$。次数一の核は $S(x,y)$ である。実際 $-yu+xv=0$ を $x$ で割った商で見ると $u=xc$ となり、整域性から $v=yc$。次数零からの像は $xS(x,y)$ なので、その商は $S/(x)$ である。次数二の余核は $S/(x,y)=k$ であり、表示した二つの Ext を得る。
$\sqrt{(x^2,xy)}=(x)$ なので $A$ の次元は $S/(x)=k[\![ y]\!]$ の次元一である。$x$ の $A$ における像は非零である。もし $x=x^2f+xyg$ なら $S$ 内で $x$ を約分して $1=xf+yg$ となり、極大イデアル内で $1$ を表して矛盾する。この非零元は極大イデアル $(x,y)A$ に殺されるので socle が非零、従って深さは零である。
$W=S/(x)$ の $A$ 作用では $xA\ne0$ が全体を零化する。従って乗法写像 $A\to\operatorname{End}_A(W)$ は単射でなく、双対化加群の条件を満たさない。この計算が否定するのはこの標準加群との同義視であり、ここだけから全非 CM 環での不存在を結論するものではない。$\square$

単射次元と深さを混同しない

有限次元体代数の構成では双対化加群はすでに単射である。正の次元の完備 CM 環では、構成における単射次元の上界は環の次元 $d$ になる。これらを単に同じ線形双対の計算へ置き換えることはできない。
例えば $A=k[\![ t]\!]$ は完備離散付値環であり、$S=A$ の表示から双対化加群は $A$ となる。しかし $A$ 自身は単射でない。イデアル $tA$ 上の写像 $ta\mapsto a$ が $A\to A$ へ延びれば、$t$ の像は $t$ とある元の積でなければならず $1\in tA$ となるためである。分数体 $K$ を用いると $0\to A\to K\to K/A\to0$ は長さ一の単射解像度になる。$K$ へのイデアルからの写像は分数の乗法により延長でき、$K/A$ への写像は全イデアルが $t^rA$ なので生成元の値を $t^r$ で割って延長できる。従って単射次元はちょうど一である。
双対化加群の同型類の一意性、非完備環への下降、局所双対性による局所コホモロジーの表示は別の定理を要する。本記事の存在構成はそれらを前提にしない。構成の要点は、正則局所環上の有限自由双対、CM 商での Ext の一次数への集中、そして有界単射複体との随伴を実際に結ぶことである。