組合せデザイン

$I$ を固定し、組 $(T,j)$ で、$T$ は $I\subseteq T$ となる $X$ の $t$ 元部分集合、$j$ は $T\subseteq B_j$ となる添字であるものの個数 $M$ を数える。
$T$ を先に選ぶと、$T$ は $I$ に $X\setminus I$ の $t-i$ 元を加えて得られるので $\binom{v-i}{t-i}$ 通りあり、各 $T$ について $j$ はちょうど $\lambda$ 個ある。よって $M=\lambda\binom{v-i}{t-i}$ である。
$j$ を先に選ぶと、$I\subseteq T\subseteq B_j$ には $I\subseteq B_j$ が必要で、そのような $j$ のそれぞれについて $T$ は $I$ に $B_j\setminus I$ の $t-i$ 元を加えて得られるので $\binom{k-i}{t-i}$ 通りある（$t\le k$）。$I\subseteq B_j$ となる $j$ の個数を $m(I)$ とすると $M=m(I)\binom{k-i}{t-i}$ である。
比べると $m(I)=\lambda\binom{v-i}{t-i}/\binom{k-i}{t-i}$ であり、これは $I$ によらない。$\square$

1 は thm-cd-lambda で $I$ が $i$ 元集合を動くことの言い換えである。2：$\lambda_0=\lambda\frac{v(v-1)}{k(k-1)}$、$\lambda_1=\lambda\frac{v-1}{k-1}$ から $\lambda_1(k-1)=\lambda(v-1)$、$\lambda_0k=v\lambda_1$ である。3：$\lambda_i$ は個数なので整数である。$\square$

$T$ を $X$ の $t$ 元部分集合とする。$T\subseteq X\setminus B_j$ は $T\cap B_j=\emptyset$ と同値である。$x\in T$ について「$x\in B_j$ となる添字 $j$ の集合」を $A_x$ とすると、$T\cap B_j=\emptyset$ となる $j$ の個数は 包除原理 により
$$ \sum_{U\subseteq T}(-1)^{\lvert U\rvert}\Bigl\lvert\bigcap_{x\in U}A_x\Bigr\rvert=\sum_{U\subseteq T}(-1)^{\lvert U\rvert}\lambda_{\lvert U\rvert}=\sum_{j=0}^t(-1)^j\binom tj\lambda_j $$
である（$U=\emptyset$ の項は $b=\lambda_0$）。ここで $\bigcap_{x\in U}A_x$ は $U\subseteq B_j$ となる $j$ の集合で、その個数は thm-cd-lambda により $\lambda_{\lvert U\rvert}$ である。これは $T$ によらない。$\mathcal B$ はブロックを少なくとも 1 つもつので、ブロック $B_1$ をとると $\lvert X\setminus B_1\rvert=v-k\ge t$ から $X\setminus B_1$ に含まれる $t$ 元集合 $T$ があり、その $T$ について個数は $1$ 以上である。よって $\lambda^{c}\ge1$ である。$t=2$ では $\lambda_0-2\lambda_1+\lambda_2=b-2r+\lambda$ である。$\square$

$r=k$ なので $NN^{\mathsf T}=(k-\lambda)I+\lambda J$ である。この行列は $\mathbf 1$ を固有値 $k-\lambda+\lambda v$ の固有ベクトルにもち、$\mathbf 1$ に直交するベクトルの上では $k-\lambda$ 倍である。$k< v$ と $r(k-1)=\lambda(v-1)$ から $r>\lambda$、すなわち $k-\lambda>0$ なので、$\det(NN^{\mathsf T})=(k-\lambda)^{v-1}(k-\lambda+\lambda v)>0$ で、正方行列 $N$ は可逆である。
$N$ の各行の和は $r=k$、各列の和は $k$ なので $NJ=kJ$、$JN=kJ$ である。$k\ge1$ なので $NJ=kJ$ から $N^{-1}J=\frac1kJ$ である。よって
$$ N^{\mathsf T}N=N^{-1}(NN^{\mathsf T})N=(k-\lambda)I+\lambda N^{-1}JN=(k-\lambda)I+\lambda k\,N^{-1}J=(k-\lambda)I+\lambda J $$
である。$N^{\mathsf T}N$ の $(i,j)$ 成分は $\lvert B_i\cap B_j\rvert$ なので、$i\ne j$ なら $\lambda$ である。$N^{\mathsf T}$ は $0,1$ を成分とし、$N^{\mathsf T}(N^{\mathsf T})^{\mathsf T}=N^{\mathsf T}N=(k-\lambda)I+\lambda J$、$\mathbf 1^{\mathsf T}N^{\mathsf T}=(N\mathbf 1)^{\mathsf T}=k\mathbf 1^{\mathsf T}$ をみたすので、双対も対称な 2-$(v,k,\lambda)$ デザインである。$\square$

$N$ を接続行列とする。prf-cd-symmetric の計算と $\lambda(v-1)=k(k-1)$ から
$$ (\det N)^2=\det(NN^{\mathsf T})=(k-\lambda)^{v-1}\bigl(k+\lambda(v-1)\bigr)=(k-\lambda)^{v-1}k^2 $$
である。$v$ が偶数なので $v-1=2s+1$（$s\ge0$）と書け、$k-\lambda>0$ だから
$$ k-\lambda=\left(\frac{\det N}{k\,(k-\lambda)^{s}}\right)^{2} $$
は有理数の平方である。$\det N$ は整数成分の行列の行列式なので整数で、右辺の括弧の中は有理数である。正の整数が有理数 $a/c$（既約分数）の平方なら $a^2=(k-\lambda)c^2$ で、$c$ の素因数は $a^2$ を割るが $a$ と素なので $c=1$ である。よって $k-\lambda$ は平方数である。$\square$

各 $D+g$ は $k$ 元集合である。相異なる $x,y\in G$ について、$x,y\in D+g$ は $x-g\in D$ かつ $y-g\in D$ と同値である。$x,y\in D+g$ となる $g$ に組 $(d,d'):=(x-g,y-g)$ を対応させると $d-d'=x-y$ であり、逆に $d-d'=x-y$ をみたす組 $(d,d')\in D\times D$ からは $g:=x-d$ が決まって $y-g=y-x+d=d'\in D$ となる。この 2 つの対応は互いに逆なので、$x,y$ を含む $D+g$ の個数は $d-d'=x-y\ne0$ となる組の個数 $\lambda$ に等しい。ブロックは $v$ 個で $k< v$ なので、対称デザインである。$\square$

$\lvert Q\rvert=\frac{q-1}2$ である（Paleyグラフ の補題「平方元の個数と積」）。$M:=\frac12(J-I-W)$ とおく。$x\ne y$ なら $M$ の $(x,y)$ 成分は $\frac12(1-\chi(x-y))$ で、$\chi(-1)=-1$ より $\chi(x-y)=-\chi(y-x)$ なので、成分が $1$ になるのは $y-x\in Q$ のときであり、対角成分は $0$ である。よって $M$ の第 $x$ 行の $1$ の位置は $x+Q$ で、$MM^{\mathsf T}$ の $(x,x')$ 成分は $\lvert(x+Q)\cap(x'+Q)\rvert$ である。一方 $M^{\mathsf T}=\frac12(J-I+W)$ と、$WJ=JW=0$、$J^2=qJ$、$-W^2=WW^{\mathsf T}=qI-J$ から
$$ MM^{\mathsf T}=\tfrac14\bigl((J-I)^2-W^2+(J-I)W-W(J-I)\bigr)=\tfrac14\bigl((q-2)J+I+qI-J\bigr)=\tfrac{q+1}4I+\tfrac{q-3}4J $$
である。$x\ne x'$ なら $\lvert(x+Q)\cap(x'+Q)\rvert$ は $x+a=x'+b$ となる $(a,b)\in Q\times Q$、すなわち $a-b=x'-x$ となる組の個数なので、$0$ でない各 $g=x'-x$ はちょうど $\frac{q-3}4$ 回 $Q$ の元の差として表される。$q\ge7$ なので $\frac{q-3}4\ge1$ である。$\square$