Künnethの公式

$m,n\ge1$ とし、$a\in H^m(S^m;\mathbb{Z})$、$b\in H^n(S^n;\mathbb{Z})$ を生成元とする。$H^*(S^n;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\cdot1\oplus\mathbb{Z}b$ は各次数で有限生成自由なので、thm-kunneth-cohomology により $H^*(S^m\times S^n;\mathbb{Z})$ は $1$、$a\times1$、$1\times b$、$a\times b$ を基底にもつ自由加群であり、積は
$$ (a\times1)^2=0,\qquad(1\times b)^2=0,\qquad(a\times1)(1\times b)=a\times b,\qquad(1\times b)(a\times1)=(-1)^{mn}\,a\times b $$
である（$a^2=0$、$b^2=0$ と次数付きテンソル積の積の規則による）。Poincaré 多項式は $(1+t^m)(1+t^n)$ である。$m=n$ のとき、$H^n$ の 2 つの生成元の積が $H^{2n}$ の生成元になる点で、Betti 数の同じ $S^n\vee S^n\vee S^{2n}$ と異なる（カップ積 の命題「一点和のカップ積」）。

$n$ 次元トーラス $T^n=S^1\times\cdots\times S^1$ では、$T^n=T^{n-1}\times S^1$ に thm-kunneth-cohomology を繰り返し使うと、$H^*(T^n;\mathbb{Z})$ は次数 $1$ の元 $\alpha_i:=p_i^*a$（$p_i$ は $i$ 番目の射影、$a$ は $H^1(S^1;\mathbb{Z})$ の生成元）が生成し、関係 $\alpha_i\alpha_j=-\alpha_j\alpha_i$、$\alpha_i^2=0$ をもつ外積代数 $\Lambda_{\mathbb{Z}}[\alpha_1,\dots,\alpha_n]$ である（Hat02 Example 3.16、p. 216）。$H^k(T^n;\mathbb{Z})$ は $\alpha_{i_1}\cdots\alpha_{i_k}$（$i_1<\dots< i_k$）を基底にもち、階数は $\binom nk$、Poincaré 多項式は $(1+t)^n$ である。$n=2$ は カップ積 の定理「トーラスのコホモロジー環」で、そこでは $\Delta$ 複体の余鎖で直接計算している。

$H^*(\mathbb{CP}^m;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[\alpha]/(\alpha^{m+1})$（$\deg\alpha=2$）は各次数で有限生成自由である（Poincaré双対 の例「複素射影空間のコホモロジー環」）。よって
$$ H^*(\mathbb{CP}^m\times\mathbb{CP}^n;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}[\alpha,\beta]/(\alpha^{m+1},\beta^{n+1})\qquad(\deg\alpha=\deg\beta=2) $$
である。生成元の次数が偶数なので、次数付きテンソル積の符号はすべて $+1$ で、通常の多項式環の商になる。Poincaré 多項式は $(1+t^2+\dots+t^{2m})(1+t^2+\dots+t^{2n})$、Euler 標数は $(m+1)(n+1)$ である。無限次元の $\mathbb{CP}^\infty$ でも $H^*(\mathbb{CP}^\infty;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[\alpha]$ は各次数で有限生成自由なので（Hat02 Theorem 3.19、p. 220）、同様に $H^*(\mathbb{CP}^\infty\times\mathbb{CP}^\infty;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}[\alpha,\beta]$ となり、Chern類 の記事は直線束のテンソル積の第 1 Chern 類の計算にこれを使っている。

1. 任意の CW 複体 $Y$ と $\mathbb{CP}^1=S^2$ について、$h\in H^2(\mathbb{CP}^1\times Y;\mathbb{Z})$ を $H^2(\mathbb{CP}^1;\mathbb{Z})$ の生成元の $p_1$ による引き戻しとすると、thm-kunneth-cohomology により $H^*(\mathbb{CP}^1\times Y;\mathbb{Z})$ の元は $p_2^*\beta_0+h\smile p_2^*\beta_1$（$\beta_0,\beta_1\in H^*(Y;\mathbb{Z})$）とただ 1 通りに書ける。Gysin写像 の記事は、$\mathbb{P}^1\times Y$ の Gysin 写像の計算でこの分解を使っている。
2. 基点付き CW 複体の被約コホモロジーについても、一方が各次数で有限生成自由なら $\tilde H^*(X;R)\otimes_R\tilde H^*(Y;R)\cong\tilde H^*(X\wedge Y;R)$ が成り立つ（Hat02 p. 219、スマッシュ積 の注意「コホモロジーとの関係」）。$S^m\wedge S^n$ は $S^{m+n}$ と同相であり（同記事の命題「球面のスマッシュ積」）、右辺は $\mathbb{Z}$ が次数 $m+n$ に 1 つあるだけで、左辺と一致する。

1. $\mathbb{RP}^2$ は 0・1・2 次元に胞体を 1 つずつもち、胞体鎖複体は $\mathbb{Z}\xleftarrow{0}\mathbb{Z}\xleftarrow{2}\mathbb{Z}$ なので、$H_0=\mathbb{Z}$、$H_1=\mathbb{Z}/2$、$H_2=0$ である（Hat02 Example 2.42）。次数 $3$ のクロス積の像 $\bigoplus_{i+j=3}H_i\otimes H_j$ は、どの項も一方の因子が $0$ なので $0$ である。一方 $\operatorname{Tor}$ の項 $\operatorname{Tor}(H_1,H_1)=\operatorname{Tor}(\mathbb{Z}/2,\mathbb{Z}/2)\cong\mathbb{Z}/2$（Tor関手 の例「巡回加群のTor」）により $H_3(\mathbb{RP}^2\times\mathbb{RP}^2;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/2\ne0$ である。
   積の胞体鎖複体での直接の計算を開く

   $\mathbb{RP}^2$ の胞体を $e^0,e^1,e^2$（$de^2=2e^1$、$de^1=0$）とし、積の胞体鎖複体 $C\otimes C$ を計算する。次数 $3$ の基底は $e^1\otimes e^2$、$e^2\otimes e^1$ で、$d(e^1\otimes e^2)=de^1\otimes e^2-e^1\otimes de^2=-2\,e^1\otimes e^1$、$d(e^2\otimes e^1)=de^2\otimes e^1+e^2\otimes de^1=2\,e^1\otimes e^1$ である。よって次数 $3$ の輪体は $e^1\otimes e^2+e^2\otimes e^1$ の整数倍である。次数 $4$ では $d(e^2\otimes e^2)=2\,e^1\otimes e^2+2\,e^2\otimes e^1$ なので、$H_3\cong\mathbb{Z}/2$、$H_4=0$ である。同様に（Smith 標準形で）$H_0=\mathbb{Z}$、$H_1=(\mathbb{Z}/2)^2$、$H_2=\mathbb{Z}/2$ となり、Hat02 Theorem 3B.6 の式（$H_2$ は $H_1\otimes H_1$、$H_3$ は $\operatorname{Tor}(H_1,H_1)$）と一致する。係数を $\mathbb{Z}/2$ にすると次元は $1,2,3,2,1$ となり、$(1+t+t^2)^2$ の係数と一致して thm-kunneth-homology-field と合う。

   満たす性質は「CW 複体」、満たさない性質は「係数が体」「ホモロジーに捩れがない」であり、破る含意は「クロス積の和は積空間のホモロジーへの同型」である。
2. $N$ を可算無限個の点からなる離散空間とすると、$H^0(N;\mathbb{Z})$ は $N$ 上の $\mathbb{Z}$ 値関数全体 $\mathbb{Z}^N$ であり（特異コホモロジー の命題「0 次コホモロジーと弧状連結成分」）、有限生成でない。$H^0$ のカップ積は関数の積なので、$\sum_{k=1}^rf_k\otimes g_k$ のクロス積は関数 $(x,y)\mapsto\sum_kf_k(x)g_k(y)$ である。この関数を $N\times N$ の行列とみると、どの有限の正方の部分行列も階数が $r$ 以下である。ところが対角線の特性関数 $\delta(x,y)$（$x=y$ で $1$、それ以外で $0$）は、$r+1$ 個の点の上の部分行列が単位行列で階数 $r+1$ なので、どの $r$ についても像に入らない。よって $\mu$ は全射でない。破れている仮定は「$H^k(Y)$ が有限生成」である。
3. $a$、$b$ を 2 つの因子 $S^1$ の $H^1(S^1;\mathbb{Z})$ の生成元とし、$H^*(S^1;\mathbb{Z})\otimes H^*(S^1;\mathbb{Z})$ に符号を付けない積 $(x\otimes y)(z\otimes w):=xz\otimes yw$ を入れる。この積では $(1\otimes b)(a\otimes1)=a\otimes b$ であり、$\mu(a\otimes b)=a\times b$ である。一方 $\mu(1\otimes b)\,\mu(a\otimes1)=p_2^*b\smile p_1^*a=-p_1^*a\smile p_2^*b=-a\times b$ であり、$a\times b$ は $H^2(T^2;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$ の生成元なので $a\times b\ne-a\times b$ である。よって符号なしの積については $\mu$ は環準同型でない。次数付きの符号は、カップ積の次数付き可換性を積空間に移したものである。