Künnethの公式
概要
Künnethの公式（Künneth formula）とは、積空間 $X\times Y$ のホモロジーやコホモロジーを因子 $X$、$Y$ のそれから求める公式である。係数が体 $F$ なら、クロス積が同型 $\bigoplus_{i+j=n}H_i(X;F)\otimes_FH_j(Y;F)\cong H_n(X\times Y;F)$ を与え、単項イデアル整域の係数では $\operatorname{Tor}$ の項が加わる。コホモロジーでは、一方の因子のコホモロジーが各次数で有限生成自由なら、クロス積 $a\times b=p_1^*a\smile p_2^*b$ が次数付きテンソル積からの環同型を与える。Betti 数と Euler 標数が積について乗法的であることや、球面の積・トーラス・射影空間の積のコホモロジー環はここから従う。
円周 $S^1$ の Betti数 は $1,1$ で、トーラス $T^2=S^1\times S^1$ の Betti 数は $1,2,1$ である。これは多項式の積 $(1+t)(1+t)=1+2t+t^2$ の係数になっている。$T^2$ の 1 次元の穴は 2 つの因子の穴からそれぞれ 1 つずつ来て、2 次元の穴は 2 つの因子の 1 次元の穴を「掛け合わせた」ものである。積空間のホモロジーとコホモロジーを因子のそれから求める公式を Künneth の公式（Künneth formula）という。
Künneth の公式には 2 つの形がある。1 つは係数が体のときのホモロジーの同型
$$
H_n(X\times Y;F)\cong\bigoplus_{i+j=n}H_i(X;F)\otimes_FH_j(Y;F)
$$
で、単項イデアル整域の係数では右辺に $\operatorname{Tor}$ の項が加わる。もう 1 つはコホモロジー環の同型 $H^*(X\times Y;R)\cong H^*(X;R)\otimes_RH^*(Y;R)$ で、クロス積 $a\times b=p_1^*a\smile p_2^*b$ が与え、一方の因子のコホモロジーが有限生成自由なら成り立つ。これにより球面の積、$n$ 次元トーラス、射影空間の積などのコホモロジー環が計算でき、Betti 数と Euler 標数が積について乗法的であることがわかる。代数幾何では、Künneth の公式は Weil コホモロジーの公理の 1 つとして要請される。
鎖複体のテンソル積と代数的な Künneth の定理
Künneth の公式の核心は、鎖複体のテンソル積のホモロジーを求める代数である。$R$ を可換環とし、鎖複体 $C=(C_i,\partial)$ は各 $C_i$ が $R$ 加群で $i<0$ で $C_i=0$ のものとする。
$R$ 上の鎖複体 $C$、$D$ の テンソル積 $C\otimes_RD$ とは、
$$
(C\otimes_RD)_n:=\bigoplus_{i+j=n}C_i\otimes_RD_j,\qquad\partial(c\otimes d):=\partial c\otimes d+(-1)^ic\otimes\partial d\quad(c\in C_i,\ d\in D_j)
$$
で定まる鎖複体のことである。
$\partial^2(c\otimes d)=\partial^2c\otimes d+(-1)^{i-1}\partial c\otimes\partial d+(-1)^i\partial c\otimes\partial d+c\otimes\partial^2d=0$ なので、これは鎖複体である。符号 $(-1)^i$ がないと中央の 2 項が打ち消し合わない。輪体どうしのテンソル積は輪体であり、境界と輪体のテンソル積は境界である（$\partial d=0$ なら $\partial c'\otimes d=\partial(c'\otimes d)$、$\partial c=0$ なら $c\otimes\partial d'=(-1)^i\partial(c\otimes d')$）。したがって
$$
H_i(C)\otimes_RH_j(D)\longrightarrow H_{i+j}(C\otimes_RD),\qquad[c]\otimes[d]\longmapsto[c\otimes d]
$$
がよく定義される（双線形なのでテンソル積から線形写像が定まる。テンソル積 の定義「テンソル積の普遍性」）。これを ホモロジーのクロス積 と呼ぶ。
$F$ を体、$C$、$D$ を $F$ 上の鎖複体（各項は $F$ ベクトル空間）とする。このとき、すべての $n$ についてクロス積の和
$$
\bigoplus_{i+j=n}H_i(C)\otimes_FH_j(D)\longrightarrow H_n(C\otimes_FD)
$$
は同型である。
段 1（$C$ の分解）．$Z_i:=\ker(\partial\colon C_i\to C_{i-1})$、$B_i:=\partial(C_{i+1})$ とおく。ベクトル空間では部分空間に補空間がとれるので、$C_i=Z_i\oplus L_i$、$Z_i=B_i\oplus H'_i$ と分解する。$L_i\cap Z_i=0$ なので $\partial$ は $L_i$ の上で単射で、$\partial(C_i)=\partial(L_i)=B_{i-1}$ だから、$\partial\colon L_i\to B_{i-1}$ は同型である。したがって $C$ は、微分が $0$ の鎖複体 $H'=(H'_i)$ と、次数 $i$ に $L_i$、次数 $i-1$ に $B_{i-1}$ をおいて同型 $\partial$ で結んだ 2 項の鎖複体 $E^{(i)}$ たちとの、鎖複体としての直和である：
$$
C=H'\oplus\bigoplus_iE^{(i)}.
$$
包含 $H'_i\subset Z_i$ と商 $Z_i\to Z_i/B_i$ の合成は同型なので、$H'_i\cong H_i(C)$ であり、$H'_i$ の元は $H_i(C)$ の類の代表を 1 つずつ選んだものである。
段 2（可縮な部分）．$E=E^{(i)}$ の上で、$s\colon B_{i-1}\to L_i$ を $\partial$ の逆写像、$L_i$ の上では $s=0$ と定めると、$\partial s+s\partial=\mathrm{id}_E$ である（$x\in L_i$ なら $s\partial x=x$、$\partial sx=0$；$y\in B_{i-1}$ なら $\partial y=0$、$\partial sy=y$）。$h:=s\otimes\mathrm{id}$ を $E\otimes_FD$ の上で考えると、$x\in E$ の次数を $\lvert x\rvert$ として
$$
\partial h(x\otimes d)+h\partial(x\otimes d)=\bigl(\partial sx\otimes d+(-1)^{\lvert x\rvert+1}sx\otimes\partial d\bigr)+\bigl(s\partial x\otimes d+(-1)^{\lvert x\rvert}sx\otimes\partial d\bigr)=x\otimes d
$$
なので、恒等写像は $0$ に鎖ホモトピックであり、$H_*(E\otimes_FD)=0$ である。
段 3（微分が $0$ の部分）．$H'$ の微分は $0$ なので、$H'\otimes_FD$ は $H'_i\otimes_FD$（微分 $(-1)^i\,\mathrm{id}\otimes\partial$）の直和である。$H'_i$ は基底をもち $F$ の直和と同型なので、$H'_i\otimes_FD$ は $D$ の直和と同型であり（テンソル積 の命題「直和との可換性」）、ホモロジーは直和と交換するので $H_n(H'_i\otimes_FD)\cong H'_i\otimes_FH_{n-i}(D)$、対応は $c\otimes[d]\mapsto[c\otimes d]$ である（符号 $(-1)^i$ は核と像を変えない）。
段 4（まとめ）．テンソル積は直和と交換するので $C\otimes_FD=(H'\otimes_FD)\oplus\bigoplus_i(E^{(i)}\otimes_FD)$ であり、段 2・段 3 により、包含 $H'\otimes_FD\to C\otimes_FD$ はホモロジーの同型
$$
\bigoplus_{i}H'_i\otimes_FH_{n-i}(D)\cong H_n(C\otimes_FD),\qquad c\otimes[d]\longmapsto[c\otimes d]
$$
を誘導する。$H'_i\cong H_i(C)$（$c\mapsto[c]$）と合わせると、これはクロス積の和そのものである。$\square$
係数環が 単項イデアル整域 のときは Tor関手 の項が現れる。鎖複体 $C$ の各 $C_i$ が 平坦加群 であるとき、$C$ は 平坦 であるという。単項イデアル整域の上では、平坦であることと捩れをもたないことは同値であり（平坦加群 の系「単項イデアル整域上の平坦加群」）、自由加群は平坦である。
$R$ を単項イデアル整域、$C$ を平坦な鎖複体、$D$ を任意の鎖複体とする。このとき各 $n$ について短完全列
$$
0\to\bigoplus_{i+j=n}H_i(C)\otimes_RH_j(D)\xrightarrow{\ \alpha\ }H_n(C\otimes_RD)\xrightarrow{\ \beta\ }\bigoplus_{i+j=n-1}\operatorname{Tor}^R_1\bigl(H_i(C),H_j(D)\bigr)\to0
$$
がある。ここで $\alpha$ はクロス積の和である。この列は、平坦な鎖複体の間の鎖写像 $f\colon C\to C'$ と任意の鎖写像 $g\colon D\to D'$ について自然であり、分裂する。
要点：輪体と境界のなす微分 $0$ の鎖複体で $C$ を挟む短完全列に $D$ をテンソルし、長完全列の接続準同型が包含 $B_i(C)\otimes H_j(D)\to Z_i(C)\otimes H_j(D)$ になることを使う。分裂は、ホモロジーの自由分解から作る 2 項の鎖複体（lem-kunneth-two-term-model）に帰着して作る。
詳しい証明を開く
テンソル積はすべて $R$ 上でとる。$Z_i$、$B_i$、$H_i$ で $C$ の輪体・境界・ホモロジーを表す。
段 1（輪体と境界は平坦）．$Z_i,B_i$ は捩れをもたない $C_i$ の部分加群なので捩れをもたず、単項イデアル整域の上なので平坦である。
段 2（微分 $0$ の平坦な鎖複体とのテンソル積）．平坦な加群 $T$ を次数 $p$ だけにおいた微分 $0$ の鎖複体を $T[p]$ とする。$(T[p]\otimes D)_{p+q}=T\otimes D_q$ で、微分は $(-1)^p\,\mathrm{id}\otimes\partial_q$ である。$\partial_q$ は全射 $D_q\to B_{q-1}(D)$ と包含 $B_{q-1}(D)\to D_{q-1}$ の合成であり、$T$ とのテンソルで前者は全射のまま（右完全性）、後者は単射のまま（平坦性）である。$T$ とテンソルした $0\to Z_q(D)\to D_q\to B_{q-1}(D)\to0$ も完全なので、$\ker(\mathrm{id}\otimes\partial_q)=T\otimes Z_q(D)$ であり、$\operatorname{im}(\mathrm{id}\otimes\partial_{q+1})$ は単射 $T\otimes B_q(D)\to T\otimes D_q$ の像である。符号 $(-1)^p$ は核と像を変えない。$T\otimes(0\to B_q(D)\to Z_q(D)\to H_q(D)\to0)$ の完全性から、$t\otimes[d]\mapsto[t\otimes d]$ は同型 $T\otimes H_q(D)\cong H_{p+q}(T[p]\otimes D)$ である。微分 $0$ で各項が平坦な鎖複体 $T=\bigoplus_pT_p[p]$ では、テンソル積とホモロジーが直和と交換するので $H_n(T\otimes D)\cong\bigoplus_pT_p\otimes H_{n-p}(D)$ である。
段 3（短完全列）．$Z=(Z_i)$、$B=(B_i)$ を微分 $0$ の鎖複体とみて、$\Sigma B$ を $(\Sigma B)_i:=B_{i-1}$（微分 $0$）と定める。$\rho_i:=\partial\colon C_i\to B_{i-1}$ は $\rho\partial=\partial^2=0$ なので鎖写像 $\rho\colon C\to\Sigma B$ であり、$0\to Z\to C\xrightarrow{\rho}\Sigma B\to0$ は各次数で完全である。$B_{i-1}$ は平坦なので $\operatorname{Tor}_1(B_{i-1},D_j)=0$ であり（Tor関手 の命題「平坦加群に対する消滅」）、Tor の長完全列（同記事の命題「長完全列」。証明にあるとおり第 1 変数の短完全列でも同じ）から $0\to Z_i\otimes D_j\to C_i\otimes D_j\to B_{i-1}\otimes D_j\to0$ は完全である。よって $0\to Z\otimes D\to C\otimes D\xrightarrow{\rho\otimes\mathrm{id}}\Sigma B\otimes D\to0$ は鎖複体の短完全列である（$c\in C_i$ について $(\rho\otimes\mathrm{id})\partial(c\otimes d)=(-1)^i\partial c\otimes\partial d$ で、これは $\Sigma B\otimes D$ の微分を $\partial c\otimes d$ に施したものに等しい）。
段 4（長完全列）．段 1・段 2 により $H_n(Z\otimes D)\cong\bigoplus_{a+q=n}Z_a\otimes H_q(D)$、$H_{n+1}(\Sigma B\otimes D)\cong\bigoplus_{a+q=n}B_a\otimes H_q(D)$ である。ホモロジー の定理「複体の短完全列から得られる長完全列」の接続準同型 $\delta\colon H_{n+1}(\Sigma B\otimes D)\to H_n(Z\otimes D)$ を求める。$b\in B_a$、$d\in Z_q(D)$ について $\partial c=b$ となる $c\in C_{a+1}$ をとると、$c\otimes d$ は $b\otimes d$ の持ち上げで、$\partial(c\otimes d)=b\otimes d+(-1)^{a+1}c\otimes\partial d=b\otimes d$ である。よって $\delta$ は包含 $u_a\colon B_a\to Z_a$ から来る $J_n:=\bigoplus_{a+q=n}u_a\otimes\mathrm{id}$ に等しい。長完全列から短完全列 $0\to\operatorname{coker}J_n\to H_n(C\otimes D)\to\ker J_{n-1}\to0$ を得る。右完全性により $\operatorname{coker}(u_a\otimes\mathrm{id})=H_a\otimes H_q(D)$ で、誘導される写像は $[z]\otimes[d]\mapsto[z\otimes d]$、すなわち $\alpha$ である。$0\to B_a\to Z_a\to H_a\to0$ の Tor の長完全列と $\operatorname{Tor}_1(Z_a,-)=0$ から、接続準同型は同型 $\operatorname{Tor}_1(H_a,H_q(D))\cong\ker(u_a\otimes\mathrm{id})$ を与える。この同型の逆と $\rho_*$ の合成を $\beta$ とすれば、定理の短完全列を得る。
段 5（自然性）．鎖写像 $f$ は $Z$、$B$ を $Z'$、$B'$ に写して $\rho$ と可換なので、$f\otimes g$ は段 3 の短完全列の間の射を与える。ホモロジーの長完全列（接続準同型との可換性は 五項補題 の命題「複体の短完全列と擬同型」の証明にある）、段 2 の同型 $t\otimes[d]\mapsto[t\otimes d]$、Tor の接続準同型はいずれも自然なので、$\alpha$、$\beta$ は $H(f)\otimes H(g)$、$H(f\otimes g)$、$\operatorname{Tor}_1(H(f),H(g))$ と可換である。
段 6（分裂）．$p+q=n-1$ とし、lem-kunneth-two-term-model を $C$ と $p$、$D$ と $q$ に当てて、鎖写像 $f_p\colon E\to C$、$g_q\colon F\to D$ をとる。$E$ は自由なので平坦であり、$E\otimes F$ に定理の短完全列を当てると、$H(E)$、$H(F)$ はそれぞれ次数 $p$、$q$ だけにあるので、次数 $n$ では左の項が $0$ で、$\beta_{E,F}\colon H_n(E\otimes F)\to\operatorname{Tor}_1(H_p(E),H_q(F))$ は同型である。$H_p(f_p)$、$H_q(g_q)$ で $H_p(E)=H_p(C)$、$H_q(F)=H_q(D)$ と同一視し、$s_{p,q}:=H_n(f_p\otimes g_q)\circ\beta_{E,F}^{-1}$ とおく。段 5 により $\beta\circ H_n(f_p\otimes g_q)=\operatorname{Tor}_1(H(f_p),H(g_q))\circ\beta_{E,F}$ であり、右辺は $(p,q)$ 成分への包含だから、$\beta\circ s_{p,q}$ は $(p,q)$ 成分の包含である。$s:=\sum_{p+q=n-1}s_{p,q}$ は $\beta\circ s=\mathrm{id}$ をみたす。$\square$
$C_i$ が自由なら仮定がみたされ、Hat02 Theorem 3B.5（p. 274）はこの場合である。平坦な $C$ と任意の $D$ についての形は May99 Chapter 17 §2（p. 132）にある。上の証明は $i<0$ で $C_i=0$ であることを使わず、すべての整数を添字にもつ鎖複体（テンソル積は同じく直和で定める）でもそのまま成り立つ。体の上では $\operatorname{Tor}$ の項が $0$ になり（体上の加群はすべて自由で平坦）、thm-kunneth-algebraic-field に戻る。段 6 で選ぶ自由分解と持ち上げは標準的でなく、分裂は自然にはとれない（ex-kunneth-nonnatural-splitting）。
$R$ を単項イデアル整域、$D$ を鎖複体、$q$ を整数とする。次数 $q+1$ と $q$ だけに自由加群をもつ鎖複体 $F^{(q)}$ と鎖写像 $g_q\colon F^{(q)}\to D$ で、$H(F^{(q)})$ が次数 $q$ だけにあり $H_q(g_q)$ が同型になるものがある。これらの直和 $\bigoplus_qg_q\colon\bigoplus_qF^{(q)}\to D$ は各項が自由な鎖複体からの 擬同型 である。
要点：$H_q(D)$ の長さ 1 の自由分解を、自由性を使って輪体と境界へ持ち上げる。
詳しい証明を開く
自由加群からの全射 $\varepsilon\colon F_0\to H_q(D)$ をとり（$H_q(D)$ の元全体を基底とする自由加群からの全射でよい）、核を $F_1$、包含を $i$ とする。$F_1$ は自由加群の部分加群なので自由である（自由加群 の定理「任意階数の自由加群の部分加群」）。$F:=F^{(q)}$ を次数 $q+1$ に $F_1$、次数 $q$ に $F_0$ をおき微分を $i$ とした鎖複体とすると、$i$ は単射なので $H_{q+1}(F)=0$、$H_q(F)=F_0/F_1$ である。$F_0$ の基底の各元の $\varepsilon$ による像を $Z_q(D)$ の元に持ち上げて $a_0\colon F_0\to Z_q(D)$ を定める。$x\in F_1$ なら $a_0(ix)$ の類は $\varepsilon(ix)=0$ なので $a_0(ix)\in B_q(D)$ であり、$F_1$ の基底の各元について持ち上げを選んで $\partial a_1=a_0i$ となる $a_1\colon F_1\to D_{q+1}$ を定める。$g_q:=(a_1,a_0)$ は、次数 $q+1$ で $\partial a_1=a_0i$、次数 $q$ で $\partial a_0=0$ なので鎖写像であり、$H_q(g_q)$ は $[x]\mapsto[a_0x]=\varepsilon(x)$ で、$\varepsilon$ の誘導する同型 $F_0/F_1\cong H_q(D)$ に等しい。ホモロジーは直和と交換するので、直和は各次数で同型を誘導する。$\square$
$R$ を単項イデアル整域とする。
- $C$ が平坦で、$D$ のホモロジーがすべて $0$ なら、$C\otimes_RD$ のホモロジーもすべて $0$ である。$C$ が平坦でホモロジーがすべて $0$ なら、任意の $D$ について同じである。
- $f\colon C\to C'$ が平坦な鎖複体の間の擬同型、$g\colon D\to D'$ が擬同型なら、$f\otimes g$ は擬同型である。
要点：thm-kunneth-algebraic-pid の短完全列の両端に帰着する。
証明を開く
1：thm-kunneth-algebraic-pid の短完全列の両端が $0$ になる（$\operatorname{Tor}_1(0,N)=\operatorname{Tor}_1(M,0)=0$）。2：自然性により $f\otimes g$ は両者の短完全列の間の射を与え、両端の縦の写像 $\bigoplus H(f)\otimes H(g)$、$\bigoplus\operatorname{Tor}_1(H(f),H(g))$ は同型の像なので同型である。五項補題 の系「短五項補題」により中央の $H_n(f\otimes g)$ も同型である。$\square$
1 の前半と、2 で $f$ が恒等写像の場合は、係数環が単項イデアル整域でなくても成り立つ。番号を $C^n:=C_{-n}$、$D^n:=D_{-n}$ と付け替えるとテンソル積の定義と符号は一致し、平坦な鎖複体は（節の冒頭の規約どおり $i<0$ で $C_i=0$ なので）上に有界な平坦加群の複体になり、導来テンソル積 の定理「平坦な複体とのテンソル積は擬同型を保つ」が使えるからである。
積空間のホモロジー
位相空間に移るには、積空間 $X\times Y$ の鎖複体を $X$ と $Y$ の鎖複体のテンソル積と比べればよい。CW 複体では胞体鎖複体がちょうどそうなっている。$X$ の $i$ 胞体 $e^i$ と $Y$ の $j$ 胞体 $e^j$ の積 $e^i\times e^j$ は $X\times Y$ の $(i+j)$ 胞体であり、胞体の向きを適切に選ぶと、胞体鎖複体の境界写像は
$$
d(e^i\times e^j)=de^i\times e^j+(-1)^ie^i\times de^j
$$
をみたす（Hat02 Proposition 3B.1、p. 269）。したがって、$e^i\times e^j\mapsto e^i\otimes e^j$ は胞体鎖複体の同型 $C^{\mathrm{CW}}_*(X\times Y)\cong C^{\mathrm{CW}}_*(X)\otimes C^{\mathrm{CW}}_*(Y)$ を与える（CW複体）。胞体ホモロジーは特異ホモロジーと一致する（Hat02 Theorem 2.35、p. 139）。
円周の胞体の積としてのトーラスの胞体
図のように、円周 $S^1$ を 0 胞体 $e^0$ と 1 胞体 $e^1$ に分けると、$T^2=S^1\times S^1$ は $e^0\times e^0$、$e^1\times e^0$、$e^0\times e^1$、$e^1\times e^1$ の 4 つの胞体に分かれ、次元ごとの個数 $1,2,1$ は $(1+t)^2$ の係数である。$S^1$ の胞体境界写像は $0$ なので、上の式により $T^2$ の胞体境界写像もすべて $0$ であり、ホモロジーの階数も $1,2,1$ になる。
$X$、$Y$ を CW 複体、$F$ を体とする。このとき、すべての $n$ についてクロス積の和
$$
\bigoplus_{i+j=n}H_i(X;F)\otimes_FH_j(Y;F)\longrightarrow H_n(X\times Y;F)
$$
は同型である。
$F$ 係数の胞体鎖複体は $C^{\mathrm{CW}}_*(X;F)=C^{\mathrm{CW}}_*(X)\otimes_{\mathbb{Z}}F$ であり、$(A\otimes_{\mathbb{Z}}F)\otimes_F(B\otimes_{\mathbb{Z}}F)\cong(A\otimes_{\mathbb{Z}}B)\otimes_{\mathbb{Z}}F$ なので、上の同型から $C^{\mathrm{CW}}_*(X\times Y;F)\cong C^{\mathrm{CW}}_*(X;F)\otimes_FC^{\mathrm{CW}}_*(Y;F)$ が得られる。右辺のホモロジーは thm-kunneth-algebraic-field により $\bigoplus_{i+j=n}H_i(X;F)\otimes_FH_j(Y;F)$ であり、左辺のホモロジーは胞体ホモロジーと特異ホモロジーの一致により $H_n(X\times Y;F)$ である。積の CW 構造の位相が積位相と異なる場合も、両者はコンパクト集合が同じなので特異ホモロジーは変わらない（Hat02 pp. 275–276）。$\square$
これは Hat02 Corollary 3B.7（p. 276）である。係数が単項イデアル整域 $R$ のときは、$R$ 係数の胞体鎖複体の各項は自由なので、上の証明の thm-kunneth-algebraic-field を thm-kunneth-algebraic-pid に替えると、分裂する短完全列
$$
0\to\bigoplus_{i+j=n}H_i(X;R)\otimes_RH_j(Y;R)\to H_n(X\times Y;R)\to\bigoplus_{i+j=n-1}\operatorname{Tor}^R_1\bigl(H_i(X;R),H_j(Y;R)\bigr)\to0
$$
が得られる。連続写像について自然であることは、写像を胞体写像にホモトピーで取り替えて代数の自然性に帰着する（Hat02 Theorem 3B.6、p. 275）。分裂は胞体写像についても自然にはとれない（ex-kunneth-nonnatural-splitting）。$R=\mathbb{Z}$ で捩れがあると $\operatorname{Tor}$ の項が現れ、クロス積だけでは積空間のホモロジーを尽くさない（ex-kunneth-counterexamples の 1）。
$X$、$Y$ を有限 CW 複体とする。
- $b_n(X\times Y)=\sum_{i+j=n}b_i(X)\,b_j(Y)$、すなわち Poincaré 多項式について $P_{X\times Y}(t)=P_X(t)\,P_Y(t)$ である。
- $\chi(X\times Y)=\chi(X)\,\chi(Y)$ である。
- 素数 $p$ について、$\mathbb{Z}/p$ 係数の Betti 数 $\dim_{\mathbb{Z}/p}H_n(-;\mathbb{Z}/p)$ も同じ式をみたす。
1：Betti数 の定義「Betti 数と Poincaré 多項式」により $b_n(X)=\dim_{\mathbb{Q}}H_n(X;\mathbb{Q})$ であり、有限 CW 複体では有限である。thm-kunneth-homology-field を $F=\mathbb{Q}$ で使い、有限次元ベクトル空間について $\dim(V\otimes W)=\dim V\cdot\dim W$ であることから従う。2：Betti数 の定理「Euler 標数と Betti 数」により $\chi=P(-1)$ なので、1 で $t=-1$ とおけばよい。3：1 と同じ議論を $F=\mathbb{Z}/p$ で行う。$\square$
1 は Betti数 の命題「直積の Betti 数」、2 は Euler標数 の定理「直積と和集合の Euler 標数」の (1) と同じ主張で、前者はコホモロジーの Künneth の公式から、後者は胞体の個数から示している。ここでは体係数のホモロジーの Künneth の公式から導いた。
コホモロジー環とクロス積
コホモロジーでは、Künneth の公式は環の同型として述べられる。$R$ を可換環、$p_1\colon X\times Y\to X$、$p_2\colon X\times Y\to Y$ を射影とする。
$a\in H^k(X;R)$、$b\in H^\ell(Y;R)$ の クロス積 を
$$
a\times b:=p_1^*a\smile p_2^*b\in H^{k+\ell}(X\times Y;R)
$$
と定める。カップ積の双線形性により、$R$ 線形写像 $\mu\colon H^*(X;R)\otimes_RH^*(Y;R)\to H^*(X\times Y;R)$、$a\otimes b\mapsto a\times b$ が定まる。$H^*(X;R)\otimes_RH^*(Y;R)$ には
$$
(a\otimes b)(c\otimes d):=(-1)^{\lvert b\rvert\lvert c\rvert}\,ac\otimes bd
$$
で積を入れる（$\lvert x\rvert$ は次数）。これを次数付きテンソル積という。
- $\mu$ は次数付きテンソル積の積について環準同型である。
- 連続写像 $f\colon X'\to X$、$g\colon Y'\to Y$ について $(f\times g)^*(a\times b)=f^*a\times g^*b$ である。すなわち次の図式は可換である。
$$ \xymatrix{ H^*(X;R)\otimes_RH^*(Y;R) \ar[r]^{\mu} \ar[d]_{f^*\otimes g^*} & H^*(X\times Y;R) \ar[d]^{(f\times g)^*} \\ H^*(X';R)\otimes_RH^*(Y';R) \ar[r]_{\mu} & H^*(X'\times Y';R) } $$
1：引き戻し $p_1^*$、$p_2^*$ は環準同型であり（カップ積 の定理「コホモロジー環」の 3）、カップ積は結合的で、次数付き可換性 $p_2^*b\smile p_1^*c=(-1)^{\lvert b\rvert\lvert c\rvert}p_1^*c\smile p_2^*b$ が成り立つ（同記事の定理「次数付き可換性」）。よって
$$
\mu(a\otimes b)\,\mu(c\otimes d)=p_1^*a\smile p_2^*b\smile p_1^*c\smile p_2^*d=(-1)^{\lvert b\rvert\lvert c\rvert}p_1^*(ac)\smile p_2^*(bd)=\mu\bigl((a\otimes b)(c\otimes d)\bigr)
$$
であり、$\mu(1\otimes1)=1$ である。2：$p_1\circ(f\times g)=f\circ p_1'$、$p_2\circ(f\times g)=g\circ p_2'$（$p_i'$ は $X'\times Y'$ の射影）なので、$(f\times g)^*(p_1^*a\smile p_2^*b)=p_1'^*f^*a\smile p_2'^*g^*b=f^*a\times g^*b$ である。$\square$
これは Hat02 §3.2（pp. 214–216）の計算である。図式が可換とは、$(f\times g)^*\circ\mu=\mu\circ(f^*\otimes g^*)$ ということである。
$X$、$Y$ を CW 複体とし、すべての $k$ について $H^k(Y;R)$ が有限生成の自由 $R$ 加群であるとする。このときクロス積
$$
\mu\colon H^*(X;R)\otimes_RH^*(Y;R)\longrightarrow H^*(X\times Y;R)
$$
は次数付き環の同型である。
Hat02 Theorem 3.15（p. 216）である。環準同型であることは prop-kunneth-ring-hom、全単射であることは CW 複体の仮定なしに Leray–Hirschの定理(一般の係数環) の補題「積空間のクロス積」が示す。
CW 複体での証明の筋（Hat02）を開く
$Y$ を固定し、CW 対 $(X,A)$ について $h^n(X,A):=\bigoplus_iH^i(X,A;R)\otimes_RH^{n-i}(Y;R)$、$k^n(X,A):=H^n(X\times Y,A\times Y;R)$ とおく。$H^j(Y;R)$ が有限生成自由なので、$h^*$ も長完全列・切除・非交和の公理をみたすコホモロジー理論になり、相対版のクロス積 $\mu\colon h^*\to k^*$ は連結準同型と可換な自然変換になる。$X$ が 1 点なら $\mu$ は $R\otimes_RH^n(Y;R)\cong H^n(Y;R)$ で同型である。1 点で同型な自然変換は、骨格に関する帰納法と五項補題によりすべての CW 対で同型になる（Hat02 Proposition 3.17、p. 217）。
体 $F$ 係数なら各 $H^k(Y;F)$ が有限次元でよい。$X\times Y\cong Y\times X$ より仮定は $X$ に課してよい。
例
$m,n\ge1$ とし、$a\in H^m(S^m;\mathbb{Z})$、$b\in H^n(S^n;\mathbb{Z})$ を生成元とする。$H^*(S^n;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\cdot1\oplus\mathbb{Z}b$ は各次数で有限生成自由なので、thm-kunneth-cohomology により $H^*(S^m\times S^n;\mathbb{Z})$ は $1$、$a\times1$、$1\times b$、$a\times b$ を基底にもつ自由加群であり、積は
$$
(a\times1)^2=0,\qquad(1\times b)^2=0,\qquad(a\times1)(1\times b)=a\times b,\qquad(1\times b)(a\times1)=(-1)^{mn}\,a\times b
$$
である（$a^2=0$、$b^2=0$ と次数付きテンソル積の積の規則による）。Poincaré 多項式は $(1+t^m)(1+t^n)$ である。$m=n$ のとき、$H^n$ の 2 つの生成元の積が $H^{2n}$ の生成元になる点で、Betti 数の同じ $S^n\vee S^n\vee S^{2n}$ と異なる（カップ積 の命題「一点和のカップ積」）。
$n$ 次元トーラス $T^n=S^1\times\cdots\times S^1$ では、$T^n=T^{n-1}\times S^1$ に thm-kunneth-cohomology を繰り返し使うと、$H^*(T^n;\mathbb{Z})$ は次数 $1$ の元 $\alpha_i:=p_i^*a$（$p_i$ は $i$ 番目の射影、$a$ は $H^1(S^1;\mathbb{Z})$ の生成元）が生成し、関係 $\alpha_i\alpha_j=-\alpha_j\alpha_i$、$\alpha_i^2=0$ をもつ外積代数 $\Lambda_{\mathbb{Z}}[\alpha_1,\dots,\alpha_n]$ である（Hat02 Example 3.16、p. 216）。$H^k(T^n;\mathbb{Z})$ は $\alpha_{i_1}\cdots\alpha_{i_k}$（$i_1<\dots< i_k$）を基底にもち、階数は $\binom nk$、Poincaré 多項式は $(1+t)^n$ である。$n=2$ は カップ積 の定理「トーラスのコホモロジー環」で、そこでは $\Delta$ 複体の余鎖で直接計算している。
$H^*(\mathbb{CP}^m;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[\alpha]/(\alpha^{m+1})$（$\deg\alpha=2$）は各次数で有限生成自由である（複素射影空間 の定理「複素射影空間のコホモロジー環」）。よって
$$
H^*(\mathbb{CP}^m\times\mathbb{CP}^n;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}[\alpha,\beta]/(\alpha^{m+1},\beta^{n+1})\qquad(\deg\alpha=\deg\beta=2)
$$
である。生成元の次数が偶数なので、次数付きテンソル積の符号はすべて $+1$ で、通常の多項式環の商になる。Poincaré 多項式は $(1+t^2+\dots+t^{2m})(1+t^2+\dots+t^{2n})$、Euler 標数は $(m+1)(n+1)$ である。無限次元の $\mathbb{CP}^\infty$ でも $H^*(\mathbb{CP}^\infty;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[\alpha]$ は各次数で有限生成自由なので（Hat02 Theorem 3.19、p. 220）、同様に $H^*(\mathbb{CP}^\infty\times\mathbb{CP}^\infty;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}[\alpha,\beta]$ となり、Chern類 の記事は直線束のテンソル積の第 1 Chern 類の計算にこれを使っている。
- 任意の CW 複体 $Y$ と $\mathbb{CP}^1=S^2$ について、$h\in H^2(\mathbb{CP}^1\times Y;\mathbb{Z})$ を $H^2(\mathbb{CP}^1;\mathbb{Z})$ の生成元の $p_1$ による引き戻しとすると、thm-kunneth-cohomology により $H^*(\mathbb{CP}^1\times Y;\mathbb{Z})$ の元は $p_2^*\beta_0+h\smile p_2^*\beta_1$（$\beta_0,\beta_1\in H^*(Y;\mathbb{Z})$）とただ 1 通りに書ける。Gysin写像 の記事は、$\mathbb{P}^1\times Y$ の Gysin 写像の計算でこの分解を使っている。
- 基点付き CW 複体の被約コホモロジーについても、一方が各次数で有限生成自由なら $\tilde H^*(X;R)\otimes_R\tilde H^*(Y;R)\cong\tilde H^*(X\wedge Y;R)$ が成り立つ（Hat02 p. 219、スマッシュ積 の注意「コホモロジーとの関係」）。$S^m\wedge S^n$ は $S^{m+n}$ と同相であり（同記事の命題「球面のスマッシュ積」）、右辺は $\mathbb{Z}$ が次数 $m+n$ に 1 つあるだけで、左辺と一致する。
反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 係数が体（またはホモロジーに捩れがない） | $\mathbb{RP}^2\times\mathbb{RP}^2$、係数 $\mathbb{Z}$ | クロス積の和 $\bigoplus H_i\otimes H_j\to H_n(X\times Y)$ の全射性（$n=3$） |
| コホモロジーの有限生成性 | 可算無限個の点の離散空間 $N$ どうしの積 | $H^0(N)\otimes H^0(N)\to H^0(N\times N)$ の全射性 |
| テンソル積の積の符号 $(-1)^{\lvert b\rvert\lvert c\rvert}$ | $T^2=S^1\times S^1$ | 符号なしの積に対して $\mu$ が環準同型であること |
- $\mathbb{RP}^2$ は 0・1・2 次元に胞体を 1 つずつもち、胞体鎖複体は $\mathbb{Z}\xleftarrow{0}\mathbb{Z}\xleftarrow{2}\mathbb{Z}$ なので、$H_0=\mathbb{Z}$、$H_1=\mathbb{Z}/2$、$H_2=0$ である（Hat02 Example 2.42）。次数 $3$ のクロス積の像 $\bigoplus_{i+j=3}H_i\otimes H_j$ は、どの項も一方の因子が $0$ なので $0$ である。一方 $\operatorname{Tor}$ の項 $\operatorname{Tor}(H_1,H_1)=\operatorname{Tor}(\mathbb{Z}/2,\mathbb{Z}/2)\cong\mathbb{Z}/2$（Tor関手 の命題「巡回加群との一次の Tor」を $A=\mathbb{Z}/2$、$J=2\mathbb{Z}$ に当てると $\ker(\mathbb{Z}/2\otimes2\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2)=\mathbb{Z}/2$）により $H_3(\mathbb{RP}^2\times\mathbb{RP}^2;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/2\ne0$ である。満たす性質は「CW 複体」、満たさない性質は「係数が体」「ホモロジーに捩れがない」であり、破る含意は「クロス積の和は積空間のホモロジーへの同型」である。
積の胞体鎖複体での直接の計算を開く
$\mathbb{RP}^2$ の胞体を $e^0,e^1,e^2$（$de^2=2e^1$、$de^1=0$）とし、積の胞体鎖複体 $C\otimes C$ を計算する。次数 $3$ の基底は $e^1\otimes e^2$、$e^2\otimes e^1$ で、$d(e^1\otimes e^2)=de^1\otimes e^2-e^1\otimes de^2=-2\,e^1\otimes e^1$、$d(e^2\otimes e^1)=de^2\otimes e^1+e^2\otimes de^1=2\,e^1\otimes e^1$ である。よって次数 $3$ の輪体は $e^1\otimes e^2+e^2\otimes e^1$ の整数倍である。次数 $4$ では $d(e^2\otimes e^2)=2\,e^1\otimes e^2+2\,e^2\otimes e^1$ なので、$H_3\cong\mathbb{Z}/2$、$H_4=0$ である。同様に（Smith 標準形で）$H_0=\mathbb{Z}$、$H_1=(\mathbb{Z}/2)^2$、$H_2=\mathbb{Z}/2$ となり、Hat02 Theorem 3B.6 の式（$H_2$ は $H_1\otimes H_1$、$H_3$ は $\operatorname{Tor}(H_1,H_1)$）と一致する。係数を $\mathbb{Z}/2$ にすると次元は $1,2,3,2,1$ となり、$(1+t+t^2)^2$ の係数と一致して thm-kunneth-homology-field と合う。
- $N$ を可算無限個の点からなる離散空間とすると、$H^0(N;\mathbb{Z})$ は $N$ 上の $\mathbb{Z}$ 値関数全体 $\mathbb{Z}^N$ であり（特異コホモロジー の命題「0 次コホモロジーと弧状連結成分」）、有限生成でない。$H^0$ のカップ積は関数の積なので、$\sum_{k=1}^rf_k\otimes g_k$ のクロス積は関数 $(x,y)\mapsto\sum_kf_k(x)g_k(y)$ である。この関数を $N\times N$ の行列とみると、どの有限の正方の部分行列も階数が $r$ 以下である。ところが対角線の特性関数 $\delta(x,y)$（$x=y$ で $1$、それ以外で $0$）は、$r+1$ 個の点の上の部分行列が単位行列で階数 $r+1$ なので、どの $r$ についても像に入らない。よって $\mu$ は全射でない。破れている仮定は「$H^k(Y)$ が有限生成」である。
- $a$、$b$ を 2 つの因子 $S^1$ の $H^1(S^1;\mathbb{Z})$ の生成元とし、$H^*(S^1;\mathbb{Z})\otimes H^*(S^1;\mathbb{Z})$ に符号を付けない積 $(x\otimes y)(z\otimes w):=xz\otimes yw$ を入れる。この積では $(1\otimes b)(a\otimes1)=a\otimes b$ であり、$\mu(a\otimes b)=a\times b$ である。一方 $\mu(1\otimes b)\,\mu(a\otimes1)=p_2^*b\smile p_1^*a=-p_1^*a\smile p_2^*b=-a\times b$ であり、$a\times b$ は $H^2(T^2;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$ の生成元なので $a\times b\ne-a\times b$ である。よって符号なしの積については $\mu$ は環準同型でない。次数付きの符号は、カップ積の次数付き可換性を積空間に移したものである。
$m\ge2$ とし、円周に写像度 $m$ の写像で 2 胞体を貼った Moore空間 $M=S^1\cup_me^2$ の胞体鎖複体を $C$、$S^2$ の胞体鎖複体を $C'$、$M$ の 1 骨格をつぶす写像 $M\to S^2$ の胞体鎖写像を $\varphi\colon C\to C'$ とする。$D=C$ として、thm-kunneth-algebraic-pid の次数 $3$ の分裂 $s$ を $H_3(\varphi\otimes\mathrm{id})\circ s_{C,D}=s_{C',D}\circ\operatorname{Tor}_1(H(\varphi),H(\mathrm{id}))$ をみたすようにとることはできない。満たす性質は「係数が単項イデアル整域」「各項が自由」、満たさない性質は「Tor の項が $0$」であり、破る含意は「自然な短完全列の分裂は自然にとれる」である。
確かめを開く
具体的には、$C_0=\mathbb{Z}e^0$、$C_1=\mathbb{Z}g$、$C_2=\mathbb{Z}e$、$\partial e=mg$、$\partial g=0$ であり、$C'_0=\mathbb{Z}e^0$、$C'_2=\mathbb{Z}f$（微分 $0$）、$\varphi$ は $e^0\mapsto e^0$、$g\mapsto0$、$e\mapsto f$ である（$f$ の向きを適切に選ぶ）。$\partial\varphi=\varphi\partial=0$ なので $\varphi$ は鎖写像である。$H_0(C)=\mathbb{Z}$、$H_1(C)=\mathbb{Z}/m$、$H_2(C)=0$、$H(C')$ は次数 $0$ と $2$ の $\mathbb{Z}$ である。次数 $3$ で、$C\otimes D$ の短完全列の左の項は $0$（$H_2=H_3=0$ なので、$i+j=3$ のどの項も一方の因子が $0$）、右の項は $\operatorname{Tor}_1(H_1,H_1)\cong\mathbb{Z}/m$ なので、$s_{C,D}$ は全射である。一方 $H_1(\varphi)$ の行き先 $H_1(C')$ は $0$ なので $\operatorname{Tor}_1(H(\varphi),H(\mathrm{id}))=0$ である。よって分裂が自然なら $H_3(\varphi\otimes\mathrm{id})=0$ となる。ところが $(C\otimes D)_3$ は $e\otimes g$、$g\otimes e$ を基底にもち、$\partial(e\otimes g)=mg\otimes g$、$\partial(g\otimes e)=-g\otimes mg$ なので輪体は $z=e\otimes g+g\otimes e$ の整数倍で、$\partial(e\otimes e)=mz$ である。$(\varphi\otimes\mathrm{id})(z)=f\otimes g$ であり、$(C'\otimes D)_3=\mathbb{Z}f\otimes g$、$(C'\otimes D)_4=\mathbb{Z}f\otimes e$、$\partial(f\otimes e)=mf\otimes g$ なので、$f\otimes g$ の類は位数 $m$ で $0$ でない。よって $H_3(\varphi\otimes\mathrm{id})\ne0$ であり、矛盾する。胞体鎖複体の同型 $C^{\mathrm{CW}}_*(X\times Y)\cong C^{\mathrm{CW}}_*(X)\otimes C^{\mathrm{CW}}_*(Y)$ のもとで、つぶす写像と恒等写像の積 $M\times M\to S^2\times M$ の胞体鎖写像は $\varphi\otimes\mathrm{id}$ なので、空間の積の Künneth の公式の分裂も胞体写像と両立するようにはとれない。
注意
- 積空間の Künneth の公式は、Poincaré 双対と組み合わせると、多様体 $X$ の自己写像のグラフ $\Gamma_f\subset X\times X$ と対角線の交点数を $H^*(X)$ の上のトレースで表すことに使われる。Lefschetz不動点公式 の記事はこの計算を、体係数の Künneth の公式と Poincaré 双対を仮定して形式的に行っている。
- 代数幾何の Weilコホモロジー は、滑らかな射影多様体に次数付きのベクトル空間を対応させる関手で、Künneth の公式（クロス積 $H^*(X)\otimes_KH^*(Y)\to H^*(X\times Y)$ が次数付きテンソル積の同型であること）を公理の 1 つとして要請する。ℓ 進コホモロジーや結晶コホモロジーでは、これは定理として示される（同記事）。Weil は、そのようなコホモロジーの Lefschetz 公式が有限体上の多様体の点の個数を与えるはずだと考えて、合同ゼータ関数 についての予想を立てた（同記事）。
- 鎖のレベルでは、特異鎖複体 $C_*(X\times Y)$ とテンソル積 $C_*(X)\otimes C_*(Y)$ を直接比べることもでき、特異単体の積 $\Delta^m\times\Delta^n$ を単体に分割して特異鎖のクロス積を定める（Hat02 pp. 277–278）。この記事では CW 複体の胞体鎖複体を使った。
関連項目
参考文献
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