点の重複度

同義語：multiplicity of a point

概要

前提知識: 多項式環, 局所環, 特異点, 交点数(平面曲線)

点の重複度（multiplicity of a point）とは、代数多様体の点がどれだけ「重なった点」であるかを測る正の整数である。超曲面 $f=0$（$f$ は平方因子をもたない）の点 $P$ では、$f$ を $P$ を原点とする座標で斉次成分に分けたときの最低次の次数であり、非特異な点では $1$、平面曲線の結節点や尖点では $2$ になる。
重複度には三つの見方がある。一つ目は $f$ の最低次の項の次数という代数的な定義である。二つ目は直線との交わりで、$P$ を通る直線は $P$ で $f=0$ とちょうど重複度ぶん交わり、接錐に含まれる方向の直線だけがそれより多く交わる。三つ目は一般の多様体に通用する見方で、点の局所環の Hilbert–Samuel 重複度であり、これは点での射影化した接錐の次数に等しい。
この記事では、超曲面の点の重複度を定義し、直線との交わりによる特徴づけ、非特異性との関係、重複度が一定以上の点の集合が閉集合であることを証明する。次に射影平面曲線で、重複度が次数を超えないこと、既約曲線の 2 点の重複度の和が次数以下であることを Bézoutの定理から導く。最後に一般の多様体の点の重複度を定義し、射影化した接錐の次数と一致することを証明する。以下、$k$ は代数閉体とする。

超曲面の点の重複度

$f\in k[x_1,\dots,x_n]$ を定数でない多項式、$P=(a_1,\dots,a_n)\in\mathbb{A}^n$ とする。$f(P+x)=f(a_1+x_1,\dots,a_n+x_n)$ を斉次成分に分けて
$$ f(P+x)=f_m+f_{m+1}+\cdots+f_e\qquad(f_j\text{ は }x\text{ の }j\text{ 次斉次式、}f_m\ne0) $$
と書く。

超曲面の点の重複度と接錐

上の $m$ を $f$ の $P$ での重複度といい、$m_P(f)$ と書く。$m_P(f)\ge1$ であることと $f(P)=0$ は同値である。$m_P(f)=1$ の点を単純点、$m_P(f)\ge2$ の点を多重点という。斉次式 $f_m$ が定める錐 $\{v\in k^n\mid f_m(v)=0\}$ を $P$ での接錐（の方向全体）という。

$n=2$ では、これは平面曲線の点の重複度で、$f_m$ を一次式の積に分解した各因子が接線を与える（交点数(平面曲線) の定義「点の重複度と接線」）。最低次の成分の積は積の最低次の成分なので、$m_P(fg)=m_P(f)+m_P(g)$ である。接錐の一般論は接錐にある。
重複度は座標のとり方によらない。$\mathfrak{m}_P=(x_1-a_1,\dots,x_n-a_n)$、$\mathcal{O}_P$ を $\mathbb{A}^n$ の $P$ での局所環、$\mathfrak{m}$ をその極大イデアルとすると
$$ m_P(f)=\max\{m\mid f\in\mathfrak{m}_P^m\}=\max\{m\mid f\in\mathfrak{m}^m\} $$
である。最初の等号は、$\mathfrak{m}_P^m$ が $P$ を原点とする座標で $m$ 次未満の項をもたない多項式全体であることによる。2 番目は $\mathfrak{m}^m\cap k[x]=\mathfrak{m}_P^m$ による（$sg\in\mathfrak{m}_P^m$、$s(P)\ne0$ なら、$\mathfrak{m}_P^m$ は根基が $\mathfrak{m}_P$ の準素イデアルで $s\notin\mathfrak{m}_P$ なので $g\in\mathfrak{m}_P^m$）。とくに $\mathcal{O}_P$ の単元を掛けても重複度は変わらない。射影空間の超曲面 $F=0$ と点 $P$ については、$P$ を含むアフィン開集合 $\{x_i\ne0\}$ で $F/x_i^{\deg F}$ をとって重複度を定める。二つのアフィン開集合での非斉次化は $P$ での局所環の単元 $(x_i/x_j)^{\deg F}$ の違いしかないので、重複度は開集合の選び方によらない。

直線との交わり

直線による重複度の特徴づけ

$f(P)=0$ とし、$v\in k^n\setminus\{0\}$、$L=\{P+tv\mid t\in k\}$ を $P$ を通る直線、$g(t):=f(P+tv)\in k[t]$ とする。$L$ が $Z(f)$ に含まれない（$g\ne0$）とき：

$g$ の $t=0$ での零点の位数は $m_P(f)$ 以上であり、等号は $f_m(v)\ne0$、すなわち $v$ が接錐に属さないとき、そのときに限り成り立つ。
とくに $m_P(f)$ は、$P$ を通り $Z(f)$ に含まれない直線についての上の位数の最小値であり、この最小値は $f_m(v)\ne0$ なるすべての方向 $v$ の直線でとられる。
$n=2$ なら、$g$ の位数は交点数 $I(P,f\cap L)$ に等しい。したがって $I(P,f\cap L)\ge m_P(f)$ であり、等号は $L$ が $P$ での接線でないとき、そのときに限る。

1：$f_j$ は $j$ 次斉次式なので $f_j(tv)=t^jf_j(v)$ であり、
$$ g(t)=\sum_{j=m}^et^jf_j(v)=t^mf_m(v)+t^{m+1}f_{m+1}(v)+\cdots $$
である。よって $g$ の位数は $m$ 以上で、$t^m$ の係数 $f_m(v)$ が $0$ でないとき、そのときに限り $m$ に等しい。
2：$f_m\ne0$ で $k$ は無限体なので $f_m(v)\ne0$ なる $v$ が存在し、そのとき $g(t)$ の $t^m$ の係数が $0$ でないから $g\ne0$ であり、1 から位数は $m$ である。他の直線では位数は $m$ 以上である。
3：平面のアフィン座標変換 $T$ で $T(0,0)=P$、$T(1,0)=P+v$ となるものをとる。交点数は座標変換で変わらない（交点数(平面曲線) の 7 つの性質の (iii)）ので、$f\circ T$ と直線 $y=0$ の原点での交点数を求めればよく、$(f\circ T)(t,0)=g(t)$ である。$k[x,y]_{(x,y)}/(y)\cong k[x]_{(x)}$ なので
$$ I(P,f\cap L)=\dim_kk[x]_{(x)}/(g(x)) $$
であり、$g(x)=x^ru(x)$（$u(0)\ne0$）と書くと $u$ は $k[x]_{(x)}$ の単元だから、右辺は $\dim_kk[x]_{(x)}/(x^r)=r$ である。後半は 1 による。直線 $L$ が接線であることは、その方向 $v$ について $f_m(v)=0$ であることと同じである（$f_m$ の一次因子 $\alpha x+\beta y$ が $v$ で消えることと、直線 $\alpha(x-a_1)+\beta(y-a_2)=0$ が $L$ であることは同値）。$\square$

3 は Har77 I, Exercise 5.4 (b)（p. 36）、Ful08 Problem 3.19・3.21（p. 40）にあたる。2 つの曲線の交点数については、より一般に $I(P,F\cap G)\ge m_P(F)m_P(G)$ で、等号は共通の接線がないときに限る（交点数(平面曲線) の命題「性質 (v)：重複度との不等式」）。上の 3 はその $G$ が直線の場合を、位数の計算として直接示したものである。

非特異性と重複度が大きい点の集合

単純点と非特異点

$f$ は平方因子をもたないとし、$X=Z(f)\subset\mathbb{A}^n$、$P\in X$ とする。次は同値である。

$m_P(f)=1$。
ある $i$ について $\frac{\partial f}{\partial x_i}(P)\ne0$。
局所環 $\mathcal{O}_{X,P}$ は正則局所環である（$P$ は $X$ の非特異点である）。

1 と 2：$f(P+x)$ の一次の成分は $f_1=\sum_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(P)\,x_i$ である（多項式の Taylor 展開の一次の項）。$f(P)=0$ なので $f_0=0$ であり、$m_P(f)=1$ は $f_1\ne0$ と同値で、これは 2 と同値である。
1 と 3：$f$ が平方因子をもたず $k$ が代数閉体なので、零点定理により $X$ のイデアルは $(f)$ である（$f$ の零点で消える多項式は $f$ のどの既約因子でも割り切れる）。よって $B:=\mathcal{O}_{X,P}=\mathcal{O}_P/(f)$ である。$\mathcal{O}_P$ は $n$ 次元の正則局所環で整域、$f$ はその $0$ でない非単元なので、正則局所環の定理「正則元による商の次元」により $\dim B=n-1$ である。$B$ の極大イデアル $\mathfrak{n}=\mathfrak{m}/(f)$ について $\mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2\cong\mathfrak{m}/(\mathfrak{m}^2+(f))$ であり、$\dim_k\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2=n$ なので、その次元は $f\notin\mathfrak{m}^2$ なら $n-1$、$f\in\mathfrak{m}^2$ なら $n$ である。節「超曲面の点の重複度」で見たとおり $f\notin\mathfrak{m}^2$ は $m_P(f)=1$ と同値である。したがって $\dim_k\mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2=\dim B$、すなわち $B$ が正則であることは $m_P(f)=1$ と同値である。$\square$

$n=2$ の場合は Har77 I, Exercise 5.3 (a)（p. 36）である。平方因子の仮定は外せない（節「反例」）。
$m_P(f)\ge r$ となる点の集合を記述するには、正標数でも使える Hasse 微分を使う。変数 $X=(X_1,\dots,X_n)$、$Y=(Y_1,\dots,Y_n)$ について
$$ f(X+Y)=\sum_{\alpha}(D^\alpha f)(X)\,Y^\alpha\qquad(\alpha\in\mathbb{Z}_{\ge0}^n,\ Y^\alpha=Y_1^{\alpha_1}\cdots Y_n^{\alpha_n}) $$
で多項式 $D^\alpha f\in k[X]$ を定める。標数 $0$ なら $D^\alpha f=\frac{1}{\alpha_1!\cdots\alpha_n!}\frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial X_1^{\alpha_1}\cdots\partial X_n^{\alpha_n}}$ である（$|\alpha|=\alpha_1+\cdots+\alpha_n$）。

重複度が $r$ 以上の点は閉集合をなす

各 $r\ge1$ について
$$ \{P\in\mathbb{A}^n\mid m_P(f)\ge r\}=Z\bigl(D^\alpha f\ \bigm|\ |\alpha|< r\bigr) $$
であり、これは閉集合である。とくに $Z(f)$ の多重点の集合 $\{m_P(f)\ge2\}$ は閉集合である。

$X=P$ を代入すると $f(P+Y)=\sum_\alpha(D^\alpha f)(P)Y^\alpha$ であり、$Y$ についての $j$ 次の斉次成分は $f_j=\sum_{|\alpha|=j}(D^\alpha f)(P)Y^\alpha$ である。$m_P(f)\ge r$ は $f_0=\cdots=f_{r-1}=0$、すなわち $|\alpha|< r$ のすべての $\alpha$ で $(D^\alpha f)(P)=0$ ということである。$\square$

標数 $0$ のとき、$m_P(f)$ は $\frac{\partial^mf}{\partial x^\alpha}(P)\ne0$ なる $|\alpha|=m$ がある最小の $m$ である（Ful08 Problem 3.5、p. 33）。正標数では通常の偏微分では足りない。たとえば標数 $p$ で $f=x^p-y^{p+1}$ の原点での重複度は $p$ だが、$\partial^pf/\partial x^p=p!=0$ であり、$p$ 階以下の通常の偏微分はすべて原点で消える。

射影平面曲線

射影平面曲線の重複度と次数

$F$ を次数 $d$ の射影平面曲線、$P\in\mathbb{P}^2$ とする。

$m_P(F)\le d$ であり、等号は $F$ が $P$ を通る $d$ 本の直線（重複を許す）の積であるとき、そのときに限る。
$F$ が既約で $d\ge2$ なら $m_P(F)\le d-1$ である。
$F$ が既約で $d\ge2$ なら、相異なる 2 点 $P,Q$ について $m_P(F)+m_Q(F)\le d$ である。
既約な 2 次曲線は非特異であり、既約な 3 次曲線の多重点は高々 1 個である。

1：射影座標変換で $P=[0:0:1]$ とし、$f(x,y):=F(x,y,1)$ とする。$f\ne0$ で $f$ の次数は $d$ 以下なので、最低次の成分の次数 $m=m_P(F)$ は $d$ 以下である。$m=d$ なら $f$ の成分は $d$ 次の $f_d$ だけで、$F(X,Y,Z)=f_d(X,Y)$ は $Z$ を含まない。2 変数の斉次式は代数閉体上で一次式の積に分解するので、$F$ は $P$ を通る直線 $\alpha X+\beta Y=0$ の積である。逆に $F$ がそのような積なら $f=F(x,y,1)$ は $d$ 次斉次式で $m=d$ である。
2：1 の等号の場合、$F$ は $d\ge2$ 個の一次式の積で既約でない。
3：直線 $L=\overline{PQ}$ は既約で $d\ge2$ の $F$ の成分ではない。Bézoutの定理により $\sum_{R\in F\cap L}I(R,F\cap L)=d$ であり、各項は $0$ 以上、$P,Q$ での項はそれぞれ thm-mult-pt-lines の 3 により $m_P(F)$、$m_Q(F)$ 以上である。
4：既約な 2 次曲線の点の重複度は 2 により $1$ であり、thm-mult-pt-simple から非特異である（射影平面曲線の特異点はアフィン開集合で判定する）。既約な 3 次曲線に多重点 $P\ne Q$ があれば $m_P+m_Q\ge4>3$ となり 3 に反する。$\square$

4 は次の一般の評価の $d=2,3$ の場合である：次数 $d$ の既約な平面曲線の特異点は高々 $\frac{(d-1)(d-2)}{2}$ 個である（種数公式(平面曲線) の定理「平面曲線の種数公式」の 3）。
1 は Ful08 Problem 3.3（p. 33）、2 は Har77 I, Exercise 7.5 (a)（p. 55）である。2 の評価 $d-1$ は等号が起こりうる：$y^2z=x^3$（尖点 3 次曲線）は原点で重複度 $2=d-1$ である。

一般の多様体の点の重複度

$X$ を代数多様体、$x\in X$ を閉点、$A:=\mathcal{O}_{X,x}$、$\mathfrak{m}$ をその極大イデアルとする（剰余体は $k$）。$A$ の Hilbert–Samuel 関数 $H(t)=\ell_A(A/\mathfrak{m}^{t+1})$ は十分大きい $t$ で $\dim A$ 次の多項式に一致し（Hilbert–Samuel関数の定理「最終的な多項式性」「Hilbert–Samuel 次元定理」）、その $t^{\dim A}$ の係数の $(\dim A)!$ 倍が $A$ の Hilbert–Samuel 重複度 $e(A)$ である（同記事の定義「Hilbert–Samuel 重複度」）。

点の重複度

$e(\mathcal{O}_{X,x})$ を $X$ の点 $x$ での重複度といい、$\operatorname{mult}_xX$ と書く。

超曲面 $X=Z(f)$（$f$ は平方因子をもたない）の点では $\operatorname{mult}_xX=m_x(f)$ である（接錐の定理「超曲面の点の重複度」）。
随伴次数環 $G:=\operatorname{gr}_{\mathfrak{m}}A=\bigoplus_{j\ge0}\mathfrak{m}^j/\mathfrak{m}^{j+1}$ は $G_0=k$ 上 $G_1=\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ で生成される。$c:=\dim_kG_1$ とし、$G_1$ の基底を $y_1,\dots,y_c$ とすると、$G$ は多項式環 $k[y_1,\dots,y_c]$ 上の有限生成な次数付き加群である。$\operatorname{Proj}G\subset\mathbb{P}^{c-1}$ を $x$ での射影化した接錐という。その次数を、射影多様体の次数の定義「次数」により $\deg G$（$G$ を $k[y_1,\dots,y_c]$ 加群とみた次数）で定める。

重複度は射影化した接錐の次数

$\dim A=:\delta\ge1$ とする。このとき $G$ の Hilbert 多項式は $\delta-1$ 次で、
$$ \operatorname{mult}_xX=\deg G $$
が成り立つ。とくに射影化した接錐は $\delta-1$ 次元である。

$\varphi_G(j)=\dim_kG_j$ とし、$t_0$ 以上の $j$ で $\varphi_G(j)=P_G(j)$ とする。$A/\mathfrak{m}^{t+1}$ は商が $\mathfrak{m}^j/\mathfrak{m}^{j+1}$（$0\le j\le t$）の部分加群の列をもち、各商は $k$ 上のベクトル空間で、その長さは $k$ 上の次元なので
$$ H(t)=\sum_{j=0}^t\varphi_G(j) $$
である。$P_G=0$ なら $H$ は最終的に定数となり、Hilbert–Samuel 次元定理から $\dim A=0$ となって仮定に反する。よって $P_G\ne0$ で、$s:=\deg P_G\ge0$、$P_G$ の $z^s$ の係数を $c_G/s!$ と書く。$s=\dim Z(\operatorname{Ann}G)$（Har77 I, Theorem 7.5）なので、定義から $c_G=\deg G$ である。
$b_s(j):=\binom{j+s}{s}$ は $j$ の $s$ 次多項式で最高次の係数が $1/s!$ であり、$\{b_0,\dots,b_s\}$ は $s$ 次以下の多項式全体の基底である。したがって $P_G=c_Gb_s+\sum_{i< s}\lambda_ib_i$（$\lambda_i\in\mathbb{Q}$）と書ける。Pascal の規則による和の公式 $\sum_{j=0}^tb_i(j)=b_{i+1}(t)$ を使うと、$t\ge t_0$ で
$$ H(t)=C+\sum_{j=0}^tP_G(j)=C+c_Gb_{s+1}(t)+\sum_{i< s}\lambda_ib_{i+1}(t) $$
（$C=\sum_{j< t_0}(\varphi_G(j)-P_G(j))$ は定数）であり、$H$ は $t$ の $s+1$ 次多項式で $t^{s+1}$ の係数は $c_G/(s+1)!$ である。Hilbert–Samuel 次元定理によりこの次数は $\dim A=\delta$ なので $s=\delta-1$ であり、重複度の定義から $e(A)=c_G=\deg G$ である。最後の主張は、$P_G$ の次数が $Z(\operatorname{Ann}G)=\operatorname{Proj}G$ の次元に等しいこと（Har77 I, Theorem 7.5）による。$\square$

超曲面 $Z(f)$ の原点では $G\cong k[x_1,\dots,x_n]/(f_m)$ であり（接錐の定理「接錐は最低次の部分で計算できる」と系「超曲面の接錐」による）、射影多様体の次数の命題「射影空間・線型部分空間・超曲面・Veronese 多様体」の 2 から $\deg G=m$ となって、上の等式は $m_x(f)=\deg G$ を与える。

例

平面曲線の多重点

原点で、結節点 $y^2=x^2+x^3$ は重複度 $2$ で接線は $y=\pm x$、尖点 $y^2=x^3$ は重複度 $2$ で接線は $y=0$（重複度 $2$）、タクノード $y^2=x^4$ は重複度 $2$ で接線は $y=0$、$(x^2+y^2)^2+3x^2y-y^3=0$ は重複度 $3$ で接線は $y=0$、$y=\pm\sqrt3x$ の 3 本（通常 3 重点）である。尖点の場合、thm-mult-pt-lines の 3 により、接線 $y=0$ との交点数は $3>2$、他の直線 $y=\lambda x$ との交点数は $2$ である（$x^2(\lambda^2-x)$ の位数）。

錐の頂点

$g(x,y,z)$ を平方因子をもたない $d$ 次斉次式とし、$X=Z(g)\subset\mathbb{A}^3$ を射影平面曲線 $g=0$ 上のアフィン錐とする。$g$ はそれ自身が最低次の成分なので、頂点の重複度は $d$ で、射影化した接錐は曲線 $g=0$ そのものである。2 次錐 $x^2+y^2=z^2$ の頂点は重複度 $2$ である。

1 点で交わる 2 枚の平面

$X\subset\mathbb{A}^4$ を 2 枚の平面 $Z(x_1,x_2)$ と $Z(x_3,x_4)$ の和とし、原点 $O$ での重複度を求める。$X$ のイデアル $I=(x_1,x_2)\cap(x_3,x_4)=(x_1x_3,x_1x_4,x_2x_3,x_2x_4)$ は斉次なので、$R=k[x_1,\dots,x_4]/I$ について $\operatorname{gr}_{\mathfrak{m}}\mathcal{O}_{X,O}\cong R$ である（Hilbert関数の定理「Hilbert 級数の極と局所環の次元」の 1）。射影化した接錐は $\mathbb{P}^3$ の交わらない 2 直線の和で、射影多様体の次数の定理「次数の正値性と加法性」の 2 から次数 $2$ である。よって $\operatorname{mult}_OX=2$ である。$X$ は超曲面ではなく、この点での振る舞いは Serreの交叉重複度公式の例で使われる。

反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
thm-mult-pt-simple の「$f$ が平方因子をもたない」	$f=y^2$、$P=(0,0)$	$m_P(f)=2$ だが、$Z(f)$ は直線で $P$ は非特異点（1 と 3 の同値）
thm-mult-pt-lines の「$L\not\subset Z(f)$」	$f=y(y-x^2)$、$L=\{y=0\}$	$g=0$ で位数が定まらず、3 では交点数が $\infty$
thm-mult-pt-plane の 1 の「$k$ が代数閉体」	$k=\mathbb{R}$、$F=X^2+Y^2$、$P=[0:0:1]$	$m_P(F)=2=d$ だが $F$ は実係数の直線の積でない
thm-mult-pt-plane の 3 の「$F$ が既約」	$F=XY$、$P=[0:0:1]$、$Q=[1:0:0]$	$m_P+m_Q=2+1=3>2=d$
thm-mult-pt-tangent-cone-degree の「$\dim A\ge1$」	$X$ が 1 点	$\operatorname{mult}_xX=1$ だが射影化した接錐は空で、次数が定まらない