台(層)

1：$x\in U\setminus\operatorname{Supp}(s)$ とする。$s_x=0$ なので、芽の定義により $x$ の開近傍 $W\subset U$ で $s|_W=0$ となるものがある。$y\in W$ なら $s_y=(s|_W)_y=0$ なので $W\subset U\setminus\operatorname{Supp}(s)$ である。よって $U\setminus\operatorname{Supp}(s)$ は開集合である。
2：$x\in V$ なら $(s|_V)_x=s_x$ だからである。
3：芽をとる写像 $\mathcal{F}(U)\to\mathcal{F}_x$ は準同型なので $(s+t)_x=s_x+t_x$、$(-s)_x=-s_x$ である。$s_x=t_x=0$ なら $(s+t)_x=0$ である。
4：$\varphi_x(s_x)=\varphi_U(s)_x$ であり、$s_x=0$ なら $\varphi_U(s)_x=0$ である。
5：$\mathcal{F}_x\ne0$ なら、$0$ でない元 $s_x$（$s\in\mathcal{F}(U)$、$x\in U$）があり $x\in\operatorname{Supp}(s)$ である。逆に $x\in\operatorname{Supp}(s)$ なら $s_x\ne0$ なので $\mathcal{F}_x\ne0$ である。
6：$(as)_x=a_xs_x$ であり、$a_x=0$ または $s_x=0$ なら $0$ である。$\square$

$W:=X\setminus\overline{\operatorname{Supp}\mathcal{F}}$ は開集合で、$W$ の点では茎が $0$ なので、定義の後の注意により $\mathcal{F}|_W=0$ である。逆に $\mathcal{F}|_U=0$ なら $U$ の点の茎は $0$ なので $U\subset X\setminus\operatorname{Supp}\mathcal{F}$ であり、$U$ は開集合だから $X\setminus\operatorname{Supp}\mathcal{F}$ の内部 $X\setminus\overline{\operatorname{Supp}\mathcal{F}}$ に含まれる。$\square$

茎は $\widetilde{M}_{\mathfrak{p}}=M_{\mathfrak{p}}$ である（準連接層 の命題「付随する層の茎と基本開集合上の切断」）。よって $\widetilde{M}$ の台は加群の台に一致する。有限生成の場合の等式は 加群の台 の定理「有限加群の台」である。$\square$

1：層 の定理「アーベル群の層の圏はアーベル圏である」により、各点 $x$ で茎の列 $0\to\mathcal{F}'_x\to\mathcal{F}_x\to\mathcal{F}''_x\to0$ は完全である。$\mathcal{F}_x=0$ なら、単射 $\mathcal{F}'_x\to\mathcal{F}_x$ と全射 $\mathcal{F}_x\to\mathcal{F}''_x$ から $\mathcal{F}'_x=\mathcal{F}''_x=0$ である。逆に $\mathcal{F}'_x=\mathcal{F}''_x=0$ なら、完全性から $\mathcal{F}_x$ は $\mathcal{F}'_x$ の像に等しく $0$ である。
2：層化は茎を変えない（層 の定理「層化の構成と普遍性」の 2）ので、前層 $U\mapsto\bigoplus_\lambda\mathcal{F}_\lambda(U)$ の茎を計算すればよい。$x$ の開近傍についての有向な帰納極限は直和と交換するので、この茎は $\bigoplus_\lambda(\mathcal{F}_\lambda)_x$ である。これが $0$ であることと、すべての $\lambda$ で $(\mathcal{F}_\lambda)_x=0$ であることは同値である。$\square$

$x\notin\operatorname{Supp}\mathcal{F}$ とし、$x$ の開近傍 $U$ と生成元 $s_1,\dots,s_n\in\mathcal{F}(U)$ をとる。$\mathcal{F}_x=0$ なので各 $i$ で $s_{i,x}=0$ であり、$x$ の開近傍 $W_i\subset U$ で $s_i|_{W_i}=0$ となるものがある。$W:=W_1\cap\dots\cap W_n$ とおくと、$y\in W$ について $\mathcal{F}_y$ は $s_{1,y},\dots,s_{n,y}$ で生成され、これらはすべて $0$ なので $\mathcal{F}_y=0$ である。よって $W\subset X\setminus\operatorname{Supp}\mathcal{F}$ であり、$\operatorname{Supp}\mathcal{F}$ の補集合は開集合である。$\square$

$\mathcal{O}_X/\mathcal{J}$ は大域切断 $1$ の像で生成されるので有限型であり、thm-supp-finite-type により台は閉集合である。商層の茎は $(\mathcal{O}_X/\mathcal{J})_x=\mathcal{O}_{X,x}/\mathcal{J}_x$（層 の定義「層の像・余核と商層」の後の注意）なので、これが $0$ でないことは $\mathcal{J}_x\ne\mathcal{O}_{X,x}$ と同値である。$\mathcal{J}=0$ の場合が後半である。$\square$

茎は $(\mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{G})_x\cong\mathcal{F}_x\otimes_{\mathcal{O}_{X,x}}\mathcal{G}_x$ である（Stacks Tag 01CB。テンソル積の層は前層 $U\mapsto\mathcal{F}(U)\otimes_{\mathcal{O}_X(U)}\mathcal{G}(U)$ の層化であり、有向な帰納極限はテンソル積と交換する）。$\mathcal{F}_x=0$ または $\mathcal{G}_x=0$ ならこれは $0$ なので、左辺は右辺に含まれる。
逆に $x$ が右辺に属するとする。$R:=\mathcal{O}_{X,x}$、$\mathfrak{m}$ をその極大イデアル、$k:=R/\mathfrak{m}$、$M:=\mathcal{F}_x$、$N:=\mathcal{G}_x$ とおく。$M,N$ は有限生成の $R$ 加群で $0$ でない。中山の補題 の定理「Nakayamaの補題」により $\mathfrak{m}M\ne M$、$\mathfrak{m}N\ne N$ なので、$M/\mathfrak{m}M$ と $N/\mathfrak{m}N$ は $0$ でない $k$ ベクトル空間である。テンソル積の結合性と $k\otimes_Rk=k$ により
$$ (M\otimes_RN)\otimes_Rk\cong(M\otimes_Rk)\otimes_k(N\otimes_Rk)=(M/\mathfrak{m}M)\otimes_k(N/\mathfrak{m}N) $$
であり、$0$ でないベクトル空間のテンソル積は $0$ でない（基底のテンソル積が基底になる）。よって $M\otimes_RN\ne0$、すなわち $x\in\operatorname{Supp}(\mathcal{F}\otimes\mathcal{G})$ である。$\square$

prop-supp-section の 3 により $\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})(U)$ は $\mathcal{F}(U)$ の部分群であり、2 により制限で閉じている。局所性は $\mathcal{F}$ から従う。貼り合わせ：開被覆 $U=\bigcup U_i$ と $s\in\mathcal{F}(U)$ について、すべての $i$ で $s|_{U_i}\in\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})(U_i)$ なら、2 により $\operatorname{Supp}(s)=\bigcup_i\operatorname{Supp}(s|_{U_i})\subset Z$ である。重なりで一致する族を $\mathcal{F}$ で貼り合わせた切断はこの条件を満たすので、$\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})$ は層である。$\square$