Hilbertの第16問題
概要
Hilbertの第16問題（Hilbert's sixteenth problem）とは、1900 年に Hilbert が提起した、実代数曲線・曲面の成分の配置を問う前半と、平面の多項式ベクトル場の極限周期軌道の個数と位置を問う後半からなる問題である。前半の曲線の位相の分類は次数 $7$ まで解かれており、次数 $6$ では Gudkov が Hilbert の主張を訂正し、Gudkov–Rokhlin の合同式が得られた。後半は、次数 $n$ の極限周期軌道の最大数 $H(n)$ を求める問題で、$H(1)=0$ だが、$H(2)$ が有限かどうかさえ 2025 年の時点で知られていない。Dulac の有限性の証明の穴は 1981 年に見つかり、Écalle と Ilyashenko が 1991–92 年に埋めた論文を発表した。
前提知識: Poincaré–Bendixsonの定理, Harnackの曲線定理, Bézoutの定理, 陰関数定理
Hilbertの第16問題（Hilbert's sixteenth problem）は、1900 年に Hilbert が挙げた問題の 1 つで、題は「代数曲線と代数曲面の位相の問題」である（Hil02 pp. 464–465）。2 つの部分からなる。
- 前半は、実数係数の代数曲線の実点の集合（と代数曲面の実点の集合）がどのような位置関係をとるかを問う。Harnack が決めた個数の最大値を受けて、枝の相対的な位置を調べよという問題である。
- 後半は、平面の多項式ベクトル場の極限周期軌道（リミットサイクル、極限閉軌道とも呼ばれる。他の周期軌道から孤立した周期軌道）の個数の最大値と位置を問う。
2 つの部分は、対象も現状も大きく異なる。前半の曲線の位相の分類は、2017 年の文献で次数 $7$ まで解かれているとされる（Kai17 p. 1）。後半は、2025 年の時点で次数 $2$ の場合すら、個数の上界が存在するかどうか分かっていない（GS25 p. 2）。この記事では、問題を正確に述べ、Bézout の定理だけで分かる前半の制限（prop-h16-nest、thm-h16-quartic）を完全に証明する。後半については、次数 $1$ で極限周期軌道がないこと（prop-h16-linear）、次数とともに個数が増えること（prop-h16-lower）、次数 $2$ の例（ex-h16-quadratic）、摂動による極限周期軌道の発生（thm-h16-melnikov）を完全に証明する。Gudkov–Rokhlin の合同式、Dulac の有限性、下界の最良の結果などは、この記事では証明せず、主張と文献の記述だけを述べる。
問題の主張
Hilbert の原文は次の内容である（Hil02 pp. 464–465）。次数 $n$ の平面代数曲線の閉じた分離した枝の最大個数は Harnack が決定した。そこで枝の平面内の相対的な位置が問題になる。さらに、これと関連して、同じ係数の連続変化の方法で扱えるかもしれない問題として、$X,Y$ を $x,y$ の $n$ 次の多項式とする微分方程式 $dy/dx=Y/X$ の Poincaré の極限周期軌道（cycles limites）の個数の最大値と位置を問う。
$P,Q\in\mathbb{R}[x,y]$ の次数の大きい方が $n$ 以下のとき、
$$
\dot x=P(x,y),\qquad\dot y=Q(x,y)
$$
を次数 $n$ 以下の平面多項式ベクトル場という。$dy/dx=Q/P$ の解曲線は、この系の軌道である。
平面多項式ベクトル場の周期軌道 $\Gamma$ が極限周期軌道であるとは、$\Gamma$ の近傍で $\Gamma$ 以外に周期軌道がないことをいう。ベクトル場 $X$ の極限周期軌道の個数を $\pi(X)\in\{0,1,2,\dots\}\cup\{\infty\}$ と書き、
$$
H(n):=\sup\{\pi(X)\mid X\text{ は次数 }n\text{ 以下の平面多項式ベクトル場}\}
$$
を $n$ 番目の Hilbert 数という。
定義から $H(n)\le H(n+1)$ である。文献によっては次数がちょうど $n$ の系で上限をとるが、後述の GS24 の定理により値は同じである。Hilbert の第 16 問題の後半は、$H(n)$ を求めよ、少なくとも $H(n)<\infty$ か、という問題である（BN24 p. 1）。
Poincaré–Bendixsonの定理 では、極限周期軌道を「$\Gamma$ 上にない点の $\omega$ 極限集合または $\alpha$ 極限集合になる周期軌道」と定義している。多項式ベクトル場では、この 2 つの定義は一致する。
平面多項式ベクトル場の周期軌道 $\Gamma$ について、次は同値である。
- $\Gamma$ の近傍で $\Gamma$ 以外に周期軌道がない。
- $\Gamma$ 上にない点 $x$ で、$\omega(x)=\Gamma$ または $\alpha(x)=\Gamma$ となるものがある。
$\Gamma$ の 1 点を通りベクトル場に横断的な線分をとり、その上の座標 $s$ で $\Gamma$ との交点を $s=0$ とする。十分小さい $s$ について、$s$ から出た軌道が線分に最初に戻る点 $R(s)$ が定まる。軌道は交わらないので $R$ は狭義単調増加であり、多項式ベクトル場の流れは解析的なので $R$ は解析的である（Spe18 p. 5）。$\Gamma$ の近くの周期軌道は線分を $R$ の周期点で横切るが、$R$ は単調増加なので、周期点は不動点である。
1 から 2：$R(s)\ne s$（$s\ne0$ が小さい）である。$s>0$ を小さくとる。$R(s)< s$ なら、$R^k(s)$ は単調減少で $R$ の不動点に収束し、その極限は $0$ である。よって $s$ の点の $\omega$ 極限集合は $\Gamma$ である。$R(s)>s$ なら、$R$ の代わりに逆写像を使って $\alpha$ 極限集合が $\Gamma$ になる。
2 から 1：$R(s)-s$ は解析的なので、恒等的に $0$ か、$s=0$ が孤立した零点である。恒等的に $0$ なら、$\Gamma$ の近くの軌道はすべて周期軌道である。すると、$\Gamma$ に近づく $x$ の軌道は $\Gamma$ と異なる周期軌道になり、その $\omega$・$\alpha$ 極限集合はその周期軌道自身で、$\Gamma$ ではない。これは矛盾である。よって $s=0$ は孤立した零点で、1 が成り立つ。$\square$
直感
Hilbert が 2 つの問題を 1 つにまとめたのは、どちらも「係数を連続的に動かしたときの位相の変化」を追う問題と見たからである。曲線 $F=0$ の係数を動かすと、特異点を通るときに卵形線が生まれたり融合したりする。ベクトル場の係数を動かすと、中心のまわりの周期軌道の族がほどけて、極限周期軌道が残る。
しかし難しさは異なる。前半の対象は代数的である。成分の個数や直線との交点の個数は Bézout の定理などで上から抑えられ、さらに 4 次元多様体の位相という強力な道具が使えた。後半の極限周期軌道は微分方程式の解であり、次数を決めても一般には代数的な式で書けない。局所的には解析的な回帰写像の不動点として扱えるが、$\pi(X)$ を次数だけで抑える手段がない。
前半：実代数曲線の配置
実係数の次数 $d$ の滑らかな射影平面曲線 $C$ の実点の集合 $C(\mathbb{R})\subset\mathbb{RP}^2$ は、有限個の円周の和である。各成分は卵形線（円板の境界になる成分）か擬直線であり、次数が偶数なら卵形線だけ、奇数なら擬直線がちょうど 1 本ある。成分の個数は $\frac{(d-1)(d-2)}2+1$ 以下である（以上は Harnackの曲線定理）。
卵形線 $O$ の内部とは、$O$ を境界とする開円板のことであり、補集合のもう一方の成分（Möbius の帯）を外部という。互いに交わらない 2 つの卵形線の内部は、片方がもう片方に含まれるか、交わらないかのどちらかである（$O$ の外部の閉包である Möbius の帯は円板に含まれないため）。卵形線 $O'$ が $O$ の内部にあるとき、$O$ は $O'$ を含むという。卵形線の列 $O_1,\dots,O_k$ で、各 $O_{i+1}$ が $O_i$ の内部にあるものを、深さ $k$ の入れ子という。
次数 $d\ge2$ の滑らかな実平面曲線の卵形線が深さ $k$ の入れ子をなすなら、$2k\le d$ である。
$O_i$ の内部を $D_i$ とする。$p\in D_k$ と、閉円板 $\overline{D_1}$ の外の点 $q$ をとる。$p,q$ を通る実直線 $L$ は $\mathbb{RP}^2$ の中の円周であり、$p,q$ で 2 つの弧に分かれる。どちらの弧も $D_i$ の中の点 $p$ と外の点 $q$ を結ぶので、$O_i$ と交わる。卵形線は互いに交わらないので、$L$ と $C$ の実の交点は $2k$ 個以上ある。$d\ge2$ の滑らかな曲線は既約なので、$L$ は $C$ の成分ではない。Bézoutの定理 より $2k\le d$ である。$\square$
滑らかな実 4 次曲線の実点の集合は、次のどれかである：空、互いに外にある $1,2,3,4$ 個の卵形線、$2$ 個の入れ子の卵形線。
次数が偶数なので成分はすべて卵形線で、個数は $4$ 以下である。prop-h16-nest より入れ子の深さは $2$ 以下である。入れ子がないなら、$0$ 個から $4$ 個の互いに外にある卵形線である。
$O_2$ が $O_1$ の内部にあるとし、これらと異なる卵形線 $O_3$ があると仮定して矛盾を導く。$O_i$ の内部を $D_i$ とする。深さが $2$ 以下なので、$D_2$ と $D_3$ の間に包含はなく、$D_2$ と $D_3$ は交わらない。また $O_1$ は $O_3$ の内部にない。$p\in D_2$、$q\in D_3$ をとり、$p,q$ を通る実直線を $L$ とする。prf-h16-nest と同様に、$L$ は $O_2$ とも $O_3$ とも $2$ 点以上で交わる。
$L$ は $O_1$ とも $2$ 点以上で交わる。実際、$O_3$ が $D_1$ の外にあるなら、$p$ は $D_1$ の中、$q$ は外である。$O_3$ が $D_1$ の中にあるときは、$L$ は $\mathbb{RP}^2$ の中で可縮でないので閉円板 $\overline{D_1}$ に含まれず、$L$ は $\overline{D_1}$ の外の点 $s$ を通る。$p$ と $s$ を結ぶ $L$ の 2 つの弧が $O_1$ と交わる。
交点は $6$ 個以上となり、$L$ は既約な 4 次曲線の成分ではないので、Bézoutの定理 に反する。$\square$
6 通りすべてが実際に現れる。これは Zeuthen の古典的な結果である（PSV11 Theorem 1.7 と Table 1, pp. 2–3。実現の証明はこの記事では行わない）。
6 次曲線と Hilbert の主張
次数 $6$ のとき、Harnack の上界は $11$ である。$11$ 個の卵形線をもつ曲線について、Hilbert は次のように述べた。すべての枝が互いの外にあることはなく、1 つの枝があって、その内部に $1$ 個で外部に $9$ 個の枝があるか、または逆である（Hil02 p. 465）。
Hilbert のこの主張は正しくなかった。Gudkov は 1960 年代末に Hilbert の予想の 1 つを否定し、訂正した形を次数 $6$ で証明した（DK00 §1, p. 2）。$11$ 個の卵形線をもつ 6 次曲線の位相型はちょうど 3 種類である（Kai17 p. 2）。ある卵形線 $O$ の内部にある卵形線の個数と外部にある個数を組で書くと、次のとおりである。
| $O$ の内部の個数 | $O$ の外部の個数 | Hilbert の主張 |
|---|---|---|
| $9$ | $1$ | 主張に含まれる |
| $1$ | $9$ | 主張に含まれる |
| $5$ | $5$ | 主張に含まれない（Hilbert の主張への反例になる） |
次数 $6$ の滑らかな曲線の全体の分類は Rokhlin と Nikulin の形で知られており、位相型は全部で $56$ 種類ある。卵形線の個数ごとの内訳は次のとおりである（Kai17 Theorem 1.1 と Table 1, pp. 1–2）。
| 卵形線の個数 | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ | $11$ | 計 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 位相型の個数 | $1$ | $1$ | $2$ | $4$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $6$ | $3$ | $56$ |
Gudkov の予想は、3 種類の型に共通する性質を一般の次数へ延ばしたものである。卵形線で、偶数個の卵形線の内部にあるものを偶、奇数個の内部にあるものを奇といい、それぞれの個数を $p,n$ と書く。
次数 $2k$ の滑らかな実平面曲線で、成分の個数が Harnack の上界に達するものについて
$$
p-n\equiv k^2\pmod8
$$
である（DK00 §1, p. 2）。
この定理はこの記事では証明しない。Arnold が実平面曲線を 4 次元多様体の位相と整数係数の 2 次形式の算術に結びつけて $4$ を法とする弱い形を証明し、そのあと Rokhlin が $8$ を法とする形を証明した（DK00 §1, p. 2）。
$k=3$ なので $p-n\equiv9\equiv1\pmod8$ でなければならない。上の表の 3 種類では、$O$ の内部の卵形線は奇で、$O$ と外部の卵形線は偶である。
| $O$ の内部の個数 | $O$ の外部の個数 | $p$ | $n$ | $p-n$ |
|---|---|---|---|---|
| $9$ | $1$ | $2$ | $9$ | $-7$ |
| $1$ | $9$ | $10$ | $1$ | $9$ |
| $5$ | $5$ | $6$ | $5$ | $1$ |
どれも $8$ を法として $1$ である。一方、$11$ 個の卵形線がすべて互いの外にあれば $p-n=11\equiv3$ であり、合同式に反する。これは Hilbert の主張の前半（「すべての枝が互いの外にあることはない」）の別証明になっている。
曲線の位相型の分類は次数 $7$ まで解かれている（Kai17 p. 1）。Rokhlin の複素向きの公式は、Hilbert が 6 次曲線の 11 個の卵形線について述べた予想のうち 2 つを解決する（DK00 §1, pp. 2–3）。曲面についての問いも問題の一部で、Hilbert は 4 次曲面の枚数の最大値さえ知られていないと述べている（Hil02 p. 465）。
後半：極限周期軌道の個数
小さい次数と下界
$H(1)=0$ である。すなわち、$\dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}+\mathbf{b}$（$A$ は実 $2\times2$ 行列）に周期軌道があれば、ただ 1 つの平衡点を除く平面のすべての点が周期軌道の上にある。とくに、周期軌道は孤立しない。
$\mathbf{u}(t)$ を定数でない周期解とする。$\mathbf{v}:=\dot{\mathbf{u}}$ は $\dot{\mathbf{v}}=A\mathbf{v}$ の周期解であり、恒等的に $0$ ではない。$\mathbf{v}$ が定数なら $\mathbf{u}$ は 1 次関数で、周期的でないので、$\mathbf{v}$ は定数でない。
$A$ の固有値が実数なら、$\dot{\mathbf{v}}=A\mathbf{v}$ の解の各成分は $e^{\lambda t}$ と $te^{\lambda t}$ の 1 次結合で、周期的なのは定数だけである。よって固有値は $\alpha\pm i\omega$（$\omega\ne0$）である。解は $e^{\alpha t}$ に周期関数を掛けたものなので、周期解があるなら $\alpha=0$ である。すると $A$ は可逆で、$\mathbf{x}_0:=-A^{-1}\mathbf{b}$ は平衡点であり、一般の解は $\mathbf{x}_0+e^{tA}(\mathbf{x}(0)-\mathbf{x}_0)$ である。$e^{tA}$ は周期 $2\pi/\omega$ をもつので、$\mathbf{x}_0$ 以外の点を通る解はすべて周期的である。$\square$
$k\ge1$ について $H(2k+1)\ge k$ である。
$f(s):=\prod_{j=1}^k(s-j)$ とおき、
$$
\dot x=-y+xf(x^2+y^2),\qquad\dot y=x+yf(x^2+y^2)
$$
を考える。次数は $2k+1$ である。極座標では $\dot r=rf(r^2)$、$\dot\theta=1$ となる。$r$ の方程式は自励的な 1 階の方程式なので、$r(t)$ は単調である。したがって周期解では $r$ は定数であり、$r>0$ なら $f(r^2)=0$ である。周期軌道はちょうど $k$ 個の円 $r=\sqrt j$（$1\le j\le k$）で、どれも孤立している。$\square$
次数 $2$ でも、代数曲線を軌道にもつ例が簡単に作れる。
$a\ne0$、$0<|c|<1$ とし、$G:=x^2+y^2-1$ として
$$
\dot x=-y(1+cx)+aG,\qquad\dot y=x(1+cx)
$$
を考える。単位円 $\Gamma$ は極限周期軌道である。実際、計算すると $\dot G=2axG$ なので、$\Gamma=\{G=0\}$ は不変である。$\Gamma$ 上で $x=\cos\theta$、$y=\sin\theta$ とすると $\dot\theta=1+c\cos\theta>0$ なので、$\Gamma$ は周期軌道である。どの軌道に沿っても、$G$ の値は時刻 $t_1$ から $t_2$ までに $\exp\bigl(\int_{t_1}^{t_2}2ax\,dt\bigr)$ 倍される。$\Gamma$ の 1 周では
$$
\int2ax\,dt=2a\int_0^{2\pi}\frac{\cos\theta}{1+c\cos\theta}\,d\theta=\frac{4\pi a}{c}\Bigl(1-\frac1{\sqrt{1-c^2}}\Bigr)\ne0
$$
である。$\Gamma$ の近くの点から出た軌道が半直線 $\theta=0$ に戻るまでの指数は、連続性からこの値に近く、$0$ でない。半直線の上で $G$ は座標なので、$G\ne0$ の点は元の点に戻らない。よって $\Gamma$ の近くに他の周期軌道はない。とくに $H(2)\ge1$ である。
実際には、これらよりはるかに多くの極限周期軌道が作られている。知られている最良の下界は次のとおりで（GS25 Table 1, p. 2）、次数 $2$ は Chen–Wang と Shi、次数 $3$ は Li–Liu–Yang、次数 $4$ 以上は Prohens–Torregrosa による。
| $n$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $H(n)$ の下界 | $4$ | $13$ | $28$ | $37$ | $53$ | $74$ | $96$ | $120$ | $142$ |
増大の速さについては、Christopher と Lloyd が $H(n)$ は少なくとも $n^2\log n$ の速さで増えることを示し、Han と Li が
$$
\liminf_{n\to\infty}\frac{H(n)}{(n+2)^2\log(n+2)}\ge\frac1{2\log2}
$$
と精密化した（BN24 p. 1）。したがって、$H(n)$ を $n$ の 2 次式で上から抑えることはできない（同）。また、$H(n+1)\ge H(n)+1$ が知られている（GS24 Theorem 1, p. 1）。これらの結果はこの記事では証明しない。prop-h16-lower は、最も単純な構成では 1 次の下界しか得られないことを示している。
個々の系の有限性：Dulac の問題
$H(n)<\infty$ より弱い問いとして、個々の多項式ベクトル場の極限周期軌道が有限個かどうかが問題になる。この問いの経緯は長い（Spe18 pp. 4–5 による）。
| 年 | 出来事 |
|---|---|
| 1923 | Dulac が、どの多項式ベクトル場の極限周期軌道も有限個であることを証明したと発表した。ただしこれから $H(n)$ の存在は分からない |
| 1955–57 | Petrovskii と Landis が第 16 問題の解を発表した。そこから $H(2)=3$ が従うはずだった |
| 1963 | Ilyashenko と Novikov が最初の反例を与え、その証明は誤りと分かった |
| 1979–80 | Chen、Wang、Shi が極限周期軌道を $4$ 個もつ 2 次の系を与えた。とくに $H(2)\ge4$ である |
| 1981 | Ilyashenko が Dulac の証明の見落とされていた穴を発見した |
| 1991–92 | Écalle と Ilyashenko が独立に、その穴を埋める論文を発表した |
Dulac の議論。 平面を球面へコンパクト化する。極限周期軌道が無限個あるとすると、それらは平衡点、周期軌道、または平衡点とそれを結ぶ軌道からなる閉じた図形に集積する。周期軌道への集積は回帰写像の解析性で除外できる（Spe18 p. 5）。残りの場合はブローアップによって、平衡点が簡単な形の多重閉路（polycycle）の場合に帰着する。Dulac は、多重閉路の回帰写像が漸近展開をもつことを示した。しかし、回帰写像が恒等写像であることを、漸近展開が自明であることから導いた。ここに穴があった（Yeu24 pp. 1–2）。実際、$x>0$ で定義された関数 $e^{-1/x}$ は $0$ でないが、$x\to0$ での冪の漸近展開はすべての係数が $0$ である。
現在の状況についての注意。 穴を埋める 2 つの証明は、どちらも Dulac の論文よりはるかに長い（Spe18 p. 4）。Yeung は 2024 年のプレプリントで、Ilyashenko の 1991 年の方法には穴があるという根拠を示し、明示的な反例と、結果を保てる範囲の限定を与えている（Yeu24 p. 1）。一方、すべての平衡点が双曲型である多重閉路の場合は Ilyashenko が示しており、Yeung はこの結果には疑問が出ていないと述べている（同 p. 2）。Écalle の証明については、疑問は出ていないが、詳しく読める形の証明が待たれると述べている（同 p. 5）。この記事では Dulac の有限性を証明せず、経緯だけを文献の記述に沿って述べる。
いずれにせよ、この有限性から $H(n)<\infty$ は従わない。$H(2)$ が有限かどうかさえ、2025 年の時点の文献で未知とされている（GS25 p. 2）。
摂動と Abel 積分
Hilbert の方法の精神に沿って、周期軌道の族をもつ系を少し動かしたときの極限周期軌道を調べる問題がある。
$H\in\mathbb{R}[x,y]$ とする。Hamilton 系 $\dot x=H_y$、$\dot y=-H_x$ の等高線 $\{H=h\}$ のコンパクトな成分で $\nabla H\ne0$ であるものの族 $\Gamma_h$（$h$ は開区間 $J$ を動き、$\Gamma_h$ は $h$ に連続に依存する）は、周期軌道の族である。これを
$$
\dot x=H_y+\varepsilon P,\qquad\dot y=-H_x+\varepsilon Q
$$
と摂動する（$P,Q$ は多項式）。Hamilton 系の向きをつけた $\Gamma_h$ に対し、
$$
I(h):=\oint_{\Gamma_h}(Q\,dx-P\,dy)
$$
とおく。これは多項式の 1 次微分形式の代数曲線上の積分で、Abel 積分と呼ばれる。
$h_0\in J$ で $I(h_0)=0$、$I'(h_0)\ne0$ なら、十分小さい $\varepsilon\ne0$ について、$\Gamma_{h_0}$ の近くに摂動された系の極限周期軌道がちょうど 1 つある。
$\Gamma_{h_0}$ の 1 点から $\nabla H$ の向きに短い線分をとると、ベクトル場に横断的で、$H$ の値 $h$ を座標にできる。$\varepsilon$ の系の、$h$ から出た軌道の回帰点での $H$ の値を $R(h,\varepsilon)$ とする。$R$ は滑らかで $R(h,0)=h$ である。軌道に沿って $\dot H=H_x\dot x+H_y\dot y=\varepsilon(H_xP+H_yQ)$ なので、
$$
R(h,\varepsilon)-h=\varepsilon\int(H_xP+H_yQ)\,dt
$$
で、積分は $\varepsilon$ の系の軌道に沿う。$\varepsilon\to0$ で軌道は $\Gamma_h$ に収束し、$\Gamma_h$ 上では $dx=H_y\,dt$、$dy=-H_x\,dt$ なので、積分は $I(h)$ に収束する。
$E(h,\varepsilon):=(R(h,\varepsilon)-h)/\varepsilon$（$\varepsilon\ne0$）、$E(h,0):=I(h)$ とおくと、$R-h$ は滑らかで $\varepsilon=0$ で $0$ なので、$E$ は滑らかである。$E(h_0,0)=0$、$\partial_hE(h_0,0)=I'(h_0)\ne0$ なので、陰関数定理 により、小さい $\varepsilon$ について $h_0$ の近くの $E(h,\varepsilon)=0$ の解は $h(\varepsilon)$ だけである。$\varepsilon\ne0$ では $E=0$ と $R(h,\varepsilon)=h$ は同値である。$R(\cdot,\varepsilon)$ は単調増加なので、$\Gamma_{h_0}$ の近くの周期軌道は線分を $R(\cdot,\varepsilon)$ の不動点で横切る。よって周期軌道はこの 1 つだけで、孤立している。$\square$
たとえば $H=\frac12(x^2+y^2)$、$P=xf(x^2+y^2)$、$Q=yf(x^2+y^2)$ なら、$r=\sqrt{2h}$ として $I(h)=2\pi r^2f(r^2)$ である。$f$ の単純な正の零点が極限周期軌道を与え、回転の向きを除いて prop-h16-lower の系と同じ形の例になる。
問題は、$I$ の零点の個数を次数だけで抑えることである。これを無限小の第 16 問題という。弱められた第 16 問題、接線の第 16 問題とも呼ばれる（BNY10 §1, p. 2）。Khovanskii と Varchenko は 1984 年に、零点の個数が次数ごとに一様に有界であることを示した（同 §1.4, p. 8）。Binyamini–Novikov–Yakovenko は明示的な上界を与えた。
$\deg H\le n+1$、$\deg P,\deg Q\le n$ の非保存的な摂動（$I$ が恒等的に $0$ でないもの）で、$H$ の滑らかなコンパクトな等高線の全体から生じる極限周期軌道の総数は、$2^{2^{\mathrm{Poly}(n)}}$ 以下である。ここで $\mathrm{Poly}(n)=O(n^p)$ は明示的な多項式の増大の項で、$p\le61$ である（BNY10 Theorem 1, p. 4）。
この定理はこの記事では証明しない。この定理は $H(n)$ の上界ではない。特異点を含む等高線から生じる極限周期軌道や、$I\equiv0$ となる摂動は扱われておらず（同 pp. 5, 7）、$\varepsilon$ が小さくない系についても何も言わない。
反例：条件を外すと
次の表は、後半の定義と主張の条件を 1 つずつ外した例である。
| 外す条件 | 例 | 破れること |
|---|---|---|
| ベクトル場が多項式 | $\dot x=-y+x\sin(x^2+y^2)$、$\dot y=x+y\sin(x^2+y^2)$ | 極限周期軌道が有限個であること |
| 周期軌道が孤立 | $\dot x=-y$、$\dot y=x$ | 周期軌道が有限個であること。極限周期軌道は $0$ 個 |
| 次数を固定 | prop-h16-lower の系 | 次数によらない一様な上界 |
1 行目：係数は解析的だが多項式でない。prf-h16-lower と同じ計算で $\dot r=r\sin r^2$ となり、円 $r=\sqrt{j\pi}$（$j\ge1$）が無限個の極限周期軌道である。これらは無限遠にしか集積しない。2 行目はすべての円が周期軌道で、どれも孤立していない。Hilbert の問題は多項式という有限次元の族の上の一様性を問うものであり、$\pi(X)$ の有限性とは別の問題である。
関連項目
- 前提: Poincaré–Bendixsonの定理, Harnackの曲線定理, Bézoutの定理, 陰関数定理
- 道具: Hamiltonベクトル場, 線形常微分方程式, ブローアップ
- 関連: 力学系, Rokhlinの定理, o-極小構造
- 同じ系列: Hilbertの第3問題, Hilbertの第10問題, Hilbertの第12問題, Hilbertの第14問題, Hilbertの第17問題
参考文献
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