Moreraの定理

正則性は各点の近くで決まる性質なので、$U$ に含まれる開円板 $B=B(c,r)$ の上で $f$ が正則であることを示せばよい。
$z\in B$ について $F(z):=\int_{[c,z]}f(\zeta)\,d\zeta$ とおく。$z\in B$ と、$z+h\in B$ となる $h\ne0$ をとる。$B$ は凸なので三角形 $[c,z,z+h]$ は $B$ に含まれ、したがって $U$ に含まれる。仮定により
$$ 0=\int_{[c,z]}f\,d\zeta+\int_{[z,z+h]}f\,d\zeta+\int_{[z+h,c]}f\,d\zeta=F(z)+\int_{[z,z+h]}f\,d\zeta-F(z+h) $$
である（$[z+h,c]$ に沿う積分は $[c,z+h]$ に沿う積分の符号を変えたもの）。$\int_{[z,z+h]}d\zeta=h$ なので
$$ \frac{F(z+h)-F(z)}h-f(z)=\frac1h\int_{[z,z+h]}\bigl(f(\zeta)-f(z)\bigr)\,d\zeta $$
であり、線分の長さは $|h|$ だから、右辺の絶対値は $\sup_{\zeta\in[z,z+h]}|f(\zeta)-f(z)|$ 以下である。$f$ は $z$ で連続なので、これは $h\to0$ で $0$ に近づく。よって $F$ は $B$ の各点で複素微分可能で $F'=f$、すなわち $F$ は $B$ の上の正則関数である。
正則関数の導関数は正則である（Cauchyの積分公式 の定理「導関数の積分表示」）。したがって $f=F'$ は $B$ の上で正則である。$\square$

正則なら三角形の条件が成り立つことは Goursatの定理 の定理「Goursat の定理」である。逆は thm-mor-main である。$\square$

三角形 $\Delta\subset U$ の周 $\partial\Delta$ は $U$ の中の区分的に滑らかな閉曲線なので、仮定から三角形の条件が成り立つ。thm-mor-main により $f$ は正則である。$\square$

$U$ に含まれる開円板 $B=B(c,r)$ の上で示せばよい。$c=a+ib$、$z=x+iy\in B$ と書き、$c$ から $z$ への 2 本の折れ線を考える。$\sigma_z$ は $c$ から $x+ib$ へ水平に進み、そこから $z$ へ垂直に進む。$\tau_z$ は $c$ から $a+iy$ へ垂直に進み、そこから $z$ へ水平に進む。2 本の折れ線は $c$ と $z$ を向かい合う頂点とする長方形の周をなし、その長方形の点の $c$ からの距離は $|z-c|$ 以下なので、長方形は $B$ に含まれる。仮定により $\int_{\sigma_z}f\,d\zeta=\int_{\tau_z}f\,d\zeta$ であり、これを $F(z)$ とおく（$x=a$ または $y=b$ なら 2 本は同じ線分なので、等式は明らかである）。
$\sigma_z$ で書くと
$$ F(x+iy)=\int_a^xf(s+ib)\,ds+i\int_b^yf(x+it)\,dt $$
であり、微積分学の基本定理と $f$ の連続性により $\dfrac{\partial F}{\partial y}(z)=if(z)$ である。$\tau_z$ で書くと
$$ F(x+iy)=i\int_b^yf(a+it)\,dt+\int_a^xf(s+iy)\,ds $$
であり、同様に $\dfrac{\partial F}{\partial x}(z)=f(z)$ である。2 つの偏導関数はどちらも $B$ の上で連続なので、$F$ の実部と虚部は $C^1$ 級、とくに全微分可能である。さらに $\dfrac{\partial F}{\partial y}=i\dfrac{\partial F}{\partial x}$ は、実部と虚部に分けると Cauchy–Riemann の方程式そのものである。正則関数 の定理「Cauchy–Riemann の方程式」により $F$ は $B$ の各点で複素微分可能で、$F'=\partial F/\partial x=f$ である。後は prf-mor-main の最後の段落と同じく、$f=F'$ は正則である。$\square$

連続関数の一様極限は連続なので、$f$ は各点の近傍で連続、したがって $U$ の上で連続である。三角形 $\Delta\subset U$ をとる。周 $\partial\Delta$ はコンパクトなので、一様収束する近傍の有限個で覆え、$\partial\Delta$ の上で $f_n\to f$ は一様である。線積分の評価により
$$ \Bigl|\oint_{\partial\Delta}f\,dz-\oint_{\partial\Delta}f_n\,dz\Bigr|\le\sup_{\partial\Delta}|f-f_n|\cdot L(\partial\Delta)\to0 $$
であり、各 $f_n$ について Goursatの定理 の定理「Goursat の定理」により $\oint_{\partial\Delta}f_n\,dz=0$ である。よって $\oint_{\partial\Delta}f\,dz=0$ で、thm-mor-main により $f$ は正則である。$\square$

連続性。$z_0\in U$ と、閉円板 $K:=\{|z-z_0|\le\rho\}\subset U$ をとる。$\varphi$ はコンパクト集合 $K\times[\alpha,\beta]$ の上で一様連続なので、任意の $\varepsilon>0$ に対して $\delta\in(0,\rho]$ があり、$|z-z_0|< \delta$ ならすべての $t$ で $|\varphi(z,t)-\varphi(z_0,t)|< \varepsilon$ となる。このとき $|\Phi(z)-\Phi(z_0)|\le(\beta-\alpha)\varepsilon$ である。
三角形の条件。三角形 $\Delta=[p_0,p_1,p_2]\subset U$ をとり、$p_3:=p_0$ とおく。辺 $[p_k,p_{k+1}]$ を $s\mapsto p_k+s(p_{k+1}-p_k)$ で表すと
$$ \oint_{\partial\Delta}\Phi\,dz=\sum_{k=0}^2\int_0^1\!\!\int_\alpha^\beta\varphi\bigl(p_k+s(p_{k+1}-p_k),t\bigr)(p_{k+1}-p_k)\,dt\,ds $$
である。被積分関数は長方形 $[0,1]\times[\alpha,\beta]$ の上で連続なので、積分の順序を入れ替えてよい（Fubiniの定理）。入れ替えると右辺は $\int_\alpha^\beta\bigl(\oint_{\partial\Delta}\varphi(z,t)\,dz\bigr)dt$ になり、各 $t$ で内側の積分は Goursatの定理 の定理「Goursat の定理」により $0$ である。thm-mor-main により $\Phi$ は正則である。$\square$

1：Goursatの定理 の定理「例外点を 1 つ許す Goursat の定理」の最後の主張により、$U$ に含まれるすべての三角形の周に沿う積分は $0$ である（$p$ が周の上にあってもよい）。thm-mor-main により $f$ は正則である。
2：$\ell=\{a+tv\mid t\in\mathbb{R}\}$（$v\ne0$）とし、$\psi(w):=a+vw$ とおく。$g:=f\circ\psi$ は開集合 $\psi^{-1}(U)$ の上で連続で、実軸の外で正則である。実軸の外で正則な連続関数は正則である（Schwarzの鏡像原理 の補題「実軸の外で正則な連続関数」。三角形を実軸で上下に切り、それぞれを実軸から少し平行移動して Goursat の定理を使い、連続性で極限をとる）。よって $g$ は正則で、$f=g\circ\psi^{-1}$ も正則である。$\square$