平行線と線分の比

同義語：intercept theorem

概要

前提知識: 三角形の相似条件, 三角形の面積比, 位置ベクトルと内分点, 実数とは何か：無理数の証明

高校での出発点：平行線は比を運ぶ

中学校で「三角形の 1 辺に平行な直線は、他の 2 辺を同じ比に分ける」「平行な 3 本の直線は、2 本の直線から同じ比の線分を切り取る」と習う。これが 平行線と線分の比 である。英語では intercept theorem と呼ばれ、Thales の名を付けて呼ぶこともある。平行線が、一方の直線の上の比を、もう一方の直線の上へそのまま運ぶ、という定理である。まず具体的な図形で確かめる。

三角形の辺に平行な直線

$A(0,0)$、$B(6,0)$、$C(2,6)$ の三角形 $ABC$ で、辺 $AB$ の上に $P(2,0)$ をとり、$P$ を通って辺 $BC$ に平行な直線が辺 $AC$ と交わる点を $Q$ とする。
$\overrightarrow{BC}=(-4,6)$ なので、$P$ を通り $BC$ に平行な直線の点は $(2-4s,\ 6s)$ と書ける。辺 $AC$ の点は $(2t,\ 6t)$ と書ける。等しいとおくと $6s=6t$ から $s=t$、$2-4t=2t$ から $t=\dfrac13$ で、$Q\left(\dfrac23,\ 2\right)$ である。
(1) $AP=2$、$AB=6$ なので $\dfrac{AP}{AB}=\dfrac13$ である。$Q$ は $A$ から $C$ へ $t=\dfrac13$ だけ進んだ点なので $\dfrac{AQ}{AC}=\dfrac13$ である。$\overrightarrow{PQ}=\left(-\dfrac43,\ 2\right)=\dfrac13(-4,6)=\dfrac13\overrightarrow{BC}$ なので $\dfrac{PQ}{BC}=\dfrac13$ である。3 つの比がすべて $\dfrac13$ に等しい。
(2) $AP:PB=2:4=1:2$ で、$AQ:QC=\dfrac13:\dfrac23=1:2$ である。辺 $AB$ を分ける比が、辺 $AC$ にそのまま移っている。

3 本の平行線

3 本の平行な直線 $\ell_1\colon y=0$、$\ell_2\colon y=2$、$\ell_3\colon y=5$ を、2 本の直線 $m\colon x=0$ と $n\colon$「$(1,0)$ と $(4,5)$ を通る直線」で切る。
(1) $m$ との交点は $A(0,0)$、$B(0,2)$、$C(0,5)$ で、$AB=2$、$BC=3$ である。
(2) $n$ の点は $\left(1+\dfrac35y,\ y\right)$ と書けるので、交点は $A'(1,0)$、$B'\left(\dfrac{11}5,2\right)$、$C'(4,5)$ である。
$$ A'B'=\sqrt{\left(\frac65\right)^2+2^2}=\frac{\sqrt{136}}5=\frac{2\sqrt{34}}5,\qquad B'C'=\sqrt{\left(\frac95\right)^2+3^2}=\frac{\sqrt{306}}5=\frac{3\sqrt{34}}5 $$
で、$A'B':B'C'=2:3$ である。$m$ の上の比 $AB:BC=2:3$ と等しい。長さそのものは変わったが、比は変わらない（図 1 の右）。

2 つの例で、平行線が比を運んだ。この記事で答える問いは次の 4 つである。

比はなぜ運ばれるのか。証明は何通りあり、それぞれ何を使っているのか。→ thm-itc-main、prf-itc-homothety、prf-itc-vector、prf-itc-area
逆（比が等しければ平行か）はいつ成り立つのか。→ thm-itc-converse、ex-itc-cx-length、ex-itc-cx-side
比が無理数のとき、「比が等しい」とはどういう意味で、どう証明するのか。→ thm-itc-real

大学数学では、この定理は何の土台なのか。→ rem-itc-eudoxus、rem-itc-hilbert

高校の言葉	この記事の言葉	大学の言葉
平行線で比が移る	平行射影は比を保つ（thm-itc-main）	直線から直線への平行射影は 1 次元のアフィン写像
等分点を平行線で移す	等しい刻みは等しい刻みに移る（lem-itc-steps）	合同と平行だけで有理数の比が移る
比が無理数でも成り立つ	有理数との大小がすべて一致する（thm-itc-real）	Eudoxus の比例論、Dedekind 切断
線分の長さをかけ算する作図	平行線で積を作る（ex-itc-product）	Hilbert の線分の算術、幾何から体を作る

定理とその証明

三角形の形

以下、三角形 $ABC$ を 1 つ固定する。

平行線と線分の比

三角形 $ABC$ で、点 $P$ が直線 $AB$ の上に、点 $Q$ が直線 $AC$ の上にあり、$P\ne A$、$Q\ne A$、$P\ne B$ で、$PQ\parallel BC$ とする。このとき次が成り立つ。

$\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{AQ}{AC}=\dfrac{PQ}{BC}$ である。
$P$ が線分 $AB$ の上（端点を除く）にあれば、$Q$ も線分 $AC$ の上（端点を除く）にあり、$AP:PB=AQ:QC$ である。

左は、三角形 ABC の辺 BC に平行な線分 PQ が、辺 AB と AC を同じ比 1:2 に分けることを見る図。右は、3 本の平行線 l1, l2, l3 が 2 本の直線から比 2:3 の線分を切り取ることを見る図
証明を 3 つ書く。1 つ目は三角形の相似条件の相似拡大を使う。2 つ目は位置ベクトルの計算で、最も短い。3 つ目は Euclid『原論』の面積による証明で、相似も座標も使わない。3 つを比べると、この定理の「土台」がどこにあるかが見えてくる。

相似拡大で示す（$P$ が半直線 $AB$ の上にある場合）

要点：$k=\dfrac{AP}{AB}$ とし、$A$ を中心とする比 $k$ の相似拡大で $B$ を $P$ に移すと、$C$ は直線 $AC$ の上の点 $C^*$ に移り、$\overrightarrow{PC^*}=k\,\overrightarrow{BC}$ なので $C^*=Q$ になる。相似拡大は長さをすべて $k$ 倍するので、3 つの比がすべて $k$ になる。ここでは $P$ が半直線 $AB$ の上（$A$ から見て $B$ の側）にある場合を示す。$P$ が反対側にある場合は、比が負の相似拡大（Euler線）を使えば同じように示せるが、次の prf-itc-vector がすべての場合をまとめて示す。

詳しい証明を開く

段 1（相似拡大）．$k=\dfrac{AP}{AB}>0$ とし、$A$ を中心とする比 $k$ の相似拡大で $B\mapsto B^*$、$C\mapsto C^*$ とする。$\overrightarrow{AB^*}=k\,\overrightarrow{AB}$ で、$P$ は半直線 $AB$ の上にあって $AP=k\cdot AB$ なので、$B^*=P$ である。$C^*$ は半直線 $AC$ の上にあり、$AC^*=k\cdot AC$ である。

段 2（$C^*=Q$）．三角形の相似条件の補題「相似拡大の性質」により、$\overrightarrow{PC^*}=\overrightarrow{B^*C^*}=k\,\overrightarrow{BC}$ である。よって直線 $PC^*$ は $P$ を通り $BC$ に平行な直線で、これは直線 $PQ$ と同じ直線である（$P$ を通り $BC$ に平行な直線はただ 1 本）。直線 $PQ$ と直線 $AC$ は平行でない（$BC$ と $AC$ は $C$ で交わるので平行でない）から、交点はただ 1 つで、それは $Q$ である。$C^*$ も両方の直線の上にあるので $C^*=Q$ である。

段 3（1 の結論）．段 1・段 2 から $AQ=AC^*=k\cdot AC$、$PQ=B^*C^*=k\cdot BC$ で、$AP=k\cdot AB$ と合わせて $\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{AQ}{AC}=\dfrac{PQ}{BC}=k$ である。

段 4（2 の結論）．$P$ が線分 $AB$ の上にあり $P\ne A,B$ なら $0< k<1$ である。$Q=C^*$ は半直線 $AC$ の上にあって $AQ=k\cdot AC< AC$ なので、線分 $AC$ の上（端点を除く）にある。よって $PB=AB-AP=(1-k)AB$、$QC=AC-AQ=(1-k)AC$ で、

$$AP:PB=k\,AB:(1-k)AB=k:(1-k)=k\,AC:(1-k)AC=AQ:QC$$

である。$\square$

位置ベクトルで示す

方針：$A$ を基準の点とし、$\vec b=\overrightarrow{AB}$、$\vec c=\overrightarrow{AC}$ とおく。$P$ と $Q$ を $\vec b$、$\vec c$ で表し、平行の条件を係数比較で読む。
段 1（$P$ と $Q$ を表す）。$P$ は直線 $AB$ の上にあるので $\overrightarrow{AP}=t\,\vec b$ となる実数 $t$ がある。$P\ne A$、$P\ne B$ なので $t\ne0$、$t\ne1$ である。同じように $\overrightarrow{AQ}=u\,\vec c$（$u\ne0$）と書ける。
段 2（平行の条件）。$PQ\parallel BC$ なので、$\overrightarrow{PQ}=s\,\overrightarrow{BC}$ となる実数 $s$ がある。$\overrightarrow{PQ}=u\,\vec c-t\,\vec b$、$\overrightarrow{BC}=\vec c-\vec b$ なので
$$ u\,\vec c-t\,\vec b=s\,\vec c-s\,\vec b $$
である。$\vec b$ と $\vec c$ は $\vec 0$ でなく平行でない（$A,B,C$ は一直線上にない）ので、係数比較（位置ベクトルと内分点の命題「平面のベクトルの分解」）により $u=s$、$t=s$ である。よって $u=t$、$\overrightarrow{PQ}=t\,\overrightarrow{BC}$ である。
段 3（1 の結論）。長さをとると $AP=\lvert t\rvert AB$、$AQ=\lvert t\rvert AC$、$PQ=\lvert t\rvert BC$ なので、3 つの比はすべて $\lvert t\rvert$ に等しい。
段 4（2 の結論）。$P$ が線分 $AB$ の上にあり端点でないことは $0< t<1$ と同じである。このとき $u=t$ なので $Q$ も線分 $AC$ の上にあり端点でない。$\overrightarrow{PB}=(1-t)\vec b$、$\overrightarrow{QC}=(1-t)\vec c$ なので $AP:PB=t:(1-t)=AQ:QC$ である。$\square$

prf-itc-vector の段 2 は、$P$ が $A$ から $B$ の方向に「$t$ だけ進んだ点」なら、$Q$ も $A$ から $C$ の方向に「同じ $t$ だけ進んだ点」だと言っている。平行線は、直線 $AB$ の上の目盛り $t$ を、直線 $AC$ の上の同じ目盛り $t$ に移す。$t<0$（$P$ が $A$ をはさんで $B$ の反対側）でも $t>1$（$P$ が $B$ の先）でも同じである。

いろいろな位置の $P$

ex-itc-start の三角形 $A(0,0)$、$B(6,0)$、$C(2,6)$ で、$P$ をいろいろな位置にとる。prf-itc-vector により $Q$ は $\overrightarrow{AQ}=t\,\overrightarrow{AC}$ の点である。
(1) $t=-\dfrac12$：$P(-3,0)$（$A$ の反対側）。$Q=-\dfrac12(2,6)=(-1,-3)$ で、$\overrightarrow{PQ}=(2,-3)=-\dfrac12(-4,6)=-\dfrac12\overrightarrow{BC}$ である。$\dfrac{AP}{AB}=\dfrac36=\dfrac12$、$\dfrac{AQ}{AC}=\dfrac{\sqrt{10}}{2\sqrt{10}}=\dfrac12$、$\dfrac{PQ}{BC}=\dfrac{\sqrt{13}}{2\sqrt{13}}=\dfrac12$ で、3 つとも等しい。
(2) $t=\dfrac32$：$P(9,0)$（$B$ の先）。$Q=\dfrac32(2,6)=(3,9)$ で、$\overrightarrow{PQ}=(-6,9)=\dfrac32(-4,6)$ である。3 つの比はすべて $\dfrac32$ である。このとき $P$ は線分 $AB$ の外にあるので、thm-itc-main の 2 の形 $AP:PB=AQ:QC$ は、$AP:PB=9:3=3:1$、$AQ:QC=\dfrac32:\dfrac12=3:1$ と外分の形で成り立っている。

3 つ目の証明は面積を使う。高さが等しい三角形の面積の比が底辺の比に等しいこと（三角形の面積比の命題「高さが等しい三角形の面積の比」）を使う。

面積で示す（Euclid の証明、2 の場合）

方針：三角形 $PBQ$ と三角形 $PCQ$ は面積が等しい（底辺 $PQ$ が共通で、$PQ\parallel BC$ だから高さが等しい）。この 2 つを、三角形 $APQ$ と比べる。
段 1（面積が等しい 2 つの三角形）。三角形 $PBQ$ と三角形 $PCQ$ は、辺 $PQ$ を共通の底辺にもつ。$BC\parallel PQ$ なので、$B$ と $C$ から直線 $PQ$ までの距離は等しい（平行な 2 直線の距離は一定）。よって $\triangle PBQ=\triangle PCQ$ である（三角形の面積を $\triangle$ で表す）。
段 2（直線 $AB$ の上で比べる）。三角形 $APQ$ と三角形 $PBQ$ は、頂点 $Q$ を共有し、底辺 $AP$、$PB$ がどちらも直線 $AB$ の上にある。$Q$ は直線 $AB$ の上にないので、面積の比は底辺の比に等しく、$\dfrac{\triangle APQ}{\triangle PBQ}=\dfrac{AP}{PB}$ である。
段 3（直線 $AC$ の上で比べる）。同じように、三角形 $APQ$ と三角形 $PCQ$ は頂点 $P$ を共有し、底辺 $AQ$、$QC$ がどちらも直線 $AC$ の上にあるので、$\dfrac{\triangle APQ}{\triangle PCQ}=\dfrac{AQ}{QC}$ である。
段 4（結論）。段 1 から右辺の分母は等しいので、段 2・段 3 の左辺は等しい。よって $\dfrac{AP}{PB}=\dfrac{AQ}{QC}$ である。$\square$

この証明は Euclid『原論』第 6 巻命題 2 の証明と同じ筋道である（Joy96）。ここでは $Q$ が線分 $AC$ の上にあることを、prf-itc-vector の段 4 から借りた。

面積の証明を数で追う

ex-itc-start の $A(0,0)$、$B(6,0)$、$C(2,6)$、$P(2,0)$、$Q\left(\dfrac23,2\right)$ で、面積を計算する。
(1) 三角形 $APQ$ と三角形 $PBQ$ は、底辺が $x$ 軸の上にあり、高さはどちらも $Q$ の $y$ 座標 $2$ である。$\triangle APQ=\dfrac12\cdot AP\cdot2=\dfrac12\cdot2\cdot2=2$、$\triangle PBQ=\dfrac12\cdot PB\cdot2=\dfrac12\cdot4\cdot2=4$ である。比は $2:4=AP:PB$ である。
(2) 三角形 $PCQ$ の面積は、$\overrightarrow{PQ}=\left(-\dfrac43,2\right)$、$\overrightarrow{PC}=(0,6)$ から $\dfrac12\left\lvert\left(-\dfrac43\right)\cdot6-2\cdot0\right\rvert=4$ である（三角形の面積の公式）。$\triangle PBQ=4$ と等しい。$\triangle APQ:\triangle PCQ=2:4=1:2=AQ:QC$ である。

3 本の平行線の形

ex-itc-start-lines の形は、三角形の形から出る。

3 本の平行線が切り取る線分の比

互いに平行な 3 本の直線 $\ell_1,\ell_2,\ell_3$ が、直線 $m$ とそれぞれ $A,B,C$ で、直線 $n$ とそれぞれ $A',B',C'$ で交わるとする（$m$、$n$ は $\ell_1$ と平行でない）。$B$ は $A$ と $C$ の間にあるとする。このとき
$$ AB:BC=A'B':B'C' $$
である。

平行四辺形で移してから三角形の形を使う

要点：$A$ を通り $n$ に平行な直線 $n'$ を引くと、$n$ の上の線分 $A'B'$、$B'C'$ は平行四辺形の向かい合う辺として $n'$ の上に同じ長さで移る。移した先で、三角形 $ACC''$ に三角形の形（thm-itc-main の 1）を使う。

詳しい証明を開く

段 1（準備）．$A=A'$ なら段 2 は不要で、$B''=B'$、$C''=C'$ として段 3 に進む。以下 $A\ne A'$ とする。$A$ を通り $n$ に平行な直線 $n'$ を引き、$\ell_2$、$\ell_3$ との交点を $B''$、$C''$ とする。

段 2（平行四辺形）．四角形 $A'B'B''A$ は、$A'B'\parallel AB''$（どちらも $n$ の向き）、$AA'\parallel B''B'$（$\ell_1\parallel\ell_2$）なので平行四辺形であり、$AB''=A'B'$ である。同じように四角形 $B'C'C''B''$ も平行四辺形で、$B''C''=B'C'$ である。$n'$ の上で $B''$ は $A$ と $C''$ の間にある（$B$ が $A$ と $C$ の間にあるので、平行線はこの順に並び、それらが $n'$ と交わる点も同じ順に並ぶ）ので、$AC''=AB''+B''C''$ である。

段 3（三角形の形）．$m$ と $n'$ が同じ直線なら、$B=B''$、$C=C''$ で、段 2 からそのまま結論が出る。そうでないとき、三角形 $ACC''$ で、$B$ は直線 $AC$ の上に、$B''$ は直線 $AC''$ の上にあり、$BB''\parallel CC''$（$\ell_2\parallel\ell_3$）である。thm-itc-main の 1 により $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AB''}{AC''}$ である。$AC=AB+BC$、$AC''=AB''+B''C''$ を使って書きかえると $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AB''}{B''C''}$ となる（$\dfrac{x}{x+y}=\dfrac{x'}{x'+y'}$ の分母を払うと $xy'=x'y$）。

段 4（結論）．段 2 から $AB''=A'B'$、$B''C''=B'C'$ なので、$AB:BC=A'B':B'C'$ である。$\square$

段 3 の最後の書きかえでは、$B$ が $A$ と $C$ の間にある並びを使った。$B$ が外側にある並びでも、$AC=\lvert AB-BC\rvert$ に替えて同じように示せる。

線分を 3 等分する作図

線分 $AB$ を 3 等分する。$A(0,0)$、$B(6,3)$ とする。
(1) $A$ から、直線 $AB$ と違う向きに半直線を引き、同じ長さの目盛り $X_1(1,2)$、$X_2(2,4)$、$X_3(3,6)$ をとる（$AX_1=X_1X_2=X_2X_3=\sqrt5$）。
(2) $X_3$ と $B$ を結ぶ。$\overrightarrow{X_3B}=(3,-3)$ である。$X_1$、$X_2$ を通り $X_3B$ に平行な直線を引き、線分 $AB$ との交点を求める。$X_1$ を通る直線の点 $(1+3s,\ 2-3s)$ が直線 $AB$（$y=\dfrac x2$）の上にある条件は $2-3s=\dfrac{1+3s}2$、つまり $s=\dfrac13$ で、交点は $(2,1)$ である。$X_2$ を通る直線では $4-3s=\dfrac{2+3s}2$、$s=\dfrac23$ で、交点は $(4,2)$ である。
(3) $(2,1)$ と $(4,2)$ は線分 $AB$ を $1:1:1$ に分ける点である。三角形 $AX_3B$ に thm-itc-main の 1 を使うと、$\dfrac{AX_1}{AX_3}=\dfrac13$ から 1 つ目の交点は $A$ から $AB$ の $\dfrac13$ の点、$\dfrac{AX_2}{AX_3}=\dfrac23$ から 2 つ目の交点は $\dfrac23$ の点である。目盛りの等しい刻みが、$AB$ の上の等しい刻みに移った。

この作図は、定規とコンパスで長さの比を作る基本の道具である。長さの積と商の作図は定規とコンパスによる作図で扱う。座標の内分点の公式を平行線と線分の比から導く方法は内分点・外分点の座標にある（この記事の位置ベクトルによる証明とは向きが逆なので、続けて読むときは rem-itc-circular の注意を見てほしい）。

逆

thm-itc-main の逆は、「比が等しければ平行」である。どの比を仮定するかと、点の並び方に注意がいる。

平行線と線分の比の逆

三角形 $ABC$ で、点 $P$ が線分 $AB$ の上に、点 $Q$ が線分 $AC$ の上にあり、どちらも端点でないとする。次のどちらかが成り立てば、$PQ\parallel BC$ である。

$AP:PB=AQ:QC$。
$\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{AQ}{AC}$。

同じ目盛りの点は平行線で結ばれる

方針：1 を 2 に言いかえ、2 から $\overrightarrow{PQ}$ が $\overrightarrow{BC}$ の実数倍であることを計算する。
段 1（1 ⇒ 2）。$AP:PB=AQ:QC=m:n$（$m,n>0$）とする。$P$ は線分 $AB$ の上にあるので $AB=AP+PB$ で、$\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{m}{m+n}$ である。同じように $\dfrac{AQ}{AC}=\dfrac{m}{m+n}$ である。
段 2（2 ⇒ 平行）。$t=\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{AQ}{AC}$ とおく。$P$ は線分 $AB$ の上にあるので $\overrightarrow{AP}=t\,\overrightarrow{AB}$、$Q$ は線分 $AC$ の上にあるので $\overrightarrow{AQ}=t\,\overrightarrow{AC}$ である。よって
$$ \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AP}=t\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=t\,\overrightarrow{BC} $$
で、$t\ne0$ なので $PQ\parallel BC$ である（$P$ は直線 $BC$ の上にないので、2 直線は一致しない）。$\square$

段 2 で「$P$ は線分 $AB$ の上」「$Q$ は線分 $AC$ の上」を使ったところが要点である。長さの比だけでは $P$ や $Q$ が $A$ のどちら側にあるかは分からない。$Q$ が線分の外にあると、比が等しくても平行にならない（ex-itc-cx-side）。

逆を使って平行を判定する

ex-itc-start の三角形 $A(0,0)$、$B(6,0)$、$C(2,6)$ で、辺 $AB$ を $3:1$ に分ける点 $P\left(\dfrac92,0\right)$ と、辺 $AC$ を $3:1$ に分ける点 $Q\left(\dfrac32,\dfrac92\right)$ をとる。thm-itc-converse の 1 により $PQ\parallel BC$ である。実際 $\overrightarrow{PQ}=(-3,\ \dfrac92)=\dfrac34(-4,6)=\dfrac34\overrightarrow{BC}$ である。
同じ三角形で、辺 $AB$ を $1:1$ に分ける点 $M(3,0)$ と、辺 $AC$ を $1:2$ に分ける点 $R\left(\dfrac23,2\right)$ をとる。$\overrightarrow{MR}=\left(-\dfrac73,2\right)$ が $\lambda(-4,6)$ に等しいとすると、$x$ 成分から $\lambda=\dfrac7{12}$、$y$ 成分から $\lambda=\dfrac13$ で、両立しない。$\overrightarrow{MR}$ は $\overrightarrow{BC}$ の実数倍でないので、$MR$ と $BC$ は平行でない。比が $1:1$ と $1:2$ で違うので、平行にならない。

比が無理数のとき：座標を使わずに示す

3 つの証明は何を使ったか

3 つの証明を振り返る。prf-itc-vector は、ベクトルを実数倍する計算を使った。座標の中に、長さを実数で測る仕組みが最初から入っている。prf-itc-homothety も、相似拡大（ベクトルの $k$ 倍）を使った。prf-itc-area は相似も座標も使わないが、「面積の比は底辺の比」を使った。この命題（『原論』第 6 巻命題 1）の Euclid の証明は、第 5 巻の比の定義（後の rem-itc-eudoxus）に頼っている（Joy96）。
つまり、3 つの証明はどれも「長さの比を実数として扱ってよい」ことを、どこかで前提にしている。比が $\dfrac13$ のような分数なら、線分を等分すれば比は目で見える。しかし $AP:AB=1:\sqrt2$ のように、共通の単位で測りきれない（公約数となる長さがない）とき、「比が等しい」とは何を意味し、なぜ成り立つのか。$\sqrt2$ が分数でないことは実数とは何か：無理数の証明で示した。この節では、座標も面積も相似も使わずに、合同・平行・点の並びと、長さを実数で測る物差しの性質、そして「有理数がどこにでもある」ことを使って、thm-itc-main の 1 の最初の等式を証明し直す（使う事実は rem-itc-facts にまとめる）。

証明の順序と循環

prf-itc-vector と prf-itc-homothety は、座標を前提にしている。ベクトルを成分で計算し、長さを距離の公式で測る。一方、内分点・外分点の座標は逆向きに、平行線と線分の比から座標の内分点の公式を導き、位置ベクトルと内分点はその記事を前提にしている。したがって、これらを一続きの証明とみると循環する。また、ベクトルを座標の成分でなく矢印として定義する場合は、prf-itc-vector の段 2 で使った分配法則 $s(\vec c-\vec b)=s\,\vec c-s\,\vec b$ そのものが、平行線と線分の比（相似）で示される。
座標を前提にしない証明は、面積による prf-itc-area と、この後の節「無理数の比へ」の、合同と平行による thm-itc-real である（prf-itc-area では $Q$ が線分 $AC$ の上にあることを prf-itc-vector から借りたが、これは次の節の rem-itc-facts の 4（平行線で移しても点の並びは保たれる）からも出る）。どちらかを出発点にすれば、座標の公式を平行線と線分の比から導いても循環しない。

認めて使う事実と平行射影

この節で認めて使う事実

平行四辺形の向かい合う辺は等しい。
合同条件「1 辺とその両端の角がそれぞれ等しい 2 つの三角形は合同」（三角形の合同条件）。
平行な 2 直線に別の直線が交わってできる同位角は等しい（平行線公準（高校数学））。
直線 $AB$ の上の点を、$BC$ に平行な直線で直線 $AC$ の上に移すとき、点の並びは保たれる：半直線 $AB$ の上で $X$ が $A$ と $Y$ の間にあれば、移した点 $X'$ は $A$ と $Y'$ の間にある。逆向き（直線 $AC$ から直線 $AB$ へ、$BC$ に平行な直線で移す）も同じである。
Archimedes の性質：正の実数 $a,b$ に対し、$na>b$ となる正の整数 $n$ がある（実数の上限公理から導かれる。上限公理は実数とは何か：無理数の証明で扱う）。
物差しの性質：線分の長さは正の実数で測る。同じ直線の上で $X$ が $A$ と $Y$ の間にあれば $AY=AX+XY$ である。また、半直線 $AB$ の上には、どの正の実数 $a$ についても $AX=a$ となる点 $X$ がただ 1 つある。

4 は、平行線どうしが交わらないことから出る（交わらない 2 本の平行線にはさまれた点は、別の直線の上でもはさまれる）。4 と 6 はここでは証明しない。
6 は、定理の主張 $\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{AP'}{AC}$ そのものが前提にしていることでもある（長さが実数でなければ、比を実数として比べられない）。長さを実数で測ることは、5 の Archimedes の性質と深く結びついている。Hilbert の公理系では、合同・平行・点の並びの公理に Archimedes の公理を加えて初めて、直線の各点に実数を 1 つずつ、並びの順を保って対応させられる（Hil02 §17）。ただし逆に、どの実数にも点が対応すること（6 の後半）は Archimedes の公理だけからは出ず、Hilbert は同じ節で、直線に点を付け加えて補う必要があると述べている。この記事の証明で 6 の後半を使うのは、有理数倍 $r\cdot AB$ の点だけである。

平行射影

三角形 $ABC$ を固定する。直線 $AB$ の上の点 $X$ に対し、$X$ を通り $BC$ に平行な直線が直線 $AC$ と交わる点を $X'$ とする（$X=A$ のときは $X'=A$）。$X$ に $X'$ を対応させる写像を、$BC$ の向きの 平行射影 という。$BC$ と $AC$ は平行でないので $X'$ はただ 1 つに決まり、$B'=C$ である。

thm-itc-main の 1 の最初の等式は、平行射影の言葉では「$X$ を半直線 $AB$ の上の点（$X\ne A$）とすると $\dfrac{AX}{AB}=\dfrac{AX'}{AC}$」となる。

等しい刻みは等しい刻みに移る

半直線 AB の上の等しい刻み A, X1, X2, X3, X4（= B）を、BC に平行な直線（赤）で半直線 AC に移すと、点 R1, R2, R3 でできる色をつけた 4 つの三角形が合同になり、AC の上でも刻みが等しくなることを見る図

等しい刻みの保存

半直線 $AB$ の上に、点 $A=X_0,\ X_1,\ \dots,\ X_N$ がこの順に並び、$X_0X_1=X_1X_2=\dots=X_{N-1}X_N$ であるとする。このとき、平行射影した点 $A=X_0',\ X_1',\ \dots,\ X_N'$ は半直線 $AC$ の上にこの順に並び、
$$ X_0'X_1'=X_1'X_2'=\dots=X_{N-1}'X_N' $$
である。

平行四辺形と合同な三角形

要点：刻み 1 つごとに、$X_i'$ から直線 $AB$ に平行な線を引いて小さな三角形 $X_i'R_iX_{i+1}'$ を作る（図 2）。平行四辺形から $X_i'R_i$ は刻み $d$ に等しく、同位角から両端の角は最初の三角形 $AX_1X_1'$ と等しいので、どの小さな三角形も $AX_1X_1'$ と合同になり、$X_i'X_{i+1}'=AX_1'$ となる。長さの比も実数のかけ算も使わない。

詳しい証明を開く

段 1（並び）．rem-itc-facts の 4 により、$X_0',X_1',\dots,X_N'$ は半直線 $AC$ の上にこの順に並ぶ。

段 2（平行四辺形）．$d=X_0X_1$ とおく。$1\le i\le N-1$ のとき、$X_i'$ を通り直線 $AB$ に平行な直線が、直線 $X_{i+1}X_{i+1}'$ と交わる点を $R_i$ とする。四角形 $X_iX_{i+1}R_iX_i'$ は、$X_iX_{i+1}\parallel X_i'R_i$（どちらも直線 $AB$ の向き）、$X_iX_i'\parallel X_{i+1}R_i$（どちらも $BC$ の向き）なので平行四辺形であり、rem-itc-facts の 1 により $X_i'R_i=X_iX_{i+1}=d$ である。$i=0$ のときは $R_0=X_1$ とおくと、$X_0'R_0=AX_1=d$ である。

位置関係．$R_i$ は線分 $X_{i+1}X_{i+1}'$ の上にあり、$R_i$ から見て $X_{i+1}'$ は、$X_1$ から見た $X_1'$ と同じ側（$BC$ の向きで直線 $AB$ から離れる側）にある。これは図 2 のとおりとして認める（rem-itc-facts の 4 と同じく、平行線どうしが交わらないことから出る）。この位置関係により、段 3 で比べる角の辺の半直線は同じ向きになる。

段 3（角）．三角形 $X_i'R_iX_{i+1}'$ の 3 辺の向きは、$X_i'R_i$ が直線 $AB$ の向き、$X_i'X_{i+1}'$ が直線 $AC$ の向き、$R_iX_{i+1}'$ が $BC$ の向きである。同位角が等しいこと（rem-itc-facts の 3）により、どの $i$ についても $\angle R_iX_i'X_{i+1}'$ は $i=0$ のときの角 $\angle X_1AX_1'$ に等しく、$\angle X_i'R_iX_{i+1}'$ は $i=0$ のときの角 $\angle AX_1X_1'$ に等しい。

段 4（合同）．段 2・段 3 から、三角形 $X_i'R_iX_{i+1}'$ は三角形 $AX_1X_1'$ と、1 辺 $d$ とその両端の角が等しい。rem-itc-facts の 2 により合同で、$X_i'X_{i+1}'=AX_1'$ である。これがすべての $i$ で成り立つので、刻みはすべて $AX_1'$ に等しい。$\square$

比が有理数のとき

$m,n$ を正の整数とし、点 $P$ が半直線 $AB$ の上にあって $AP=\dfrac mn\,AB$ であるとする。このとき $AP'=\dfrac mn\,AC$ である。

共通の刻みで測る

方針：$\dfrac1n AB$ を 1 刻みとする目盛りを半直線 $AB$ の上に並べ、lem-itc-steps で半直線 $AC$ に移す。$B$ と $P$ はどちらも目盛りの点である。
段 1（目盛り）。$N$ を $m$ と $n$ の大きい方とし、半直線 $AB$ の上に、$AX_i=\dfrac in\,AB$（$i=0,1,\dots,N$）となる点 $X_i$ をとる（rem-itc-facts の 6 により、このような点はただ 1 つずつある）。$AX_i$ は $i$ とともに大きくなるので、$X_i$ はこの順に並び、6 の足し算から隣どうしの距離はすべて $\dfrac{i+1}n AB-\dfrac in AB=\dfrac1n AB$ である。$AX_n=AB$、$AX_m=AP$ なので、6 の「ただ 1 つ」から $X_n=B$、$X_m=P$ である。
段 2（移す）。lem-itc-steps により、$X_i'$ は半直線 $AC$ の上に順に並び、刻みはすべて同じ長さ $d'$ である。並びが順なので、6 の足し算を繰り返して $AX_i'=i\,d'$ である（刻みを $i$ 個足した長さ）。
段 3（結論）。$X_n'=B'=C$ なので $AC=n\,d'$、$X_m'=P'$ なので $AP'=m\,d'$ である。よって $AP'=\dfrac mn\cdot n\,d'=\dfrac mn\,AC$ である。$\square$

無理数の比へ

比が有理数でないときは、有理数と大小を比べる。そのために、有理数が実数の中に「どこにでもある」ことを示しておく。

2 つの実数の間の有理数

実数 $x< y$ に対し、$x< r< y$ となる有理数 $r$ がある。

分母を十分大きくとる

要点：Archimedes の性質（rem-itc-facts の 5）で分母 $n$ を、$\dfrac1n$ が $y-x$ より小さくなるようにとる。すると、刻み $\dfrac1n$ の目盛りの 1 つ $\dfrac mn$ が $x$ と $y$ の間に入る。

詳しい証明を開く

段 1（分母）．$y-x>0$ なので、Archimedes の性質（rem-itc-facts の 5）により、$n(y-x)>1$ となる正の整数 $n$ がある。

段 2（分子）．$nx$ より大きい整数のうち最小のものを $m$ とする（整数はいくらでも大きいものも小さいものもあるので、このような $m$ がある）。$m$ が最小なので $m-1\le nx$、つまり $m\le nx+1$ である。

段 3（はさむ）．段 1 から $nx+1< nx+n(y-x)=ny$ なので、$nx< m\le nx+1< ny$ である。$n$ で割ると $x<\dfrac mn< y$ で、$r=\dfrac mn$ が求める有理数である。$\square$

実数の比の保存

点 $P$ が半直線 $AB$ の上にあり、$P\ne A$ とする。このとき
$$ \frac{AP}{AB}=\frac{AP'}{AC} $$
である。比 $\dfrac{AP}{AB}$ が有理数でなくてもよい。

有理数との大小がすべて一致する

方針：$x=\dfrac{AP}{AB}$、$y=\dfrac{AP'}{AC}$ とおく。どんな正の有理数 $r$ についても「$x< r$ と $y< r$ は同時に成り立つか、同時に成り立たない」ことを示す。そうすると、$x$ と $y$ の間には有理数が入れないので、lem-itc-dense により $x=y$ となる。
段 1（有理数の目盛り）。正の有理数 $r=\dfrac mn$ を 1 つとり、半直線 $AB$ の上に $AX=r\cdot AB$ となる点 $X$ をとる（rem-itc-facts の 6）。prop-itc-rational により $AX'=r\cdot AC$ である。
段 2（大小が一致する）。$x< r$ は $AP< AX$ と同じで、$P$ と $X$ はどちらも半直線 $AB$ の上にあるので、これは「$P$ が $A$ と $X$ の間にある」と同じである（6 の足し算による。$P$ が $A$ と $X$ の間にあれば $AX=AP+PX>AP$ である。そうでなければ $P=X$ か、$X$ が $A$ と $P$ の間にあって $AP=AX+XP>AX$ なので、どちらでも $AP\ge AX$ である。直線 $AC$ の上の $P'$、$X'$ でも同じである）。rem-itc-facts の 4（両方の向き）により、これは「$P'$ が $A$ と $X'$ の間にある」と同じで、それは $AP'< AX'$、つまり $y< r$ と同じである。よって、どの正の有理数 $r$ についても、$x< r$ と $y< r$ は同値である。
段 3（背理法）。$x\ne y$ と仮定する。$x< y$ なら、lem-itc-dense により $x< r< y$ となる有理数 $r$ がある。$x>0$ なので $r>0$ である。$x< r$ なので段 2 から $y< r$ となり、$r< y$ に反する。$y< x$ のときも、$x$ と $y$ の役割を入れかえて同じように矛盾する。よって $x=y$ である。$\square$

thm-itc-real の証明で使ったのは、合同と平行と点の並び（rem-itc-facts の 1〜4）、長さの性質（6 の物差しの性質）、有理数がどこにでもあること（5 から示した lem-itc-dense）だけである。座標も、面積も、相似も使っていない。

比が無理数のときの目盛り

$A(0,0)$、$B(2,0)$、$C(0,1)$ の三角形で、半直線 $AB$ の上に $AP=\sqrt2$ の点 $P(\sqrt2,0)$ をとる。$x=\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{\sqrt2}2=0.7071\ldots$ は有理数でない。
(1) $r=\dfrac7{10}$ の目盛り $X(1.4,\ 0)$ は $P$ より手前にある（$1.4<\sqrt2$）。prop-itc-rational により $X'$ は $AX'=0.7$ の点 $(0,\ 0.7)$ である。
(2) $r=\dfrac{71}{100}$ の目盛り $X(1.42,\ 0)$ は $P$ より先にある（$1.42^2=2.0164>2$）。$X'$ は $(0,\ 0.71)$ である。
(3) rem-itc-facts の 4 により、$P'$ は $(0,\ 0.7)$ と $(0,\ 0.71)$ の間にある。目盛りを $\dfrac1{1000}$、$\dfrac1{10000}$、… と細かくしていくと、$P'$ の位置は $0.7071\ldots$ の小数を 1 けたずつ決めていき、$AP'=\dfrac{\sqrt2}2=x\cdot AC$ となる。
実際、$P$ を通り $\overrightarrow{BC}=(-2,1)$ に平行な直線 $(\sqrt2-2s,\ s)$ が $y$ 軸と交わるのは $s=\dfrac{\sqrt2}2$ のときで、$P'\left(0,\dfrac{\sqrt2}2\right)$ である。$AC=1$ なので $\dfrac{AP'}{AC}=\dfrac{\sqrt2}2$ で、確かに $x$ と等しい。

大学数学で見る：比例論と線分の算術

Eudoxus の比例論と Dedekind 切断

Eudoxus の比の定義

Euclid『原論』第 5 巻の定義 5 は、4 つの量 $a,b,c,d$ について「$a:b$ と $c:d$ が同じ比である」ことを、次のように定める（Joy96。ここでは記号で言いかえる）：どんな正の整数 $m,n$ をとっても、
$$ ma>nb,\quad ma=nb,\quad ma< nb $$
のどれが成り立つかと、
$$ mc>nd,\quad mc=nd,\quad mc< nd $$
のどれが成り立つかが、いつも一致する。この定義と第 5 巻の比例の理論全体は、Eudoxus によるものとされている（Joy96 の第 5 巻の序論）。
$ma< nb$ は $\dfrac ab<\dfrac nm$ と同じである。したがって Eudoxus の定義は、「$\dfrac ab$ と $\dfrac cd$ は、どの正の有理数 $\dfrac nm$ と比べても大小が一致する」と言いかえられる。これは prf-itc-real の段 2 で示したことそのものである。Euclid は第 6 巻命題 1（面積の比は底辺の比）をこの定義で証明し、それを使って命題 2（平行線と線分の比）を証明している（Joy96）。

2 つの量の比を、まだ「実数」という言葉がない時代に、有理数との大小の比較だけで定めたのが Eudoxus の定義である。19 世紀に Dedekind は、同じ考えで実数そのものを定義した。実数 $x$ を、「$x$ より小さい有理数の全体」と「それ以外の有理数の全体」への有理数の分け方（切断）と同一視する（Dedekind切断）。prf-itc-real の段 2 は、$\dfrac{AP}{AB}$ と $\dfrac{AP'}{AC}$ が同じ切断を定めることを示しており、段 3 は「同じ切断を定める 2 つの実数は等しい」ことを示している。

同じ比を有理数で比べる

$a=\sqrt2$、$b=2$、$c=\dfrac{\sqrt2}2$、$d=1$（ex-itc-irrational の $AP$、$AB$、$AP'$、$AC$）で、$m=10$、$n=7$ をとると、$ma=10\sqrt2=14.14\ldots>14=nb$、$mc=5\sqrt2=7.07\ldots>7=nd$ で、どちらも「$>$」である。$m=100$、$n=71$ では $ma=141.42\ldots<142=nb$、$mc=70.71\ldots<71=nd$ で、どちらも「$<$」である。
比が違う例。$a=1$、$b=2$、$c=2$、$d=3$ で、$m=5$、$n=3$ をとると、$ma=5<6=nb$ だが $mc=10>9=nd$ で、大小が一致しない。$\dfrac12$ と $\dfrac23$ の間に有理数 $\dfrac35$ があり、それが 2 つの比を分けている。

平行射影はアフィン写像

prf-itc-vector で見たとおり、直線 $AB$ の点を $A+t\,\overrightarrow{AB}$、直線 $AC$ の点を $A+t\,\overrightarrow{AC}$ と目盛り $t$ で表すと、$BC$ の向きの平行射影は $t\mapsto t$ である。直線を実数の目盛りで表したとき 1 次式 $t\mapsto\lambda t+\mu$（$\lambda\ne0$）で書ける写像を、直線から直線への アフィン写像 という。平行射影はその例であり、アフィン写像は 3 点の比 $\dfrac{AP}{AB}$ を保つ（$\lambda\ne0$ なので、異なる点は異なる点に移り、比が意味をもつ）。平面のアフィン変換で保たれる性質（平行、同じ直線の上の長さの比、中点）については、三角形の面積比の節「アフィン変換と面積の比」と中点連結定理で扱う。

Hilbert の線分の算術

Hilbert は、座標や実数を前提にせず、平面の公理（結合・順序・平行・合同）だけから、線分どうしの足し算とかけ算を定義した（Hil02 §15）。かけ算の定義に使うのが、平行線と線分の比の図である。

平行線による線分のかけ算

直角をはさむ 2 本の半直線（$x$ 軸の正の部分と $y$ 軸の正の部分）の上で、長さ $a$、$b$ の積を作る。$x$ 軸の上に長さ $1$ の点 $E(1,0)$ と長さ $b$ の点 $(b,0)$ をとり、$y$ 軸の上に長さ $a$ の点 $(0,a)$ をとる。$E$ と $(0,a)$ を結び、$(b,0)$ を通ってこれに平行な直線を引く。この直線が $y$ 軸と交わる点までの長さを積 $ab$ と定める。
$a=2$、$b=3$ で計算する。$E(1,0)$ と $(0,2)$ を結ぶ直線の傾きは $-2$ で、$(3,0)$ を通り傾き $-2$ の直線は $y=-2(x-3)$ である。$y$ 軸との交点は $(0,6)$ で、確かに $ab=6$ である。一般に、thm-itc-main の 1 を原点を頂点とする三角形に使うと、$\dfrac{b}{1}=\dfrac{c}{a}$（$c$ は $y$ 軸の上の交点までの長さ）となり、$c=ab$ である。

幾何から体を作る

Hilbert は、ex-itc-product で定義したかけ算が交換法則 $ab=ba$、結合法則、分配法則を満たすことを証明した。交換法則の証明には、2 本の直線の上の 6 点についての定理（Hilbert は Pascal の定理と呼ぶ。今日では Pappusの六角形定理の特別な場合として知られる）を使う（Hil02 §14、§15）。こうして、線分の全体に負の線分と $0$ を付け加えたものが、実数の計算規則のうち Archimedes の性質以外のもの（足し算・かけ算・割り算の規則と大小の規則）をすべて満たす数の体系になる（Hil02 §13、§17）。Hilbert はこの体系の中で、平行線と線分の比を Archimedes の性質を使わずに証明した（詳しくは下を開く）。この記事の方法でも Hilbert の方法でも、平行線と線分の比は「幾何の中に数の体系がある」ことを示す要の定理である。

Hilbert の比の理論と座標の数の体系を開く

そのうえで Hilbert は、線分の比 $a:b=a':b'$ を等式 $ab'=ba'$ で定義し、相似な三角形の辺の比が等しいこと（定理 22）と、平行線と線分の比とその逆（定理 23）を、Archimedes の性質を使わずに証明した（Hil02 §16）。この記事の prf-itc-real は Archimedes の性質（有理数の稠密性）を使ったが、Hilbert の方法はそれを避けている。

座標を入れた平面では、この体系は実数の体と同じ計算規則をもつ。逆に、座標に使う数の体系を取り替えると、別の「平面」ができる。そこで Pappus の定理が成り立つことと、座標のかけ算が交換法則を満たすことが対応する。この記事ではこれ以上立ち入らない。

例と反例

外した仮定	崩れる主張	ボックス
逆の仮定の「比 $AP:AB=AQ:AC$」を「長さの比 $PQ:BC=AP:AB$」に替える	$PQ\parallel BC$	ex-itc-cx-length
逆の仮定の「$Q$ が線分 $AC$ の上」（$Q$ を辺 $CA$ の延長の上にとる）	$AP:PB=AQ:QC$ ならば $PQ\parallel BC$	ex-itc-cx-side
3 本の直線が平行	2 本の直線から切り取る線分の比が等しい	ex-itc-cx-notparallel

三角形 ABC（A(0,0), B(9,0), C(6,2)）で、P(3,0) を中心とする半径 BC/3 の円が辺 AC と 2 点 Q, Q2 で交わる。PQ は BC に平行だが、同じ長さの PQ2 は平行でないことを見る図

反例：長さの比が等しいだけでは平行にならない

$A(0,0)$、$B(9,0)$、$C(6,2)$ の三角形で、辺 $AB$ の上に $P(3,0)$ をとる（$\dfrac{AP}{AB}=\dfrac13$）。$BC=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$ である。
(1) $P$ を通り $BC$ に平行な直線は辺 $AC$ と $Q\left(2,\dfrac23\right)$ で交わり（$\overrightarrow{AQ}=\dfrac13\overrightarrow{AC}$）、$PQ=\sqrt{1+\dfrac49}=\dfrac{\sqrt{13}}3=\dfrac13BC$ である。
(2) 辺 $AC$ の点 $(6t,2t)$ のうち、$P$ からの距離が $\dfrac{\sqrt{13}}3$ のものを求める。$(6t-3)^2+(2t)^2=\dfrac{13}9$ を整理すると $90t^2-81t+17=0$ で、$t=\dfrac{81\pm21}{180}$、つまり $t=\dfrac13$ と $t=\dfrac{17}{30}$ である。$t=\dfrac{17}{30}$ の点 $Q_2\left(\dfrac{17}5,\dfrac{17}{15}\right)$ も辺 $AC$ の上にあり、$\dfrac{PQ_2}{BC}=\dfrac13=\dfrac{AP}{AB}$ を満たす。
しかし $\overrightarrow{PQ_2}=\left(\dfrac25,\dfrac{17}{15}\right)$ の傾きは $\dfrac{17}6$、$BC$ の傾きは $-\dfrac23$ で、平行でない（図 3）。長さ $PQ$ は向きの情報をもたないので、$P$ を中心とする円が辺 $AC$ と 2 回交われば、平行でない線分も同じ長さになる。thm-itc-converse が仮定に辺 $AB$、$AC$ の上の比を使うのはこのためである。

反例：点が辺の外にあると比が等しくても平行でない

ex-itc-start の三角形 $A(0,0)$、$B(6,0)$、$C(2,6)$ で、$P(2,0)$（$AP:PB=1:2$）をとる。$Q$ を辺 $CA$ を $A$ の先に延ばした上の点 $Q(-2,-6)$ にとると、$AQ=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$、$QC=\sqrt{16+144}=4\sqrt{10}$ で、$AQ:QC=1:2$ である。比は $AP:PB$ と等しい。
しかし $\overrightarrow{PQ}=(-4,-6)$ の傾きは $\dfrac32$、$BC$ の傾きは $-\dfrac32$ で、平行でない。$Q$ は $A$ から見て $C$ と反対の側にあるので、prf-itc-converse の段 2 の $\overrightarrow{AQ}=t\,\overrightarrow{AC}$ が $t=-1$ となり、$P$ の $t=\dfrac13$ と一致しない。比の値が同じでも、点が $A$ のどちら側にあるかが違えば平行にならない。

反例：平行でない 3 本の直線

3 本の直線 $y=0$、$y=2$、$y=x+3$（3 本目だけ傾いている）を、2 本の直線 $x=0$ と $x=4$ で切る。
(1) $x=0$ との交点は $(0,0)$、$(0,2)$、$(0,3)$ で、切り取る線分は $2$ と $1$、比は $2:1$ である。
(2) $x=4$ との交点は $(4,0)$、$(4,2)$、$(4,7)$ で、切り取る線分は $2$ と $5$、比は $2:5$ である。
比が一致しない。cor-itc-three-lines の証明の段 2 で使った平行四辺形が、3 本目の直線が傾いているとできないからである。

さらに先へ

比が $1:1$ の場合、すなわち中点を平行線で移す場合が中点連結定理である。平行と中点だけで述べられる定理として、アフィン変換の見方で整理できる。
平行線と線分の比は、角の二等分線の定理の Euclid の証明や、内分点・外分点の座標の公式の導出、Menelausの定理（高校数学）の証明の道具になっている。
空間では、互いに平行な 3 枚の平面が 2 本の直線から切り取る線分の比も等しい。平面の場合と同じく、位置ベクトルの係数比較で示せる。
立体の体積を比べる Euclid の方法（取り尽くし法）も、Eudoxus に由来する。角錐の体積については錐体の体積とHilbertの第3問題で扱う。