概複素構造

前提知識: 接束, 複素多様体, 微分形式, Lie括弧, 外積代数

概複素構造（almost complex structure）とは、可微分多様体 $M$ の各接空間 $T_pM$ に、$J_p^2=-\mathrm{id}$ を満たす線形変換 $J_p$ を滑らかに与えたものである。$J_p$ を「$i$ 倍」とみなすと、各接空間が複素ベクトル空間になる。複素多様体の接空間は自然にこの構造をもつ（複素多様体 の命題「接空間の複素構造」）。しかし各接空間に $i$ 倍が決まっていても、それが正則な局所座標から来るとは限らない。その判定条件が Nijenhuis テンソル $N_J$ の消滅であり、$N_J=0$ ならば $J$ はただ一つの複素多様体の構造から来る、というのが Newlander–Nirenberg の定理である。
概複素構造は、複素幾何で使う道具（型 $(p,q)$ の微分形式、$\partial$ と $\bar\partial$、Hermite 計量、Kähler 形式）を「各点の線形代数」と「座標の存在」に切り分ける役をする。前者は概複素構造だけで定まり、後者が可積分性である。
この記事では次を証明する。

1. 複素構造をもつ実ベクトル空間は偶数次元で、標準的な向きをもつ。したがって概複素多様体は偶数次元で向き付け可能である。
2. 可積分性の条件の同値性：$N_J=0$、$T^{1,0}M$ の Lie 括弧についての閉性、$d=\partial+\bar\partial$ が同値である。複素多様体の概複素構造はこれらを満たす。
3. 2 次元の概複素構造はつねに $N_J=0$ を満たす。一方、$\mathbb R^4$ には $N_J\neq0$ となる概複素構造がある。
4. $J$ を平行にする捩れのない接続があれば $N_J=0$ であり、複素多様体にはそのような接続がある（Newlander–Nirenberg の定理と合わせると、両者は同値になる）。
   Newlander–Nirenberg の定理（$N_J=0$ ならば複素多様体）はこの記事では証明せず、所在を示して引用する。

ベクトル空間の複素構造

定義と複素化

実際、$J^2=-\mathrm{id}$ から $(a+bi)\bigl((c+di)v\bigr)=\bigl((ac-bd)+(ad+bc)i\bigr)v$ が確かめられ、ほかの公理は線形性から従う。逆に複素ベクトル空間 $W$ があれば、$i$ 倍の写像 $J$ は実ベクトル空間 $W$ の複素構造である。$\mathbb C^n=\mathbb R^{2n}$ の座標を $z_j=x_j+iy_j$ とすると、$i$ 倍は
$$ J_0\Bigl(\frac{\partial}{\partial x_j}\Bigr)=\frac{\partial}{\partial y_j},\qquad J_0\Bigl(\frac{\partial}{\partial y_j}\Bigr)=-\frac{\partial}{\partial x_j} $$
である。これを $\mathbb R^{2n}$ の標準的な複素構造という。
複素構造の固有値は $\pm i$ で、実数の中にはない。そこで複素化 $V_{\mathbb C}:=V\otimes_{\mathbb R}\mathbb C$ に移り、$J$ を複素線形に延ばす（同じ記号 $J$ で書く）。$V_{\mathbb C}$ には複素共役 $\overline{v\otimes c}:=v\otimes\bar c$ があり、$J$ はこれと可換である。
$$ V^{1,0}:=\{w\in V_{\mathbb C}\mid Jw=iw\},\qquad V^{0,1}:=\{w\in V_{\mathbb C}\mid Jw=-iw\} $$
とおく。双対空間の側では、$V^*_{\mathbb C}:=\operatorname{Hom}_{\mathbb R}(V,\mathbb C)$ の中で
$$ V^{*1,0}:=\{\alpha\mid\alpha(Jv)=i\,\alpha(v)\ (v\in V)\},\qquad V^{*0,1}:=\{\alpha\mid\alpha(Jv)=-i\,\alpha(v)\ (v\in V)\} $$
とおく。$V^{*1,0}$ の元を $(1,0)$ 形式、$V^{*0,1}$ の元を $(0,1)$ 形式という。$\alpha\in V^*_{\mathbb C}$ は $V_{\mathbb C}$ 上の複素線形形式に延ばせる。$\alpha\in V^{*1,0}$ と $w\in V^{0,1}$ に対しては、延ばした等式 $\alpha(Jw)=i\,\alpha(w)$ と $Jw=-iw$ から $i\,\alpha(w)=-i\,\alpha(w)$、すなわち $\alpha(w)=0$ となる。つまり $(1,0)$ 形式は $V^{0,1}$ の上で消える（次の命題の次元の比較から、$V^{0,1}$ の上で消える線形形式はすべて $(1,0)$ 形式である）。

$\mathbb C^n$ の標準的な複素構造では、$V^{1,0}$ は $\partial/\partial z_j:=\frac12(\partial/\partial x_j-i\,\partial/\partial y_j)=\phi(\partial/\partial x_j)$ で、$V^{0,1}$ は $\partial/\partial\bar z_j$ で張られる。$V^{*1,0}$ は $dz_j=dx_j+i\,dy_j$ で、$V^{*0,1}$ は $d\bar z_j$ で張られ、$\Lambda^{p,q}$ は $dz_I\wedge d\bar z_K$（$|I|=p$、$|K|=q$）で張られる。これは Dolbeaultコホモロジー の定義「型 $(p,q)$ の微分形式と $\bar\partial$ 作用素」の各点での形である。

偶数次元と標準的な向き

$\mathbb C^n$ では標準的な向きは $dx_1\wedge dy_1\wedge\cdots\wedge dx_n\wedge dy_n>0$ で与えられる。これは複素多様体の下部多様体の自然な向き（複素多様体）と同じものである。

概複素多様体

各点に def-acs-linear と prop-acs-type-decomposition を当てると、複素化した接束 $T_{\mathbb C}M:=TM\otimes\mathbb C$ の分解 $T_{\mathbb C}M=T^{1,0}M\oplus T^{0,1}M$ と、複素数値微分形式の分解
$$ \mathcal A^k(M)=\bigoplus_{p+q=k}\mathcal A^{p,q}(M) $$
が得られる。ここで $\mathcal A^k(M)$ は複素数値の滑らかな $k$ 次微分形式の空間、$\mathcal A^{p,q}(M)$ は各点で型 $(p,q)$ の形式である。分解の射影 $v\mapsto\frac12(v\mp iJv)$ は $J$ の滑らかさにより滑らかなので、$T^{1,0}M$、$T^{0,1}M$ は複素ベクトル束であり、各成分は滑らかである。$\pi^{p,q}\colon\mathcal A^{p+q}(M)\to\mathcal A^{p,q}(M)$ を射影とし、
$$ \partial:=\pi^{p+1,q}\circ d,\qquad\bar\partial:=\pi^{p,q+1}\circ d\qquad(\mathcal A^{p,q}(M)\text{ 上}) $$
とおく。関数 $f$ については $df$ が 1 次形式なので $df=\partial f+\bar\partial f$ がつねに成り立つ。$\bar\partial f=0$ を満たす関数を $J$ に関して正則な関数という。これは $df\circ J=i\,df$、すなわち $df$ が各点で $(T_pM,J_p)$ から $\mathbb C$ への複素線形写像であることと同じである。
以下、微分形式の値は微分形式 の記事の A 方式（$(dx\wedge dy)(\partial_x,\partial_y)=1$）で計る。1 次形式 $\alpha$ と複素ベクトル場 $Z,W$（$T_{\mathbb C}M$ の滑らかな切断）について
$$ d\alpha(Z,W)=Z\bigl(\alpha(W)\bigr)-W\bigl(\alpha(Z)\bigr)-\alpha([Z,W]) $$
が成り立つ。実ベクトル場についての同じ公式（同記事の定義「外微分」の A 方式の式で $p=1$ としたもの）の両辺は $Z,W$ について複素双線形に延びるからである。ここで複素ベクトル場の Lie 括弧は実部と虚部について双線形に延ばしたものである。

例

一方、$S^4$ は偶数次元で向き付け可能だが概複素構造をもたない（Ehresmann と Hopf による。CdS06 p. 76。複素多様体 の例「反例：複素構造をもたない多様体」は、この事実を特性類の関係式から説明している）。したがって prop-acs-orientable の逆は成り立たない。$\mathbb{RP}^2$ は偶数次元だが向き付け可能でないので、prop-acs-orientable により概複素構造をもたない。
構造群の言葉では、$2n$ 次元多様体 $M$ に概複素構造を与えることは、接束の構造群を $GL(2n,\mathbb R)$ から $GL(n,\mathbb C)$ に縮小することと同じである。

可積分性と Nijenhuis テンソル

複素多様体では、正則座標 $z_j$ の微分 $dz_j$ が $(1,0)$ 形式の局所的な基底をなし、$d(dz_j)=0$ である。一般の概複素多様体では、各点で $(1,0)$ 形式の基底はとれても、それが閉形式 $dz_j$ の形にとれるとは限らない。この違いを測るのが次のテンソルである。

逆向きが深い定理である。

ex-acs-complex-manifold、prop-acs-complex-integrable、thm-acs-newlander-nirenberg を合わせると、多様体 $M$ の上の複素多様体の構造と、$M$ 上の可積分な概複素構造とは一対一に対応する。以後、複素多様体を「可積分な概複素構造をもつ多様体」と読み替えてよい。

2 次元の場合

ex-acs-surface と thm-acs-newlander-nirenberg を合わせると、向き付けられた曲面に計量を 1 つ与えるごとに、その計量の共形類で決まるリーマン面の構造がただ一つ入る。計量はつねに存在する（Lee13 Proposition 13.3）ので、とくに向き付け可能な曲面はすべて複素多様体の構造をもつ（CdS06 Homework 10 の 1、p. 82。同所はこれを Gauss に遡る結果としている）。

可積分でない概複素構造

接続による言い換え

$\nabla$ を $M$ の接続（リーマン接続 の定義「接続と接続係数」）とし、$(\nabla_XJ)Y:=\nabla_X(JY)-J\nabla_XY$ とおく。$\nabla J=0$ とは、$\nabla$ による平行移動が $J$ と可換であることである。

Kähler形式 の記事では、Hermite 計量の Levi-Civita 接続が $J$ を平行にすることと Kähler 条件 $d\omega=0$ が同値であることを示す。

反例と注意

1 行目：$\mathbb R^3$ の接空間は 3 次元なので、prop-acs-even-orientation の 1 により $J_p^2=-\mathrm{id}$ となる $J_p$ がない。2 行目：$\mathbb{RP}^2$ は 2 次元だが向き付け可能でないので、prop-acs-orientable により概複素構造をもたない。この 2 行が破る含意は「多様体ならば概複素構造をもつ」である。3 行目：$S^4$ は偶数次元で向き付け可能という prop-acs-orientable の結論を満たすが、概複素構造をもたない（CdS06 p. 76。この記事では証明しない）。破る含意は prop-acs-orientable の逆「偶数次元で向き付け可能ならば概複素構造をもつ」である。4 行目：$(\mathbb R^4,J)$ は概複素多様体だが $N_J\neq0$ なので、prop-acs-complex-integrable により $J$ はどの開集合の上でも複素多様体から来ない。破る含意は「概複素構造ならば複素構造から来る」である。5 行目：同じ例は prop-acs-dim-two が実 2 次元に限ることを示す。
注意を 3 つ挙げる。

• 「複素構造」の 2 つの意味。複素多様体 の記事の「複素構造」は正則座標近傍系の同値類であり、この記事の「ベクトル空間の複素構造」は $J^2=-1$ となる線形変換である。概複素構造は後者を各点に与えたもので、前者から ex-acs-complex-manifold により得られる。Newlander–Nirenberg の定理は、可積分な後者から前者がただ一つ復元できることを述べる。
• 可積分性の定義の流儀。Dem12 Ch. VIII (11.4)（p. 397）は、$(1,0)$ ベクトル場の括弧の $(0,1)$ 成分として得られる $T^{0,1}$ 値の $(2,0)$ 形式 $\theta$（torsion form）が $0$ であることを可積分と定義する。lem-acs-bracket の等式により $\theta$ と $N_J$ は互いに決め合い、$\theta=0$ と $N_J=0$ は同値である。Wel08 Ch. I §3（p. 34）は $d=\partial+\bar\partial$（thm-acs-integrability の 5）を可積分の定義とする。CdS06 §13.2（p. 75）は「複素多様体の構造から来ること」を可積分と呼ぶ。Newlander–Nirenberg の定理によりこれも同値になる。
• $J$ に関して正則な関数の少なさ。可積分でない概複素構造では、$J$ に関して正則な関数が定数しかないことが多い（CdS06 Homework 10 の後の注意、p. 82）。ex-acs-nonintegrable では、$J$ に関して正則な関数は $z_1$ によらない。
  詳細

  $J$ に関して正則な $f$ については、thm-acs-integrability の証明の 3 ⇔ 4 の計算を $\alpha=\partial f=df$ に当てると $df([\bar Z,\bar W])=0$ となる。$df$ は $(1,0)$ 形式なので $[\bar Z,\bar W]$ の $(1,0)$ 成分 $-\frac12(N_J-iJN_J)$（lem-acs-bracket の等式の共役）の上で消え、$df(JN_J)=i\,df(N_J)$ と合わせて $df(N_J(X,Y))=0$ を得る。ex-acs-nonintegrable では $N_J(\partial_{x_1},\partial_{x_2})=-4\partial_{x_1}$ なので $\partial f/\partial x_1=0$、さらに $df(\partial_{y_1})=df(J\partial_{x_1})=i\,df(\partial_{x_1})=0$ である。つまり $f$ は $z_1$ によらず、正則な関数を局所座標に使うことはできない。

関連項目

• 前提: 接束, 複素多様体, 微分形式, Lie括弧
• 比較: シンプレクティック多様体, リーマン面
• 直後に読む: エルミート計量, Kähler形式, Dolbeaultコホモロジー
• 発展: Kähler多様体, Frobeniusの定理(可積分性)