正則圏

アーベル圏は有限極限を持ち、任意の射 $f$ は $f=m\circ e$（$e$ はエピ射、$m$ はモノ射）と分解し、任意のエピ射はその核の余核である（アーベル圏、Bor94b 第1章）。エピ射 $e\colon A\to I$ は $\ker e\to A$ と零射の余等化子なので正則エピ射であり、したがってアーベル圏では正則エピ射とエピ射は一致する。$f$ の核対の余等化子は $e$ である。実際、核対 $p,q\colon P\to A$ について $e\circ p=e\circ q$ は $m\circ e\circ p=f\circ p=f\circ q=m\circ e\circ q$ と $m$ がモノ射であることから従い、$g\circ p=g\circ q$ なる $g\colon A\to C$ に対しては、$k\colon\ker e\to A$ について $f\circ k=m\circ e\circ k=0=f\circ0$ だから組 $(k,0)$ が核対を通り（$(k,0)=(p\circ h,q\circ h)$）、$g\circ k=g\circ p\circ h=g\circ q\circ h=g\circ0=0$ となる。よって $g$ は $\operatorname{coker}(k)=e$ をただ一通りに通る。
残るのは、エピ射 $e\colon A\to B$ の任意の射 $g\colon C\to B$ に沿った引き戻し $p_C\colon P\to C$ がエピ射であることである。アーベル圏では引き戻し $P$ は射 $(e,-g)\colon A\oplus C\to B$ の核 $k\colon P\to A\oplus C$ として得られる（Bor94b 第1章）。$e$ がエピ射なので $(e,-g)$ もエピ射であり、したがって $(e,-g)$ は自身の核 $k$ の余核である。$u\colon C\to Q$ が $u\circ p_C=0$ を満たすとする。射 $(0,u)\colon A\oplus C\to Q$ は $(0,u)\circ k=u\circ p_C=0$ を満たすので、$(0,u)=h\circ(e,-g)$ となる $h\colon B\to Q$ が存在する。$A$ 成分を比べると $0=h\circ e$ で $e$ はエピ射だから $h=0$、よって $u=-h\circ g=0$ である。ゆえに $p_C$ はエピ射、すなわち正則エピ射である。$\square$

$m$ がモノ射なら $m\circ r=m\circ s$ から $r=s$ である。逆に $r=s$ とし、$m\circ u=m\circ v$（$u,v\colon Z\to I$）とする。核対の普遍性から $r\circ h=u$、$s\circ h=v$ なる $h\colon Z\to K$ があり、$u=r\circ h=s\circ h=v$ である。$\square$

存在：$p,q\colon P\to A$ を $f$ の核対、$e\colon A\to I$ をその余等化子とする（条件 2）。$f\circ p=f\circ q$ なので、余等化子の普遍性により $f=m\circ e$ となる射 $m\colon I\to B$ がただ一つ存在する。$m$ がモノ射であることを示す。$r,s\colon K\to I$ を $m$ の核対とする（条件 1）。$e$ の $r$ に沿った引き戻しを $\pi_1\colon P_1\to K$、$\alpha\colon P_1\to A$（$e\circ\alpha=r\circ\pi_1$）とし、続いて $e$ の $s\circ\pi_1\colon P_1\to I$ に沿った引き戻しを $\pi_2\colon P_2\to P_1$、$\beta\colon P_2\to A$（$e\circ\beta=s\circ\pi_1\circ\pi_2$）とする。条件 3 により $\pi_1$ と $\pi_2$ は正則エピ射、特にエピ射であり、その合成 $\pi:=\pi_1\circ\pi_2\colon P_2\to K$ もエピ射である。ここで
$$ f\circ\alpha\circ\pi_2=m\circ e\circ\alpha\circ\pi_2=m\circ r\circ\pi=m\circ s\circ\pi=m\circ e\circ\beta=f\circ\beta $$
だから、$f$ の核対の普遍性により $\alpha\circ\pi_2=p\circ h$、$\beta=q\circ h$ なる $h\colon P_2\to P$ が存在する。$e\circ p=e\circ q$ より
$$ r\circ\pi=e\circ\alpha\circ\pi_2=e\circ p\circ h=e\circ q\circ h=e\circ\beta=s\circ\pi $$
となり、$\pi$ がエピ射なので $r=s$ である。lem-regular-cat-mono-kernel-pair により $m$ はモノ射である。
一意性：$f=m\circ e=m'\circ e'$ を2つの像分解とする。正則エピ射は強エピ射である（正則エピ射）から、四角形 $m'\circ e'=m\circ e$ に対し、$i\circ e=e'$、$m'\circ i=m$ を満たす射 $i\colon I\to I'$ が存在する。同様に $j\circ e'=e$、$m\circ j=m'$ を満たす $j\colon I'\to I$ が存在する。$j\circ i\circ e=j\circ e'=e=\mathrm{id}_I\circ e$ で $e$ はエピ射だから $j\circ i=\mathrm{id}_I$、同様に $i\circ j=\mathrm{id}_{I'}$ である。$i$ の一意性は $e$ がエピ射であることから従う。$\square$

正則 ⇒ 強 ⇒ 極は一般に成り立つ（正則エピ射）。$f$ を極エピ射とし、thm-regular-cat-image-factorization により $f=m\circ e$ と像分解する。$m$ はモノ射なので、極性から $m$ は同型射であり、$f=m\circ e$ は正則エピ射 $e$ と同型射の合成である。$m\circ e$ が $a,b$ の余等化子であることは、$e$ がそうであることと同値である（普遍性の分解 $g=t\circ e=(t\circ m^{-1})\circ(m\circ e)$）から、$f$ は正則エピ射である。合成についての主張は、強エピ射が合成で閉じ、$g\circ f$ が強エピ射なら $g$ も強エピ射であること（正則エピ射）から従う。$\square$

$m$ の $g$ に沿った引き戻しを $m'\colon C\times_B I\to C$、$g_1\colon C\times_B I\to I$ とし、$e$ の $g_1$ に沿った引き戻しを $e'\colon Q\to C\times_B I$ とする。引き戻しの貼り合わせ（引き戻し、Bor94a 第2章）により、$e$ と $m$ の引き戻しの合成 $m'\circ e'\colon Q\to C$ は $f=m\circ e$ の $g$ に沿った引き戻し $f'$ に（同型を除いて）等しい。$m'$ はモノ射である：$u,v\colon Z\to C\times_B I$ が $m'\circ u=m'\circ v$ を満たすとすると、$m\circ g_1\circ u=g\circ m'\circ u=g\circ m'\circ v=m\circ g_1\circ v$ となり、$m$ がモノ射であることから $g_1\circ u=g_1\circ v$ である。$m'\circ u=m'\circ v$ とあわせて、引き戻しへの射が $m'$ と $g_1$ への合成で決まるという普遍性から $u=v$ であり、$m'$ はモノ射である。$e'$ は条件 3 により正則エピ射である。よって $f'=m'\circ e'$ は像分解であり、thm-regular-cat-image-factorization の一意性から $\operatorname{Im}(f')=m'$ である。$\square$

関手圏における極限と余極限は各点ごとに計算される（Bor94a 第2章）。すなわち、$\mathcal{C}$ に存在する型の極限・余極限は $[\mathcal{D},\mathcal{C}]$ にも存在し、各対象 $D\in\mathcal{D}$ で成分をとると $\mathcal{C}$ の対応する極限・余極限になる。よって $[\mathcal{D},\mathcal{C}]$ は有限極限を持ち（条件 1）、$\alpha\colon F\to G$ の核対 $p,q\colon P\to F$ は各点で $\alpha_D$ の核対であり、その余等化子は各点で $\alpha_D$ の核対の余等化子 $e_D\colon F(D)\to I(D)$ をとることで作られる（条件 2。$I$ は余等化子の普遍性により関手になる）。
$\alpha$ が正則エピ射なら、$\alpha$ は自身の核対の余等化子である（正則エピ射）から、各 $\alpha_D$ は $\alpha_D$ の核対の余等化子、すなわち正則エピ射である。逆に各 $\alpha_D$ が正則エピ射なら、$\alpha_D$ はその核対の余等化子なので、上の $e_D$ と $\alpha_D$ は同型 $I(D)\cong G(D)$ を除いて一致し、これらの同型は自然である（余等化子から誘導される射の一意性による）。よって $\alpha$ は核対の余等化子 $e$ と同型の合成であり、正則エピ射である。
条件 3：$\alpha$ を正則エピ射、$\gamma\colon H\to G$ を任意の自然変換とすると、引き戻し $H\times_G F\to H$ の各成分は $\alpha_D$ の $\gamma_D$ に沿った引き戻しなので、$\mathcal{C}$ の条件 3 により正則エピ射である。上で示したことから、$H\times_G F\to H$ は正則エピ射である。$\square$